《通信原理》课件3第3章.ppt

1、第章随机信号分析第第3章随机信号分析章随机信号分析3.1 引言引言 3.2 随机变量随机变量3.3 随机过程随机过程 3.4 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 3.5 通信系统中的噪声通信系统中的噪声本章小结本章小结 第章随机信号分析3.1 引引 言言在第2章中我们对确知信号进行了分析。在实际通信系统中，携带消息的信号一般都带有随机性。同时，携带消息的信号在传输过程中，不可避免地要受到噪声的干扰，噪声一般也是随机的。因此，广泛地说，无论信号还是噪声，两者都是随机的。它们不能表示成一个确定的时间函数，要分析此类信号和噪声的内在规律性，只有找出它们的统计特性，根据随机理论来描述。本章将对随

2、机信号和噪声的数学模型随机过程作理论上的讨论，并用随机过程的理论来解决实际问题。第章随机信号分析3.2 随机变量随机变量3.2.1 什么是随机变量什么是随机变量生活中有许多随机变量的例子。例如：掷一枚硬币出现正面与反面的随机实验。我们规定数值1表示出现反面，数值0表示出现正面，这样做就相当于引入一个变量X，它将随机地取两个数值，而对应每一个可能取的数值，有一个概率，这一变量X就称之为随机变量。当随机变量X的取值个数有限或无穷可数时，称它为离散随机变量，否则就称之为连续随机变量，即可能的取值充满某一有限或无限区间。第章随机信号分析3.2.2概率及概率密度函数概率及概率密度函数 1.概率及频率密度

3、函数的定义及性质概率及频率密度函数的定义及性质 离散随机变量取某个值可能性的大小用概率来表示。如在上述投掷硬币的试验中，由于硬币出现正面和反面的可能性均为0.5，故随机变量X取数值1和0的概率均为0.5，记作P(X=1)=0.5和P(X=0)=0.5。连续随机变量X取值x的可能性大小用概率密度函数f(x)来表示，对概率密度函数积分等于概率。例如，随机变量X取值小于等于x1的概率为 11()()dxP Xxf xx第章随机信号分析概率密度有如下性质：(1)f(x)0(2)(3)1d)(xxf()d()d()d()baf xxf xxf xxP axb第章随机信号分析2.几种常见的概率密度函数几种

4、常见的概率密度函数1)均匀分布随机变量X在(a,b)区间内均匀分布的概率密度函数如图3.2.1所示，其表达式为 1()0f xbaaxb其他例如，正弦振荡源所产生的振荡信号的初相就是一个在(0,2)上均匀分布的随机变量，其概率密度函数为 1()20f2a其他(3-2-1)第章随机信号分析图3.2.1 均匀分布概率密度函数第章随机信号分析2)高斯(Gauss)分布高斯分布(也称为正态分布)随机变量的概率密度函数为其中,a和为常数。可以证明，a为均值，2为方差。此概率密度函数的曲线如图3.2.2所示。222)(exp21)(axxf第章随机信号分析图3.2.2高斯分布随机变量的概率密度函数 第章随

5、机信号分析由概率密度函数表达式及曲线不难看出，f(x)有如下特点：f(x)对称于直线x=a，在x时，f(x)0。当一定时，对于不同的a，表现为f(x)的图形左右平移；当a一定时，对于不同的，表现为f(x)的图形将随的减小而变高和变窄（曲线下的面积恒为1）。当我们研究高斯噪声对数字通信的影响时，通常对图3.2.3（a）、（b）中阴影部分所对应的概率感兴趣。第章随机信号分析当ba时，如图3.2.3（b）所示，阴影部分的概率为 第章随机信号分析图3.2.3两个有用的概率 第章随机信号分析3)瑞利分布通信原理中遇到的窄带高斯噪声的包络是服从瑞利分布的，瑞利分布随机变量的概率密度函数为式中2是窄带高斯噪

6、声的方差，其曲线如图3.2.4所示。00 2exp)(222其它xxxxf(3-2-3)第章随机信号分析图3.2.4 瑞利分布随机变量的概率密度函数第章随机信号分析4)莱斯分布正弦(或余弦)信号加上窄带高斯噪声包络的瞬时值服从莱斯分布。莱斯分布随机变量的概率密度函数为式中,I0(x)为零阶贝塞尔函数，A为正弦波的振幅。当A=0时，莱斯分布退化为瑞利分布；当A相对于噪声较大时，莱斯分布趋近于正态分布。xxAxIxAxxf0 00 2)(exp)(202222(3-2-4)第章随机信号分析图3.2.5 莱斯分布随机变量的概率密度函数第章随机信号分析3.2.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1

