《控制工程基础》课件第3章.ppt

1、第3章 瞬态响应和稳态响应分析第第3 3章章 瞬态响应和稳态响应分析瞬态响应和稳态响应分析3.1 时间响应的组成及典型输入信号3.2 一阶系统的时域分析3.3 二阶系统的时域分析3.4 用MATLAB进行瞬态响应分析3.5 稳态误差与偏差习题第3章 瞬态响应和稳态响应分析3.1 时间响应的组成及典型输入信号时间响应的组成及典型输入信号一、时间响应的组成一、时间响应的组成设线性定常系统的动态方程可以用如下n阶微分方程来描述：式中，xo(t)为系统输出量；xi(t)为系统输入量；a0，a1，an及b0，b1，bm是由系统结构参数决定的实常数。对式(3-1)左右两端进行拉氏变换，得(3-1)1ooo

2、110o11iii110i1ddddddddd dddnnnnnnmmmmmmx tx tx taaaa x ttttx tx tx tbbbb x tnmttt()()()()()()()=()第3章 瞬态响应和稳态响应分析简写为D(s)Xo(s)=M(s)Xi(s)+N(s)(3-3)式中，D(s)=ansn+an1sn1+a1s+a0,为系统的特征多项式;M(s)=bmsm+bm1sm1+b1s+b0,为输入端的算子式；N(s)为与系统初始状态有关的多项式；Xo(s)、Xi(s)分别为输出与输入的拉氏变换(3-2)1110o1110i ()()()nnnnmmmma sasa saXsb

3、 sbsb sbX sN s()()+第3章 瞬态响应和稳态响应分析上式又可以写为 设系统的特征方程D(s)=0有n个互异的特征根si(i=1,2,q)，则 ，输入Xi(s)有l个互异的极点sj(j=1,2,l)，即Xi(s)的分母为，则可将式(3-4)展开为如下的部分分式：oi()()()()M sN sXsX sD sD s()()+(3-4)1()nniiD sass()1()ljjss第3章 瞬态响应和稳态响应分析式中，A1i、A2i、Bj为待定常数。对式(3-5)进行拉氏反变换得(3-5)(3-6)12o111nnljiiiijiijBAAXsssssss()o12111eeejii

4、nnls ts ts tiijiijx tAAB()第3章 瞬态响应和稳态响应分析式(3-6)中，第一项是由系统初始状态引起的自由响应，称为零输入响应，即系统在无输入作用下完全由初始状态引起的响应；第二项是由输入引起的自由响应；第三项是由输入引起的强迫响应。由于第二、三项响应均与初始状态无关，因此又称为零状态响应。即系统在零初始状态下仅由输入引起的响应。由此可见，动态系统的时间响应反映了系统在初始状态和输入作用下的运动状态。第3章 瞬态响应和稳态响应分析二、典型输入信号二、典型输入信号实际系统的输入信号常具有随机性质，预先无法知道，而且难以用简单的解析式表示。因而常预先规定一些特殊的试验输入信

5、号，然后比较各种系统对这些试验输入信号的响应，以此作为依据比较各种系统的性能。因为系统对典型试验输入信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间存在着一定的关系，所以采用试验信号来评价系统的性能是合理的。选取试验信号的原则是：第3章 瞬态响应和稳态响应分析(1)信号具有典型性，能够反映系统工作的大部分实际情况。(2)信号形式应尽可能简单，便于分析处理。(3)信号能使系统在最不利的情况下工作。根据上述试验信号选用原则，实际应用中常用的典型输入信号有如下几种。第3章 瞬态响应和稳态响应分析1.单位脉冲信号单位脉冲信号单位脉冲信号如图3-1（a）所示，表示为且单位脉冲信号的拉氏变换为 L(t)

6、=1 0 0 0ttt()00dd1tttt()()第3章 瞬态响应和稳态响应分析理想的单位脉冲信号实际上是不存在的，实际的脉冲信号如图3-1（b）所示，可表示为 当满足条件h/10且h=1时，实际脉冲信号可以近似看做是单位脉冲信号。0 0 0ihtx ttt()，第3章 瞬态响应和稳态响应分析2.阶跃信号阶跃信号阶跃信号如图3-1（c）所示，并可由下式表示式中,R为常量。当R=1时，称为单位阶跃信号，记作1(t)，其拉氏变换为阶跃信号是最常见的一种试验信号，诸如电源的突然接通，机器负载的突然改变，阀的突然关闭或开启均可以视为阶跃信号。i 0 0 0tx tRt()11 tsL第3章 瞬态响应

7、和稳态响应分析3.斜坡信号斜坡信号斜坡信号如图3-1（d）所示，可表示为式中，R为常量。当R=1时，称为单位斜坡信号，记作r(t)=t，其拉氏变换为 斜坡信号在t0时，随时间线性增加，所以也叫等速度信号。斜坡信号等于阶跃信号对时间的积分，而它对时间的导数就是阶跃信号。i 0 0 0tx tRtt()21tsL第3章 瞬态响应和稳态响应分析4.抛物线信号抛物线信号抛物线信号也称为等加速度信号，如图3-1（e）所示，它可以通过对斜坡信号的积分而得。其表达式为式中，R为常量。当时，称为单位加速度信号或单位抛物线信号，其拉氏变换为i2 0 0 0 tx tRtt()12R 23112tsL第3章 瞬态

8、响应和稳态响应分析5.正弦信号正弦信号正弦信号如图3-1（f）所示，可以表示为其中，A为振幅，是常数；为角频率。其拉氏变换为 i00 sin0tx tAt t22 sin()AtAsL第3章 瞬态响应和稳态响应分析从上列各典型输入信号看出，它们都具有形式简单的特点，选择这些典型输入信号对系统的响应进行数学分析和试验研究将是很方便的。在分析、设计控制系统时，究竟应选择哪一种形式的典型输入信号，应根据系统的实际情况来定。但不论选用何种典型输入信号，对同一系统来说，其响应过程所表征的系统特性应是一致的。第3章 瞬态响应和稳态响应分析图3-1 典型输入信号第3章 瞬态响应和稳态响应分析3.2 一阶系统

9、的时域分析一阶系统的时域分析一、一阶系统的数学模型一、一阶系统的数学模型可以用如式(3-7)所示的一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。在零初始条件下，对式(3-7)两端同时取拉氏变换，得一阶系统的传递函数为(3-7)(3-8)ooiddx tTx tx tt()()()oi1()1XsG sTsX s()()第3章 瞬态响应和稳态响应分析式中，T称为一阶系统的时间常数，它表达了一阶系统本身的、与外界作用无关的固有特性，是一阶系统的特征参数。系统的特征根=1/T。一阶系统的系统方框图如图3-2所示。下面分析一阶系统对单位脉冲函数、单位阶跃函数和单位斜坡函数的响应。应当指出，具有相同传递函数的所有

10、系统，对同一输入信号的响应是相同的。对于任何给定的物理系统，响应的数学表达式具有特定的物理意义。第3章 瞬态响应和稳态响应分析图3-2 一阶系统的系统方框图第3章 瞬态响应和稳态响应分析二、一阶系统的单位脉冲响应二、一阶系统的单位脉冲响应对一阶系统，当输入量为单位脉冲函数(t)时，系统的输出xo(t)称为单位脉冲响应，特别记为w(t)。由于单位脉冲函数(t)的拉氏变换式为Xi(s)=L(t)=1因此系统输出量w(t)的拉氏变换式(3-9)oi()()()()1()1W sXsG s X sG sTs第3章 瞬态响应和稳态响应分析对式(3-9)进行拉氏反变换，于是得一阶系统在单位脉冲函数作用下的

11、单位脉冲响应为即(3-10)(3-11)1111w tW sTsLL 1etTw tTt0 第3章 瞬态响应和稳态响应分析对式(3-11)求导得响应曲线的斜率为特别地，在t=0时刻，。根据式(3-11)可以绘出一阶系统的单位脉冲响应曲线如图3-3所示。由图可见，响应曲线是一条单调下降的指数曲线。时间响应的初始值为1/T，当自变量t趋于无穷时输出量趋近于零，故对应的稳态分量为0。(3-12)21etTw tT t0 210wT 第3章 瞬态响应和稳态响应分析如果将上述指数衰减到初值的2%之前的过程定义为过渡过程，则可计算得到相应的时间为4T，称此时间为过渡过程时间或调整时间，记为ts。由此可见，

12、系统的时间常数T反映了响应过程的快速性，T越小，过渡过程持续的时间越短，快速性也越好。第3章 瞬态响应和稳态响应分析图3-3 一阶系统的单位脉冲响应第3章 瞬态响应和稳态响应分析三、一阶系统的单位阶跃响应三、一阶系统的单位阶跃响应当系统的输入信号为单位阶跃函数1(t)时，系统的输出xo(t)称为单位阶跃响应，特别记为h(t)。单位阶跃函数的拉氏变换等于，将代入式(3-8)，得将Xo(s)展开成部分分式，得(3-13)(3-14)1si1()X ssoi11()()()1 XsG s X sTsso111()1 1TXssTsssT第3章 瞬态响应和稳态响应分析对式(3-14)两边进行拉氏反变换

