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类型河南省2020-2021学年上学期高中毕业班阶段性测试(一)文科数学 含答案.docx

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    1、 天一大联考 20202021 学年高中毕业班阶段性测试(一) 文科数学 考生注意: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置. 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1. 已知集合 2 |230Mxxx,| 21Nxx ,则M

    2、N ( ) A. 3 ,1 2 B. 3 2, 2 C. 2, 1 D. 1,1 2. 复数z满足1 22i zi,则z的虚部是( ) A. 3 5 i B. 3 5 C. i D. -1 3. 已知平面向量a,b的夹角为60,且2a ,22 3ab,则b ( ) A. 1 B. 2 3 C. 3 D. 2 4. 已知 3 log 5x , 2 log3y , 3 2 3z ,则( ) A. xyz B. yzx C. zyx D. yxz 5. 设等差数列 n a的前n项和为 n S,若 68 4396SS,则 7 S ( ) A. 7 B. 14 C. 24 D. 48 6. 若x,y满足

    3、约束条件 1 20 3220 xy xy xy ,则3zxy的最小值为( ) A. -3 B. -1 C. 0 D. 2 7. 九章算术商功中有这样一段话: “斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.”其中 “解” 字的意思是用一个平面对某几何体进行切割.已知正方体 1111 ABCDABC D, 随机在线段 1 AC上取一 点,过该点作垂直于 1 AC的平面,则平面“解”正方体 1111 ABCDABC D所得的大、小两部分体积之 比大于 5 的概率为( ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 8. 1 x f xxe x 的图象大致为( ) A. B. C.

    4、 D. 9. 执行如图所示的程序框图,如果输入的为 0.01,则输出s的值等于( ) A. 31 16 B. 63 32 C. 127 64 D. 255 128 10. 已知向量4cos ,1ax,cos, 2 3 bx , 则函数 f xa b在, 6 3 上的所有零点之和 为( ) A. 3 B. 2 C. 2 3 D. 11. 已知数列 n a满足 12 1aa, * 21 2 nnn aaanN ,则 n a的前 30 项之和为( ) A. 31 22 3 B. 30 22 3 C. 15 41 3 D. 16 44 3 12. 已知双曲线C: 22 22 10,0 xy ab ab

    5、 的左、 右焦点分别为 1 F, 2 F, 离心率为 2, 且经过点 3,2, 点P在C上, 12 60FPF,则点P到x轴的距离为( ) A. 3 2 B. 6 2 C. 3 D. 6 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 下表是x,y之间的一组数据: x 0 1 2 3 4 y 5 7 8 c 19 且y关于x的回归方程为3.23.6yx,则表中的c_. 14. 已知直线yax与曲线2lnyx相切,则a_. 15. 已知抛物线 2 4 2yx的焦点为F,P为抛物线上位于x轴上方的一点, 点P到抛物线准线的距离为d, O为坐标原点,若POF的面积为2 3,则

    6、d PO _. 16. 已知A,B,C是球O表面上的三点,2ABBC,90ABC,P是球面上的动点.三棱锥 PABC体积的最大值为 2,则球O的表面积为_. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个试题考生都 必须作答.第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17. 在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3 sin1 cosaBbA. ()求A; ()若6a,sin2sinBC,求ABC的面积. 18. 某歌唱比赛中甲、 乙两位歌手争夺最后的冠军, 两人演唱结束后, 从普通观众中任选

    7、30 人为大众评审, 他们对两人的评分(分数越高表明评价越高)的茎叶图如图. ()分别求大众评审对甲、乙两位歌手评分的中位数; ()分别估计普通观众对甲、乙两位歌手的评分高于 90 分的概率; ()根据茎叶图,从集中趋势和离散程度两方面分析普通观众对甲、乙两位歌手的评价. 19. 如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD 平面ABCD,/ABCD,CDAD,PAD是等腰 直角三角形,1PDPA. ()证明:PDPB; ()若PB与平面PAD所成角的大小为60,2CDAB,求点C到平面PBD的距离. 20. 已知椭圆E: 22 22 10 xy ab ab ,直线l:10 xmy 过E的右焦点F.

