2021年数学新教材人教A版选择性必修第一册课件：第3章 3.3　3.3.2　抛物线的简单几何性质.ppt

1、第三章第三章 圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程 3.33.3 抛物线抛物线 3.3.23.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握抛物线的几何性质(重点) 2.掌握直线与抛物线的位置关系 的判断及相关问题(重点) 3.能利用方程及数形结合思想解 决焦点弦、 弦中点等问题(难点) 1.通过抛物线几何性质的应用，培 养学生的数学运算核心素养. 2.通过直线与抛物线的位置关系、 焦点弦及中点弦、 抛物线综合问题 的学习， 提升学生的逻辑推理、 直 观想象及数学运算的核心素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 (1)通过多媒体课件展示抛物线形反射

2、镜，平行光束聚焦于焦 点，激发学生兴趣 (2)问题：一抛物线形拱桥跨度为 4 米，拱顶离水面 2 米，一水 面漂浮一宽 2 米，高出水面 1.6 米的大木箱，问能否通过该拱桥？ 为了解决这个问题，我们先来研究一下抛物线的简单几何性质 1抛物线的几何性质 标准方程 y22px (p0) y22px (p0) x22py (p0) x22py (p0) 图形 标准方 程 y22px (p0) y22px (p0) x22py(p0) x22py (p0) 焦点 p 2，0 p 2，0 0，p 2 0，p 2 准线 xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 性 质 范围 x0，yR x0，yR _ _

3、 y0，xR y0，xR 标准方程 y22px (p0) y22px (p0) x22py(p0) x22py (p0) 对称 轴 _ _ 顶点 _ 性 质 离心 率 e_ x轴 y轴 (0,0) 1 2.焦点弦 直线过抛物线 y22px(p0)的焦点 F，与抛物线交于 A(x1，y1)、 B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|x1p 2，|BF|x2 p 2，故|AB| _. x1x2p 3直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：_、_和_ 设直线 ykxm 与抛物线 y22px(p0)相交于 A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，将 ykxm 代入 y22px，消

4、去 y 并化简，得 k2x22(mk p)xm20. 相离 相切 相交 k0 时，直线与抛物线只有_交点； k0 时，0直线与抛物线_有_个公共点 0直线与抛物线_只有_个公共点 0直线与抛物线_公共点 一个 相交 两 相切 一 相离 没有 思考： 直线与抛物线只有一个公共点， 那么直线与抛物线一定相 切吗？ 提示 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行 或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)抛物线是无中心的圆锥曲线 ( ) (2)抛物线 y22px 过焦点且垂直于对称轴的弦长是 2p ( ) (3)抛物线 y1 8x 2 的准线

5、方程为 x 1 32 ( ) 提示 (1) (2) (3) 2顶点在原点，对称轴为 y 轴，顶点到准线的距离为 4 的抛物 线的标准方程是( ) Ax216y Bx28y Cx2 8y Dx2 16y D 顶点到准线的距离为p 2，则 p 24.解得 p8，又因对称轴为 y 轴，则抛物线方程为 x2 16y. 3过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，若 x1x26，则|AB|( ) A10 B8 C6 D4 B |AB|x1x2p628. 4 若双曲线x 2 3 16y 2 p2 1(p0)的左焦点在抛物线 y22px 的准线 上，则 p_. 4

6、 双曲线的左焦点为(3 p2 16，0)，由条件可知， p 2 3 p2 16，解得 p4. 合合 作作 探探 究究 释释 疑疑 难难 抛物线性质的应用 【例 1】 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴且与 圆x2y24相交的公共弦长等于2 3， 则抛物线的方程为_ (2)如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点 A，B，C，若 |BC|2|BF|，且|AF|4，求抛物线的方程 思路探究 (1)利用抛物线和圆的对称性，先确定出交点坐标， 然后再求方程 (2)根据抛物线的定义，将条件转化到三角形中，再根据三角形 的关联性求解 (1)y23x 或 y

7、23x 根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵 坐标为 3，交点横坐标为 1，则抛物线过点(1， 3)或(1， 3)， 设抛物线方程为 y22px 或 y22px(p0)， 则 2p3，从而抛物线方程为 y23x 或 y23x. (2)解 如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D， 设|BF|a，则由已知得： |BC|2a， 由定义得：|BD|a，故BCD30 ， 在 RtACE 中，|AF|4，|AC|43a， 2|AE|AC|，43a8，从而得 a4 3，BDFG， 4 3 p 2 3， p2.因此抛物线的方程是 y24x. 用待定系数法求抛物线方程的步骤 提醒： 求抛物线

8、的方程时要注意抛物线的焦点位置， 不同的焦点 设出不同的方程 跟进训练 1若直线 xm 与抛物线 y24 3x 交于 A、B 两点，F 是其焦 点，若ABF 为等边三角形，求 m 的值 解 根据题意ABF 为等边三角形，则 tan 60 |m 3| 4 3m ，m0， 解得 m7 3 12. 直线与抛物线的位置关系 【例 2】 (1)过定点 P(0,1)作与抛物线 y22x 只有一个公共点的 直线有几条？ (2)若直线 l：y(a1)x1 与曲线 C：y2ax(a0)恰好有一个 公共点，试求实数 a 的取值集合 思路探究 (1)分斜率存在、不存在两种情况，存在时将直线方 程代入抛物线方程，转化