7、.随机变量的数学期望随机变量的数学期望数学期望是随机变量的统计平均值。对于离散随机变量X，如果它可能的取值有x1，x2，x3，xn，其相应的概率分别为P(x1)，P(x2)，P(x3)，P(xn)，则其数学期望的定义为 (3-2-5)对于连续随机变量X，如果其概率密度函数为f(x)，则其数学期望的定义为 (3-2-6)()(1niiixPxXExxxfXEd)()(第章随机信号分析 例例3.2.3(1)测量某随机电压X，测得3.0 V的概率为2/5；测得3.2 V的概率为2/5；测得3.1 V的概率为1/5，求该随机电压的数学期望。(2)某连续随机变量X的概率密度函数 ,其中a、2均为常数，求

8、该随机变量的数学期望。222)(exp21)(axxf第章随机信号分析解解 (1)由式(3-2-5)得 (2)由式(3-2-6)得)V(1.3511.3522.3520.3)()(31iiixPxXEaxaxxxxxfXEd2)(exp21d)()(22第章随机信号分析 数学期望有如下特性：(1)E(C)=C，C为常数；(2)E(X+Y)=E(X)+E(Y);(3)E(XY)=E(X)E(Y)，X、Y统计独立;(4)E(X+C)=E(X)+C;(5)E(CX)=CE(X)。其中，X、Y为随机变量。第章随机信号分析2.方差方差随机变量的方差反映了随机变量取值的集中程度。方差越小，说明随机变量取值

9、越集中；方差越大，说明随机变量取值越分散。对于离散随机变量X，设其均值为ax，则其方差定义为 (3-2-7)即随机变量X与它的数学期望aX之差的平方的数学期望。2()()XD XE Xa第章随机信号分析方差有如下特性：(1)D(C)=0，C为常数；(2)D(X+Y)=D(X)+D(Y)，此式成立的条件是X、Y统计独立；(3)D(X+C)=D(X);(4)D(CX)=C2D(X);(5)D(X)=E(X2)-E2(X)。如果X代表某随机信号，则随机信号的功率为其中,为信号的直流功率；为信号的交流功率。2222()()XXPE XD XEXa22()XEXa2()XD X第章随机信号分析3.协方差

10、、相关矩协方差、相关矩两个随机变量之间的协方差定义为其中，E(XY)称为两个随机变量X、Y之间的相关矩，它是两个随机变量乘积的均值。()()XYXYC XYE XaYaE XYa a这里有三个重要概念：(1)当协方差C(XY)=0时，相关系数=0，称两个随机变量是不相关的。(2)当相关矩E(XY)=0时，称两个随机变量是正交的。(3)当两个随机变量的联合概率密度函数等于两个随机变量各自概率密度函数的乘积时，即f(x,y)=f(x)f(y)时，称两个随机变量是独立的。第章随机信号分析3.3 随机过程随机过程3.3.1 随机过程的定义随机过程的定义随机变量在时间t上的变化过程就是随机过程。随机过程

11、可定义为随机变量和时间t的函数，记为X(t,)。当随机变量取某个值，如i时，随机过程X(t,i)=xi(t)为时间的确定函数。此时间函数称为随机过程X(t,)的一个样本函数或随机过程X(t,)的一次实现，随机变量取不同值时得到不同的样本函数。另一方面，对于一个特定的时间值，如t0，则X(t0,)是一个随机变量，此随机变量的取值与有关。所以，随机过程任意时刻的取值是一个随机变量。当=i，t=t0时，随机过程X(t,)=X(t0,i)为一个确定的值。第章随机信号分析通常我们使用X(t)来表示随机过程。如随机过程 X(t)=2cos(2t+Y)其中，设Y是一个离散随机变量，取0和/2的概率相同，即P

12、(Y=0)=1/2，P(Y=/2)=1/2。当随机变量Y取值为0时，随机过程X(t)为x1(t)=2cos(2t)，是时间的一个确定函数，也是随机过程X(t)=2cos(2t+Y)的一个样本函数。当随机变量Y取值为/2时，随机过程X(t)为x2(t)=2cos(2t+/2)=-2sin(2t)，它也是时间的一个确定函数，是随机过程X(t)=2cos(2t+Y)的另一个样本函数。由此可见，此随机过程共有两个样本函数，如图3.3.1所示。第章随机信号分析图3.3.1 随机过程X(t)的样本函数第章随机信号分析当给定某个时间值，如t=0.5时，X(0.5)=2 cos(20.5+Y)=2cos(+Y

13、)，是一个随机变量，取值及概率与Y有关。当Y=0时，X(0.5)=2cos()=-2；当Y=/2时，X(0.5)=2cos(+/2)=0。由于Y=0及Y=/2的概率都为1/2，所以，随机变量X(0.5)取值为-2和0的概率都是1/2。第章随机信号分析3.3.2 随机过程的统计特性随机过程的统计特性设X(t)是一个随机过程，则其任意时刻t1的取值X(t1)是一个随机变量，该随机变量的分布函数和概率密度函数就定义为随机过程X(t)的一维分布函数和一维概率密度函数，一维概率密度函数记为F1(x1;t1)。同样，随机过程X(t)的任意两个不同时刻t1、t2的取值X(t1)、X(t2)是两个不同的随机变

14、量，这两个随机变量之间的联合分布函数和联合概率密度函数相应地定义为随机过程X(t)的二维分布函数和二维概率密度函数，二维概率密度函数记为F2(x1,x2;t1,t2)。随机过程的n维分布函数和n维概率密度函数的定义与此类似。与随机变量一样，我们也常用统计平均(数字特征)来描述随机过程。最常用的三个统计平均是数学期望、方差和相关函数。第章随机信号分析1.随机过程的数学期望随机过程的数学期望随机过程X(t)在t1时刻的取值X(t1)是一个随机变量，此随机变量可能是离散随机变量也可能是连续随机变量。设其为连续随机变量，根据3.2节中数学期望的定义，此随机变量的数学期望为同样，随机过程在t2时刻的取值

15、X(t2)也是一个随机变量，此随机变量的数学期望为)(d);()(1111111taxtxfxtXE)(d);()(2222122taxtxfxtXE第章随机信号分析由此可以看出，不同时刻对随机过程取值会得到不同的随机变量，它们具有不同的数学期望，即随机过程的数学期望随时间而变化。所以，随机过程X(t)的数学期望的一般表达式为 (3-3-1)它是随机过程在任意时刻t的取值X(t)所对应的数学期望。如果随机过程任意时刻的取值X(t)是一个离散随机变量，则按离散随机变量的方法求数学期望。一般情况下，随机过程的数学期望与时间有关。)(d);()(1taxtxfxtXE第章随机信号分析例例3.3.1

16、有随机过程定义为X(t)=2cos(2t+Y)其中Y是离散随机变量，等概地取两个值Y=0和Y=/2。求(1)随机过程在时刻t=0.5及t=1.0的数学期望a(0.5)和a(1.0)。(2)随机过程的数学期望a(t)。第章随机信号分析解解 (1)随机过程X(t)=2 cos(2t+Y)在t=0.5时的值X(0.5)是一个随机变量，即X(0.5)=2 cos(+Y)，此随机变量有两个值，分别为2cos()和2cos(+/2)，概率都为1/2。根据离散随机变量求数学期望的方法求得同理，t=1.0时的取值X(1.0)=2 cos(2+Y)也是一个随机变量，取值为2 cos(2)和2 cos(2+/2)

17、时的概率都是1/2，所以由此可知，随机过程在t=0.5和t=1.0时有不同的数学期望。12cos221cos221)5.0()5.0(XEa122cos2212cos221)0.1()0.1(XEa第章随机信号分析(2)随机过程任意时刻的取值X(t)=2cos(2t+Y)也是一个离散随机变量，取值为2cos(2t)和2 cos(2t+/2)，概率都为1/2。所以任意时刻的数学期望为这是随机过程X(t)=2 cos(2t+Y)在任意时刻的数学期望。由此可以验证当t=0.5和t=1.0时数学期望分别为-1和1。42cos2 42cos42cos )22cos(2212cos221)()(ttttt

18、XEta第章随机信号分析2.随机过程的方差及自相关函数随机过程的方差及自相关函数随机过程的方差及自相关函数都是用数学期望来定义的。随机过程任意时刻的方差为 (3-3-2)它代表时刻t时的随机变量偏离均值的情况。一般情况下，随机过程的方差也是随时间变化的。随机过程自相关函数定义为任意两个不同时刻所对应的随机变量的相关矩，即 (3-3-3)如果令t2=t1+，则上式表示为通常情况下，随机过程的自相关函数与时间起点t1及时间间隔有关。)()()()(22ttatXEtXD)()(),(2121tXtXEttR)()(),(1111tXtXEttR第章随机信号分析3.3.3 平稳随机过程平稳随机过程如

19、果随机过程的统计特性与时间的起点无关，即随机过程X(t)与X(t+)有相同的统计特性，是任意的时移，这样的随机过程称为狭义平稳随机过程。狭义平稳随机过程有如下实用结论：(1)(3-3-4)即平稳随机过程的数学期望不随时间变化，是一个常数。(2)(3-3-5)即平稳随机过程的方差与时间无关，也是一个常数。atatatXEtXE)()()()(222)()()()(tttXDtXD第章随机信号分析即平稳随机过程任意两个时刻所对应的随机变量之间的相关函数，只与时间间隔有关，与时间起点无关。只要时间间隔相同，它们之间的相关程度也是相等的。例如：当t1-t2=t3-t4时，EX(t1)X(t2)=EX(

