2021年数学新教材人教A版选择性必修第一册课件:第3章 3.1 3.1.1 椭圆及其标准方程.ppt
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- 2021年数学新教材人教A版选择性必修第一册课件:第3章 3.13.1.1椭圆及其标准方程 2021 数学 新教材 选择性 必修 一册 课件 3.1 椭圆 及其 标准 方程 下载 _选择性必修 第一册_人教A版(2019)_数学_高中
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1、第三章第三章 圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程 3.13.1 椭圆椭圆 3.1.13.1.1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方 程(重点) 2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆 的标准方程(重点) 3.理解椭圆标准方程的推导过程,并 能运用标准方程解决相关问题(难 点) 1.通过椭圆标准方程及椭圆 焦点三角形的有关问题的学 习,培养学生的数学运算素 养. 2.借助轨迹方程的学习,培 养学生的逻辑推理及直观想 象的核心素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 2008 年 9 月 25 日 21 时 10 分, “神舟七号”载人
2、飞船顺利升空, 实现多人飞行和出舱活动,标志着我国航天事业又上了一个新台 阶请问,“神舟七号”飞船的运行轨道是什么? 下面请你固定两个图钉, 拉一根无弹性的细绳, 两端系在图钉上 (如图),用铅笔抵住细绳并上下左右转动,看铅笔留的轨迹是否是椭 圆? 1椭圆的定义 把平面内与两个定点 F1, F2的距离的和等于_的 点的轨迹叫做椭圆,这_叫做椭圆的焦点,_ 叫做椭圆的焦距,焦距的_称为半焦距 常数(大于|F1F2|) 两个定点 两焦点间的距离 一半 思考:(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常 数,其他条件不变,点的轨迹是什么? (2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”
3、改为“小于|F1F2|”的常数,其他 条件不变,动点的轨迹是什么? 提示 (1)点的轨迹是线段 F1F2. (2)当距离之和小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在 2椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 y2 a2 x2 b21(ab0) 焦点 (c,0)与(c,0) _与_ a,b,c 的关 系 c2_ x2 a2 y2 b21(ab0) (0,c) (0,c) a2b2 1思考辨析(正确的打“”,错误的打“”) (1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆 ( ) (2)已知椭圆的焦点是 F1,F2,P 是椭圆上的一动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|
4、PF2|,则动点 Q 的轨迹为圆 ( ) (3)方程x 2 a2 y2 b21(a0,b0)表示的曲线是椭圆 ( ) 提示 (1) (2) (3) 2设 P 是椭圆 x2 25 y2 161 上的点,若 F1,F2 是椭圆的两个焦点, 则|PF1|PF2|等于( ) A4 B5 C8 D10 D 由椭圆方程知 a225,则 a5,|PF1|PF2|2a10. 3椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(0,8),F2(0,8),且椭圆上 一点到两个焦点的距离之和为 20,则此椭圆的标准方程为( ) A x2 100 y2 361 B y2 400 x2 3361 C y2 100 x2 361 D y2
5、 20 x2 121 C 由条件知,焦点在 y 轴上,且 a10,c8, 所以 b2a2c236, 所以椭圆的标准方程为 y2 100 x2 361. 4 方程x 2 a2 y2 a61 表示焦点在 x 轴上的椭圆, 则实数 a 的取值 范围是_ (6,2)(3,) 由 a2a60 得 a3 或6a 2. 合合 作作 探探 究究 释释 疑疑 难难 求椭圆的标准方程 【例 1】 求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为 F1(4,0), F2(4,0), 并且椭圆上一点 P 与两焦点的距离的和等于 10; (2)焦点坐标分别为(0,2),(0,2),经过点(4,3 2); (
