2021年数学新教材人教A版选择性必修第一册课件：第2章 2.1　2.1.1　倾斜角与斜率.ppt

1、第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 2.12.1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 2.1.12.1.1 倾斜角与斜率倾斜角与斜率 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解直线的斜率和倾斜角的概 念(重点) 2 理解直线的方向向量和向量坐标 表示(重点) 3 了解斜率公式的推导过程， 会应 用斜率公式求直线的斜率(难点) 1. 通过倾斜角概念的学习， 提升直观想象的数学素养 2. 通过斜率和直线方向向 量的学习，培养逻辑推理和 数学运算的数学素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 看下面几个问题 师大家知道两点确定一条直线，那么经过一点有多少条直线？ 生无数条 师那么再给

2、出什么条件就可确定一条呢？ 生倾斜程度(方向) 师那么我们今天就将开始学习反应直线倾斜程度的两个量 倾斜角和斜率 1倾斜角的相关概念 (1)倾斜角的定义： 当直线 l 与 x 轴相交时， 以 x 轴为 基准，x 轴_与直线 l_方向之间所成的角叫做直 线 l 的倾斜角如图所示，直线 l 的倾斜角是_， 直线 l的倾斜角是_. 正向 向上的 APx BPx (2)倾斜角的范围：直线的倾斜角的取值范围是_， 并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为_. 0 0 180 2斜率的概念及斜率公式 (1)定义：倾斜角 (90 )的_ (2)记法：k_. (3)斜率与倾斜角的对应关系 正切值 tan 图示

3、倾斜 角 (范围) 0 0 90 _ 90 180 斜率 (范围) _ _ 不存在 _ 90 0 (0，) (，0) (4)经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式：k y 2y1 x2x1. 思考： 所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率， 那么这条直线的 倾斜角为多少？ 提示 不是若直线没有斜率，则其倾斜角为 90 . 3直线的方向向量坐标 若 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线 P1P2的方向向量P1P2 的坐标为 _ 若直线 l 的斜率为 k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则 k _. (x2x1，y2y1) y x 1思考辨析(正确的

4、打“”，错误的打“”) (1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 ( ) (2)若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应 ( ) (3)若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等 ( ) (4)直线的倾斜角 的集合|0 180 与直线集合建立了一 一对应关系 ( ) 提示 (1) (2) (3) (4) 2已知一条直线过点(3，2)与点(1，2)，则这条直线的倾 斜角是( ) A0 B45 C60 D90 A k0 40， 0 . 3已知直线 l 的倾斜角为 30 ，则直线 l 的斜率为( ) A 3 3 B 3 C1 D 2 2 A 由题意可知，ktan 30 3 3 . 4已知经过两点

5、(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于 1，则 m 的值 是_ 13 2 由斜率公式可得8m m51， 解之得 m13 2 . 合合 作作 探探 究究 释释 疑疑 难难 直线的倾斜角 【例 1】 求图中各直线的倾斜角 (1) (2) (3) 解 (1)如图，可知OAB 为直线 l1的倾斜角易知ABO 30 ，OAB60 ，即直线 l1的倾斜角为 60 . (2)如图，可知xAB 为直线 l2的倾斜角，易知OBA45 ， OAB45 ，xAB135 ，即直线 l2的倾斜角为 135 . (3)如图，可知OAC 为直线 l3的倾斜角，易知ABO60 ， BAO30 ， OAC150 ，即直线 l3

6、的倾斜角为 150 . 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角 (2)两点注意：当直线与 x 轴平行或重合时，倾斜角为 0 ，当 直线与 x 轴垂直时，倾斜角为 90 . 注意直线倾斜角的取值范围是 0 180 . 跟进训练 1一条直线 l 与 x 轴相交，其向上的方向与 y 轴正方向所成的 角为 (0 90 )，则其倾斜角为( ) A B180 C180 或 90 D90 或 90 D 如图， 当 l 向上方向的部分在 y 轴左侧时， 倾斜角为 90 ； 当 l 向上方向的部分在 y 轴右侧时，倾斜角为 90 . 故选 D. 直线的斜率 【例

7、 2】 (1)过两点 A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角是 135 ， 则 y 等于( ) A1 B5 C1 D5 (2)(教材 P55练习 T5改编)经过 A(0，y)，B(1,0)两点的直线的方 向向量为(1,2)，则 y_. (3)如图，直线 l1的倾斜角 130 ，直线 l1l2，求 l1、l2的斜率 思路探究 (1)利用公式 ky 2y1 x2x1(x1x2)tan ； (2)利用方向向量的共线求解； (3)利用公式 ktan (90 ) (1)D (2)2 (1)过两点 A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角是 135 ， y3 42tan 135 1，解得 y5. (2)