13、，得单位阶跃响应h(t)为由上式可以看出，输出量h(t)的初始值等于零，而最终将趋于1。常数项“1”是由1/s反变换得到的，由于它在稳态过程中仍起作用，因此称为稳态分量（稳态响应）。式(3-15)中，第二项由1/(s+1/T)经拉氏反变换得到，随着时间t的增加，它将逐渐衰减，最后趋于零，称为瞬态响应。可见，阶跃响应曲线具有非振荡特性，故也称为非周期响应。(3-15)o()1etTh tx t()0t 第3章 瞬态响应和稳态响应分析一阶系统的阶跃响应曲线如图3-4所示。显然，这是一条指数响应曲线，在t=0处，其初始斜率等于1/T，这是因为从图3-4不难看出，一阶系统单位阶跃响应曲线h(t)的斜率

14、是随着时间的推移不断下降的，从t=0时的1/T一直下降到t=时的零值。100d11edtTtthtTT第3章 瞬态响应和稳态响应分析通过计算可得，当t=T时，指数响应曲线将从零上升到稳态值的63.2%；当t=2T时，响应曲线将上升到稳态值的86.5%；当t=3T、4T和5T时，响应曲线分别达到稳态值的95%、98.2%和99.3%。一阶系统阶跃响应性能指标主要是调整时间ts，它表征系统过渡过程进行的快慢。工程上有两种表示法，一种将输出与输入信号误差小于5%看做过渡过程结束；一种将输出与输入信号误差小于2%看做过渡过程结束，即一般取第3章 瞬态响应和稳态响应分析图3-4 一阶系统的阶跃响应曲线第

15、3章 瞬态响应和稳态响应分析ts=3T(s)，=5%或 ts=4T(s)，=2%显然，时间常数T是表征系统响应特性的唯一参数，系统时间常数越小，输出响应上升得越快，同时系统调节时间ts也越小，响应过程的快速性也越好。即时间常数T反应响应速度的快慢，亦即反应系统的惯性，所以又称一阶系统为惯性环节。第3章 瞬态响应和稳态响应分析四、一阶系统的单位斜坡响应四、一阶系统的单位斜坡响应当系统的输入信号为单位斜坡函数时，系统的输出xo(t)称为单位斜坡响应，单位斜坡输入的拉氏变换为代入式(3-8)可得系统输出量的拉氏变换式(3-16)i21()X ssoi211()()()1XsG s X sTss第3章

16、 瞬态响应和稳态响应分析将上式展开成部分分式对式(3-17)进行拉氏反变换，并用符号xot(t)来表示单位斜坡响应，即从式(3-18)可以看出，单位斜坡函数响应的稳态分量为tT。它由两部分组成，第一部分t是信号跟踪项，反映了输出跟踪输入的情况；第二部分T为常数，反映了跟踪误差。系统响应的瞬态分量为，它为一个指数衰减项，当时间t趋于无穷时，系统响应瞬态分量最终衰减到零。(3-17)(3-18)t02o21()1TTXssTss1o()etTtxttTT 1etTT第3章 瞬态响应和稳态响应分析由如图3-5所示的斜坡响应曲线可见，一阶系统的单位斜坡响应在稳态时与输入信号之间是有差的，其差值为从上式

17、可见，当时间t趋于无穷时，系统响应的误差e()趋于常值T。显然这个差值并不是指系统稳态时输出、输入在速度上的差值，而是由于输出滞后一个时间T，使系统存在一个位置上的跟踪误差。当跟踪时间充分长时其值在数量上等于时间常数T，因此，时间常数T越小，则响应越快，跟踪误差越小，输出量相对输入信号的滞后时间也越短。(3-19)11o()()(e)(1e)ttTTte ttxtttTTT 第3章 瞬态响应和稳态响应分析图3-5 一阶系统的单位斜坡响应曲线第3章 瞬态响应和稳态响应分析例例3-1 已知系统方框图如图3-6所示，传递函数为试确定参数K1和K2的取值，使系统的调整时间减小为原来的0.1倍，并且保证

18、原放大倍数不变。10()0.21G ss第3章 瞬态响应和稳态响应分析图3-6 系统方框图第3章 瞬态响应和稳态响应分析解解：原系统时间常数T=0.2，放大倍数K=10，要求反馈后系统的时间常数T=0.20.1=0.02，放大倍数K=K=10。由系统方框图求得系统闭环传递函数为111222210()101 10()0.21()0.21 10111 10BKK G sKKKGsK G ssKT ssK 第3章 瞬态响应和稳态响应分析根据题意，应有联立求解得12210101 100.20.021 10KKKTK 12100.9KK第3章 瞬态响应和稳态响应分析五、线性定常系统的重要特性五、线性定常

