高等数学精选习题集.pdf

1、- 1 - 第一部分第一部分高等数学高等数学 一、选择题一、选择题 1.1.设() 1 ( )| 2 f xxx=+， 2 ,0, ( ) ,0, x x g x xx = 则( ) (A) 2, 0, ( ) 0,0. xx f g x x = (B) 2, 0, ( ) ,0. xx g f x x x = (C) 2 0,0, ( ) ,0. x f g x xx = (D) 2 ,0, ( ) ,0. x x g f x xx 且() 1 22 lim x xxx aa a b +-= ,则,a b=( ) (A) 1 2, 2 (B) 1 ,2 2 (C)2,1(D)1,2 10.1

2、0.设 2 ( )( ) x a x F xf t dt xa = - ,其中( )f x为连续函数,则lim( ) xa F x 等于( ) (A) 2 a(B) 2 ( )a f a(C) 0(D) 不存在 11.11.当0 x时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量( ) (A) 2 x(B)1 cosx-(C) 2 11x-(D)tanxx- 12.12.设函数( ) ( ) 1 cos 2 0 sin x f xtdt - =,( ) 56 56 xx g x =+,则当0 x时,( )f x是( )g x的( ) (A) 低阶无穷小(B) 高阶无穷小 (C) 等价

3、无穷小(D) 同阶但不等价的无穷小 13.13.设( ), ( )f x g x在 0 x不连续,则( ) (A)( )( )f xg x+在 0 x不连续,( )( )f xg x在 0 x连续 (B)( )( )f xg x+和( )( )f xg x在 0 x都不连续 (C)( )( )f xg x+在 0 x连续,( )( )f xg x在 0 x不连续 (D)( )( )f xg x+和( )( )f xg x在 0 x的连续性不确定 - 3 - 14.14.设( ) () 2 cos,0, ,0, x xx f x ax - = = 在0 x =连续,则a =( ) (A) 0 (

4、B) 1 (C) 1 2 e - (D) 1 2 e 1515. .设( )f x在(,)- +内有定义,且axf x = )(lim, 1 ( ),0, ( ) 0,0, fx g xx x = = 则() (A)0 x =必是( )g x的第一类间断点 (B)0 x =必是( )g x的第二类间断点 (C)0 x =必是( )g x的连续点(D)( )g x在0 x =处的连续性与a的取值有关 16.16.设( )( ) ( )F xg xxj=,( )xj在xa=处连续但不可导,又( )g a存在,则( )0g a =是( )F x 在xa=处可导的( ) (A) 充要条件(B) 必要非

5、充分条件 (C) 充分非必要条件(D) 非充分非必要条件 17.17.设( )f x处处可导,则( ) (A) 当lim( ) x fx + = +时,必有lim( ) x f x + = + (B) 当lim( ) x f x + = +时,必有lim( ) x fx + = + (C) 当lim( ) x fx - = -时,必有lim( ) x f x - = - (D) 当lim( ) x f x - = -时,必有lim( ) x fx - = - 18.18.设下列极限存在,且( )f x为连续函数,则(6) f =( ) (A) 2 (4)(22) lim 2 x f xfx x

6、 +-+ - (B) 1 lim6(6) n n ff n +- (C) 1 lim6(6) x x ff x +- (D) 2 0 (6)(6) lim 2(1 cos ) x f xf x +- - 19.19.设函数 1 ( )sin,0, ( ) 0,0, g xx f xx x = = 且(0)(0)0g g =,则( )f x在点0 x =处( ) - 4 - (A) 连续但不可导(B) 可导但(0)0 f (C) 极限存在但不连续(D) 可微且 0 ( )0 x df x = = 20.20.设( )min sin ,cosf xxx=,则( )f x在区间0,2 p上有( )个

7、不可导点. (A) 1(B) 2 (C) 3(D) 0 21.21.设( ) () ( ) 3 2 2 0 11 ln 1sin,0, 0,0, 1 sin, x xx xx f xx tdtx x + 0, 则( )f x在0 x =处( ) (A) 极限不存在(B) 极限存在,但不连续 (C) 连续,但不可导(D) 可导 22.22.函数( ) () 23 2f xxxxx=-有( )个不可导点. (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 23.23.若函数( )yf x=在 0 x处的导数不为零且不为1,则当0 xD 时,该函数在 0 xx=处的微 分dy是( ) (A) 与xD等