8、由条件可知，直线的方向向量为(10,0y)，即(1， y)又(1,2)是直线的另一方向向量，则1 1 y 2 ，解得 y2. (3)解 直线 l1的倾斜角为 130 ，直线 l2的倾斜角 290 30 120 ， kl 1tan 30 3 3 ，kl 2tan 120 3. 解决斜率问题的方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式 ktan (90 ) 解决 (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 ky 2y1 x2x1(x1x2)求解 (3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解 跟进训练 2设点 A(m，m3)，B(2，m1)，C(1,4)，直线 AC 的斜 率等于

9、直线 BC 的斜率的 3 倍，则实数 m 的值为_ 4 依题意知，直线 AC 的斜率存在，且 m1. kACm34 m1 m1 m1 1， kBCm14 21 m5 3 ， 由题意得 kAC3kBC， 13m5 3 ，解得 m4. 直线的倾斜角和斜率的综合 探究问题 1斜率公式 ky 2y1 x2x1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1 与 y2，x1与 x2的顺序呢？ 提示 斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但 y1与 y2 和 x1与 x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为 ky 1y2 x1x2. 2斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？ 提示 当 ktan 0 时， 倾斜角 是钝角

10、； 当 ktan 0 时， 倾斜角 是锐角； 当 ktan 0 时， 倾斜角 是 0 . 3直线的斜率 k 随倾斜角 的增大而增大吗？ 提示 不是，在 0， 2 内，k 随 的增大而增大，在 2， 内，k 也是随 的增大而增大 【例 3】 已知两点 A(3,4)，B(3,2)，过点 P(1,0)的直线 l 与线 段 AB 有公共点 (1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围； (2)求直线 l 的倾斜角 的取值范围 思路探究 结合图形考虑，l 的倾斜角应介于直线 PB 与直线 PA 的倾斜角之间， 要特别注意， 当 l 的倾斜角小于 90 时， 有 kkPB； 当 l 的倾斜角大于 90 时，则

11、有 kkPA. 解 如图所示，由题意可知 kPA 40 311，kPB 20 311. (1)要使直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的斜率 k 的取值范 围是 k1 或 k1. (2)由题意可知，直线 l 的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角之 间，又 PB 的倾斜角是 45 ，PA 的倾斜角是 135 ， 所以 的取值范围是 45 135 . 1变条件本例中，三点坐标不变，其它条件改为过 B 的直线 l 与线段 AP 有公共点，求直线 l 的斜率的取值范围 解 如例题中图所示， 根据斜率公式得 kAB 42 33 1 3， kBP20 311， 直线 l 的斜率的取值范围为

12、 1 3，1 . 2变条件本例中，A、B 两点坐标不变，其它条件去掉，在直 线 y1 上求一点 P，使 PA、PB 的斜率互为相反数 解 点 P 在直线 y1 上，可设点 P(x，1) 又条件可知 kPA，kPB一定存在 由斜率公式得 kPAkPB 41 3x 21 3x0， 解得 x3 4. 故所求 P 点坐标为 3 4，1 . 直线的倾斜角和斜率的关系 (1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率当倾斜角 是 90 时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于 x 轴(平行于 y 轴或 与 y 轴重合) (2)直线的斜率也反映了直线相对于 x 轴的正方向的倾斜程度 当 0 90 时，斜率越大

13、，直线的倾斜程度越大；当 90 180 时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度， 二者紧密相连， 如 下表： 直线 情况 平行于 x 轴 垂直于 x 轴 的 大小 0 0 90 90 90 180 k 的范 围 0 k0 不存在 k0 k 的增 减情况 k 随 的增大 而增大 k 随 的增大 而增大 1 已知直线经过点 A(0,4)和点 B(1,2)， 则直线 AB 的斜率为( ) A3 B2 C2 D不存在 B 由直线的斜率公式，得 k42 012. 2若直线 l 经过第二、四象限，则直线 l 的倾斜角范围是( )

14、 A0 90 B90 180 C90 180 D0 180 C 直线经过第二、四象限时，直线的倾斜角为钝角，故 90 180 ，选 C. 3已知直线 AB 与直线 AC 有相同的斜率，且 A(1,0)，B(2，a)， C(a,1)，则实数 a 的值是_ 1 5 2 依题意：kABkAC，即a0 21 10 a1， 解得 a1 5 2 . 4已知直线 l 向上方向与 y 轴正向所成的角为 30 ，则直线 l 的 倾斜角为_ 60 或 120 有如图两种情况： 第一种情况倾斜角 90 30 60 ， 第二种情况倾斜角 90 30 120 . 5已知交于点 M(8,6)的四条直线 l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为 1234，又知 l2过点 N(5,3)，求这四条直线的倾斜角 解 l2的斜率为 k263 851，l2 的倾斜角为 45 ， 由题意可得：l1的倾斜角为 22.5 ，l3的倾斜角为 67.5 ，l4的倾 斜角为 90 . 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !