专题2 相等关系与不等关系计数原理（解析版）.doc

1、获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 1 专题专题 2 相等关系与不等关系，计数原理相等关系与不等关系，计数原理 1.高考试题不等式的考查有两类，一是涉及不等式的性质、不等式的解法、绝对值不等式；二是基本不等式 及其应用等，一般不独立命题，而是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数 列等综合考查. 2.排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合 题 3.前几年，二项展开式定理的问题是高考命题热点之一.关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下 几个方面命题： （1）考查二项

2、展开式的通项公式 1 rn rr rn TC ab ； （可以考查某一项，也可考查某一项的系 数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和； （3）二项式定理的应用. 预测预测 2021 年独立考查的内容将是不等式的性质或基本不等式的应用问题，不等式的解法将与集合、函数等年独立考查的内容将是不等式的性质或基本不等式的应用问题，不等式的解法将与集合、函数等 其它知识点综合考查其它知识点综合考查. 由于文科不学习计数原理这部分内容，由于文科不学习计数原理这部分内容，2020 年可能通过简单古典概率问题考查，如果单独通过客观题考查年可能通过简单古典概率问题考查，如果单独通过客观题考查 计数原理、二

3、项式定理的应用等，难度也会降低些计数原理、二项式定理的应用等，难度也会降低些.有可能在主观题中考查这部分能内容的有可能在主观题中考查这部分能内容的“工具性工具性”. 第一部分第一部分 相等关系与不等关系相等关系与不等关系 一、单选题一、单选题 1 （2020 届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知正数m，n满足18m nn，则2mn的最小值 是（ ）. A18 B16 C8 D10 【答案】A 【解析】 解：正数m，n满足 (1)8m nn ， 81 1 mn 811616 221010218 nmn m mnmn mnmnmn ， 当且仅当 16nm mn ，即12m，3n时取等号， 2mn

4、的最小值为 18 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 2 故选：A 2 （2020 2020 届山东省淄博市高三二模）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测 甲：我的成绩比乙高 乙：丙的成绩比我和甲的都高 丙：我的成绩比乙高 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A甲、乙、丙 B乙、甲、丙 C丙、乙、甲 D甲、丙、乙 【答案】A 【解析】 若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故 3 人成绩由高到低依次为甲，乙， 丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若

5、丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高， 乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选 A 3 （2020 2020 届山东省淄博市高三二模）已知曲线 1 1(0 x yaa 且 1)a 过定点, k b，若m nb 且0,0mn，则 41 mn 的最小值为（ ）. A 9 2 B9 C5 D 5 2 【答案】A 【解析】 定点为(1,2), 1,2kb ， 2mn 411 41 ()() 2 mn mnmn 149 (5+) 22 mn nm 当且仅当 4mn nm 时等号成立， 即 42 , 33 mn时取得最小值 9 2 . 故选：A 4 （2020 届山东省潍

6、坊市高三下学期开学考试） 几何原本卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问 题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 3 实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB， 设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A (0,0) 2 ab ab ab B 22 2(0,0)abab ab C 2 (0,0) ab ab ab ab D 22 (0,0) 22 abab ab 【答案】D 【解析】 令,

7、ACa BCb， 可 得 圆O的 半 径 2 ab r ， 又 22 abab OCOBBCb ， 则 2 222 222 () 442 ababab FCOCOF ，再根据题图知FOFC，即 22 22 abab 故 本题答案选 5 （2020 届山东省高考模拟）甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们 被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁 说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【答案】B 【解析】 若甲阅读了语文老师推荐的文章，

8、则甲、乙、丙、丁说的都不对，不满足题意； 若乙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙说的都不对，丙、丁都正确；满足题意； 若丙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙说的都对，丁说的不对，不满足题意； 若丁阅读了语文老师推荐的文章，则甲说的对，乙、丙、丁说的都不对，不满足题意； 故选 B 6 （2020 2020 届山东省烟台市高三模拟）函数 2 2xf xa x 的一个零点在区间1,2内，则实数 a 的 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 4 取值范围是（ ） A1,3 B1,2 C0,3 D0,2 【答案】C 【解析】 由题,显然函数 2 2xf