8、价无穷小(B) 与xD同阶无穷小 (C) 与xD低阶无穷小(D) 与xD高阶无穷小 24.24.设( )f x为周期函数,周期10T =,且(8)3 f =,则 0 lim (52)( 2) k k fkf = - () (A) 1 15 (B) 1 15 -(C)15(D) 3 5 25.25.以下四个命题中,正确的是( ) (A) 若)(x f 在(0,1)内连续,则( )f x在(0,1)内有界 (B) 若)(xf在(0,1)内连续,则( )f x在(0,1)内有界 (C) 若)(x f 在(0,1)内有界,则( )f x在(0,1)内有界 (D) 若)(xf在(0,1)内有界,则)(x

9、 f 在(0,1)内有界 26.26.设函数( )f x在(),- +存在二阶导数,且( )()f xfx= -,当0 x时有( )0,fx则当0 x 时,有( ) (A)( )0,( )0fxfx(B)( )0,( )0fxfx(D)( )0,( )0fxfx则必定存在一个正数d,使得( ) (A) 曲线( )yf x=在 00 (,)xxdd-+是凹的 (B) 曲线( )yf x=在 00 (,)xxdd-+是凸的 (C) 曲线( )yf x=在 00 (,xxd-单调减少,在 00 ,)x xd+单调增加 (D) 曲线( )yf x=在 00 (,xxd-单调增加,在 00 ,)x xd

10、+单调减少 32.32.设函数( )f x连续,且(0)0 f ,则存在0d,使得( ) - 6 - (A)( )f x在(0, )d内单调增加(B)( )f x在(,0)d-内单调减少 (C) 对任意的(0, )xd有( )(0)f xf(D) 对任意的(,0)xd -,有( )(0)f xf 33.33.已知( )f x在0 x =的某个邻域内连续，且( )00f=， ( ) 2 0 lim2 1 x x f x e = - ,则在0 x =处 ( )f x( ) (A) 不可导(B) 可导但( )00 f (C) 取得极小值(D) 取得极大值 34.34.设( )f x有二阶连续导数,且

11、 0 ( ) (0)0,lim1, x fx f x =则( ) (A)( )f x有极大值 (B)(0)f是( )f x的极小值 (C)(0,(0)f是曲线( )yf x=的拐点 (D)(0)f不是( )f x的极值,点(0,(0)f也不是曲线的拐点 35.35.设函数( )yf x=是微分方程2+40yyy-=的一个解且( ) 0 0f x,( ) 0 0fx=,则( )f x在 点 0 x处( ) (A) 有极大值(B) 有极小值 (C) 在某邻域内单调增加(D) 在某邻域内单调减少 36.36.设 44 12 00 tan , tan xx Idx Idx xx pp = ，则( )

12、(A) 12 1II(B) 12 1II(C) 21 1II(D) 21 1II 37.37.设函数( )f x在(,)- +上连续，则( ) (A) 函数 2 0 ( )() x tf tft dt+- 必是奇函数 (B) 函数 2 0 ( )() x tf tft dt- 必是奇函数 (C) 函数 3 0 ( ) x f tdt 必是奇函数 - 7 - (D) 函数 3 0 ( ) x f t dt 必是奇函数 38.38. 2 2 0 sin x x dx 为( ) (A) 等于0(B) 大于0(C) 小于0(D) 不能确定 39.39.设 1 ( )( ) x g xf u du -

13、=，其中 2 1 ,10, 1 cos( ) ,02, x x xf x xex - - += 则( )g x在( 1,2)-内( ) (A) 无界(B) 递减(C) 不连续(D) 连续 40.40.设 2 0 ,01, ( )( )( )(0,2), 2,12, xxx f xF xf t dt x xx = - 则( ) (A) 3 2 ,01, 3 ( ) 1 2, 12. 32 x x F x x xx = +- (B) 3 2 ,01, 3 ( ) 7 2,12. 62 x x F x x xx = - +- (C) 3 32 ,01, 3 ( ) 2,12. 32 x x F x