    8、当1m时,椭圆的长 轴长是下顶点到直线l的距离的 2 倍. ()求椭圆E的方程. ()设直线l与椭圆E交于A,B两点,在x轴上是否存在定点P,使得当m变化时,总有 OPAOPB (O为坐标原点)?若存在,求P点的坐标;若不存在,说明理由. 21. 已知函数 sinf xx, cos x g xex. ()函数 g x h x fx ,分析 h x在0,上的单调性. ()若函数 H xg xxf x. (i)当,0 2 x 时,求 H x的最小值; (ii)当, 4 2 x 时,求 H x零点的个数. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一

    9、题计分. 22. 选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 23 4 xt yt (t为参数) ,以坐标原点为极点,x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为 2 6 cos4 sin120. ()求圆C的圆心的直角坐标和半径; ()已知直线l交圆C于A,B两点,点 7 ,2 2 P ,求PA PB. 23. 选修 4-5:不等式选讲 已知集合| 213Axx. ()若存在xA使不等式22xm成立,求m的取值范围; ()取m为()所求范围中的最小正整数,解不等式312xxm . 天一大联考 20202021 学年高中毕业班阶段性测试() 文科数学答

    10、案 、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.【答案】C 【命题意图】本题考查集合的表示与运算,以及不等式的解法. 【解析】 3 1 2 Mx xx 或,所以2, 1MN . 2.【答案】D 【命题意图】本题考查复数的概念与运算性质. 【解析】由已知得 2(2)(1 2 ) 1 2(1 2 )(1 2 ) iii zi iii ,所以z的虚部为-1. 3.【答案】A 【命题意图】本题考查平面向量的数量积运算. 【解析】 222 24cos60412abaa bb,所以 2 20bb,解得1b (负值舍去). 4.【答案】D 【命题意图】本题考查指数、对数函数的性质以及不

    11、等式的性质. 【解析】 3 log 5(1,2)x , 2 log3(0,1)y , 3 2 33z . 5.【答案】B 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式和求和公式. 【解析】由题设 11 6 (6 1)8 (8 1) 4 63 896 22 dd aa ,得 1 32ad, 71 72114Sad. 6.【答案】B 【命题意图】本题考查简单的线性规划问题. 【解析】根据约束条件,得不等式组表示的平面区域为 1 2 (0,1), (2,4), 3 3 ABC ABC 及其内部,由目 标函数3zxy得3yxz,可知当直线3yxz经过点0,1A时,其纵截距z最大,z最小,最 小值为3 0 1

    12、1 . 7.【答案】D 【命题意图】本题考查空间几何体的结构特征. 【解析】 如图所示, 由正力体的性质可知, 1 AC垂直于平面 1 ABD和平面 11 CB D, 设P和Q分别是平面 1 ABD 和平面 11 CB D与线段 1 AC的交点,易知 11 111 1 11 1 6 AABDC C B DABCD A BC D VVV ,当平面取平面 1 ABD或平面 11 CB D时,切割得到的大、小两部分体积之比恰好为 5,要满足条件,应在线段AP或 1 QC上取点,而 1 APPQQC,所以所求的概率为 1 1 2 3 APQC AC . 8.【答案】C 【命题意图】本题考查函数的图象与

    13、性质. 【解析】因为 f xfx,所以 f x为奇函数,排除 B,0 x时, 1 x f xxe x , 2 1 11 x ex xx fx 2 111 2 10 xx exex xxx , 所以 f x在0,上单调递增, 选 C. 9.【答案】C 【命题意图】本题考查程序框图与算法的基本逻辑结构. 【解析】由程序框图可知,结束循环时 7 11 0.01 2128 x , 111127 1 246464 s . 10.【答案】A 【命题意图】本题考查向量的坐标运算、三角恒等变换以及三角函数的性质. 【 解 析 】()4 c o sc o s2 3 fxxx 13 4coscossin23sin