9、为 0 求解；不存在时显然满足题意 (2)将直线方程与抛物线方程联立消去y后化为关于x的方程 分类讨论方程有一解时 a 的取值 解 (1)当直线的斜率不存在时，直线 x0，符合题意 当直线的斜率存在时，设过点 P 的直线方程为 ykx1，当 k 0 时，直线 l 的方程为 y1，满足直线与抛物线 y22x 仅有一个公 共点； 当 k0 时，将直线方程 ykx1 代入 y22x，消去 y 得 k2x2 2(k1)x10.由 0，得 k1 2，直线方程为 y 1 2x1.故满足条件 的直线有三条 (2)因为直线 l 与曲线 C 恰好有一个公共点，所以方程组 ya1x1， y2ax 只有一组实数解，

10、消去 y，得(a1)x12ax， 即(a1)2x2(3a2)x10 . ()当 a10， 即 a1 时， 方程是关于 x 的一元一次方程， 解得 x1，这时，原方程组有唯一解 x1， y1. ()当 a10， 即 a1 时， 方程是关于 x 的一元二次方程 令 (3a2)24(a1)2a(5a4)0，解得 a0(舍去)或 a 4 5. 所以原方程组有唯一解 x5， y2. 综上，实数 a 的取值集合是 1，4 5 . 直线与抛物线交点问题的解题思路 (1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的 方程联立消元， 转化为形如一元二次方程的形式， 注意讨论二次项系 数是否为 0.若该方

11、程为一元二次方程， 则利用判别式判断方程解的个 数 (2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线 的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切 跟进训练 2若抛物线 y24x 与直线 yx4 相交于不同的两点 A，B， 求证 OAOB. 证明 由 y24x， yx4， 消去 y，得 x212x160. 直线 yx4 与抛物线相交于不同两点 A，B， 可设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有 x1x212，x1x216. OA OB x1x2y1y2x1x2(x14)(x24)x1x2x1x24(x1 x2)161616412160， OA OB ，即 OAOB. 中点弦

12、及弦长公式 【例 3】 过点 Q(4,1)作抛物线 y28x 的弦 AB，恰被点 Q 所平 分，求 AB 所在直线的方程 思路探究 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，用点差法求 kAB；也可以设 直线 AB 的方程， 与抛物线方程联立， 利用根与系数的关系， 通过“设 而不求”求解 解 法一：(点差法)设以 Q 为中点的弦 AB 的端点坐标为 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则有 y2 18x1，y 2 28x2，(y1y2)(y1y2)8(x1x2) 又 y1y22，y1y24(x1x2)， 即y 1y2 x1x24，kAB4. AB 所在直线的方程为 y14(x4)，即 4xy

13、150. 法二：由题意知 AB 所在直线斜率存在，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 弦 AB 所在直线的方程为 yk(x4)1. 联立 y28x， ykx41， 消去 x，得 ky28y32k80， 此方程的两根就是线段端点 A，B 两点的纵坐标 由根与系数的关系得 y1y28 k. 又 y1y22，k4. AB 所在直线的方程为 4xy150. “中点弦”问题解题方法 跟进训练 3已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜 角为 4的直线 l 被抛物线所截得的弦长为 6，求抛物线的标准方程 解 当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为 y22px(p0)，则焦点

14、F p 2，0 ，直线l的方程为yx p 2 .设直线l与抛 物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂 线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|AF|BF|AA1|BB1| x1p 2 x2p 2 x1x2p6， x1x26p. 由 yxp 2， y22px 消去y，得 xp 2 2 2px，即x23pxp 2 4 0. x1x23p，代入式得3p6p，p3 2. 所求抛物线的标准方程是y23x. 当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的 标准方程是y23x. 抛物线的综合应用 探究问题 1若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有

15、 什么关系？ 提示 两条直线的斜率互为相反数 2如何对待圆锥曲线中的定点、定值问题？ 提示 常选择一个参数来表示要研究问题中的几何量，通过运 算说明与参数无关，进而找到定点、定值也常用特值法找定点、定 值 【例 4】 如图所示，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点为坐标原 点，点 P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上 (1)求抛物线的方程及其准线方程； (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时， 证明：直线 AB 的斜率为定值 思路探究 第(1)问可以利用待定系数法解决； 第(2)问关键是如 何将 PA 与 PB 两条直线的倾斜角互补与直线 AB 的斜率联系起来