19、系统的重要特性上述分析表明，对于单位斜坡输入信号，系统的输出量为对于单位阶跃输入信号，系统的输出量为对于单位脉冲输入信号，系统的输出量为 t0t0t01o()etTtxttTT o()1etTh tx t()1etTw tT第3章 瞬态响应和稳态响应分析比较系统的三种输入信号，可以清楚地看出，单位斜坡信号的导数为单位阶跃信号，而单位阶跃信号的导数为单位脉冲信号。相应地，从输出信号看，单位斜坡响应的导数为单位阶跃响应，而单位阶跃响应的导数为单位脉冲响应。由此，可得出线性定常系统的一个重要性质：系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数。第3章 瞬态响应和稳态响应分析或者说，系统对输

20、入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分，其积分常数由零输出初始条件确定。这是线性定常系统的一个重要特性，不仅适用于一阶线性定常系统，而且适用于任意阶线性定常系统。因此，对线性定常系统而言，讨论了一种典型信号的响应，就可推知其他信号的响应。必须注意，线性时变系统和非线性系统不具备这种特性。第3章 瞬态响应和稳态响应分析3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析可以用二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。例如，RLC网络，弹簧质量阻尼器系统等。此外，许多高阶系统，在一定条件下往往可以简化为二阶系统。因此，二阶系统在控制系统中应用极为广泛，详细研究和分析二阶系统的特性，具有十分重要的意义

21、。第3章 瞬态响应和稳态响应分析一、二阶系统传递函数的标准形式一、二阶系统传递函数的标准形式二阶系统的动力学方程为在零初始条件下，对式(3-20)两端同时求拉氏变换，得二阶系统的传递函数为(3-20)(3-21)2oo22nnoni2d()d()2()()ddx tx tsx tx ttt2on22inn()2XsG sX sss()()第3章 瞬态响应和稳态响应分析可见，二阶系统的响应特性完全可由和n两个参数确定，、n分别称为系统的阻尼比和无阻尼固有频率，是二阶系统重要的特征参数。二阶系统传递函数方框图如图3-7所示。令式(3-21)的分母等于零可以得到二阶系统的特征方程为(3-22)22n

22、n20ss第3章 瞬态响应和稳态响应分析图3-7 二阶系统传递函数方框图及其标准形式第3章 瞬态响应和稳态响应分析其特征根为显然，阻尼比的取值不同，二阶系统的特征根也不同。（1）当01，即阻尼比较大时，如图3-8(c)所示，系统有两个不相等的负实根：s1、s2是位于s平面负实轴上的两个不相等实极点，这时系统时间响应具有单调特征，称为过阻尼状态。21 2nn1s ,第3章 瞬态响应和稳态响应分析（4）当=0时，如图3-8(d)所示，系统有一对纯虚根，即s1,2=jns1、s2是位于s平面虚轴上的一对共轭极点，系统时间响应为等幅振荡，其幅值取决于初始条件，而频率则取决于系统本身的参数。由于此时阻尼

23、比=0，因而称为无阻尼状态。第3章 瞬态响应和稳态响应分析图3-8 二阶系统的特征根(a)01;(d)=0第3章 瞬态响应和稳态响应分析二、二阶系统的单位阶跃响应二、二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的时域分析主要研究二阶系统的阶跃响应，下面根据阻尼比的不同，分几种情况来分析二阶系统的阶跃响应特性。对于单位阶跃信号xi(t)=1(t)，有Xi(s)=1/s。故二阶系统单位阶跃响应的拉氏变换为(3-25)2noi22nn1 2XsG s X ssss()()()第3章 瞬态响应和稳态响应分析1 欠阻尼情况欠阻尼情况（01）当阻尼比01时，二阶系统的特征方程有一对共轭复根，即式中,，称为系统的有阻尼固

24、有频率，因01，故dn。由式(3-25)得21,2nnndj1js 2dn1第3章 瞬态响应和稳态响应分析因为no22nnnn2222nnddnd22222nndd21 21 ()()1 1sXssssssssssss()()()nn1d22ndecoststs()Lnd1d22ndesintts()L第3章 瞬态响应和稳态响应分析所以利用三角公式可将式(3-26)进一步简化为(3-26)(3-27)n1oodd21ecossin1tx tXstt()()L0t n22on2111esin1arctan1tx tt()nd2e1sin1tt()21arctan0t 其中，。第3章 瞬态响应和稳

25、态响应分析由式(3-27)可见，欠阻尼情况下，系统阶跃响应包括稳态分量和瞬态分量两部分，稳态分量值等于1，瞬态分量是一个随着时间t的增长而衰减的振荡过程。振荡角频率为d，其值取决于阻尼比及无阻尼固有频率n。采用nt作为横坐标，这样，时间响应仅仅为阻尼比的函数，如图3-9中01）当1时，二阶系统的特征方程有两个不相等的实数根，即于是21,2n1s ()23n12o12121 aaaXsssssssssss()()()第3章 瞬态响应和稳态响应分析可求得上式的系数故1221211a()2221211a()31a o22221211111 211211Xssssss()()()第3章 瞬态响应和稳态