    14、2cos21 22 xxxxx 2 s i n21 6 x ,令 0f x ,则 1 sin 2 62 x , 63 x , 5 2 666 x , 2 66 x 或 5 6 ,0 x或 3 x . 11.【答案】A 【命题意图】本题考查递推数列,以及等比数列的求和. 【 解 析 】 由 条 件 得 211 2 nnnn aaaa , 所 以 1nn aa 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列 , 所 以 1 121 22 nn nn aaaa ,所以 15 31 3529 1230 241 22 2222 33 aaa . 12.【答案】B 【命题意图】本题考查双曲线的性质,直线与双曲线的

    15、位置关系. 【解析】由双曲线的离心率为2,可知双曲线为等轴双曲线,ab,将点 3,2代入双曲线方程得 1ab.根据对称性,不妨设P点在第一象限,P到x轴的距离为h. 12 2 2FF , 12 2PFPF, 由 余 弦 定 理 得 222 121212 2cos60FFPFPFPFPF 2 1212 PFPFPFPF, 所 以 12 4PFPF,由三角形面积公式可得 1212 11 sin60 22 PFPFFFh,得 6 2 h . 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.【答案】11 【命题意图】本题考查回归方程的概念与性质. 【解析】回归直线经过样本中心点 ,

    16、 x y, 0 1234 2 5 x ,3.2 23.610y , 57819 10 5 c ,解得11c. 14.【答案】e 【命题意图】本题考查导数的几何意义. 【解析】曲线2lnyx在点,2lnmm处的切线方程为 1 ()2lnyxmm m ,则 1 a m ,且 1 ln0m,所以 1 m e ,ae. 15.【答案】 4 21 21 【命题意图】本题考查抛物线方程与性质,抛物线与直线的位置关系. 【解析】由题易知, 2,0F,准线为2x , 1 2 3 2 POFP SOF y ,所以2 6 P y ,代入抛 物线方程中可得3 2 P x ,则4 2d ,42OP , 4 21 21

    17、 d OP . 16.【答案】121 9 【命题意图】本题考查多面体与球的位置关系. 【解析】ABC为等腰直角三角形,设AC的中点为D,则点D为ABC外接圆圆心,当P,O,D三 点共线且面ABC和P位于点O的异侧时,三棱锥PABC的体积最大,为 11 2 32 AB BC PD, 3PD.设球的半径为r, 则3ODr ,2BD ,OBr, 所以 2 2 2 32rr, 解得 11 6 r , 所以球O的表面积为121 9 . 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理的应用. 【解析】 ()根据条件及正弦定理可得3sinsi

    18、nsin(1cos)ABBA, 所以3sin1 cosAA ,整理得 1 sin 62 A , 因为0A,所以 3 A . ()由sin2sinBC及正弦定理得2bc, 由余弦定理得 222 2cosabcbcA, 将6a,2bc, 3 A 代入可得 2 363c,于是2 3c , 所以4 3b . 所以 1 sin6 3 2 ABC SbcA . 18.【命题意图】本题考查茎叶图的理解,用样本估计总体的思想. 【解析】 ()由茎叶图知,30 位大众评审对甲歌手的评分从小到大排序,排在第 15,16 位的是 85,86, 故中位数是 85.5. 30 位大众评审对乙歌手的评分从小到大排序,排在

    19、第 15,16 位的是 74,77,故中位数是 75.5. ()由茎叶图知,大众评审对甲、乙两位歌手的评分高于 90 分的频率分别为 11 30 , 1 5 . 故普通观众对甲、乙两位歌手的评分高于 90 分的概率的估计值分别为 11 30 , 1 5 . ()由茎叶图知,大众评审对甲歌手的评分的中位数高于乙歌手的评分的中位数,而且由茎叶图可以大 致看出,对甲歌手的评分标准差要小于对乙歌手的评分标准差,说明普通观众对甲歌手的评价较高,评价 较为一致,对乙歌手的评价较低、评价差异较大. (注:通过平均数、极差等统计量进行分析亦可) 19.【命题意图】本题考查空间线面关系证明,线面角的概念,距离计

