例谈三角函数的典型题型与求解方法.pdf

1、公众号：草木叶影数学谈公众号：草木叶影数学谈 第 1 页 共 4 页 例谈“三角函数”的典型题型与求解方法 【微信公众号【微信公众号“草木叶影数学谈草木叶影数学谈”整理整理】 题型(一)求三角函数的值域 1.形如形如sincosyaxbx的三角函数化为的三角函数化为 sin()yAx的形式求值域（最值）的形式求值域（最值） 例例 1.1、 （2017 全国全国 2 卷文卷文 13）函数 ( )2cossinf xxx 的最大值为 解解:( )2cossinsin2cos5sin5f xxxxxx，故 f x的最大值为 5 例例 1.2、函数 _ 2 02cos 2 3 2sin 2 33 上的

2、值域，在区间 xxxf 解解: 6 2sin3 2 1 2cos 2 3 2sin3 xxxxf , 3 2 3 , 3sin3 2 3 , 1sin 2 1 6 5 66 5 6 2 62 0 ,sin3, 6 2 xftt txx tyxfxt ， 则令 3 ,3 2 f x 的值域是 2.形如形如 22 sinsincoscosyaxbxcyaxbxc或的三角函数，可先设的三角函数，可先设 sincosxtxt或转化为关于转化为关于t的二次函数求值域的二次函数求值域（最值）（最值） 例例 2.1、 （2019 全国全国 1 卷文卷文 15）函数 3 ( )sin(2)3cos 2 f x

3、xx的最小值为_ 解解: 2 3 ( )sin(2) 3cossin(2) 3coscos23cos2cos3cos1 22 f xxxxxxxxx 设 cos1,1tx ，则 2 231f xyg ttt ，开口向下，对称轴为 3 4 t ， g t所以在 3 1, 4 单调递增，在 3 ,1 4 单调递减， 12,14gg ， 故 min 4g t ，所以函数 f x的最小值为4 公众号：草木叶影数学谈公众号：草木叶影数学谈 第 2 页 共 4 页 例例 2.2、 （2017 全国全国 2 卷理卷理 14）函数 2 3 sin3cos 4 f xxx（0, 2 x ）的最大值是 解解: 2

4、 22 313 1cos3coscos3coscos1 442 fxxxxxx 由 0, 2 x 可得： cos0,1x ，当 3 cos 2 x 时，函数 f x取得最大值 1 3.形如形如sincosxx和和sin cosxx的关系转化为二次函数求值域（最值）的关系转化为二次函数求值域（最值） 例例 3、函数 , 0cossincossinxxxxxy 的值域是 解解: 2 1 cossin,cossin21cossin,cossin 2 2 t xxxxxxxxt 设 2 1 2 1 2 1 2 2 tt t tyxf 4 sin2 2 2 cos 2 2 sin2cossin xxxx

5、xt 21, 2 4 sin21, 4 3 , 44 , 0 txxx ， 12, 1 2 1 2 1 2 tttty，对称轴是直线， ;212; 1111ytytyt，当，；当时，当 11 maxmin yy，所以函数的值域是1,1 4.利用导数求最值（值域）利用导数求最值（值域） 例例 4、 （2018 全国全国 1 卷理卷理 16）已知函数 2sinsin2f xxx，则 fx的最小值是_ 解解: ( )2sinsin2f xxx ， ( )f x 最小正周期为2T， 2 ( )2(coscos2 )2(2coscos1)fxxxxx，令( )0fx ，即 2 2coscos10 xx

6、， 1 cos 2 x 或cos1x . 当 1 cos 2 x 时， 3 x 或 5 3 x；当cos1,x x 53 ()3 32 f ， 3 ()3 32 f ，( )0f，(0)(2 )0ff f x最小值为 3 3 2 公众号：草木叶影数学谈公众号：草木叶影数学谈 第 3 页 共 4 页 题型(二)求的取值范围 例例、已知0，函数 4 sin xxf 在 , 2 内单调递减，则的取值范围是（ ） 20. 2 1 0. 4 3 , 2 1 . 4 5 , 2 1 .，DCBA 解法 1：先确定出已知函数的单调区间， 再利用已知的单调区间为函数的单调区间的子集 的关系求解. 解解法法 1

7、:1: 5 +2+2 3 44 +2+2 242 kk kxkx 由 5 +2+2 44 , 2 kk kZ 则， +2 4 15 2 42 524 +2 4 k kkkZ k 15 0 24 kA当， 选时 解法 2：把( )x 看作一个整体代入 y=sin x 的相应单调区间内即可,注意要把化为正数. 解解法法 2:2: ,+ 22444 xx 由得， 3 +2,+2 24422 kkkZ 由题意得， +2 15 242 42 324 +2 42 k kZkkkZ k 所以，所以 15 0 24 kA当， 选时 公众号：草木叶影数学谈公众号：草木叶影数学谈 第 4 页 共 4 页 题型(三

8、)求函数sin()yAxb的解析式 （1）0:bA由函数的最值确定 ，由函数的周期性确定 ，把图象上的一个 已知点代入求 例例 1、函数 = sin()0,| 2 y Ax 的部分图像如图所示，则函数的解析式是_ 解解：由图知2A, 632 T ,所以T，所以 2 2 T 所以xy2sin2，又图象过 2 , 3 ， 所以 3 2sin22得 1 3 2 sin ， 272 , 2263632 ，从而 6 , 所以函数的解析式是 2sin(2) 6 yx （2）0:= +=+bA bA bAb由函数的最大值，最小值确定 和 ，由函数的周期性 确定 ，把图象上的一个已知点代入求 例例 2、函数( )sin() 6 f xAxb （0,0A）的最大值为 3，最小值为1， 其图像相邻 两条对称轴之间距离为 2 .求函数( )f x的解析式 解解：依题意得 3 1 A b A b ，所以 2 1 A b 又函数图像相邻两条对称轴之间的距离为 2 ，得 22 T ，T 2 2 T ， 2sin(2) 1 6 f xx