《信号与系统》课件第4章.ppt

1、1 1第4章 连续时间信号与系统的复频域分析4.1 概述4.2 连续信号拉普拉斯变换及性质4.3 部分分式法求逆拉普拉斯变换4.4 连续时间系统的复频域分析4.5 MATLAB语言在复频域分析中的应用小结习题42 24.1 概 述连续时间信号与系统的复频域分析的数学方法是拉普拉斯变换，若干年来，拉普拉斯变换一直是信号系统分析理论的基石之一。拉普拉斯变换通常简称为拉氏变换(英文缩写为LT或L)。j13 34.2 连续信号拉普拉斯变换及性质4.2.1 单边拉普拉斯变换对于信号f(t)，常常由于t趋于正、负无穷大的过程中衰减得太慢，而不满足绝对可积的条件。解决该问题的办法是用et乘以f(t)，这样总

2、可以使得t趋于无穷时,f(t)et以较快的速度衰减，即f(t)et满足绝对可积的条件。于是4 4令s=+j，再以F(s)表示以上函数，则信号f(t)的拉普拉斯变换可以定义为 (4-1)函数F(s)相应的傅里叶逆变换为5 5两边同时乘以et得令s=+j，则j d=ds，有 (4-2)6 6 式(4-1)定义的函数F(s)称为f(t)的双边拉普拉斯变换(或象函数)，式(4-2)定义的函数f(t)称为F(s)的双边拉普拉斯逆变换(或原函数)，它们统称为双边拉普拉斯变换对。为了简便，通常记为 (4-3)或简记为 (4-4)7 7由于实际物理系统中常遇到的信号都是有始信号，即t0时，f(t)=0，或者信

3、号即使不起始于t=0时刻，而问题的讨论却只需考虑t0的部分。在这种情况下，式(4-1)可以改写为 (4-5)该式称为单边拉普拉斯变换，简称拉普拉斯变换。本课程主要讨论单边拉普拉斯变换。8 84.2.2 常用信号拉普拉斯变换1.单位冲激信号(t)即 (4-6)9 92.单位阶跃信号(t)即 (4-7)显然，常数常数10103.指数函数e-at即 (4-8)11114.余弦信号cos0t 因为所以1212即 (4-9)同理可得衰减余弦信号 (4-10)13135.正弦信号sin0t 因为所以1414即 (4-11)衰减正弦信号 (4-12)常用信号的拉普拉斯变换如表4-1所示。15151616续表

4、 17174.2.3 拉普拉斯变换性质1.线性性质 如果那么 (4-13)式中，a1、a2是任意常数。18182.尺度变换 如果 那么 (4-14)1919例4-1 已知 求Lf(t)。解 因为所以20203.时移特性 如果那么 (4-15)式中，t0为任意实数。2121与尺度变换性质相结合，有 (4-16)2222 例4-2 分别求图4-1中两个信号的单边拉普拉斯变换。图4-1 例4-2图2323解 因为所以24244.复频移(s域平移)特性若则 (4-17)式中，s0为任意实数。2525例4-3 求f(t)=et cos0t(t)的拉普拉斯变换F(s)。解 设f1(t)=cos0t(t)，

5、于是2626例4-4 已知因果信号f(t)的象函数求etf(3t2)的象函数。解 综合运用尺度变换和复频移特性，可得可见，利用性质求解信号的拉普拉斯变换比直接求解简单得多。27275.时域微分特性(微分定理)时域微分特性主要用于研究具有初始条件的微分方程。当信号f(t)的初始值f(0)0时，若则 (4-18)2828也可以将式(4-18)推广到高阶导数 (4-19)29296.时域积分特性(积分定理)若则 (4-20)3030也可以推广到多重积分 (4-21)3131例4-5 试通过阶跃信号(t)的积分求斜坡信号t(t)及tn(t)的拉普拉斯变换。解 因为而3232所以又因为3333利用式(4

6、-21)可得即34347.卷积定理时域卷积定理：如果那么 (4-22)3535复频域(s域)卷积定理：如果那么 (4-23)3636例4-6 已知某线性时不变系统的冲激响应h(t)=et(t)，试用时域卷积定理求解输入信号f(t)=(t)时的零状态响应yzs(t)。解 因为3737所以对其求拉普拉斯变换得38388.初值定理和终值定理 初值定理：如果 那么 (4-24)3939终值定理：如果 那么 (4-25)4040例4-7 求图4-2所示锯齿波f(t)的拉普拉斯变换。解 首先写出f(t)的时域函数表达式 4141图4-2 例4-7图4242应用拉普拉斯变换的时移特性，有4343本题还可以利

