专题23 面积的计算(8年级数学 培优新帮手).doc
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1、 专题 23 面积的计算 阅阅 读读 与与 思思 考考 计算图形的面积是几何问题中一种重要题型,计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识: 1.常见图形的面积公式; 2等积定理:等底等高的两个三角形面积相等; 3.等比定理: (1) 同底(或等底)的两个三角形面积之比等于等于对应高之比;同高(或等高)的两个三角形面积 之比等于等于对应底之比. (2) 相似三角形的面积之比等于对应线段之比的平方. 熟悉下列基本图形、基本结论: S1 S4 S1 S2 S3 S1 S2 S3 S4 S2 S3 S1 S2 S3 S2S1 例例 题题 与与 求求 解解 【例【例 1】 如图, ABC 内三个三
2、角形的面积分别为 5, 8, 10, 四边形 AEFD 的面积为x, 则x_. (黄冈市竞赛试题) 解题思路:解题思路:图中有多对小三角形共高,所以可将面积比转化为线段之比作为解题突破口. 【例【例 2】如图,在ABC 中,已知 BD 和 CE 分别是两边上的中线,并且 BDCE,BD4,CE6, 那么ABC 的面积等于 ( ) (全国初中数学联赛) A12 B14 C16 D18 解题思路:解题思路:由中点想到三角形中位线,这样ABC 与四边形 BCDE 面积存在一定的关系. 例 2 图 D A B C E 例 1 图 10 8 5 F A B C D E 【例【例 3】如图,依次延长四边形
3、 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 至 E,F,G,H,使BE AB CF BC DG CD AH DA m,若 S四边形EFGH2S四边形ABCD,求m的值. 解题思路:解题思路:添加辅助线将四边形分割成三角形,充分找出图形面积比与线段比之间的关系,建立关于 m的方程. 【例【例 4】如图,P,Q 是矩形 ABCD 的边 BC 和 CD 延长线上的两点,PA 与 CQ 相交于点 E,且PAD QAD,求证:S矩形ABCDS APQ. 解题思路:解题思路:图形含全等三角形、相似三角形,能得到相等的线段、等积式,将它们与相应图形联系起 来,促使问题的转化. 【例【例 5】如图,在 Rt A
4、BC 中,A90 ,AB8,AC6,若动点 D 从点 B 出发,沿线段 BA 运动 到点 A 为止,移动速度为每秒 2 个单位长度. 过点 D 作 DEBC 交 AC 于点 E,设动点 D 运动的时间为x 秒,AE 的长为 y. (1) 求出 y 关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (2) 当x为何值时, BDE 的面积 S 有最大值,最大值为多少? (江西省中考试题) 解题思路:解题思路:对于(1)利用 ADEABC 可得 y 与x的关系式;对于(2)先写出 S 关于x的函数关系式, 再求最大值. 例 5 图 A BC DE 例 4 图 E Q A BP C D 例 3 图 B
5、C D E F G H A 【例【例 6】如图,设 P 为 ABC 内任意一点,直线 AP,BP,CP 交 BC,CA,AB 于点 D,E,F. 求证:(1) PD AD PE BE PF CF1; (2)PA AD PB BE PC CF2 解题思路:解题思路:过点 A,P 分别作 BC 的垂线,这样既可得到平行线,产生比例线段,又可以与面积联系 起来,把PA AD 转化为面积比,利用面积法证明. 能 力 训 练 A 级 1如图,ABCD 中,AEBE12,S AEF6cm2,则 S CDF的值为_. (济南市中考试题) 2如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 2 3cm,P 为正六边形内
6、任一点,则点 P 到各边距离之和为 _. 3如图,P 是边长为 8 的正方形 ABCD 外一点,PBPC, PBD 的面积等于 48,则 PBC 的面积 为_. (北京市竞赛试题) 4 如图, 已知 BOF, AOF, BOD, COE 的面积分别为 30, 40, 35, 84, 则 ABC 的面积为_. (浙江省竞赛试题) 5 如图, 已知 AD 是 Rt ABC 斜边 BC 上的高, DE 是 Rt ADC 斜边上的高, 如果 DCAD12, S DCE a,那么 S ABC等于 ( ) (金华市中考试题) A4a B9a C16a D25a 第 2 题图 A B C DE F 例 6
7、图 A B CD F E 第 1 题图 F A B C D E 第 3 题图 A B P C D 6如图,已知 M 是ABCD 边 AB 的中点,CM 交 BD 于点 E,则图中阴影部分面积与ABCD 的面 积之比为( ) (山西省中考试题) A1 6 B 1 4 C 1 3 D 5 12 7如图, 在 ABC 中, DEBC, DE 分别交 AB, AC 于点 D, E, 若 S ADE2S DCE, 则S ADE S ABC等于( ) (浙江省宁波市中考试题) A1 4 B 1 2 C 2 3 D 4 9 8如图, ABC 是边长为 6cm 的等边三角形,被一平行于 BC 的矩形所截,AB
8、 被截成三等分,则 图中阴影部分面积面积为( )cm2. (广东省竞赛试题) A4 B2 3 C3 3 D4 3 9如图,平面上有两个边长相等的正方形 ABCD 和 ABCD,且正方形 ABCD的顶点 A在正方形 ABCD 的中心,当正方形 ABCD绕 A 转动时,两个正方形重合部分的面积必然是一个定值. 这个结论 对吗?证明你的判断. ( “希望杯”邀请赛试题) 10 如图, 设凸四边形 ABCD 的一组对边 AB, CD 的中点分别为 K, M.求证: S四边形ABCDS ABMS DCK. 第 8 题图 H GF E A B C 第 5 题图 E D A B C 第 4 题图 O A B
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