9、 xa x 在区间1,2内连续,因为 f x的一个零点在区间1,2内,所以 120ff,即224 10aa ,解得03a, 故选:C 7 （2020 届山东省六地市部分学校高三 3 月线考）甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具 体名次未知3 人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名若甲、 乙、丙 3 人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 A甲 B乙 C丙 D无法预测 【答案】A 【解析】 若甲的预测正确，乙、丙的预测错误，则丙是第一名，甲不是第三名，则甲是第二名，乙是第三名，矛盾！ 若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，则乙是第三名，甲的

10、预测错误，那么甲是第三名，矛盾！ 若丙的预测正确，则甲、乙的预测错误，则甲是第三名，乙不是第三名，丙是第一名，则乙是第二名。 因此，第三名是甲，故选：A。 8 （2020 山东高三模拟） 对于函数 ( )f x， 若 12 ,x x满足 1212 f xf xf xx， 则称 12 ,x x为函数( )f x 的一对“线性对称点”若实数a与b和a b与c为函数( )3xf x 的两对“线性对称点”，则c的最大值为 （ ） A 3 log 4 B 3 log 41 C 4 3 D 3 log 4 1 【答案】D 【解析】 依题意知，a与b为函数( )3xf x 的“线性对称点”， 所以3 332

11、 332 3 a bababa b ， 故34 a b （当且仅当ab时取等号）. 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 5 又a b与c为函数( )3xf x 的“线性对称点， 所以333 bca b ca ， 所以 314 31 31313 a b c a ba b ， 从而c的最大值为 3 log 4 1. 故选:D. 9 （2020 届山东省济宁市高三 3 月月考）已知实数, a b满足0ab，则 2 aa abab 的最大值为( ) A2 2 B2 2 C3 2 2 D3 2 2 【答案】C 【解析】 由题意， 22 22 2 2232

12、 aabaab aaab ababababaabb 2 20ab 22 2 220aabb 22 22 2abab 22 3232 2aabbabab 22 32aabb的最小值是32 2abab 0ab 当 22 3232 2aabbabab ，即 = 2ab时， 22 32 ab aabb 的值最大 22 32 ab aabb 的最大值是： 1 32 2 32 232 2 ab abab 2 aa abab 的最大值为3 2 2 . 故选：C 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 6 10 （2020 届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）设0

13、a，0b，lg2是lg4a与lg2b的等差中项， 则 21 ab 的最小值为（ ） A2 2 B3 C4 D9 【答案】D 【解析】 lg 2是lg4a与lg2b的等差中项， 2lg2lg4lg2 ab ， 即 2 lg2lg42lg2 aba b ， 21a b 所以 212122 ()(2)552 49 ba ab ababab 当且仅当 22ba ab 即 1 3 ab时取等号， 21 ab 的最小值为 9 11（2020 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测） 如图， 在 ABC中， 3 BAC ， 2ADDB ，P为CD 上一点，且满足 1 2 APmACAB，若ABC的面积为2 3，

14、则AP的最小值为( ) A 2 B 4 3 C3 D 3 【答案】D 【解析】 APACCPACkCDACk ADAC 2 3 ACkABAC 21 1 32 k ABk ACmACAB，得到 21 1, 32 k km，所以 1 4 m ， 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 7 结合ABC的面积为2 3，得到 13 2 3 22 ACAB ,得到 8ACAB， 所以 222 2 111116 13 164816 APACABACABAC AC ，故选 D 12 （2020 届山东省淄博市部分学校高三 3 月检测） 已知函数 e0 ( ) l