14、xx xx = +- (D) 3 2 ,01, 3 ( ) 2,12. 2 x x F x x xx = -令 1 ( ), b a Sf x dx= 2 ( )(),Sf b ba=- 3 1 ( )( )(), 2 Sf af bba=+-则( ) (A) 123 SSS(B) 213 SSS (C) 312 SSS(D) 231 SSS 48.48.设( ), ( )f x g x在区间 , a b上连续， 且( )( )g xf xm=， 则( )f x() (A) 在 0 x点取得极大值(B) 在 0 x点的某邻域内单调增加 (C) 在 0 x点取得极小值(D) 在 0 x点的某邻域

15、内单调减少 - 11 - 6262. .设( )yy x=是二阶常系数微分方程 3x ypyqye+=满足初始条件( )( )00y y =0=的 特解，则当0 x时，函数 () ( ) 2 ln 1x y x + 的极限( ) (A) 不存在(B) 等于1(C) 等于2(D) 等于3 6363 . .微分方程 ( ) 2 2yyy=的通解为( ) (A)() 2 yxc=-(B)() 2 1 1ycx=- (C)() 2 1 ycxc=+-(D)() 2 12 ycxc=- 6464 . .方程 1 34 tt yy - -= -的一般解是( ) (A)32 t t yC=+(B)3 2 t

16、 t y = (C)()32 t t yC= -(D)32 t t yC=- 6565. .已知 ln x y x =是微分方程 yx y xy j = + 的解，则 x y j 的表达式为() (A) 2 2 y x - (B) 2 2 y x (C) 2 2 x y - (D) 2 2 x y 6666 . .已知| | 2,|2ab=,且2a b=,则|ab=( ) (A) 2(B) 22(C) 2 2 (D) 1 6767 . .设直线 1 158 : 121 xyz L -+ = - ， 2 60 : 230 xy L yz -= +-= ，则直线 12 ,L L的夹角为( ) (A

17、) 6 p (B) 4 p (C) 3 p (D) 2 p 6868 . .两直线 1 3 : 234 xyz L + =与 2 1 :2 22 xt Lyt zt = + = - + =+ 的关系是( ) (A) 互相垂直(B) 斜交(C) 互相平行(D) 异面直线 - 12 - 6969 . .设 111 222 333 abc abc abc 满秩，则两直线 333 1 121212 :, xaybzc L aabbcc - = - 1 2 23 : xa L aa - = - 1 23 yb bb - - 1 23 zc cc - = - 是( ) (A) 交于一点(B) 重合(C)

18、平行不重合(D) 异面 70.70.已知 42 ( , )sinf x yxy=+，则() (A)(0,0),(0,0) xy ff都存在 (B)(0,0) x f 不存在，(0,0) y f 存在 (C)(0,0) x f 存在，(0,0) y f 不存在 (D)(0,0),(0,0) xy ff都不存在 71.71.设k为常数，则极限 2 24 0 0 sin lim x y xky xy + ( ) (A) 等于零(B) 等于 1 2 (C) 不存在(D) 存在与否与k取值无关 72.72.设, )0 , 0(),(, 0 )0 , 0(),(, ),( 22 2 = + = yx yx

19、 yx yx yxf则),(yxf在)0 , 0(点( ) (A) 不连续(B) 连续但偏导数不存在 (C) 偏导数存在但不可微(D) 可微 73.73.二元函数),(yxf在点(0，0)处可微的一个充分条件是( ) (A)0)0 , 0(),(lim )0 , 0(),( =- fyxf yx . (B)0 )0 , 0()0 ,( lim 0 = - x fxf x ，且0 )0 , 0(), 0( lim 0 = - y fyf y . (C)0 )0 , 0(),( lim 22 )0, 0(),( = + - yx fyxf yx . - 13 - (D) 0 lim( ,0)(0,

20、0)0 xx x fxf -=，且 0 lim(0, )(0,0)0 yy y fyf -=. 74.74.设ln(tantantan ),uxyz=+则sin2sin2sin2 uuu xyz xyz += ( ) (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 2 75.75.已知dyyxxbydxxyaxy)3sin1 ()cos( 2223 +-是某一函数的全微分,则ba,取值分 别为( ) (A) -2 和 2 (B) 2 和-2 (C) -3 和 3 (D) 3 和-3 76.76.设可微函数),(yxf在点),( 00 yx处取极小值,则下列结论正确的是( ) (A),( 0 y