7、用时域微分性质求解。4444由时域微分性质，有Lf(t)=s2F(s)，所以得拉普拉斯变换的性质如表4-2所示。45454646续表 4747 4.3 部分分式法求逆拉普拉斯变换常见的象函数F(s)是s的有理分式，一般形式是 (4-26)4848若不是真分式，即mn，可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式与有理真分式之和。例如，4949下面主要讨论有理真分式的情形。若F(s)是s的实系数有理真分式(m0)，则H(s)的分母多项式中有因子s+，所对应的响应为衰减指数函数Ket(t)。第二，若有一对共轭复极点p1,2=j，则所对应的响应为减幅正弦振荡。(2)在虚轴上：响应函数均为等幅振荡。

8、此时=0，p1,2=j，所对应的响应为等幅正弦函数K cos(t+)(t)。特别地，当极点位于原点时，响应为阶跃函数K(t)。8686(3)在右半平面：响应函数均为递增函数，即当t时，响应均趋于。第一，若系统函数有正实单极点p=(0)，则所对应的响应为增幅指数函数Ket(t)。第二，若有一对共轭复极点p1,2=j，则所对应的响应为增幅正弦振荡。凡极点位于左半平面，零点位于右半平面，并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统函数即为全通函数。对于具有相同幅频特性的系统函数而言，右半平面没有零点的系统函数称为最小相移函数。8787接下来，介绍系统的s域模拟框图。系统的模拟不是对系统的仿制，而是

9、数学意义上的等效，也就是说，用来模拟系统的装置和被模拟的系统具有相同的数学模型，因此，它们的输入、输出关系完全等效。模拟系统的框图称为系统的模拟图，它是若干基本运算器的框图的组合。系统的s域框图基本运算单元如图4-5所示。8888图 4-5 系统的s域框图基本运算单元8989例4-13 已知某线性时不变系统有图 4-6(a)所示的时域框图，试列出其微分方程。图 4-6 例4-13图9090解 设左边加法器输出为X(s)，可画出s域框图如图 4-6(b)所示，则s域代数方程为得9191又所以微分方程为 92924.4.3 电路复频域模型1.电阻元件的s域模型电阻元件的s域模型如图4-7所示。93

10、93图4-7 电阻元件的s域模型94942.电感元件的s域模型电感元件的s域模型如图4-8所示。9595图 4-8 电感元件的s域模型96963.电容元件的s域模型电容元件的s域模型如图4-9所示。9797图 4-9 电容元件的s域模型9898有了电路元件的复频域模型，就可以得到一般电路的复频域模型。时域的KVL、KCL方程9999在复频域中同样成立。只要分别取拉普拉斯变换，就可以得到复频域形式 (4-38)应用电路分析中的基本分析方法(节点法、网孔法等)和基本定理(如叠加定理、戴维南定理等)，列出复频域的代数方程，并求解响应的象函数，对所求响应的象函数进行拉普拉斯反变换，即可得出响应的时域解

11、。100100例4-14 如图4-10(a)所示电路，开关S在t=0时闭合，已知uC1(0)=3 V，uC2(0)=0 V，试求开关闭合后的电流i1(t)。101101图4-10 例4-14图102102解 由给定的初始条件可得s域模型如图4-10(b)所示。方程为103103取拉普拉斯反变换得1041044.4.4 连续时间系统稳定性若一个系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output,BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。连续系统在时域稳定的充分必要条件是 (4-39)其中，M是有限的正实数。对于因果系统，可以根

12、据系统函数H(s)的极点在s平面中的位置来判定该系统是否稳定。105105若全部极点都落在s平面的左半平面，则该系统必是稳定系统。只要有一个极点落在s平面的右半平面或虚轴上，则该系统必是不稳定系统。连续因果系统稳定性的判别，是根据系统函数的极点位置作出的。只要判断H(s)的极点，即系统函数分母多项式的特征根是否都在左半平面上，即可判定系统是否稳定，并不必知道各特征根的确切值。106106例如，某连续时间系统的系统函数易得其极点分别为s1,2=1j,s3=3，零点、极点分布图如图4-11所示。可见三个极点均分布在s平面的左半部分，故该系统必为稳定系统。107107图4-11 零点、极点分布图10