15、n0 x x f x xx ， ， ( )( )g xf xxa 若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是 A1，0） B0，+） C1，+） D1，+） 【答案】C 【解析】 分析：首先根据 g（x）存在 2 个零点，得到方程( )0f xxa有两个解，将其转化为( )f xxa 有 两个解，即直线y xa 与曲线( )yf x有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数 ( )f x的图 像（将(0) x ex 去掉） ，再画出直线y x ，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a 时，满足 yxa 与曲线( )yf x有两个交点，从而求得结果. 详解：画出函数 ( )f x的图

16、像， x ye在 y 轴右侧的去掉， 再画出直线y x ，之后上下移动， 可以发现当直线过点 A 时，直线与函数图像有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程( )f xxa 有两个解， 也就是函数( )g x有两个零点， 此时满足1a ，即1a，故选 C. 13 （2020 山东曲阜一中高三 3 月月考）已知实数, a b满足0ab，则 2 aa abab 的最大值为( ) 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 8 A2 2 B2 2 C3 2 2 D3 2 2 【答案】C 【解析】 由题意， 22 22

17、 2 2232 aabaab aaab ababababaabb 2 20ab 22 2 220aabb 22 22 2abab 22 3232 2aabbabab 22 32aabb的最小值是32 2abab 0ab 当 22 3232 2aabbabab ，即 = 2ab时， 22 32 ab aabb 的值最大 22 32 ab aabb 的最大值是： 1 32 2 32 232 2 ab abab 2 aa abab 的最大值为3 2 2 . 故选：C 二二、填空题、填空题 14 （2020 届山东省淄博市部分学校高三 3 月检测）已知,Ra b，且360ab，则 1 2 8 a b

18、的最小值 为_. 【答案】 1 4 【解析】 由360ab可知36ab， 且： 3 1 222 8 aab b ，因为对于任意x，2 0 x 恒成立， 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 9 结合均值不等式的结论可得： 336 1 2222222 4 abab . 当且仅当 3 22 36 ab ab ，即 3 1 a b 时等号成立. 综上可得 1 2 8 a b 的最小值为 1 4 . 15 （2020 届山东省潍坊市高三下学期开学考试）甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生 考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，

19、甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说： 甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 _. 【答案】乙 【解析】 假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是甲， 则甲和丙说的都是假话，乙说的是真话，不满足题意； 假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙， 则甲和丙说的都是真话，乙说的是假话，满足题意； 假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是丙， 则甲、乙、丙说的都是假话，不满足题意。 故申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙。 故答案为：乙 16 （2020 届山东省高考模拟）已知函数 2 2 , , x xa f x xxa ，若1a ，则不等式

20、 2f x 的解集为 _，若存在实数b，使函数 g xf xb有两个零点，则a的取值范围是_ 【答案】(,2 (, 2 )( 4 ,) 【解析】 由题意得： 2 2 , , x xa f x xxa ，当 a=1 时， 2 2 ,1 ,1 x x f x xx ， 可得：（1） 当1x时， 2f x ， 可得1x；（2） 当1x 时， 2f x ， 可得 2x ， 综合可得 2f x 的解集为(,2； 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 10 由 2 2 , , x xa f x xxa ， g xf xb只有一个零点时， 2 2xx ，可得2

21、=4xx 或，当2a时，此时 2 2 ,2 ,2 x x f x xx ， g xf xb只有一个零点，当2a时，有两个零点，同理，当4a时，此时 2 2 ,4 ,4 x x f x xx ， g xf xb只有一个零点，当4a 时，有两个零点， 故可得a的取值范围是(,2)(4,) 第二部分第二部分 计数原理计数原理 一、单选题一、单选题 1 （2020 届山东省菏泽一中高三 2 月月考）在二项式 5 2 1 x x 的展开式中，含 4 x的项的系数是（ ） A10 B5 C10 D5 【答案】C 【解析】 对于 2 510 3 155 1 ()()( 1) rrrrrr r TCxC x