21、xf在 0 y处导数大于零 (B),( 0 yxf在 0 y处导数等于零 (C),( 0 yxf在 0 y处导数小于零 (D),( 0 yxf在 0 y处导数不存在 77.77.设),(yxfz =在点)0 , 0(处连续,且1 )sin( ),( lim 22 0 0 -= + yx yxf y x ,则( ) (A)(0,0) x f不存在 (B)(0,0) x f存在但不为零 (C),(yxf在点(0,0)处取极小值 (D),(yxf在点(0,0)处取极大值 78.78.已知函数),(yxf在点(0,0)的某个邻域内连续,且1 )( ),( lim 222 0 0 = + - yx xy

22、yxf y x ,则( ) (A) 点(0,0)不是),(yxf的极值点 (B) 点(0,0)是),(yxf的极大值点 (C) 点(0,0)是),(yxf的极小值点 (D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否取得极值 - 14 - 79.79.设函数( , )f x y在点 00 (,)xy处取得极小值，则( ) (A) 0000 (,)0,(,)0 xxx fxyfxy= (B) 0000 (,)0,(,)0 xxx fxyfxy= (C) 0000 (,)0,(,)0 yyy fxyfxy= (D) 0 ( ,)f x y在 0 x处取极小值 80.80.设,d)(,d|2,d)( 1|

23、 22 3 1| 2 1 22 1 22 + + +=+= yxyx yx yxIxyIyxIsss则( ) (A) 321 III(B) 132 III (D) 213 III(D) 321 III,则曲线积分 22 (1) d C xys+= ( ) (A) 2 3 Rp (B) 3 2 R R p p+(C) 2 4 Rp (D) 2 2 3 Rp 9090 . .若空间曲线C 为 =+ =+ 0 2222 zyx Rzyx ,则曲线积分 2d C xs = ( ) (A) 3 3 Rp (B) 3 2 Rp (C) 3 4 Rp (D) 3 2 3 Rp 9191 . .设C 为椭圆x

24、yx84 22 =+沿逆时针方向,则曲线积分 2 2 ()d()d y C exxyy+= ( ) (A)2p(B)3p(C)5p(D)0 9292 . .已知 1 (1)n n n ax = - 在3x =处收敛，则该幂级数在 1 2 x = -处( ) (A) 条件收敛(B) 绝对收敛(C) 发散(D) 敛散性不能确定 9393 . .设a 为常数，则级数 2 1 sin()1 () n n nn a = - ( ) - 16 - (A) 条件收敛(B) 绝对收敛(C) 发散(D) 敛散性与a取值有关 9494 . .设级数2 1 n n a = 和 2 1 n n b = 都收敛，则级数

25、 1 nn n a b = ( ) (A) 条件收敛(B) 绝对收敛(C) 发散(D) 敛散性不能确定 9595 . .已知 1 () nn n ab = + 收敛，则级数 1 n n a = 与 1 n n b = ( ) (A) 必同时收敛(B) 必同时发散(C) 敛散性不同(D) 同敛散 9696 . .设级数 =1n n u收敛,则必收敛的级数为( ) (A) = - 1 ) 1( n nn n u (B) =1 2 n n u(C) = - - 1 212 )( n nn uu(D) = + + 1 1) ( n nn uu. 9797 . .若级数 1 n n a = 与 1 n

26、n b = 都发散，则( ) (A) 1 () nn n ab = + (B) 1 nn n a b = 发散 (C) 1 () nn n ab = + 发散(D) 22 1 () nn n ab = + 发散 9898 . .下列命题成立的是( ) (A) 若lim0, n n n a b =则 1 n n a = 和 1 n n b = 中至少有一个收敛 (B) 若lim1, nn n a b =则 1 n n a = 和 1 n n b = 中至少有一个发散 (C) 若lim0, n n n a b =则 1 n n b = 收敛时 1 n n a = 收敛 (D) 若lim, n n

27、n a b = 则 1 n n a = 发散时 1 n n b = 发散 9999 . .已知级数 1 ( 1)2 n n n a = -= ，级数 21 1 5, n n a - = = 则级数 1 n n a = = ( ) - 17 - (A) 3 (B) 7 (C) 12(D) 9 100100 . .设 0 n u,), 2 , 1( =n且1lim= n n u n ,则级数 = + - +- 1 1 1 ) 11 () 1( n nn n uu ( ) (A) 发散(B) 绝对收敛(C) 条件收敛(D) 敛散性不定. 101101 . .设常数 0k,则级数 = + - 1 2