20、t3)X(t4)。在实际应用中，经常将满足式(3-3-4)、(3-3-5)及(3-3-6)的随机过程称为广义平稳随机过程。需要注意的是，狭义平稳随机过程一定是广义平稳随机过程，而广义平稳随机过程不一定是狭义平稳随机过程。以后如不特别说明，平稳随机过程都是指广义平稳随机过程。)()(),()()()()(),(2121212121RttRttRtXtXEtXtXEttR(3-3-6)(3)第章随机信号分析例例3.3.2 考察随机过程X(t)=A cos(2fct+)的平稳性。其中，A、fc是常数，相位是在区间(-,)上均匀分布的随机变量。解解 根据随机过程数学期望的定义求出X(t)=A cos(

21、2Fct+)的数学期望a(t)为cccccc()()cos(2)cos2cossin2sin Acos2cos sin2sin 11 Acos2cosdsin2sind22 0ca tE X tE Af tAEf tf tf tEAf tEf tAf t第章随机信号分析 根据随机过程自相关函数的定义求出X(t)=A cos(2Fct+)的自相关函数R(t1,t2)为可见，随机过程X(t)=A cos(2fct+)的数学期望与时间无关，自相关函数只与时间间隔有关。所以此随机过程是广义平稳随机过程。1212c 1c 22c 1c 2c1222c 1c 2c122(,)()()cos(2)cos(2

22、)cos(222)cos2()21A .cos(222)dcos2()222 .cos2R t tE X t X tE Af tAf tAEf tf tf ttAf tf tf ttA2c12cA2().cos2()2f ttfR第章随机信号分析满足式(3-3-4)和式(3-3-6)的随机过程一定满足式(3-3-5)，这是因为方差与数学期望及自相关函数之间有如下关系：2222()()()(0)D X tE XtEX t R-a(3-3-7)显然方差与时间无关，是个常数。例3.3.2中，方差为2(t)=R(0)-a2=A2/2。所以验证一个随机过程是不是平稳时，只要验证数学期望和自相关函数是否满

23、足要求就可以了。第章随机信号分析3.3.4 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度由于随机过程不是周期函数，因此无法用傅氏级数来表示它。同时，随机过程的持续时间无限长，其能量为无穷大，所以也无法用频谱或能量谱来描述它。但它的平均功率是个有限值，因此我们可以求出它的功率谱。由数学推导可知，平稳随机过程的功率谱密度P(f)完全由自相关函数R()决定，它们之间是一对傅氏变换，关系如下：(3-3-8)(3-3-9)de)()(2 jfRfPffPRfde)()(2 j第章随机信号分析 式(3-3-9)、(3-3-10)称为维纳-辛钦定理，它有着很重要的理论与实际应用价值。它表示：随机过程的功

24、率谱密度等于自相关函数的傅氏变换，自相关函数等于功率谱的傅氏反变换。由此可知，随机过程的功率谱或自相关函数中只要知道其中的一个，利用维纳-辛钦定理即可求得另一个。自相关函数是平稳随机过程的一个重要概念，它不仅在时域描述随机过程，而且通过对它的傅氏变换，还能反映平稳随机过程的频域特性。下面再对平稳随机过程作较深入的认识。第章随机信号分析(1)由式(3-3-9)可知可见，R(0)等于平稳随机过程的平均功率。由式(3-3-7)、(3-3-8)可知其中，2是平稳随机过程的交流功率，a2是平稳随机过程的直流功率。上式说明平均功率等于交流功率和直流功率之和。ffPRd)()0(222)()0(atXER第

25、章随机信号分析(2)平稳随机过程的自相关函数R()是个偶函数。由R()的定义很容易得到令t=t+代入上式，得)()()()()(tXtXEtXtXER)()()()(RtXtXER第章随机信号分析(3)R()=a2。根据R()的定义有X(t)与X(t)是相距无穷远的两个随机变量，它们之间的取值毫无相关性，可以将它们看做相互独立的随机变量，因此有由上分析可见，根据平稳随机过程的自相关函数R()，可求出平稳随机过程的功率谱密度函数、平均功率、直流功率及交流功率。)()()(tXtXER2 )()()()()(aaatXEtXEtXtXER第章随机信号分析例例3.3.3 题目同例3.3.2。求此随机