22、x ， 对于 103r4， r2， 则 x4的项的系数是 C52（1）210 故选C 2 （2020 届山东省淄博市部分学校高三 3 月检测）二项式1 n xnN的展开式中 2 x项的系数为15， 则n（ ） A4 B5 C6 D7 【答案】C 【解析】 二项式1 n x的展开式的通项是 1 Cr r rnx ，令2r =得 2 x的系数是 2 Cn，因为 2 x的系数为15，所以 2 C15 n ，即，解得：6n或5n，因为n ，所以6n，故选 C 3 （2020 届山东省潍坊市高三模拟二）2013 年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式孪 获取 资料请加 QQ 群 527147

23、87，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 11 生素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 p，使得 p+2 是素数，素数对(p，p+2)称为孪生素数在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪 生素数的概率是 A 1 15 B 2 15 C 2 45 D 4 45 【答案】D 【解析】 不超过 30 的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共 10 个， 根据素数对(p，p+2)称为孪生素数， 则由不超过 30 的素数组成的孪生素数对为(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)， 共有

24、 4 组，能够组成孪生素数的概率为 2 10 44 45 P C ， 故选 D 4（2020 届山东省六地市部分学校高三 3 月线考） 若 2 2 n x x 的展开式中只有第六项的二项式系数最大， 则展开式中的常数项是（ ） A210 B180 C160 D175 【答案】B 【解析】 解： 2 2 n x x 展开式中只有第六项的二项式系数最大， 展开式中共有 11 项，n10； 展开式的通项公式为 5 5 10 2 11010 2 2 ()()( 1)2 r rrrrrr r TCxCx x 令 5 50 2 r ，得2r =，常数项是 22 2 110 2180TC ，故选 B 二、多

25、选题二、多选题 5 （2020 届山东省烟台市高三模拟）已知 2 1 () (0) n axa x 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项数系数相等， 且展开式的各项系数之和为 1024，则下列说法正确的是（ ） A展开式中奇数项的二项式系数和为 256 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 12 B展开式中第 6 项的系数最大 C展开式中存在常数项 D展开式中含 15 x项的系数为 45 【答案】BCD 【解析】 由二项式的展开式中第 5 项与第 7 项的二项数系数相等可知10n, 又展开式的各项系数之和为 1024,即当1x 时, 10 11

26、024a,所以1a , 所以二项式为 10 10 1 22 2 1 xxx x , 则二项式系数和为 10 21024 ,则奇数项的二项式系数和为 1 1024512 2 ,故 A 错误； 由10n可知展开式共有 11 项,中间项的二项式系数最大,即第 6 项的二项式系数最大, 因为 2 x与 1 2 x 的系数均为 1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第 6 项的系数最大,故 B 正确； 若展开式中存在常数项,由通项 1 2 10 2 110 r rr r TC xx 可得 1 2 100 2 rr,解得8r ,故 C 正确； 由通项 1 2 10 2 110 r rr r TC

27、 xx 可得 1 2 1015 2 rr,解得2r =,所以系数为 2 10 45C,故 D 正确, 故选: BCD 三、填空题三、填空题 6 （2020 届山东省济宁市高三 3 月月考） 5 1 11x x 的展开式中，x的系数为_. 【答案】-5 【解析】 要求x的系数，则 5 1x 展开式中 2 x项与 1 x 相乘，x项与-1 相乘， 所以展开式中 2 x项为 4 12 5 5Cxx与 1 x 相乘得到5x， 展开式中x项为 2 3 5 10Cxx，与-1 相乘得到10 x， 所以x的系数为10 55 7 （2020 届山东省淄博市部分学校高三 3 月检测）从2位女生，4位男生中选3人

