专题20 正方形（8年级数学 培优新帮手）.doc

1、 A B C D E F G O 专题专题 20 正方形正方形 阅读与思考阅读与思考 矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的 平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱 形的性质来研究正方形的有关问题 正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形， 熟悉以下基本图形 例题与求解例题与求解 【例【例 l】 如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠 正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开 后，折痕DE分别交AB，

2、AC于点E，G.下列结论： 0 5 .112AGD； 2 AE AD ； OGDAGD SS ；四边形AEFG是菱形；OGBE2. 其中，正确结论的序号是_ （重庆市中考试题） 解题思路解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法 【例【例 2】如图 1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上 )(BCCG ，取线段AE的中点M.连MD，MF （1）探究线段MD，MF的关系，并加以证明 （2）将正方形CGEF绕点C旋转任意角后（如图 2） ，其他条件不变 探究线段MD，MF的关系，并加以证明 （大连市中考题改编） 解题思路解题思路：由M为AE中点

3、，想到“中线倍长法”再证三角形全等 图2图1 M F E G M F G A B D C E C D B A 【例【例 3】如图，正方形ABCD中，E，F是AB，BC边上两点，且FCAEEF，EFDG 于G，求证：DADG . （重庆市竞赛试题） 解题思路解题思路：构造FCAE的线段是解本例的关键 G FBC AD E 【例【例 4】 如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形，P是EF与 GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的 2 倍，试确定HAF的大小，并证明你的 结论 （北京市竞赛试题） 解题思路：解题思路：先猜测HAF的大小，再作出证明，解题的关

4、键是由条件及图形推出隐含的线段间的 关系 【例【例 5】 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，满足DFBEEF， AFAE,分别与对角线BD交于点NM, 求证： （1） 0 45EAF； （2） 222 DNBMMN （四川省竞赛试题） 解题思路解题思路：对于（1） ，可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2） ，很容易 联想到直角三角形三边关系 M N E BC DA F A BC DE F G H P 【例例 6】已知 ：正方形ABCD中， 0 45MAN，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交 CB，DC（或它们的延长线）于点NM, 当MAN绕点A

5、旋转到DNBM 时（如图 1） ，易证MNDNBM （1）当MAN绕点A旋转到DNBM 时（如图 2） ，线段DNBM,和MN之间有怎样的数量 关系？写出猜想，并加以证明； （2）当MAN绕点A旋转到如图 3 的位置时，线段DNBM,和MN之间又有怎样的数量关系？ 请直接写出你的猜想 （黑龙江省中考试题） 解题思路解题思路：对于（2） ，构造BMDN 是解题的关键 能力训练能力训练 A 级级 1. 如图，若四边形ABCD是正方形，CDE是等边三角形，则EAB的度数为_. （北京市竞赛试题） 2. 四边形ABCD的对角线BDAC、相交于点O，给出以下题设条件： DACDBCAB； BDACDOC

6、OBOAO,； BDACDOBOCOAO,； DACDBCAB, 其中，能判定它是正方形的题设条件是_. （把你认为正确的序号都填在横线上） （浙江省中考试题） A B C D M N 图 3 A BC D M N 图 2 A BC D M N 图 1 3如图，边长为 1 的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转 0 30， 则这两个正方形重叠部分的面积是_. （青岛市中考试题） BC DA E 第 1 题图 第 3 题图 第 4 题图 4.如图，P是正方形ABCD内一点，将ABP绕点B顺时针方向旋转至能与 CBP重合，若 3PB，则 PP=_. （河南省中考试题） 5.

