专题9 立体几何与空间向量(解析版).doc
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1、获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 1 专题专题 9 立体几何与空间向量立体几何与空间向量 从近几年的高考试题来看,所考的主要内容是: (1)有关线面位置关系的组合判断,试题通常以选择题的形式出现,主要是考查空间线线、线面、面面位置关系 的判定与性质; (2)有关线线、 线面和面面的平行与垂直的证明,试题以解答题中的第一问为主,常以多面体为载体,突出考查学 生的空间想象能力及推理论证能力; (3)线线角、线面角和二面角是高考的热点,选择题、填空题皆有,解答题中第二问必考,一般为中档题,在全卷 的位置相对稳定,主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和
2、转化与化归的应用能力. 预测预测 2021 年将保持稳定, 一大二小年将保持稳定, 一大二小.其中客观题考查面积体积问题、 点线面位置关系 (各种角的关系或计算)其中客观题考查面积体积问题、 点线面位置关系 (各种角的关系或计算) 等;主观题以常见几何体为载体,考查平行或垂直关系的证明、线面角或二面角三角函数值的计算等等;主观题以常见几何体为载体,考查平行或垂直关系的证明、线面角或二面角三角函数值的计算等. 一、单选题一、单选题 1 (2020 山东高三下学期开学)设, ,m n l为三条不同的直线, , a为两个不同的平面,则下面结论正确的 是( ) A若 ,/ /mn ,则/mn B若/
3、/ ,/ / ,mnmn,则 C若, ,mn ,则mn D/ / ,/ / ,mnlm ln,则l 【答案】C 【解析】 A 选项中, ,m n可能异面;B 选项中,, 也可能平行或相交;D 选项中,只有 ,m n相交才可推出l .C 选项可以理解为两个相互垂直的平面,它们的法向量相互垂直. 故选:C 2(2020 届山东省潍坊市高三模拟二) 已知三棱锥D ABC的所有顶点都在球O的球面上,2ABBC, 2 2AC ,若三棱锥DABC体积的最大值为 2,则球O的表面积为( ) A8 B9 C 25 3 D 121 9 【答案】D 【解析】 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关
4、注公众号:高中数学优质讲义库. 2 分析:根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径,从而得出外接球的表面积 详解:因为2,2 2ABBCAC,所以ABBC, 过AC的中点M作平面ABC的垂下MN,则球心O在MN上, 设OMh,球的半径为R,则棱锥的高的最大值为Rh, 因为 11 2 2 ()2 32 D ABC VRh ,所以3Rh, 由勾股定理得 22 (3)2RR,解得 11 6 R , 所以球的表面积为 121121 4 369 S ,故选 D 3 (2020 山东高三下学期开学)在四面体ABCD中,且ABAC,ACCD,AB,CD所成的角为 30 ,5AB,4AC ,3CD,则四面体A
5、BCD的体积为( ) A8 B6 C7 D5 【答案】D 【解析】 由题意,如图所示,ABAC,ACCD,过点A作CD的平行线AE,则AC 平面ABE,且EAB 为 30 或 150 , 从B点向AE作垂线,垂足为E, 易证BE 平面ACD. 则点B到平面ACD的距离 15 sin5 22 BEABEAB , 1 6 2 ACD SAC CD 则, 则四面体ABCD的体积为 1 5 3 ACD VSBE . 故选:D. 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 3 4(2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测) 已知四棱锥M ABCD,MA 平面A
6、BCD,ABBC, 180BCDBAD,2MA ,2 6BC ,30ABM.若四面体MACD的四个顶点都在同一 个球面上,则该球的表面积为( ) A20 B22 C40 D44 【答案】C 【解析】 因为180BCDBAD,所以A,B,C,D四点共圆,90ADCABC. 由 2 tan30 AB ,得 2 3AB ,所以 22 2 32 66AC . 设AC的中点为E,MC的中点为O,因为MA 平面ABCD,所以OE 平面ABCD. 易知点O为四面体MACD外接球的球心,所以 22 62 10 22 OC , 2 =4=40SOC 球 . 故选 C 5 (2020 届山东省烟台市高三模拟) 九
7、章算术中记载,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱,阳马指底 面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,在堑堵 111 ABCABC中,ACBC, 1 2AA ,当阳马 11 BACC A体积的最大值为 4 3 时,堑堵 111 ABCABC的外接球的体积为( ) 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 4 A 4 3 B 8 2 3 C 32 3 D 64 2 3 【答案】B 【解析】 由题意易得BC平面 11 ACC A, 所以 1 1 222 1 1211 3333 B ACC A VBC AC AABC ACBCACAB , 当且仅当ACBC时
