专题4 一元函数导数及其应用(解析版).doc
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1、获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 1 专题专题 4 一元函数导数及其应用一元函数导数及其应用 从高考对导数的要求看,考查分三个层次,一是考查导数公式,求导法则与导数的几何意义;二是导数的 简单应用,包括求函数的单调区间、极值、最值等;三是综合考查,如研究函数零点、证明不等式、恒成 立问题、求参数范围等.除压轴题,同时在小题中也加以考查,难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内 容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合,设计综合题,考查学生灵活应用数 学知识分析问题、解决问题的能力. 预测预测 2021 年高考命题将保持稳定
2、年高考命题将保持稳定.主观题应用导数研究函数的性质, 备考的面主观题应用导数研究函数的性质, 备考的面要注意做到全覆盖, 如导数几要注意做到全覆盖, 如导数几 何意义的应用、单调性问题、极(最)值问题、零点问题、不等式的证明、参数范围的确定等何意义的应用、单调性问题、极(最)值问题、零点问题、不等式的证明、参数范围的确定等. 一、单选题一、单选题 1 (2020 届山东省潍坊市高三下学期开学考试)函数 32 1yxxmx是R上的单调函数 ,则m的范围 是( ) A 1 ( ,) 3 B 1 (, ) 3 C 1 ,)? 3 D 1 (, 3 【答案】C 【解析】 若函数 32 1yxxmx是R
3、上的单调函数,只需 2 320yxxm 恒成立,即 1 4 120 3 mm, 故选:C 2 (2020 山东高三下学期开学) 已知函数 ( )f x是偶函数, 当 0 x时, ( )ln1f xxx,则曲线( )yf x 在1x处的切线方程为( ) Ay x B2yx Cy x D2yx 【答案】A 【解析】 因为0 x,( )()ln()1f xfxxx ,()11f ,( )ln()1fxx ,( 1)1f ,所以曲线 ( )yf x 在1x处的切线方程为11yx ,即y x . 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 2 故选:A 3 (2
4、020 届山东省济宁市高三 3 月月考)已知 111 ln20 xxy, 22 242ln20 xy ,记 22 1212 Mxxyy,则( ) AM的最小值为 2 5 BM的最小值为 4 5 CM的最小值为 8 5 DM的最小值为12 5 【答案】B 【解析】 由题意, 22 1212 Mxxyy的最小值可转化为函数ln2yxx图象上的点与直线 242ln20 xy 上的点的距离的最小值的平方. ln2yxx ,得 1 1y x , 与直线242ln20 xy平行的直线斜率为 1 2 , 令 11 1 2x ,解得2x,所以切点的坐标为2 ln2, 切点到直线242ln20 xy的距离 22
5、ln242ln22 5 514 d 即 22 1212 Mxxyy的最小值为 4 5 . 故选:B 4 (2020 山东滕州市第一中学高三 3 月模拟)函数 2 sin xx eex f xx e 的图象大致为( ) A B C D 【答案】A 【解析】 由函数的解析式可得: fxf x,则函数 f x的图像关于坐标原点对称, 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 3 据此可排除 B 选项, 考查函数 xx g xee,则 2 1 x xx x e gxee e , 当0 x时, g x单调递增,则 3 44 gg ,据此有: 3 44 ff ,
6、 据此可排除 C 选项; 当0 x时,0,sin0 xx eex ,则 0f x ,据此可排除 D 选项; 本题选择 A 选项. 点睛:函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判 断图象的上下位置 (2)从函数的单调性, 判断图象的变化趋势 (3)从函数的奇偶性, 判断图象的对称性 (4) 从函数的特征点,排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项 5 (2020 届山东省菏泽一中高三 2 月月考)已知奇函数 f x是 R 上增函数, g xxf x则( ) A 23 32 3 1 log22 4 ggg B 23 32 3 1 log22 4
7、 ggg C 23 32 3 1 22log 4 ggg D 23 32 3 1 22log 4 ggg 【答案】B 【解析】 由奇函数 ( )f x是R上的增函数,可得 0fx ,以及 当0 x时, 0f x ,当0 x时, 0f x , 由 g xxf x,则()()( )( )gxxfxxf xg x ,即( )g x为偶函数 因为 g xf xxfx ,所以当0 x时, 0g x ,当0 x时, 0g x 故0 x时,函数( )g x单调递增,0 x时,函数( )g x单调递减 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 4 因为 33 1 l