    20、算. 【解析】 ()因为CDAD,/ABCD,所以ABAD, 因为平面PAD 平面ABCD,交线为AD,所以AB 平面PAD, 于是ABPD. 在等腰直角三角形PAD中,PDPA,所以PDPA, 又因为ABPAA,所以PD 平面PAB, 所以PDPB. ()由()知AB 平面PAD,所以PB与平面PAD所成的角即60APB, 结合已知可得2AD,3AB ,2PB ,2 3CD ,5BD . 可得PBD是以BD为斜边的直角三角形. 设点C到平面PBD的距离为d,则 111 1 2 3323 C PBDPBD d VdSd . 又因为 121213 2 32 323223 P BCDBCD VS

    21、, 所以 3 33 d ,3d . 20.【命题意图】本题考查直线、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系. 【解析】 ()设椭圆的焦距为2c,直线l恒过定点1,0,所以1c. 当1m时,直线l:10 xy , 椭圆的下顶点0, b到直线l的距离 1 2 b d , 由题意得 22 1 2 1 b a ab ,解得2a ,1b. 所以椭圆E的方程为 2 2 1 2 x y. ()当0m时,显然在x轴上存在点P,使得OPAOPB. 当0m时,由 2 2 1 2 10 x y xmy 消去x可得 22 2210mymy . 设 11 ,A x y, 22 ,B x y,则 12 2 2 2 m yy

    22、m , 12 2 1 2 y y m . 设点,0P t满足题设条件,易知PA,PB的斜率存在, 则 1212 1212 11 PAPB yyyy kk xtxtmytmyt 1212 12 (1)2 0 11 tyymy y mytmyt , 则 1212 (1)20tyymy y,即2 (1)22 (2)0mtmmt, 2t 时,上式恒成立. 所以在x轴上存在点2,0P满足题设条件. 21.【命题意图】本题考查导数的运算法则,及导数在研究函数时的应用. 【解析】 () cos ( ) sin x ex h x x , 则 2 (sin cos1) ( ) sin x exx h x x ,

    23、 当0,x时, 1 sincos1sin210 2 xxx ,所以 0h x , 所以 h x在0,上单调递减. ()( )cossin x H xexxx, 则( )cossincossin xx H xexexxxx. (i)( )cos1 sin xx Hxexxex, 当,0 2 x 时, cos 0 x exx,1 sin0 x ex, 所以 0Hx , H x在,0 2 上单调递增, 所以 H x的最小值为 22 H . (ii)( )(cossin )sincos x H xexxxxx. 因为, 4 2 x 时,cossinxx,sin0 x,cos0 xx, 所以 0Hx ,

    24、函数 H x在, 4 2 上单调递减, 又 4 2 0 424 He ,0 22 H , 因此,函数 H x在, 4 2 上有且只有一个零点. 22.【命题意图】本题考查参数方程与极坐标系,直线参数方程中参数的几何意义. 【解析】 ()由cosx,siny, 可知圆C的直角坐标方程为 22 64120 xyxy,即 22 (3)(2)1xy, 所以圆C的圆心的直角坐标为3,2,半径为 1. ()当 1 2 t 时,由直线l的参数方程得 37 2 22 x ,2y , 所以点 7 ,2 2 P 在l上,将l的参数方程改写为 73 25 4 2 5 xm ym (m为参数). 代入圆C的方程中,整

    25、理得 2 33 0 54 mm, 由参数的几何意义得 3 4 PAPB. 23.【命题意图】本题考查绝对值不等式相关的综合问题. 【解析】 ()设2 2 2 | 2 2 2 m Bm m xxxx , 因为| 213|21Axxx xx 或, 存在xA使不等式22xm成立,等价于AB , 当 2 1 2 2 2 2 m m 即20m 时,AB , 故所求的m的取值范围是 , 20, . ()由题意知1m. 当1x时,原不等式转化为1 312xx ,无解; 当 1 1 3 x 时,原不等式转化为1 312xx ,解得 11 23 x; 当 1 3 x 时,原不等式转化为3112xx ,解得 1 2 3 x. 综上,不等式的解集为 1 ,2 2 .

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