28、) 1( n n n nk ( ) (A) 发散(B) 绝对收敛 (C) 条件收敛(D) 敛散与发散与k取值有关 102102 . .设常数 0l，且级数 =1 2 n n a收敛，则级数 =+ - 1 2 | ) 1( n nn n a l ( ) (A) 发散(B) 条件收敛(C) 绝对收敛(D) 敛散性与l有关 103103 . .设 n an 1 0 - = , 1|, 1 , 1|, 1 )( x x xf + - = , 1|),|( 2 1 , 1|, 1 )( 2 xxx xx xg则 ( )f g x= 2.2.已知( )sinf xx=，( ) 2 1fxx ,j= - 则

29、( )xj=的定义域为. 3.3.设( ) 23 ax f x x = + ,且 ( )f f xx=,则a =. 4.4.极限lim(3) n nnnn +-=. 5.5.设( )(0,1) x f xa aa=,则 2 1 limln (1)(2)( ) n fff n n =. 6.6.极限 1 lncos(1) lim 1 sin 2 x x xp - = - . 7.7.极限 0 11 lim 1 x x x ex - + -= - . - 18 - 8.8.若 0 sin lim(cos)5 x x x xb ea -= - ,则a =,b=. 9.9.当0 x时, 1 2 3 (

30、1)1ax+-与cos1x-是等价无穷小,则a=. 10.10.设函数 2 1, ( ) 2 , xxc f x xc x + = 在(,)- +内连续,则c =. 11.11.常数a =和b=,使 11, 0, ( ),01, 1 arctan,1, 1 ax x x f xaxbx x x - - 在它的定义区间上连续. 12.12.设( )f x在0 x =可导,且 ( ) 0 cos1 lim1 21 f x x x - = - ,则( )0 f =. 13.13.已知( ) 2 32 32 x yf, fxarcsinx , x - = + 则 0 x dy dx = =. 14.1

31、4.设方程 2 cos xy eyx+=确定y为x的函数,则 dy dx =_. 1515 . .设 ( ) () 3 , 1 , t xf t yf e p=- =- 其中f可导,且( )00 f ,则 0t dy dx = =. 16.16.设 ( ) (ln ) f x yfx e=,其中( )f x可微,则dy =. 17.17.设 2 sin 0 1 ( )limsin cos t x x f tt x = ,则 0 ( ) t f t = =. 18.18.设( )lim x x xt f tt xt + = - ,则( )ft=. 19.19.设函数( )f x二阶可导,则 2

32、0 ()()2 ( ) lim 3 h f xhf xhf x h +- =. 20.20. 设 2 1 ln 1 x y x - = + ,则 0 x y = =. 21.21.设 1 n x y x = - ,则 ( )n y=. - 19 - 2222. .设cos x yex=,则 ( )n y=. 2323 . .设商品的需求函数为 1005QP=-,其中,Q P分别表示为需求量和价格,如果商品需求 弹性的绝对值大于 1,则商品价格的取值范围是_. 2424 . .某商品的需求量Q 与价格p的函数关系为 b Qap=,其中a与b为常数,且0a ,则需 求量对价格p的弹性是. 25.2

33、5.设曲线( ) n f xx=在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(,0) n x,则lim() n n fx =. 26.26.设函数( )f x在4x =处连续,且 1 (5)4 lim4 1 x fx x - = - - ,则曲线( )yf x=在点(4,(4)f 处的切线方程是. 27.27.曲线 2 ln(1)yxx=+与直线1xy+=垂直的切线方程为. 28.28.设函数( )yf x=由方程() 2 cos1 x y exye + -=-所确定,则曲线( )yf x=在点()0,1处 的法线方程为. 2929 . . 曲线 2 3 1xt yt = + = 在2t =处的切线方

