专题26 分而治之(9年级数学 培优新帮手).doc
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1、 专专题题 26 分分而治之而治之 分类讨论 阅读与思考 在解决某些数学问题的时候,需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准,分成若干类,然后逐类 讨论,才能得出正确的解答,这种解题方法称为分类讨论法 运用分类讨论法解题的关键是如何正确进行分类正确分类的标准是:对所讨论的全体分类要“既 不重复,又不遗漏”;在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行;对于多级讨论,应逐级进行 初中数学分类讨论问题的常见形式有: 1一些定义、定理、公式和法则有范围或条件的限制,在使用过程中必须讨论; 2题设条件中含有变量或参数时,必须根据变量或参数的不同取值进行讨论; 3一些问题的图形位置或形状不确定时,只有通过讨论
2、,才能保证结论的完整性; 4一些问题的条件没有明确给出或结论不唯一时,只有通过讨论,才能保证解答的严密性; 5对于自然数问题,有时须按剩余类分类讨论 例题与求解 【例【例 1】如图,在 Rt ABC 中,C=90 ,AC=3,BC=4若以 C 为圆心,R 为半径所作的圆与斜 边 AB 只有一个公共点,则 R 的取值范围是 (北京市宣武区中考试题) 解题思路:解题思路:圆与斜边只有一个公共点,则圆与斜边相切或圆与斜边相交 【例【例 2】 解方程:x2+x+3=x+10 解题思路:解题思路:解绝对值方程的关键是去方程左边的绝对值符号,这就要对x的取值范围进行分类讨 论需分下列三种情况:x3;3x2
3、;x2 【例【例 3】若关于x的方程(6k)(9k)x2(11715k)x+54=0 的解都是整数,则符合条件的整数k的 值有_ (全国初中数学竞赛试题) 解题思路:解题思路:用因式分解法可得到根的简单表达式,因方程的类型未指明,故须按一次方程、二次方 程两种情形讨论,这样确定k的值才能全面而准确 【例【例 4】如图,已知 ABC 中,AB=5,BC=3,AC=4,PQAB,P 点在 AC 上(与点 A,C 不重合) , Q 在 BC 上 (1)当 PQC 的面积与四边形 PABQ 的面积相等时,求 CP 的长; (2)当 PQC 的周长与四边形 PABQ 的周长相等时,求 CP 的长; (3
4、)试问:在 AB 上是否存在点 M,使得 PQM 为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由; 若存在,请求出 PQ 的长 (福州市中考试题) 解题思路:解题思路:对于(3),使 PQM 为等腰直角三角形有两种情况:一是以 PQ 为直角边,二是以 PQ 为斜边 【例【例 5】证明:每个大于 6 的自然数 n 都可表示为两个大于 1 且互质的自然数之和 (全国初中数学 联赛试题) 解题思路:解题思路:由于自然数可分为奇数、偶数两大类,因此,很容易考虑到按奇数、偶数分类讨论 【例【例 6】设 a 和 b 是相异实数,证明:存在整数 m 和 n,使得0bnam,0anbm (加 拿大中学生竞赛试题)
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