7、将n个边长都为cm1的正方形按如图所示摆放，点 n AAA, 21 分别是正方形的中心，则n个正 方形重叠形成的重叠部分的面积和为( ) A . 2 4 1 cm B 2 4 cm n C. 2 4 1 cm n D. 2 ) 4 1 (cm n （晋江市中考试题） A5 A3 A4 A2 A1 O B FE C A 第 5 题图 第 6 题图 6. 如图，以BCARt的斜边BC为一边在BCA的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O， 连接AO，如果26, 4AOAB，则AC的长为( ) A . 12 B8 C.34 D. 28 （浙江省竞赛试题） 7如图，正方形ABCD中， 0 35,MC

8、EMNCE，那么ANM是( ) A . 0 45 B 0 55 C. 0 65 D. 0 75 A B C D P P A B C D C D A 8如图，正方形ABCD的面积为 256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，CEFRt的面 积为 200，则BE的值是( ) A15 B12 C11 D10 第8题图 第7题图 AB M BC DACD E F N E 9如图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，BD与CE交于F点，求证：BEAF F E BC DA 10. 如图，在正方形ABCD中，E是AB边的中点，F是AD上的一点，且ADAF 4 1 求证：CE平分BCF BC AD E F

9、 11. 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，FEBCPFDCPE,分别是垂足 求证：EFAP （扬州市中考试题） F E BC AD P 12.（1）如图 1，已知正方形ABCD和正方形)(BCCGCGEF，GCB,在同一条直线上，M为 线段AE的中点探究：线段MFMD,的关系 （2）如图 2，若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转 0 45，使得正方形CGEF的对角线CE在正方 形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点试问： （1）中探究的结论是否成立？若成立，请证 明；若不成立，请说明理由 （大连市中考试题） 图 1 图 2 B 级级 1. 如图，在四边形ABCD中， 0 90

10、,ABCADCDCAD，ABDE 于E，若四边形 ABCD的面积为 8，则DE的长为_. 2.如图，M是边长为 1 的正方形ABCD内一点， 若 022 90, 2 1 CMDMBMA， 则M C D _. （北京市竞赛试题） 第3题图第1题图第2题图 O C B E BC A E B DAD M F A C 3.如图，在ABCRt中，3,900ACC，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形 的中心为O，且24OC，则BC的长为_. （ “希望杯”邀请赛试题） A B C D E F G M A B C D E F G M 4.如图：边长一定的正方形ABCD，Q是CD上一动点，AQ交B

11、D于M，过M作AQMN 交 BC于N点，作BDNP于点P，连接NQ，下列结论：MNAM ；BDMP 2 1 ； NQDQBN； BM BNAB 为定值，其中一定成立的是( ) A . B C. D. 5.如图，ABCD是正方形，ACBF /，AEFC是菱形，则ACF与F度数的比值是( ) A . 3 B4 C. 5 D. 不是整数 6.一个周长为 20 的正方形内接于一个周长为 28 的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形 的顶点的最大距离是( ) A . 58 B5 2 7 C. 8 D. 65 E.35 （美国高中考试题） 第7题图第5题图第4题图第6题图 Q BC F AB P N

12、 M BC DA CD DA Q E P 7.如图，正方形ABCD中，8AB，Q是CD的中点，设DAQ，在CD上取一点P，使 2BAP，则CP的长度等于 ( ) A . 1 B2 C. 3 D. 3 （ “希望杯”邀请赛试题） 8.已知正方形ABCD中，M是AB中点，E是AB延长线上一点，DMMN 且交CBE平分 线于N（如图 1） （1）求证：MNMD； （2）若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上任意一点”其余条件不变（如图 2） ， （1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （3）如图 2，点M是AB的延长线上（除B点外）的任意一点，其他条件不变，则（1

13、）中结论是 否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （临汾市中考试题） E 图3 图2 图1 N N AB N M A B AB DCCD E DC E M M 9.已知, 10 , 10ba求证： 22)1 ()1 ()1 ()1 ( 22222222 babababa 10.如果，点NM,分别在正方形ABCD的边CDBC,上，已知MCN的周长等于正方形ABCD周 长的一半，求MAN的度数 （ “祖冲之杯”邀请赛试题） AB DC M N 11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形ABCDEFGH， 对角线CGAE,分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：CGAE ，且CGAE （北京市竞赛试题） C B A H G F ED 12.如图，正方形MNBC内有一点A，以ACAB,为边向ABC外作正方形ABRT和正方形 ACPQ，连接BPRM,求证：RMBP/ （武汉市竞赛试题） M N P Q T BC AR