8、oglog 4 4 gg , 23 0 32 3 2221log 4 所以 23 32 3 1 log22 4 ggg 故选:B 6 (2020 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测)已知函数 yf x的导函数 fx 的图象如图所示,则 下列判断正确的是( ) A函数 yf x在区间 1 3, 2 内单调递增 B当2x时,函数 yf x取得极小值 C函数 yf x在区间 2,2内单调递增 D当3x 时,函数 yf x有极小值 【答案】BC 【解析】 对于 A,函数 yf x在区间 1 3, 2 内有增有减,故 A 不正确; 对于 B,当2x时,函数 yf x取得极小值,故 B 正确; 对于 C,
9、当2,2x 时,恒有 0fx ,则函数 yf x在区间2,2上单调递增,故 C 正确; 对于 D,当3x 时, 0fx ,故 D 不正确. 故选:BC 7 (2020 届山东省青岛市高三上期末)已知奇函数 f x是 R 上增函数, g xxf x则( ) A 23 32 3 1 log22 4 ggg 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 5 B 23 32 3 1 log22 4 ggg C 23 32 3 1 22log 4 ggg D 23 32 3 1 22log 4 ggg 【答案】B 【解析】 由奇函数 ( )f x是R上的增函数,可
10、得 0fx ,以及 当0 x时, 0f x ,当0 x时, 0f x , 由 g xxf x,则()()( )( )gxxfxxf xg x ,即( )g x为偶函数 因为 g xf xxfx ,所以当0 x时, 0g x ,当0 x时, 0g x 故0 x时,函数( )g x单调递增,0 x时,函数( )g x单调递减 因为 33 1 loglog 4 4 gg , 23 0 32 3 2221log 4 所以 23 32 3 1 log22 4 ggg 故选:B 二、多选题二、多选题 8 (2020 届山东省济宁市高三 3 月月考)设函数 ln,0 1 ,0 x x x f x exx ,
11、若函数 g xf xb有三 个零,则实数b可取的值可能是 ( ) A0 B 1 2 C1 D2 【答案】BC 【解析】 由题意,函数 g xf xb有三个零点,则函数 0g xf xb, 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 6 即 f xb有三个根, 当0 x时, 1 x f xex,则 12 xxx exexxef 由 0fx 得20 x,即2x,此时 f x为减函数, 由 0fx 得20 x,即20 x ,此时 f x为增函数, 即当2x时, f x取得极小值 2 1 2f e ,作出 f x的图象如图: 要使 f xb有三个根,则01b,
12、则实数b可取的值可能是 1 2 ,1 故选:BC 9 (2020 山东滕州市第一中学高三 3 月模拟)设定义在R上的函数 f x满足 2 fxf xx,且当 0 x时, fxx .己知存在 2 2 0 11 11 22 xx f xxfxx ,且 0 x为函数 x g xeexa(,aR e为自然对数的底数)的一个零点,则实数a的取值可能是( ) A 1 2 B 2 e C 2 e D e 【答案】BCD 【解析】 令函数 2 1 ( )( ) 2 T xf xx ,因为 2 ()( )fxf xx, 222 11 ( )()( )()()( )()0 22 T xTxf xxfxxf xfx
13、x , ( )T x 为奇函数, 当0 x时, ( )( )0T xfxx , 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 7 ( )T x 在,0上单调递减, ( )T x 在R上单调递减 存在 0 |( )(1)xx T xTx , 得 00 ()(1)T xTx , 00 1xx,即 0 1 2 x , ( ) x g xeexa; 1 () 2 x, 0 x为函数( )yg x的一个零点; 当 1 2 x时,( )0 x g xeex, 函数( )g x在 1 2 x时单调递减, 由选项知0a,取 1 2 a x e , 又0 a e a ge
14、 e , 要使( )g x在 1 2 x时有一个零点, 只需使 11 0 22 geea , 解得 2 e a, a的取值范围为, 2 e , 故选:BCD 10 (2020 2020 届山东省淄博市高三二模)已知 111 ln20 xxy, 22 242ln20 xy ,记 22 1212 Mxxyy,则( ) AM的最小值为 2 5 5 B当M最小时, 2 12 5 x CM的最小值为 4 5 D当M最小时, 2 6 5 x 【答案】BC 【解析】 由 111 ln20 xxy,得: 111 ln2yxx, 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库
15、. 8 22 1212 xxyy的最小值可转化为函数ln2yxx图象上的点到直线242ln20 xy上 的点的距离的最小值的平方, 由ln2yxx得: 1 1y x , 与直线242ln20 xy平行的直线的斜率为 1 2 , 则令 11 1 2x ,解得:2x,切点坐标为2,ln2, 2,ln2到直线 242ln20 xy 的距离 22ln242ln22 5 514 d . 即函数ln2yxx上的点到直线242ln20 xy上的点的距离的最小值为 2 5 5 . 22 1212 Mxxyy的最小值为 2 4 5 d , 过2,ln2与242ln20 xy垂直的直线为ln222yx,即24ln