26、过程的功率谱密度和平均功率。解解 由例3.3.2得自相关函数，由式(3-3-8)得功率谱密度函数为c22cos2)(fAR)()(4)()(2ccffffARFfP对功率谱密度函数积分即可得平均功率，即2222()d()()d4442ccAAAAPP fffffff平均功率也可从很方便地求出，即c22cos.2)(fAR20cos202cos2)0(22c2AAfAR可见，两种方法得到的结果完全相同。第章随机信号分析例例3.3.4 有随机过程Xc(t)=AX(t)cos(2Fct+)，其中X(t)是一个零均值的平稳随机过程，自相关函数为RX()，功率谱密度函数为PX(F)。A、Fc是常数，相位

27、是在区间(-,)上均匀分布的随机变量。X(t)与相互统计独立。(1)证明Xc(t)是广义平稳随机过程。(2)求Xc(t)的功率谱密度函数。第章随机信号分析解解 (1)X(t)与相互统计独立，且EX(t)=0。0 )2cos().()2cos()()(ccctfEtAXEtftAXEtXE第章随机信号分析(2)因为Ecos(4Fct+2Fc+2)=0，随机过程Xc(t)=AX(t)cos(2Fct+)的均值和自相关函数都不依赖于时间t，所以Xc(t)是广义平稳的。)(2cos)(2 )224cos(2cos)()(2 )22cos()()2cos()()()(),(ccc2ccc2cccccXX

28、XRfRAftffEtXtXEAftftAXtftAXEtXtXEttR第章随机信号分析对自相关函数做傅氏变换即可得到Xc(t)的功率谱密度函数。c22cos)(2)(cfRARXX)(cfPX)()(4 )()(21)(2 2cos)(2)()(cc2cc2c2ccffPffPAfffffPAfRFARFfPXXXXXX第章随机信号分析3.4 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统我们知道，随机过程是以某一概率出现的样本函数的全体。因此，随机过程输入到线性系统可以理解为随机过程的某一样本函数输入到线性系统。由于随机过程的样本函数是时间的确定函数，因此我们完全可以用确知信号通过线性系统的分析

29、方法来求得随机过程通过线性系统时的输出。设加到线性系统输入端的是随机过程X(t)的某一样本函数x(t)，系统相应的输出为y(t)，则有()()()()()d ()()dy tx th tx tu h uux u h tuu(3-4-1)第章随机信号分析其中，h(t)为线性系统的冲激响应，与系统传输特性H(f)之间的关系如下：tethfHftd)()(2 j由于输入随机过程有很多可能的样本函数x(t)，不同的输入样本函数x(t)对应不同的输出样本函数y(t)，因此，当线性系统的输入是随机过程时，它的输出也是由很多样本函数组成的一个随机过程，我们将此输出随机过程记为Y(t)。Y(t)与输入随机过程

30、X(t)的一般表达式为uuthuXuuhutXthtXtYd)()(d)()()()()(3-4-3)第章随机信号分析有了输出随机过程Y(t)的表达式后，在已知输入随机过程X(t)的条件下求出Y(t)的均值、自相关函数及功率谱等数字特征，就可以讨论输出随机过程的平稳性。本节主要讨论当输入X(t)为平稳随机过程时，输出随机过程Y(t)的一些特性。由此得到的结论主要用于通信系统抗噪声性能的分析。讨论时，设EX(t)=aX,EX(t)X(t+)=RX()。第章随机信号分析3.4.1 输出随机过程输出随机过程Y(t)的数学期望的数学期望输出随机过程Y(t)的数学期望为()()()d()()dE Y t

31、EX tu h uuE X tu h uu由于EX(t-u)=aX，由式(3-4-2)得j20(0)()ed()d()dtHh tth tth uu因此()()()d()d(0)XXE Y tE X tu h uuah uua H(3-4-4)由此可见，当输入随机过程的数学期望为常数时，线性系统输出随机过程的数学期望也是常数。第章随机信号分析3.4.2 输出随机过程输出随机过程Y(t)的自相关函数的自相关函数为了求得Y(t)的自相关函数，让我们首先求出X(t)与Y(t)的互相关函数RXY()。互相关函数RXY()只与时间间隔有关，它等于RX()与h()的卷积。)()(d)()(d)()()(d

32、)()()()()()(hRuuhuRuuhutXtXEuuhutXtXEtYtXERXXXY(3-4-5)第章随机信号分析现在来求自相关函数RY()。)()(d)()(d)()()()(d)()()()(),(hRuuhuRuuhtYutXEtYuuhutXEtYtYEtRXYXYY(3-4-6)第章随机信号分析结合式(3-4-5)及式(3-4-6)得到(3-4-7)由此可得，当输入随机过程X(t)平稳时，输出随机过程的自相关函数只与时间间隔有关。)()()()(hhRRXY式(3-4-4)与式(3-4-7)表明，当线性系统的输入为平稳随机过程时，输出随机过程的数学期望是常数，自相关函数与时