26、响应分析经拉氏反变换，得(3-32)t012o2222ee1211211s ts tx t()()()21n221ee1()21s ts tss 第3章 瞬态响应和稳态响应分析由式(3-32)可见，1时，二阶系统的阶跃响应由两个衰减的指数项组成，其几何图形如图3-9中1的曲线所示，它是一条单调上升曲，系统响应不会超过稳态值1，即过阻尼二阶系统单位阶跃响应是非振荡的。当较大时，系统的一个特征根靠近虚轴，另一个特征根远离虚轴。远离虚轴的特征根对响应的影响较小，可以忽略不计，这时二阶系统可以近似为一个一阶惯性环节。第3章 瞬态响应和稳态响应分析从响应曲线图3-9可以看出，阻尼比越大，响应的最大峰值越

27、小，振荡越弱，系统平稳性越好。反之,阻尼比越小，响应的最大峰值越大，振荡越强烈，平稳性越差。在临界阻尼或过阻尼的情况下，即当1时，二阶系统的单位阶跃响应是无振荡的单调上升曲线，此时临界阻尼的过渡过程时间ts较短。对于欠阻尼系统，即当0时，二阶系统的单位阶跃响应曲线是衰减的振荡曲线，越小，振荡特性越强，当=0时为等幅振荡。在=0.40.8时，响应曲线振荡不严重，又有较短的过渡过程时间，因此，设计二阶系统时一般将参数选在这个区间。第3章 瞬态响应和稳态响应分析三、二阶系统的瞬态响应性能指标三、二阶系统的瞬态响应性能指标通常情况下，工程实际中往往把二阶系统调整为欠阻尼系统。这是因为此时系统的响应较快

28、，且平稳性也较好。过阻尼和临界阻尼系统虽然平稳性好，但响应的快速性太差，因而控制系统动态性能的好坏可以通过欠阻尼系统阶跃响应的一些特征量来判别。二阶系统瞬态响应性能指标通常有上升时间tr、峰值时间tp、最大超调量Mp、调整时间ts、振荡次数N等几项。各性能指标的几何表示如图3-10所示。第3章 瞬态响应和稳态响应分析图3-10 二阶系统阶跃响应的性能指标第3章 瞬态响应和稳态响应分析1.上升时间上升时间tr单位阶跃响应xo(t)第一次达到稳态值xo()=1所需的时间，定义为上升时间，记为tr，如图3-10所示。对于过阻尼过程来说，一般把从稳态值的10%上升到90%所需的时间定义为上升时间。根据

29、定义，当t=tr时，xo(tr)=1，由式(3-26)可得即n rd rd r21ecossin11tttn rd rd r2ecossin01ttt第3章 瞬态响应和稳态响应分析因为所以则有n re0td rd r2cossin01tt2d r1tant 2rd11arctant第3章 瞬态响应和稳态响应分析令所以 k=1,2,3,因为上升时间tr是xo(t)第一次达到稳态值xo()=1所需的时间，故取k=1，即21arctanrdkt第3章 瞬态响应和稳态响应分析由关系式 及式(3-33)可知，当阻尼比不变时，角不变，如果无阻尼固有频率n增大，则上升时间tr就会缩短，系统响应速度加快，快速

30、性变好；如果n不变，阻尼比减小，则角增大，上升时间tr变短，系统响应的快速性变好。rdt(3-33)2dn1第3章 瞬态响应和稳态响应分析2.峰值时间峰值时间tp单位阶跃响应xo(t)达到第一个峰值所需的时间，定义为峰值时间，记为tp，见图3-10。将式(3-26)对时间求导并令其为零，得将上式整理得pod0dt tx tt()d psin0t第3章 瞬态响应和稳态响应分析则有根据峰值时间的定义，tp是指xo(t)到达第一个峰值所需要的时间，所以应取dtp=。因此峰值时间的计算公式为上式表明，峰值时间等于有阻尼振荡周期的一半，且与有阻尼固有频率d成反比。当阻尼比不变时，若n增大，那么tp就减小

31、；反之,当n不变时，阻尼比增大，tp就增大。(3-34)d p0,2,3,t p2dn1t 第3章 瞬态响应和稳态响应分析3.最大超调量最大超调量Mp响应峰值xo(tp)超出响应终值xo()的百分比定义为最大超调量，即根据定义，最大超调量发生在峰值时间tp，由式(3-34)和式(3-26)，得输出量的最大值xo(tp)为(3-35)(3-36)opopo()()100%()x txMxn popd pd p2()1ecossin1tx ttt 第3章 瞬态响应和稳态响应分析因为响应输出稳态值xo()=1，将式(3-36)代入式(3-35)得由上式可知，最大超调量Mp仅与阻尼比有关，与自然频率n