28、参加科技比赛，且至少 有1位女生入选，则不同的选法共有_种 （用数字填写答案） 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 13 【答案】16 【解析】 根据题意，没有女生入选有 3 4 4C种选法，从6名学生中任意选3人有 3 6 20C 种选法， 故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416种，故答案是16. 8 （2020 届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）在 3 1 2 n x x 的展开式中，只有第五项的二项式系数最 大，则展开式中的常数项是 【答案】7 【解析】本题考查二项式定理的知识，利用二项式的通项来解题.根据题意可得8n， 8

29、88 3 188 3 1 ( )()( 1)2 2 r r rrrrrr r x TCCx x ，令 4 806 3 rr-=，可得常数项为 7. 9 （2020 山东高三模拟） 6 1 (2)x x 的展开式中常数项是_. 【答案】-160 【解析】 常数项为 333 46 1 (2 ) ()160TCx x . 9 （2020 2020 届山东省淄博市高三二模）在 1 n x x 的展开式中，各项系数之和为64，则展开式中的 常数项为_. 【答案】15 【解析】 1 n x x 的展开式各项系数和为264 n ，得6n， 所以， 6 1 x x 的展开式通项为 6 3 6 2 166 1

30、r r r rr r TCxCx x ， 令 63 0 2 r ，得2r =，因此，展开式中的常数项为 2 6 15C . 故答案为：15. 10 （2020 山东滕州市第一中学高三 3 月模拟）设 aZ，且 0a13，若 512012a 能被 13 整除，则 a _ 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 14 【答案】12 【解析】 由于 512012+a（521）2012+a 12320112012 02012120112201032009201112012 201220122012201220122012 525215215215211CC

31、CCCC a， 除最后两项外，其余各项都有 13 的倍数 52， 故由题意可得 2012 2012 2012 1C a 能被 13 整除，再由 0a13，可得 a12， 故答案为 12 11 （2020 届山东省潍坊市高三模拟一）在的展开式中常数项等于_ 【答案】9 【解析】 二项式的展开式的通项为， 中的常数项为 故答案为 9 12 （2020 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测） 已知 23 (2)(1)xax的展开式的所有项系数之和为 27， 则实数a_，展开式中含 2 x的项的系数是_. 【答案】2 23； 【解析】 已知 3 2 21xax的展开式的所有项系数之和为 27,将 x=1

32、 代入表达式得到 3 1272.aa 展开式中含 2 x的项的系数是 2 13 33 22123.CxC 故答案为：(1). 2；(2). 23. 13 （2020 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）“中国梦”的英文翻译为“ChinaDream”，其中China又 可以简写为CN，从“CNDream中取 6 个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合（顺序不变）的不同 排列共有_种. 【答案】600 【解析】 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 15 根据题意，分 2 步进行分析：先从其他 5 个字母中任取 4 个，有 4 5 C5（种）选法

33、，再将“ea”看成一个整 体，与选出的 4 个字母全排列，有 5 5 A120（种）情况，则不同的排列有5 120600（种）. 故答案为：600 14 （2020 届山东省潍坊市高三模拟二）(1+ax2)(x3)5的展开式中 x7系数为 2，则 a 的值为_. 【答案】2 【解析】 (1+ax2)(x3)5（1+ax2） （x515x4+90 x3270 x2+405x243）的展开式中 x7系数为 a2， 则 a 的值为 2， 故答案为：2. 15 （2020 届山东济宁市兖州区高三网络模拟考） 6 1 2x x 的展开式中， 3 x项的系数是_ 【答案】240 【解析】 由题意得： 6 16 1 (2 )() rrr r TCx x ，只需 3 63 2 r，可得2r =， 代回原式可得 3 3 240Tx， 故答案：240. 16 （2020 山东高三下学期开学） 38 1 (2)x x 展开式中常数项为_. 【答案】112 【解析】 由题意，二项展开式的通项为 3 883(8) 188 1 (2)()2( 1) rrrrrrrr r TCxCx x ， 令3(8)0rr，解得6r ，所以常数项为 68 66 782 ( 1)112TC