33、间起点无关，只依赖于时间间隔。显然，输出随机过程也是平稳的。第章随机信号分析3.4.3 输出随机过程输出随机过程Y(t)的功率谱密度的功率谱密度由式(3-4-7)可得应用时域卷积定理得 (3-4-8)其中，。根据式(3-4-8)，在已知输入随机过程功率谱密度PX(F)及系统传输特性H(F)时，可求出输出随机过程的功率谱密度PY(F)。)()()()()(hhRFRFfPXYY2)()()(*)()()()()()(fHfPfHfHfPhFhFRFfPXXXY)()(),()(),()(hFfHhFfHRFfPXX第章随机信号分析例例3.4.1 平稳随机过程X(t)输入到一个RC低通网络，X(t

34、)的均值为0，自相关函数RX()=exp(-|)。求输出随机过程的均值、方差、功率谱密度及自相关函数。解解 RC低通网络的传输特性如下其中，=1/(RC)。fRCffH2 j2 j11)(第章随机信号分析根据式(3-4-4)可求得输出随机过程均值(数学期望)为查表2-3-1可求得输入随机过程的功率谱密度函数PX(F)为0)()0()(tXEHtYEaY22)2(2)()(fRFfPXX根据式(3-4-8)求得输出随机过程的功率谱密度PY(F)为222222)2()2(2)()()(fffHfPfPXY第章随机信号分析例例3.4.2 设线性系统的输入为X(t),输出为Y(t)=X(t+a)-X(

35、t-a),已知X(t)是平稳随机过程，自相关函数为RX()。试证明：(1)(2)2()2()(2)(aRaRRRXXXY)2(sin)(4)(2affPfPXY解解 (1)根据自相关函数的定义，得()()()()()()()()()()()()()()()()(2)(2)(YXXXXRE Y t Y tEX taX taX taX taE X ta X taX ta X taX ta X taX ta X taRRaRaR)2()(2)(2)XXXRRaRa第章随机信号分析(2)对RY()求傅氏变换得Y(t)的功率谱密度为j2.2j2.2()()2()(2)(2)2()(2)(2)2()()(

36、)2()()cos4jsin4cos4jsin4YYXXXXXXfafaXXXXXPfF RFRRaRaF RF RaF RaPfPf ePf ePfPffafafa2 2()2()cos4 2()(1 cos4)4()sin 2XXXXfaPfPffaPffaPffa第章随机信号分析将式(3-4-3)所表示的输出随机过程Y(t)改写成求和形式00)()(lim)(nnnnuuuhutXtY(3-4-9)3.4.4 输出随机过程的概率分布输出随机过程的概率分布对一般随机过程来说，通过线性系统后，其概率分布特性会发生变化，而且没有规律可寻。如输入的随机过程为均匀分布时，我们很难确定输出随机过程的

37、分布特性。只有一种情况例外，那就是当输入是平稳高斯随机过程时，输出过程仍然是高斯分布的。由于通信中的随机过程大多被看做平稳高斯过程，因此这一结论很重要。下面对此结论作简单说明。第章随机信号分析当输入X(t)为平稳高斯随机过程时，X(t-un)是t-un时刻对随机过程X(t)的取值，是一个高斯分布的随机变量，X(t-un)乘以常数h(un)un后仍然为高斯随机变量，只是均值和方差有所改变。因此，式(3-4-9)中X(t-un)h(un)un的每一项都是高斯随机变量。所以，输出随机过程Y(t)在任一时刻上的取值将是无穷多个高斯随机变量之和。通过数学方法可以证明，两个高斯随机变量之和仍然为高斯随机变

38、量。即当X1与X2为高斯随机变量时，Y=X1+X2也为高斯随机变量，其均值为a1+a2，方差为。其中,a1、a2和、分别是X1和X2的均值与方差，12为X1和X2的相关系数。进而得到这样的结论：无穷多个高斯随机变量之和仍然为高斯随机变量。所以，平稳高斯随机过程通过线性系统后仍然为平稳高斯随机过程。222112212122第章随机信号分析3.5 通信系统中的噪声通信系统中的噪声3.5.1 噪声的分类噪声的分类1.人为噪声和自然噪声人为噪声和自然噪声按噪声的不同来源可将噪声分为人为噪声和自然噪声两种。人为噪声是指各种电气设备、汽车的火花塞所产生的火花放电，高压输电线路的电晕放电，以及邻近电台信号的