34、程为. 30.30.曲线() 1 ln0yxex x =+ 的斜渐近线方程为. 31.31.设( )arcsinxf x dxxC=+ ,则 ( ) dx f x = . 32.32.求 2 1 1 t t e dt e - - =. 33.33.求 2 2 22xx dx x x -+ =. 34.34. ()21 dx xx = - . 35.35. (1) 1 x x dx xx + = + . - 20 - 36.36. 2 2 22 xx dx x - + = + . 37.37. 2 2 3min 2,x dx - = . 38.38. () () 1 2222 1 ln111xx

35、xxxdx - +-= . 39.39.( ) 2 1 ,0, 12 1 ,0, 4 x x f x x x + = + 则() 5 1 1f xdx - -= . 40.40. 35 0 sinsinxxdx p -= . 41.41. 2 0 2 cos x d xt dt dx =. 42.42. 22 4 dx x x + = - . 43.43.由抛物线 2 43yxx= -+-与它在点()0, 3A-与点()3,0B的切线所围成的区域的面积 是. 44.44.曲线()sin0yxxp=与x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为. 45.45.微分方程0 xyy + =满足初始条件(

36、 )12y=的特解为. 46.46.微分方程( ) 332 30 xydxxy dy+-=的通解为. 47.47.设连续函数( )f x满足( ) 2 0 2 x x t f xfdte =+ ，则( )f x =. 48.48.微分方程tancosyyxx + =的通解为. 49.49.微分方程ln y xyy x = 的通解为. 5050 . .微分方程( )234xyy +=的通解为. 51.51.设 22 12 3,3 x yxyxe-=+=+是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解， 且相应的齐次 方程有一个解 3 yx=，则该方程通解为. - 21 - 52.52.设35 x yyay

37、e-+= -的特解形式为 x Axe-，则其通解为. 53.53.设( )f x连续，且( ) ( ) 0 x f t f xedt - =，则( )f x =. 5454 . .差分方程 1 2t tt yyt + -=的通解为. 5555 . .若 13,19,24abab=+=，则ab-=. 5656 . .已知 cba r r r ,都是单位向量，且0=+cba r r r ，则a bb cc a+ + =. 5757 . .一平面经过点 () 1 2,1,3M及点() 2 3,4, 1M-，且与平面3660 xyz-+-=垂直，则该 平面方程为. 5858 . .点 ()3, 4,4

38、M-到直线 452 221 xyz- = - 的距离为. 59.59.求 22 22 0 0 11 lim x y x y xy +- = + . . 6060. .求 2 24 0 0 sin() lim x y xyxy xy = + . . 61.61.设ln(),zxy=+则 zz xy xy += . . 62.62.设 22 1 32 ),( yxxy yx yxf + + =,则(0,0) x f =，(0,0) y f =. 63.63.设 2 ( , , ) x f x y zey z=+，其中( , )zz x y=是由方程0 xyzxyz+=所确定的隐函数， 则(0,1,

39、 1) x f -=. . 64.64.设( , )f u v是二元可微函数， 2 (,), yx zf xy=则 z x = . . 65.65.设 2 0 ( , ) xy t f x yedt - =,求 222 22 2 xffyf yxx yxy -+= . . 66.66. 设()0,=-xzzyyxF， 其 中F具 有 连 续 偏 导 数 ， 且. 0 32 -FF则 - 22 - zz xy += . . 6 67 .曲面 2 2 2 x zy=+平行于平面220 xyz+-=的切平面方程为. 6868 . .函数 ( , )arctan x f x y y =在点(0,1)处

40、的梯度等于_ _. 6969 . .设n是曲面 222 236xyz+=在点(1,1,1)P处的指向外侧的法向量，求函数 22 68xy u z + =在点P处的沿方向n的方向导数为. 70.70.计算 2 (|)d x D xyes+= ，其中D由曲线1|=+ yx所围成. 71.71.设区域D为 222 Ryx+,则 22 22 ()d D xy ab s+= . 72.72.计算 22 1()d D xyf xys+= ，其中D是由1, 1, 3 -=xyxy围成的区 域,)(uf为连续函数. 73.73.计算 sin d D y y s= ，其中D由xy =和xy =围成. 74.74

41、.计算二重积分 66 0 cos y x dydx x pp = . 75.75.计算() xy D eedxdy - -= ，其中 222 DxyR=+. 76.76.计算 22 2 1 (2 ) xy xy ds + += . 77.77.计算 2 11 30 1 x xy dxdy y = + . 78.78.计算 22 22 00 aax dxxy dy - += . 7979 . .计算 22 111 lim ()() nnn n ijk k ni njn = = + . - 23 - 8080 . .计算2 () dmxlynzV W += ,其中.: 2222 azyx+W 81

