专题05 和差化积（8年级数学 培优新帮手）.doc

1、 专题专题 05 和差化积和差化积 因式分解的应用 阅读与思考：阅读与思考： 因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的 基础，其应用主要体现在以下几个方面： 1复杂的数值计算； 2代数式的化简与求值； 3简单的不定方程（组） ； 4代数等式的证明等. 有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果： 1. 422 4(22)(22)xxxxx; 2. 422 41(221)(221)xxxxx ; 3. 1(1)(1)ababab ； 4.1(1)(1)ababab ； 5. 333222 3()()abcabcabc abcabb

2、cac 例题与求解例题与求解 【例【例 1】已知0ab， 22 20aabb，那么 2 2 ab ab 的值为_ . （全国初中数学联赛试题） 解题思路解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求 a，b 之间的关系，代入关系求值 【例【例 2】a，b，c 是正整数，ab，且 2 7aabacbc，则ac等于( ). A. 1 B1 或7 C1 D.1 或 7 （江苏省竞赛试题） 解题思路解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手， 在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是 研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的

3、有力工具 求代数式的值的基本方法有； (1)代入字母的值求值； (2)代入字母间的关系求值； (3)整体代入求值 【例【例 3】计算：(1) 32 32 19972 19971995 199719971998 （“希望杯”邀请赛试题） （2） 44444 44444 11111 (2)(4)(6)(8)(10) 44444 11111 (1)(3)(5)(7)(9) 44444 （江苏省竞赛试题） 解题思路解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来 探求解题思路；对于(2)，可以先研究 4 1 () 4 x 的规律 【例【例 4】求下列方程的整数解

4、 (1)64970 xyxy; （上海市竞赛试题） (2) 22 2522007xxyy. （四川省竞赛试题） 解题思路解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点， 利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手 解不定方程的常用方法有： (1)穷举法； (2)配方法； (3)分解法； (4)分离参数法 用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识. 【例【例 5】已知3ab，2ab，求下列各式的值： (1) 22 a bab； (2) 22 ab； (3) 22 11 ab 解题思路解题思路：先分解因式再代入求值. 【例【例 6

5、】一个自然数a恰等于另一个自然数b的立方，则称自然数a为完全立方数，如 2733，27 就是一个完全立方数若a1995199319951995319951994199519923，求证：a是一个完全立方 数 （北京市竞赛试题） 解题思路解题思路：用字母表示数，将a分解为完全立方式的形式即可 能力训练能力训练 A 级级 1. 如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片 1 张，边长分别为a，b的长方形卡片 6 张， 边长为b的正方形卡片 9 张，用这 16 张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 _ （烟台市初中考试题） b a b ba a 2 已知 22 3,4xyxyxy， 则 443

6、3 xyxy x y的值为_ （江苏省竞赛试题） 3方程 2 5510 xxyxy 的整数解是_ （“希望杯”邀请赛试 题） 4. 如果 2 (1)1xmx是完全平方式，那么m的值为_ （海南省竞赛试题） 5. 已知 22 230 xxyy(0 xy)，则 xy yx 的值是( ) A2， 1 2 2 B2 C 1 2 2 D 1 2, 2 2 6当1xy， 433224 33xxyx yx yxyy的值为( ) A. 1 B0 C2 D1 7已知abc ， 222222 Ma bb cc aNabbcca，则 M 与 N 的大小关 系是( ) A. MN BMN CMN D不能确定 （“希望

7、杯”邀请赛试题） 8n为某一自然数，代入代数式 3 nn中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的 结果只能是( ) A. 388944 B.388945 C.388954 D.388948 （五城市联赛试题） 9计算： (1) 333 19991000999 1999 1000 999 （北京市竞赛试题） (2) 33 33 2222311112 2222311111 (安徽省竞赛试题) 10. 一个自然数a恰好等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数，如 6482，64 就 是一个完全平方数，若a19982199821999219992，求证：a是一个完全平方数 （北京市

8、竞赛试题） 11.已知四个实数a，b，c，d，且ab，cd，若四个关系式 22 4,b4aacbc， 8 2 acc， 2 8dad，同时成立. (1)求ac的值； (2)分别求a，b，c，d的值 （湖州市竞赛试题） B 级级 1已知n是正整数，且 42 16100nn是质数，那么n_ . （“希望杯”邀请赛试题） 2已知三个质数, ,m n p的乘积等于这三个质数的和的 5 倍，则 222 mnp_ . （“希望杯”邀请赛试题） 3.已知正数a，b，c满足3ababbcbcacca ，则 (1)(1)(1)abc_ . （北京市竞赛试题） 4在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因

9、式分解”法产生的密码，方便记忆原 理是：如对于多项式 44 xy，因式分解的结果是 22 ()()()xy xy xy，若取x9，y9 时，则各 个因式的值是： 22 ()0,()18,()162xyxyxy，于是就可以把“0181 62”作为一个六位数 的密码，对于多项式 32 4xxy，取x10，y10 时，用上述方法产生的密码是：_ （写出 一个即可） （浙江省中考试题） 5已知a，b，c是一个三角形的三边，则 444222222 222abca bb cc a的值( ) A.恒正 B恒负 C可正可负 D非负 (太原市竞赛试题) 6若x是自然数，设 432 2221yxxxx，则( )

10、A. y一定是完全平方数 B存在有限个x，使y是完全平方数 C. y一定不是完全平方数 D存在无限多个x，使y是完全平方数 7方程 22 23298xxyx的正整数解有( )组 A.3 B2 C1 D0 （“五羊杯”竞赛试题） 8方程24xyxy的整数解有( )组 A.2 B4 C6 D.8 （”希望杯”邀请赛试题） 9设 N695569410693106925691.试问有多少个正整数是 N 的因数？ （美国中学生数学竞赛试题） 10当我们看到下面这个数学算式 33 33 371337 1350 3724372461 时，大概会觉得算题的人用错了运算 法则吧，因为我们知道 33 33 aba

11、b cdcd 但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如 此，我们还可以写出任意多个这种算式： 33 33 313 1 3232 ， 33 33 5252 5353 ， 33 33 7373 7474 ， 33 33 107107 103103 ， 你能发现以上等式的规律吗？ 11.按下面规则扩充新数： 已有a，b两数，可按规则cabab 扩充一个新数，而以a，b，c三个数中任取两数， 按规则又可扩充一个新数，每扩充一个新数叫做一次操作. 现有数 1 和 4，求： (1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数； (2) 能否通过上述规则扩充得到新数 1999，并说明理由 （重庆市竞赛试题） 12.设k，a，b为正整数k被 22 ,a b整除所得的商分别为m，16m. (1)若a，b互质，证明 22 ab与 22 ,a b互质； (2)当a，b互质时求k的值； ( 3)若a，b的最大公约数为 5，求k的值 （江苏省竞赛试题）