39、干扰等。自然噪声包括大气产生的噪声，天体辐射的电磁波所形成的宇宙噪声，以及通信设备内部电路产生的热噪声和散弹噪声等。第章随机信号分析2.高斯分布噪声和非高斯分布噪声高斯分布噪声和非高斯分布噪声按噪声幅度瞬时值的概率分布可将噪声分成高斯噪声和非高斯噪声两种。幅度瞬时值服从高斯分布的噪声称为高斯噪声，否则称为非高斯噪声。3.白噪声和有色噪声白噪声和有色噪声按噪声功率谱可将噪声分成白噪声和有色噪声两种。如果噪声的功率谱在很大频率范围内是个常数，则称此噪声为白噪声，否则称为有色噪声。第章随机信号分析4.加性噪声和乘性噪声加性噪声和乘性噪声按噪声对信号作用的方式可将噪声分成加性噪声和乘性噪声两种。如果噪

40、声与信号是相加关系，则称此噪声为加性噪声，如s(t)是信号，n(t)是噪声，则接收波形是s(t)+n(t)。如果噪声对信号的影响是以相乘形式出现的，则称此噪声为乘性噪声，如接收波形为s(t)n(t)。通过对通信系统的精心设计，许多噪声是可以消除或部分消除的，但仍有一些噪声无法避免。电路内部电子运动产生的热噪声和散弹噪声，以及宇宙噪声就是对通信系统有较大的持续影响的噪声，有时统称这些噪声为起伏噪声。起伏噪声是加性噪声，通过采用适当的调制技术可以将它的影响降低到最小程度。第章随机信号分析3.5.2 白噪声白噪声起伏噪声是影响通信系统性能的主要噪声。热噪声、散弹噪声和宇宙噪声尽管形成的机理不同，但却

41、有一些共同的特点，那就是它们的幅度瞬时值都服从高斯分布，均值都为0，且在相当宽的频率范围(如1012Hz)内都具有平坦的功率谱密度，如图3.5.1(a)所示，其功率谱表达式为 W/Hz2)(0nfPn(3-5-1)第章随机信号分析用n0/2表示双边功率谱密度，相应地，n0就表示单边功率谱密度，如图3.5.1(b)所示。具有平坦功率谱密度的噪声称为白噪声。所以通信系统中的起伏噪声是零均值高斯白噪声。在后面通信系统抗噪声性能的分析中，都假设信道中的噪声是均值为0的加性高斯白噪声(Additive White Gassian Noise，缩写为AWGN)。显然，这种假设是合理的。第章随机信号分析白噪

42、声的自相关函数Rn()是功率谱密度的傅氏反变换，为(3-5-2)如图3.5.1(c)所示。显而易见，当0时，。这一结果的物理意义是：白噪声任意两个不同时刻的瞬时值之间是不相关的。如果白噪声服从高斯分布，我们称其为高斯白噪声，此时任意两个不同时刻的瞬时值之间也是独立的。)(2)()(01nfPFRnn0)(2)(0nRn第章随机信号分析图3.5.1 白噪声的功率谱密度及自相关函数第章随机信号分析3.5.3 低通型白噪声低通型白噪声白噪声通过理想低通滤波器后得到的噪声称为低通型白噪声。设理想低通滤波器的传输特性为根据随机过程通过线性系统后的功率谱公式，白噪声输入到低通滤波器后，低通滤波器输出端噪声

43、的功率谱为 (3-5-3)如图3.5.2所示。Bf Bf fH01)(Bf Bf nfHnfHfPfPnY02)(2)()()(0202第章随机信号分析图3.5.2 白噪声通过低通滤波器第章随机信号分析对式(3-5-3)所示的功率谱密度求积分，可得到低通滤波器输出端的噪声功率。当白噪声的均值为零时，噪声功率与方差是相同的，此时低通型白噪声的方差为2n22000()dd222BnYYBnnPfffBn B对式(3-5-3)所示的功率谱密度求傅氏反变换，可得低通型白噪声的自相关函数RY()为1j2j2000()()()eded2sin(2)(2)2fYYYBfBaRFPfPffnfBn Bn BS

44、BB(3-5-4)第章随机信号分析自相关函数RY()的波形如图3.5.3所示。它是Sa(x)函数，有等间隔的零点。当=k/2B(k=1,2,3,)时，RY()=0。这个结论的物理意义是：低通白噪声上间隔为=k/2B(k=1,2,3,)的两个瞬时值之间是不相关的，如果白噪声是高斯分布的，则这两个瞬时值也是相互独立的。第章随机信号分析图3.5.3 低通型白噪声的自相关函数第章随机信号分析3.5.4 带通型白噪声及窄带高斯噪声带通型白噪声及窄带高斯噪声1.带通型白噪声带通型白噪声白噪声通过理想带通滤波器后的输出噪声称为带通型白噪声。设理想带通滤波器的中心频率为Fc，带宽为B，传输特性为则带通型白噪声