42、81 . .设S 为球面 222 2(0),xyzax a+=则面积分 222 ()xyzdS S += . 8282 . .设曲线C 为圆 222 xyR+=，则线积分 22 () C xyxy ds+= . 8383 . .设C 为1xy+=的正向，则 C xdyydx xy - = + . 8484 . .设S 为球面 222 2(0)xyzRz R+=的外侧，则xzdydzxydzdxyzdxdy S += . 8585 . .向量场 kjiu)1ln(),( 22 zxyexyzyx z +=在点)0 , 1 , 1 (P处的散度div =u. 8686 . .设 L为椭圆 2 2

43、(1)1, 4 x y+-=全长为l，则 2222 ( sin47 ) L xxyxyy ds+-= . 8787 . .设G 为球面 2222 xyzR+=与平面0 xyz+=的交线，则 2 ()zy ds G += . 8888 . .设曲面 : 1,xyz+=计算()xy dS += . 8989 . .已知曲线 L的方程为1(1,1 ),yx x= - -起点是(-1,0)，终点是(1,0)，则曲线积分 2 L xydxx dy+= . 9090 . .设 222, :(0) 1, xya a z += G = ，则曲线积分 222 ()xyz ds G += . 9191 . .幂级

44、数 1 3( 2) (1) nn n n x n = + - + 的收敛域为. 9292 . .幂级数 2 1 (1) 4 n n n x n = - 的收敛半径为. 9393 . .已知幂级数 1 n n n a x = 的收敛半径为 2，则幂级数 1 (1)n n n nax = + 的收敛区间 为. 9494 . .已知幂级数 1 n n n a x = 在1x =处条件收敛，则幂级数 1 (1)n n n ax = - 的收敛半径 - 24 - 为. 9595 . .已知幂级数 1 (1)n n n ax = - 在2x =处收敛，在0 x =处发散，则幂级数 1 (1)n n n a

45、x = - 的 收敛域为. 9696 . .设 1 1,lim2011, n n aa =则级数 1 1 () nn n aa + = - 的和为. 9797 . .级数 1 1 1 ( 1) 2 n n n n - + = - 的和为. 9898 . .级数 1 2 ! n n n = 的和为. 9999 . .写出函数 ( ) ,0, 0,0, 1,0, xx f xx x pp p +- = 在,pp-+上以2p为周期的傅里叶级数的和 函数. 100100 . .设 ( ) 2 f xx=，01x. 4.4.求极限 () 22 2 0 1 lim1 x tx x tedt x - + .

46、 5.5.设30 1 = - 问a为何值时( ) 0 lim x f x 存在. 8.8.求极限 2 2 4 0 cos lim x x xe x - . 9.9.试确定常数a的值,使 2 1 0 ln 1 lim ln 1 x x x e a x e + + + 存在(其中 x表示不超过x的最大整数), 并求出此极限. 10.10.已知 22 2 0 ln(1 2) lim5 x axbxxx I x +-+ =,试求, .a b 11.11.设 2 2 (4) ,0, sin ( ) (1) ,0. 1 x x x x f x x x x x p - = + - 求( )f x的间断点,并

47、判断其类型. 12.12.设 212 2 ( )lim 1 n n n xaxbx f x x - + = + 为连续函数,试确定a和b的值. 13.13.设函数( )f x在区间0,1上连续,在()0,1内可导,且( ) 1 10,1 2 ff = = .试证：存在 1 ,1 2 h ,使( )fhh=. 14.14.设函数)(xf在 1 , 0连续,且) 1 ()0(ff=求证:) 1, 0($x使)() 4 1 (xxff=+. 15.15.设 () () 1 2 2 23 1 arctan x xxe y xx +- = - ,求曲线渐近线. - 26 - 16.16.设( )f x在0 x =处可导, 且(0)1 f =,求极限 2 0 ln(1) lim 1 cos x fx x + - . 17.17.证明：方程0 xpqcosx+=恰有一个实根,其中p,q为常数,且01q为常数),且lim2 ( )( )1. x f xfx + +=证明： (I) 2 lim( ). x x ef