6、3)经过两点(2, 2), 1, 14 2 . 解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上, 且 c4,2a10,所以 a5, b a2c2 25163,所以椭圆的标准方程为 x2 25 y2 9 1. (2)因为椭圆的焦点在 y 轴上,所以可设它的标准方程为y 2 a2 x2 b2 1(ab0) 法 一 : 由 椭 圆 的 定 义 知2a 4023 222 4023 22212, 解得 a6.又 c2, 所以 b a2c24 2. 所以椭圆的标准方程为 y2 36 x2 321. 法二:因为所求椭圆过点(4,3 2),所以18 a2 16 b2 1. 又 c2a2b24,可解得 a236,b232
7、. 所以椭圆的标准方程为 y2 36 x2 321. (3)法一:若焦点在 x 轴上,设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab 0)由已知条件得 4 a2 2 b21, 1 a2 14 4b21, 解得 a28, b24. 所以所求椭圆的标准方程为x 2 8 y 2 4 1. 若焦点在 y 轴上,设椭圆的标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab0) 由已知条件得 4 b2 2 a21, 1 b2 14 4a21, 解得 b28, a24. 则 a2b2,与 ab0 矛盾,舍去 综上可知,所求椭圆的标准方程为x 2 8 y 2 4 1. 法二: 设椭圆的一般方程为 Ax2By21(A
8、0, B0, AB) 分 别将两点的坐标(2, 2), 1, 14 2 代入椭圆的一般方程,得 4A2B1, A14 4 B1, 解得 A1 8, B1 4, 所以所求椭圆的标准方程为x 2 8 y 2 4 1. 用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤 (1)定位置: 根据条件判断椭圆的焦点是在 x 轴上, 还是在 y 轴上, 还是两个坐标轴都有可能 (2)设方程:根据上述判断设方程 x2 a2 y2 b21(ab0)或 x2 b2 y2 a2 1(ab0)或整式形式 mx2ny21(m0,n0,mn) (3)找关系:根据已知条件建立关于 a,b,c(或 m,n)的方程组 (4)得方程:解方程组
9、,将解代入所设方程,写出标准形式即为 所求 跟进训练 1求与椭圆 x2 25 y2 9 1 有相同焦点,且过点(3, 15)的椭圆的标 准方程 解 法一:因为所求椭圆与椭圆 x2 25 y2 9 1 的焦点相同,所以 其焦点在 x 轴上,且 c225916. 设所求椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0) 因为 c216,且 c2a2b2,故 a2b216 . 又点(3, 15)在所求椭圆上,所以3 2 a2 152 b2 1, 即 9 a2 15 b2 1 . 由得 a236,b220, 所以所求椭圆的标准方程为 x2 36 y2 201. 法二:由题意可设所求椭圆的标准方程为
10、x2 25 y2 91. 又椭圆过点(3, 15), 将 x3, y 15代入方程得 9 25 15 9 1,解得 11 或 21(舍去) 故所求椭圆的标准方程为 x2 36 y2 201. 椭圆中的焦点三角形 【例 2】 (1)已知椭圆 x2 16 y2 121 的左焦点是 F1,右焦点是 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1的中点在 y 轴上,那么|PF1|PF2|( ) A35 B34 C53 D43 (2)已知椭圆x 2 4 y 2 3 1 中,点 P 是椭圆上一点,F1,F2是椭圆的 焦点,且PF1F2120 ,则PF1F2的面积为_ 思路探究 (1)借助 PF1的中点在 y 轴
11、上,且 O 为 F1F2的中点, 所以 PF2x 轴,再用定义和勾股定理解决 (2)利用椭圆的定义和余弦定理,建立关于|PF1|,|PF2|的方程,通 过解方程求解 (1)C (2)3 3 5 (1)依题意知,线段 PF1的中点在 y 轴上,又 原点为 F1F2的中点,易得 y 轴PF2,所以 PF2x 轴,则有|PF1|2 |PF2|24c216,又根据椭圆定义知|PF1|PF2|8,所以|PF1|PF2| 2, 从而|PF1|5,|PF2|3,即|PF1|PF2|53. (2)由x 2 4 y 2 3 1,可知 a2,b 3,所以 c a2b21,从而 |F1F2|2c2. 在 PF1F2
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