13、81084.5 MATLAB语言在复频域分析中的应用调用laplace函数L=LAPLACE(F)，实现单边拉普拉斯变换。输入变量F为连续时间信号f(t)的符号表达式，输出变量L为返回默认符号变量s的关于F的拉普拉斯变换的符号表达式。109109例4-15 重求式(4-9)的余弦信号cos0t的拉普拉斯变换。我们假设0=2，则f(t)=cos(2t)(t)。解 代码如下:syms t；%定义时间符号变量F=cos(2*t)；%定义函数f(t)L=laplace(F)%计算f(t)的拉普拉斯变换 运行结果为L=s/(s2+4)110110如果我们将0=2代入式(4-9)，同样可得可见，与运用MA

14、TLAB求解的结果是一样的。调用函数R，P，K=RESIDUE(B，A)求解象函数的拉普拉斯逆变换。B表示分子多项式的各项系数，A表示分母多项式的各项系数。若假设已知，则调用该函数可以简单地求出部分分式展开式中的常数项K，各项分式的常系数R和分母多项式的根P。111111例4-16 重求例4-8，的原函数f(t)。解 代码如下:A=1 6 11 6；B=2 14 25 15；R，P，K=RESIDUE(B，A)运行结果为R=6.0000 5.0000 1.0000P=3.0000 2.0000 1.0000K=2112112所以可见，与原例题的结果是一致的。113113调用函数SYS=TF(N

15、UM，DEN)和P，Z=PZMAP(SYS)求解系统函数的零点、极点分布。SYS表示系统函数，NUM表示分子多项式的各项系数，DEN表示分母多项式的各项系数。P，Z=PZMAP(SYS)求解零点、极点的值。PZMAP(SYS)画零点、极点分布图。114114例4-17 求的零点、极点，并画分布图。解 代码如下:NUM=2 4；DEN=1 2 2 2 1；SYS=TF(NUM，DEN)；PZMAP(SYS)；P，Z=PZMAP(SYS)115115运行结果为 P=0.0000+1.0000i 0.0000-1.0000i 1.0000 1.0000 Z=2 零点、极点分布图如图4-12所示。可见

16、，与原例题的结果是一致的。116116图4-12 例4-17零点、极点分布图117117小 结拉普拉斯变换是分析线性连续系统的有效工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为s域的代数方程，便于运算和求解；同时，它将系统的初始状态自然地含于象函数Y(s)方程中，既可分别求得零输入响应、零状态响应，也可一举求得系统的全响应。甚至直接利用电路的s域模型列出其对应的电路方程，就可以解得响应的象函数Y(s)，再求拉普拉斯逆变换得原函数y(t)。118118线性时不变连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定。H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应

17、函数为稳态分量。H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。通过本章的学习，要求能够理解单边拉普拉斯变换的定义式，了解拉普拉斯变换的性质及其应用。能应用部分分式法求解拉普拉斯逆变换。掌握复频域电路模型，并能应用单边拉普拉斯变换求解线性时不变系统的响应。了解连续系统的系统函数及其稳定性，了解MATLAB在复频域分析中的应用。119119习 题 4 4-1 求下列信号的拉普拉斯变换:1201204-2 设f(t)=sin0t，若t00，试求下列信号的拉普拉斯变换:1211214-3 用尺度变换性质求下列信号的拉普拉斯变换：4-4 用部分分式展开法求下列函数的拉普拉斯逆变换：1221224-5 求象函数的原函数f(t)。4-6 描述某线性时不变系统的微分方程为其初始状态y(0)=1，y(0)=1，激励f(t)=5 cost(t)，求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。1231234-7 已知系统的微分方程为 (1)求系统的零点、极点;(2)画出零、极点分布图。4-8 设某线性时不变系统的阶跃响应s(t)=(1e2t)(t)，为使系统的零状态响应为yzs(t)=(1e2tte2t)(t)，问系统的输入信号f(t)应是什么？1241244-9 设系统函数如下，试判断系统的稳定性。4-10 用MATLAB软件，求的零点、极点，并画分布图。