45、的功率谱密度PY(F)为如图3.5.4所示。其它 022 1)(ccBffBffH其它 022 2)(cc0BffBfnfPY第章随机信号分析图3.5.4 白噪声通过带通滤波器第章随机信号分析噪声方差为2nBnfnffPBfBfYn02/2/02d22d)(cc如图3.5.4(d)所示。带通型白噪声的自相关函数是以n0BSa(B)为包络，再填进频率为fc的载波组成。由图可见，使RY()=0的值很多，以这样的为间隔对带通型白噪声取值，所得到的两个值是不相关的，当白噪声为高斯分布时，这两个值之间也是独立的。c02 j2/2/02 j2/2/02 j2cos)(de2de2 de)()(ccfBBS

46、nfnfnffPRafBfBffBfBffYYcc带通型白噪声的自相关函数RY()为第章随机信号分析2.窄带高斯噪声窄带高斯噪声当带通滤波器为窄带滤波器，即Bfc，且输入是零均值平稳高斯噪声时，输出的噪声称为窄带高斯噪声。根据平稳随机过程通过线性系统这一节得到的结论，我们知道窄带高斯噪声也是平稳的，且均值为0，功率谱密度如图3.5.5(a)所示。此功率谱所对应的时间波形，是一个包络和相位都缓慢变化的，频率为Fc的余弦信号(可用示波器观测)，波形如图3.5.5(b)所示。因此，窄带高斯噪声的一般表示式为 (3-5-5)(2cos)()(cttftRtni第章随机信号分析图3.5.5 窄带高斯噪声

47、的功率谱和时间波形第章随机信号分析其中，R(t)0为随机包络过程，(t)为随机相位过程，它们都是低通型功率信号。对式(3-5-5)进行三角公式展开，得：(3-5-6)式中(3-5-7)(3-5-8)tftntftntfttRtfttRtnQiccIcc2sin)(2cos)(2sin)(sin)(2cos)(cos)()()(cos)()(IttRtn)(sin)()(ttRtnQ第章随机信号分析式(3-5-6)为窄带平稳高斯噪声的正交表示，同相和正交分量的大小分别用nI(t)和nQ(t)来表示。由式(3-5-7)和式(3-5-8)可知，nI(t)和nQ(t)也是缓慢变化的随机过程。在通信系统

48、抗噪声性能的分析中经常要用到噪声的正交表达式，并且还需要知道nI(t)和nQ(t)这两个随机过程的有关统计特性。第章随机信号分析当ni(t)是平稳窄带高斯噪声且均值为0、方差为时，经数学推导可得如下结论：(1)nI(t)和nQ(t)都是平稳高斯过程，所以nI(t)和nQ(t)任意时刻的取值都是高斯随机变量。(2)EnI(t)=EnQ(t)=Eni(t)=0，即均值相等，都为0。(3)DnI(t)=DnQ(t)=Dni(t)=，即方差相等，都为。(4)nI(t)、nQ(t)在同一时刻的取值是线性不相关的随机变量，又因为它们都是高斯的，所以也是统计独立的。2n2n2n第章随机信号分析(5)从式(3

49、-5-6)中看出，由于Fc频率分量单独提出来，因此nI(t)、nQ(t)为低通型噪声。在采用包络解调通信系统抗噪声性能的分析中，还会用到窄带高斯噪声ni(t)及窄带高斯噪声加正弦波ni(t)+A cos2Fct的包络的有关统计特性。第章随机信号分析3.窄带高斯噪声的包络和相位窄带高斯噪声的包络和相位式(3-5-5)是用包络和相位表示的窄带高斯噪声的时域表达式，利用式(3-5-7)和式(3-5-8)可得包络和相位表达式为)()(arctan)()()()(QI12Q2ItntnttntntR第章随机信号分析经数学推导得到，包络R(t)的瞬时值服从瑞利分布，相位(t)的瞬时值服从均匀分布，它们的概

50、率密度函数分别为同时可以证明，R(t)和(t)的瞬时值是统计独立的。0 2exp)(222 rrrrfnn20 21)(f第章随机信号分析4.窄带高斯噪声加正弦波的包络窄带高斯噪声加正弦波的包络很多通信系统中的信息信号被模型化为正弦波Acos2fct，其中，A、fc是常数。当信息信号到达接收机时，通常伴随着加性窄带高斯噪声，也就是说，接收信号是信息信号和窄带高斯噪声的混合物，即接收信号Z(t)=Acos2Fct+ni(t)。为分析噪声对信息信号幅度的影响，我们需要确定接收信号包络的概率密度函数。第章随机信号分析将窄带高斯噪声ni(t)表示成正交形式，Z(t)为Z(t)的包络R(t)为同理，经数