8、等号成立, 又阳马 11 BACC A体积的最大值为 4 3 , 所以2AB , 所以堑堵 111 ABCABC的外接球的半径 22 1 2 22 AAAB R , 所以外接球的体积 3 48 2 33 Vr , 故选:B 6 (2020 届山东省淄博市部分学校高三 3 月检测)已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上, PA=PB=PC,ABC 是边长为 2 的正三角形,E,F 分别是 PA,AB 的中点,CEF=90 ,则球 O 的体积为 A8 6 B4 6 C2 6 D6 【答案】D 【解析】 解法一:,PAPBPCABC 为边长为 2 的等边三角形,PABC为正三棱锥, P
9、BAC,又E,F分别为PA、AB中点, /EFPB,EFAC,又EFCE, ,CEACCEF平面PAC,PB 平面PAC, 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 5 2APBPAPBPC ,PABC为正方体一部分,22226R ,即 3 6446 6 ,6 2338 RVR,故选 D 解法二: 设2PAPBPCx,,E F分别为,PA AB中点, /EFPB,且 1 2 EFPBx,ABC为边长为 2 的等边三角形, 3CF 又90CEF 2 1 3, 2 CExAEPAx AEC中余弦定理 22 43 cos 2 2 xx EAC x ,作PD
10、AC于D,PAPC, DQ为AC中点, 1 cos 2 AD EAC PAx , 22 431 42 xx xx , 22 12 212 22 xxx ,2PAPBPC,又=2AB BC AC, ,PA PB PC 两两 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 6 垂直,22226R , 6 2 R, 3 446 6 6 338 VR,故选 D. 7 (2020 届山东省潍坊市高三模拟一)在边长为2的等边三角形ABC中,点D E,分别是边ACAB,上的 点,满足/DE BC且 AD AC (0 1),,将ADE沿直线DE折到A DE的位置. 在翻折
11、过程中,下列 结论成立的是( ) A在边AE上存在点F,使得在翻折过程中,满足 /BF平面ACD B存在 1 0 2 ,,使得在翻折过程中的某个位置,满足平面ABC平面BCDE C若 1 2 ,当二面角A DEB 为直二面角时, 10 4 A B D在翻折过程中,四棱锥ABCDE 体积的最大值记为 ( )f,( )f的最大值为 2 3 9 【答案】D 【解析】 对于 A,假设存在FAE,使得/BF平面ACD , 如图 1 所示, 因为BF 平面ABE ,平面A BE平面ACDAA,故/BF AA, 但在平面ABE 内,,BF A A 是相交的, 故假设错误,即不存在FAE,使得/BF平面ACD
12、 ,故 A 错误. 对于 B,如图 2, 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 7 取,BC DE的中点分别为, I H,连接,IH A I A H AI , 因为ABC为等边三角形,故AIBC, 因为/DE BC,故60 ,60 ,A DEA DEACBA EDAEDABC 所以,A DEADE 均为等边三角形,故A HDE,AHDE, 因为/DE BC,AIBC,AIBC,故,A H I共线, 所以IHDE,因为A HIHH,故DE 平面A HI, 而DE 平面CBED,故平面A HI平面CBED, 若某个位置,满足平面ABC平面BCDE,则
13、 A 在平面BCDE的射影在IH上,也在BC上,故 A 在 平面BCDE的射影为H,所以AHIH, 此时 1 +2 ADAHA H ACAIA H IH ,这与 1 0 2 ,矛盾,故 B 错误. 对于 C,如图 3(仍取,BC DE的中点分别为, I H,连接,IH A H A B BH ) 因为,A HDE IHBC ,所以A HI为二面角ADEI 的平面角, 因为二面角ADEB 为直二面角,故90AHI,所以A HAH, 而IHDEH,故A H平面CBED,因BH 平面CBED,故A HBH. 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 8 因为
14、 1 2 ,所以 13 22 A HIHAI . 在Rt IHB中, 37 1 42 BH , 在Rt AHB中, 3710 442 AB,故 C 错. 对于 D,如图 4(仍取,BC DE的中点分别为, I H,连接,IH A H A B A C ) , 作 A 在底面CBED上的射影O,则O在IH上. 因为,/ AD BC DE AC ,所以 3 A H 且 2 DE ,所以 3AH 其2DE. 又 11 32 ACBED VDECBIHA O 3 11 223 1223 13 66 A O , 令 3 ,0,1f ,则 2 31f, 当 3 0, 3 时, 0f ;当 3 ,1 3 时,
15、 0f . 所以 f在 3 0, 3 为增函数,在 3 ,1 3 为减函数,故 max 32 3 39 ff . 故 D 正确. 故选:D. 二、多选题二、多选题 8 (2020 届山东省淄博市部分学校高三 3 月检测)如图,正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1,线段 11 B D 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 9 上有两个动点E、F,且 1 2 EF ,则下列结论中正确的是( ) AACBE B/ /EF平面ABCD CAEF的面积与 BEF的面积相等 D三棱锥ABEF的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 可证AC 平面