32、的大小无关。阻尼比越大，超调量越小；反之，阻尼比越小，超调量越大。当=0时，Mp=100%，当=1时，Mp=0。通常对于随动系统，取阻尼比为0.40.8，相应的超调量为25.4%1.5%。(3-37)21pe100%M第3章 瞬态响应和稳态响应分析4.调整时间调整时间ts在过渡过程中，单位阶跃响应xo(t)满足如下不等式成立时所需的时间定义为调整时间或过渡过程时间，记为ts|xo(t)xo()|xo()tts (3-38)式中,为指定的微小量，一般取0.02或0.05。由式(3-38)知，当tts时，系统的输出不会超过下述允许范围：xo(t)xo()xo()tts (3-39)第3章 瞬态响应

33、和稳态响应分析因为xo()=1，故xo(t)1 (3-40)将式(3-27)代入式(3-40)得由于所表示的曲线是式(3-27)所描述的减幅正弦曲线的包络线，因此式(3-41)表明：包络线衰减到区内所需要的时间，即为调整时间ts，即(3-41)(3-42)nd2esin1tt()sttn2e1tn2e1tstt第3章 瞬态响应和稳态响应分析两边取自然对数，整理得 若取=0.02，则得(3-43)(3-44)s2n111lnln1t()s2n114ln1t()第3章 瞬态响应和稳态响应分析若取=0.05，则得当00.7时，很小，可忽略不计，故有：当=0.02时，(3-45)(3-46)21ln1

34、sn44tTs2n113ln1t()第3章 瞬态响应和稳态响应分析当=0.05时，其中,，为包络线的时间常数。式(3-46)和式(3-47)表明，调整时间与n成反比，n数值越大，系统的调整时间越短，过渡过程结束得越快,系统响应的快速性越好。sn3tT3(3-47)n1T第3章 瞬态响应和稳态响应分析5 振荡次数振荡次数N在过渡过程时间0tts内，单位阶跃响应xo(t)穿越其稳态值xo()的次数的一半，定义为振荡次数，记为N。根据定义有式中,Td为有阻尼自振频率的周期。当=0.05，00.7时，有(3-48)ssdd2ttNT2n2n311.521N第3章 瞬态响应和稳态响应分析当=0.02，0

35、0.7时，有综上所述，从各动态性能指标的计算公式及有关说明可以看出，各指标之间往往是有矛盾的。如上升时间和超调量，要求上升时间小，必定使超调量加大，反之亦然。当阻尼比一定时，如果允许加大n，则可以减小所有时间指标(tr、tp和ts)的数值，同时超调量可保持不变。因此，在实际系统中，往往需要综合考虑各方面的因素，并根据系统的实际要求，作出合适的参数选择。(3-49)2n2n41221N第3章 瞬态响应和稳态响应分析例例3-2 二阶系统如图3-11所示，其中=0.6，n=5rad/s。当有一单位阶跃信号作用于系统时，试计算动态响应性能指标tr、tp、ts、Mp、N。第3章 瞬态响应和稳态响应分析图

36、3-11 二阶系统方框图第3章 瞬态响应和稳态响应分析解解：首先求系统的有阻尼固有频率及相位角。（1）根据公式(3-33)求上升时间tr。22dn15 10.64 rad/s210.8arctanarctan0.93 rad0.6rd0.930.55 s4t第3章 瞬态响应和稳态响应分析（2）根据公式(3-34)求峰值时间tp。（3）根据公式(3-46)、(3-47)求调整时间ts。当=0.02时当=0.05时pd0.785 s4tsn441.33 s3tsn331 s3t第3章 瞬态响应和稳态响应分析（4）根据公式(3-37)求最大超调量Mp。（5）由公式(3-48)、(3-49)求振荡次数

37、N。当=0.02时当=0.05时20.610.8pe100%e100%9.5%M22 120.80.83.140.6N21.5 11.50.80.63.140.6N第3章 瞬态响应和稳态响应分析例例3-3 设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应如图3-12所示，试确定系统的闭环传递函数。第3章 瞬态响应和稳态响应分析图3-12 二阶系统的单位阶跃响应第3章 瞬态响应和稳态响应分析解解：由图3-12得出系统的最大超调量为峰值时间为tp=1 s根据公式(3-37)，有p1.3 1100%30%0.31M21e0.3第3章 瞬态响应和稳态响应分析由上式解得=0.357。又根据峰值时间的计算公式(3-34