16、20 xy. 由 242ln20 24ln20 xy xy ,解得: 12 5 x ,即当M最小时, 2 12 5 x . 故选:BC. 三、填空题三、填空题 11 (2020 届山东省菏泽一中高三 2 月月考)已知直线2yx与曲线 ln()yxa 相切,则a= 【答案】3 【解析】 设切点为(x0,y0) ,由题意可得:曲线的方程为 yln(x+a) ,所以 y 1 xa 所以 k切 0 1 xa 1,并且 y0 x0+2,y0ln(x0+a) ,解得:y00,x02,a3 故答案为 3 12 (2020 届山东省烟台市高三模拟)设定义域为R的函数 f x满足 fxf x ,则不等式 1 2
17、1 x ef xfx 的解集为_ 【答案】(1,) 【解析】 设 F(x) x f x e , 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 9 则 F(x) x fxf x e , fxf x , F(x)0,即函数 F(x)在定义域上单调递增 1 21 x ef xfx 21 21 xx f xfx ee ,即 F(x)F(2x1) x2x1,即 x1 不等式 1 21 x ef xfx 的解为1, 故答案为:1, 13 (2020 届山东省淄博市部分学校高三 3 月检测)已知函数 2sinsin2f xxx,则 f x的最小值是 _ 【答案】 3
18、3 2 【解析】 分析:首先对函数进行求导,化简求得 1 4 cos1cos 2 fxxx ,从而确定出函数的单调区间,减 区间为 5 2,2 33 kkkZ ,增区间为2,2 33 kkkZ ,确定出函数的最小值点, 从而求得 33 sin,sin2 22 xx 代入求得函数的最小值. 详解: 2 1 2cos2cos24cos2cos24 cos1cos 2 fxxxxxxx ,所以当 1 cos 2 x 时函数 单调减,当 1 cos 2 x 时函数单调增,从而得到函数的减区间为 5 2,2 33 kkkZ ,函数的增区 间为2,2 33 kkkZ ,所以当2, 3 xkkZ 时,函数
19、f x取得最小值,此时 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 10 33 sin,sin2 22 xx ,所以 min 333 3 2 222 f x ,故答案是 3 3 2 . 14 (2020 山东高三模拟) 已知函数( )ln2f xxxa在点(1, (1)f 处的切线经过原点, 函数 ( ) ( ) f x g x x 的最小值为m,则2ma_. 【答案】0 【解析】 ( )1 lnfxx , (1)1 f ,(1)2fa , 切线 1 l的方程:21yax, 又 1 l过原点,所以21a,( )ln1f xxx, 1 ( )lng xx
20、 x , 22 111 ( ) x g x xxx . 当(0,1)x时,( )0g x ;当(1,)x时,( )0g x . 故函数 ( ) ( ) f x g x x 的最小值(1)1g,所以1,20mma. 故答案为:0. 15 (2020 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测)若函数( ) ()1,f xa nx aR 与函数( )g xx,在公 共点处有共同的切线,则实数a的值为_ 【答案】 2 e 【解析】 函数 lnf xa x的定义域为0,, a fx x , 1 2 gx x , 设曲线 lnf xa x与曲线 g xx公共点为 00 ,x y, 由于在公共点处有共同的切线,
21、0 0 1 2 a xx ,解得 2 0 4xa,0a 由 00 f xg x,可得 00 lna xx 联立 2 0 00 4xa alnxx ,解得 2 e a 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 11 故答案为: 2 e 16 (2020 届山东省济宁市高三 3 月月考)如图所示,某几何体由底面半径和高均为 1 的圆柱与半径为 1 的 半球对接而成,在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行, 则小圆柱体积的最大值为_. 【答案】 32 27 【解析】 由题意,设小圆柱体底面半径为cos, 则高为1 s
22、in0, 2 , 小圆柱体体积 2 cos1 sinV, 设sin0,1tt, 则 232 111Vttttt 则 2 321311Vtttt 当 1 3 t 时, max 32 27 V 故答案为: 32 27 17 (2020 届山东省淄博市高三二模)已知函数 f x的定义域为 R,导函数为 fx ,若 cosf xxfx,且 sin 0 2 x fx,则满足 0f xf x的 x 的取值范围为_. 【答案】, 2 【解析】 依题意, coscos 22 xx f xfx , 获取 资料请加 QQ 群 52714787,更多资料关注公众号:高中数学优质讲义库. 12 令 cos 2 x g
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