16、11 D DBB,从而AC BE,故 A 正确;由 11/ / B D平面ABCD,可知/ /EF平面ABCD, B 也正确; 连结BD交AC于O, 则AO为三棱锥ABEF的高, 111 1 224 BEF S , 三棱锥ABEF 的体积为 1122 34224 为定值,D 正确;很显然,点A和点B到的EF距离是不相等的,C 错误. 故选:ABD 9 (2020 届山东省菏泽一中高三 2 月月考)如图,正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1,则下列四个命题正 确的是( ) 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 10 A直线BC与平面 1
17、1 ABC D所成的角等于 4 B点 C 到面 11 ABC D的距离为 2 2 C两条异面直线 1 DC和 1 BC所成的角为 4 D三棱柱 1111 AADBBC外接球半径为 3 2 【答案】ABD 【解析】 正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1, 对于 A,直线BC与平面 11 ABC D所成的角为 1 4 CBC ,故选项 A 正确; 对于 B,因为 1 BC 面 11 ABC D,点C到面 11 ABC D的距离为 1 BC长度的一半,即 2 2 h ,故选项 B 正 确; 对于 C,因为 11 / /BCAD,所以异面直线 1 DC和 1 BC所成的角为 1 ADC,而
18、 1 ADC为等边三角形,故两 条异面直线 1 DC和 1 BC所成的角为 3 ,故选项 C 错误; 对于 D, 因为 11111 ,A A AB AD两两垂直, 所以三棱柱 1111 AADBBC外接球也是正方体 1111 ABCDABC D的 外接球,故 222 1113 22 r ,故选项 D 正确 故选:ABD 10 (2020 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂 直的是( ) 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 11 A B C D 【答案】BD 【解析】 对于 A,由AB与CE所成角
19、为45, 可得直线AB与平面CDE不垂直; 对于 B,由ABCE,ABED,CEEDE, 可得AB 平面CDE; 对于 C,由AB与CE所成角为60, 可得直线AB与平面CDE不垂直; 对于 D,连接AC,由ED 平面ABC, 可得ED AB,同理可得ECAB, 又EDECE,所以AB 平面CDE. 故选:BD 11 (2020 届山东省烟台市高三模拟)如图,在四棱锥PABCD中,PC 底面ABCD,四边形ABCD 是直角梯形,/ /,222ABCD ABAD ABADCD,F 是AB的中点,E 是PB上的一点,则下列说法正 确的是( ) A若2PBPE,则/ /EF 平面PAC B若2PBP
20、E,则四棱锥P ABCD的体积是三棱锥EACB体积的 6 倍 C三棱锥PADC中有且只有三个面是直角三角形 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 12 D平面BCP 平面ACE 【答案】AD 【解析】 对于选项 A,因为2PBPE,所以E是PB的中点, 因为 F 是AB的中点,所以/EFPA, 因为PA平面PAC,EF 平面PAC,所以/ /EF平面PAC,故 A 正确; 对于选项 B,因为2PBPE,所以2 P ABCDE ABCD VV , 因为/ /,222ABCD ABAD ABADCD, 所以梯形ABCD的面积为 113 121 222
21、 CDABAD , 11 2 11 22 ABC SAB AD ,所以 3 2 E ABCDE ABC VV , 所以3 P ABCDE ABC VV ,故 B 错误; 对于选项 C,因为PC 底面ABCD,所以PCAC,PCCD,所以PAC,PCD为直角三角形, 又/ /,ABCD ABAD,所以ADCD,则ACD为直角三角形, 所以 222222 PAPCACPCADCD , 222 PDCDPC , 则 222 PAPDAD ,所以PAD 是直角三角形, 故三棱锥PADC的四个面都是直角三角形,故 C 错误; 对于选项 D,因为PC 底面ABCD,所以PCAC, 在Rt ACD中, 22
22、 2ACADCD , 在直角梯形ABCD中, 2 2 2BCADABCD , 所以 222 ACBCAB ,则AC BC, 因为BCPCC,所以AC 平面BCP, 所以平面BCP 平面ACE,故 D 正确, 故选:AD 12 (2020 山东高三模拟) 在正方体 1111 ABCDABC D中,如图,,M N分别是正方形ABCD, 11 BCC B的 中心.则下列结论正确的是( ) 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 13 A平面 1 D MN与 11 BC的交点是 11 BC的中点 B平面 1 D MN与BC的交点是BC的三点分点 C平面 1
23、 D MN与AD的交点是AD的三等分点 D平面 1 D MN将正方体分成两部分的体积比为 11 【答案】BC 【解析】 如图,取BC的中点E,延长DE, 1 D N,并交于点F, 连接FM并延长,设FMBCP,FMADQ, 连接PN并延长交 11 BC于点H.连接 1 D Q, 1 D H, 则平面四边形 1 D HPQ就是平面 1 D MN与正方体的截面,如图所示. 1111 11 / / /, 22 NECCDD NECCDD, NE为 1 DDF的中位线,E为DF中点,连BF, ,90DCEFBE BFDCABFBEDCE , ,A B F 三点共线,取AB中点S,连MS, 则 12 /
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