38、)得所以2n11n23.360.110.357第3章 瞬态响应和稳态响应分析于是，二阶系统的闭环传递函数为2n22nn2G sss()2223.3620.3573.363.36ss211.32.411.3ss第3章 瞬态响应和稳态响应分析例例3-4 二阶系统的结构图及单位阶跃响应分别如图3-13(a)、(b)所示。已知，试确定系统参数K1、K2及a的值。2()KG ss sa()第3章 瞬态响应和稳态响应分析图3-13 系统方框图及其单位阶跃响应第3章 瞬态响应和稳态响应分析解解：根据系统方框图可得系统的闭环传递函数为由上式得根据单位阶跃响应曲线图3-13(b)知，系统的稳态响应为w()=2o

39、12B2i2()()()XsK KGsX ssasK22nn2Ka，第3章 瞬态响应和稳态响应分析又因为所以得K1=2。由图3-13(b)，有Bi012121220022()lim()lim()()1 limlimtsssww tsGs X sK KK KsKsasK ssasK pp0.752.182100%9%2tM第3章 瞬态响应和稳态响应分析所以联立求解得故因此系统参数K1、K2、a的值分别为K1=2、K2=27.85、a=6.42。22n/10.751e100%9%n0.6085.278225.27827.8520.6085.2786.42Ka第3章 瞬态响应和稳态响应分析3.4 用

40、用MATLAB进行瞬态响应分析进行瞬态响应分析对于控制系统的时域分析，可以借助计算机仿真软件实现。在这一节中，我们将介绍用MATLAB进行瞬态响应分析的计算方法。本节将介绍利用MATLAB求解二阶系统阶跃响应、脉冲响应、斜坡响应等的响应问题。第3章 瞬态响应和稳态响应分析一、标准二阶系统单位阶跃响应的一、标准二阶系统单位阶跃响应的MATLAB求解求解如前所述，二阶系统传递函数的标准形式为当给定n和后，就可以利用MATLAB求得系统的单位阶跃响应了。在MATLAB中，setp(gs)函数将给出系统单位阶跃响应，其格式为 y，x，t=setp(gs)y，x，t=setp(num，den，t)2n2

41、2nn()2G sss第3章 瞬态响应和稳态响应分析当setp(gs)函数左端不含有变量时，将自动绘出响应曲线。当setp(gs)函数左端含有变量时，矩阵y和x分别包含系统在计算时间点t求出的输出响应，但不会自动绘出响应曲线。t为用户输入的指定时间，也可以不指定。要查看系统的响应曲线，可以用plot()函数。例如取n=5、=0.4，系统的传递函数为225()425G sss第3章 瞬态响应和稳态响应分析利用MATLAB求系统单位阶跃响应的程序如下，图3-14为所得的系统单位阶跃响应的曲线图。%定义传递函数num=0 0 25;%输入分子多项式den=1 4 25;%输入分母多项式gs=tf(n

42、um,den)%求得系统传递函数%求单位阶跃响应并作图step(gs)%求单位阶跃响应grid第3章 瞬态响应和稳态响应分析如果不希望程序自动绘制响应曲线，则可以用以下这段程序，最后用plot()函数显示响应曲线。%求单位阶跃响应并作图y,x,t=step(gs)%求单位阶跃响应%向量y包含响应输出plot(y)%绘制响应曲线grid第3章 瞬态响应和稳态响应分析图3-14 用MATLAB求解二阶系统的单位阶跃响应第3章 瞬态响应和稳态响应分析二、用二、用MATLAB作单位阶跃响应曲线的三维图作单位阶跃响应曲线的三维图利用MATLAB不但可以作出系统的二维曲线，还可以方便地作出系统响应的三维曲

43、线。例如如下所示的二阶系统，要求作出阻尼=0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,2.0时的三维曲线。相应的MATLAB程序如下：225()1025G sss第3章 瞬态响应和稳态响应分析clear allt=0：0.05：2;zeta=0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 2;for n=1：7 num=0 0 25;den=1 10*zeta(n)25;gs=tf(num,den);y(1：41,n),x,t1=step(gs,t);end 第3章 瞬态响应和稳态响应分析plot(t,y)grid text(0.5,1.8,zeta=0)text(0.5,1.4,0.2)text

44、(0.5,1.15,0.4)text(0.5,1.0,0.6)text(0.6,0.9,0.8)text(0.6,0.7,1.0)text(0.6,0.5,2.0)第3章 瞬态响应和稳态响应分析mesh(t,zeta,y)title(三维曲线图)xlabel(t/Sec)ylabel(zeta)zlabel(Response)text(0.5,1.8,zeta=0)text(0.5,1.4,0.2)text(0.5,1.15,0.4)text(0.5,1.0,0.6)第3章 瞬态响应和稳态响应分析text(0.6,0.9,0.8)text(0.6,0.7,1.0)text(0.6,0.5,2.

45、0)mesh(t,zeta,y)title(三维曲线图)xlabel(t/Sec)ylabel(zeta)zlabel(Response)第3章 瞬态响应和稳态响应分析图3-15和图3-16分别是不同阻尼比下二阶系统单位阶跃响应和三维曲线。第3章 瞬态响应和稳态响应分析图3-15 不同阻尼比下二阶系统的单位阶跃响应第3章 瞬态响应和稳态响应分析图3-16 二阶系统单位阶跃响应的三维曲线第3章 瞬态响应和稳态响应分析三、用三、用MATLAB求上升时间、峰值时间、求上升时间、峰值时间、最大超调量和调整时间最大超调量和调整时间利用MATLAB也可以方便地求得系统瞬态响应的性能指标，下面以一个具体的例

46、子加以说明。设某系统的传递函数为试求该系统的上升时间、峰值时间、最大超调量和调整时间。相应的MATLAB程序如下：225()625G sss第3章 瞬态响应和稳态响应分析num=0 0 25;den=1 6 25;t=0：0.001：5;y,x,t=step(num,den,t);r=1;while y(r)0.98&y(s)1.02;s=s-1;end;Ts=(s1)*0.001该程序的运行结果为Tr=0.5540第3章 瞬态响应和稳态响应分析Tp=0.7850Mp=0.0948Ts=1.1880所以，给定系统的上升时间tr=0.554，峰值时间tp=0.785，调整时间ts=1.188，最

47、大超调量Mp=9.48%。第3章 瞬态响应和稳态响应分析四、用四、用MATLAB求单位脉冲响应、单位斜坡响应求单位脉冲响应、单位斜坡响应及任意输入信号的响应及任意输入信号的响应利用MATLAB求解单位脉冲响应的函数为impulse(gs)impulse(num，den)y，x，t=impulse(num，den)y，x，t=impulse(num，den，t)第3章 瞬态响应和稳态响应分析其中，gs为系统的传递函数；num为传递函数分子多项式的系数行向量；den为传递函数分母多项式的系数行向量；矩阵y和x分别包含系统在计算时间点t求出的输出响应及状态响应。如果impulse附加有左端变量，则在

48、计算后不绘出屏幕图形，否则impulse不附加有左端变量时，将在屏幕上绘出响应曲线。在MATLAB中没有专门求解系统斜坡响应的函数，但可以利用单位阶跃响应函数间接求出斜坡响应。下面以一个例子加以说明。第3章 瞬态响应和稳态响应分析试求如下所示二阶系统的单位脉冲响应及单位斜坡响应：对于单位脉冲响应，可以直接利用impulse函数求解。对于单位斜坡响应,可以作如下变通。因为单位斜坡响应可以写为21()1G sssoi2221111()()()1(1)XsG s X ssssssss第3章 瞬态响应和稳态响应分析所以对G(s)求单位斜坡响应就相当于对G(s)/s求单位阶跃响应，相应的MATLAB程序

49、为num=0 0 1;%输入分子多项式den=1 1 1;%输入分母多项式gs=tf(num,den)%生成传递函数impulse(gs,t)%计算并生成单位脉冲响应曲线grid 第3章 瞬态响应和稳态响应分析t=0：0.1：5;num=0 0 0 1;%输入分子多项式den=1 1 1 0;%输入分母多项式gs=tf(num,den)%生成传递函数y=step(gs,t);%计算单位脉冲响应plot(t,y,*,t,t);%生成单位脉冲响应曲线grid图3-17和图3-18为相应的计算结果。第3章 瞬态响应和稳态响应分析图3-17 二阶系统的单位脉冲响应第3章 瞬态响应和稳态响应分析图3-1

50、8 二阶系统的单位斜坡响应第3章 瞬态响应和稳态响应分析对任意输入信号的响应，可以运用MATLABR函数lsim()，其格式为lsim(num，den，r，t)lsim(gs，r，t)y=Lsim(num，den，r，t)y=Lsim(gs，r，t)上述函数将产生对输入时间函数r和t的响应。第3章 瞬态响应和稳态响应分析3.5 稳态误差与偏差稳态误差与偏差通过分析系统响应的组成，我们知道控制系统在输入信号作用下，其输出信号包含瞬态分量和稳态分量两个部分。瞬态分量反映控制系统的动态性能。系统的瞬态响应性能由前述瞬态响应性能指标描述。对于稳定的系统，瞬态分量随着时间的推移最终将趋于零。稳态分量反映