16、解 (1)由题意可设抛物线的方程为y22px(p0)， 则由点P(1,2) 在抛物线上，得 222p1，解得 p2， 故所求抛物线的方程是 y24x，准线方程是 x1. (2)证明：因为 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以 kPA kPB，即y 12 x11 y22 x21. 又 A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以 x1y 2 1 4 ，x2y 2 2 4 ，从 而有y 12 y2 1 4 1 y 22 y2 2 4 1 ，即 4 y12 4 y22，得 y1y24，故直线 AB 的斜率 kABy 1y2 x1x2 4 y1y21. 1.若本例题改为：如图所示，已知

17、直线 l：y2x4 交抛物线 y2 4x 于 A，B 两点，试在抛物线 AOB 这段曲线上求一点 P，使PAB 的面积最大，并求出这个最大面积如何求解？ 解 由 y2x4， y24x， 解得 x4， y4 或 x1， y2. 由图可知，A(4,4)，B(1，2)， 则|AB|3 5. 设 P(x0，y0)为抛物线 AOB 这段曲线上一点，d 为点 P 到直线 AB 的距离，则 d|2x 0y04| 5 1 5 y2 0 2 y04 1 2 5|(y01) 29|. 2y04，(y01)290. d 1 2 59(y01) 2 从而当 y01 时，dmax 9 2 5，Smax 1 2 9 2

18、53 5 27 4 . 故当点 P 的坐标为 1 4，1 时，PAB 的面积取得最大值， 最大值为27 4 . 2.若本例改为“抛物线方程为 y2x，且过点 P(3，1)的直线与 抛物线 C 交于 M， N 两个不同的点(均与点 A(1,1)不重合)， 设直线 AM， AN 的斜率分别为 k1，k2”，求证：k1 k2为定值 解 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线 MN 的方程为 xt(y1) 3，代入抛物线方程得 y2tyt30. 所以 (t2)280，y1y2t，y1y2t3. 所 以 k1 k2 y11 x11 y21 x21 y11 y2 11 y21 y2 21 1 y1

19、1y21 1 y1y2y1y21 1 t3t1 1 2. 所以 k1 k2是定值 应用抛物线性质解题的常用技巧 (1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便 (2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓 住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系 (3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问 题解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法 等解决这些问题的关键是代换和转化 (4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究 问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常 用特值探路法找定点、定值 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 1

20、抛物线的性质可以总结为五个“1”，即：一个顶点，一个焦 点，一条准线，一条对称轴，离心率为 1 的无心圆锥曲线 2.抛物线中常见的几个结论： 已知 AB 是抛物线 y22px(p0)的焦点弦，且 A(x1，y1)，B(x2， y2)点 F 是抛物线的焦点(如图) 则有 (1)y1y2p2，x1x2p 2 4 . (2)|AB|x1x2p. (3)以过焦点的弦为直径的圆与准线相切 (4)以焦半径为直径的圆与 y 轴相切 1若抛物线 y22x 上有两点 A、B 且 AB 垂直于 x 轴，若|AB| 2 2，则抛物线的焦点到直线 AB 的距离为( ) A1 2 B 1 4 C 1 6 D 1 8 A

21、 线段 AB 所在的直线方程为 x1，抛物线的焦点坐标为 1 2，0 ，则焦点到直线 AB 的距离为 1 1 2 1 2. 2在抛物线 y216x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为 ( ) A(4 2， 2) B( 4 2，2) C( 2,4 2) D(2， 4 2) D 抛物线 y216x 的顶点 O(0,0)，焦点 F(4,0)，设 P(x，y)符合 题意，则有 y216x， x2y2x42y2 y216x， x2 x2， y 4 2. 所以符合题意的点为(2， 4 2) 3设 O 为坐标原点，F 为抛物线 y24x 的焦点，A 是抛物线上 一点，若OA AF 4，则点 A 的坐标是(

22、 ) A(2， 2 2) B(1， 2) C(1,2) D(2,2 2) B 由题意知 F(1,0)，设 A y2 0 4 ，y0，则OA y2 0 4 ，y0，AF 1y 2 0 4 ，y0，由OA AF 4 得 y0 2，点 A 的坐标为(1， 2)， 故选 B. 4已知 AB 是过抛物线 2x2y 的焦点的弦，若|AB|4，则 AB 的中点的纵坐标是_ 15 8 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线 2x2y，可得 p1 4. |AB|y1y2p4， y1y241 4 15 4 ，故 AB 的中点的纵坐标是y 1y2 2 15 8 . 5已知点 P(1，m)是抛物线 C：y2

23、2px 上的点，F 为抛物线的 焦点，且|PF|2，直线 l：yk(x1)与抛物线 C 相交于不同的两点 A，B. (1)求抛物线 C 的方程； (2)若|AB|8，求 k 的值 解 (1)抛物线 C：y22px 的准线为 xp 2， 由|PF|2 得：1p 22，得 p2. 所以抛物线的方程为 y24x. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 ykx1， y24x， 可得 k2x2(2k24)xk20，16k2160， x1x22k 24 k2 . 直线 l 经过抛物线 C 的焦点 F， |AB|x1x2p2k 24 k2 28， 解得 k 1，所以 k 的值为 1 或1. 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !