专题16 等腰三角形的性质（8年级数学 培优新帮手）.doc

1、 专题专题 16 等腰三角形的性质等腰三角形的性质 阅读与思考阅读与思考 等腰三角形是一类特殊三角形，具有特殊的性质，这些性质为角度的计算、线段相等、直线位置关 系的证明等问题提供了新的理论依据因此，在解与等腰三角形相关的问题时，除了要运用全等三角形 知识方法外，又不能囿于全等三角形，应善于利用等腰三角形的性质探求新的解题途径，应熟悉以下基 本图形、基本结论 图 1 中， 0 1802AB ， 0 180 2 A BC ，22DACBC 图 2 中，只要下述四个条件： ABAC；12；CDDB；AD BC中任意两个成立，就可以推出其余两个成 立 例题与求解例题与求解 【例【例 1】如图，在AB

2、C 中，D 在 AC 上，E 在 AB 上，且 AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE， 则A=_ （五城市联赛试题） 解题思路：解题思路：图中有很多相关的角，用A 的代数式表示这些角，建立关于A 的等式 【例【例 2】如图，在ABC 中，已知BAC=900，AB=AC，D 为 AC 中点，AEBD 于 E，延长 AE 交 BC 于 F，求证：ADB=CDF （安徽省竞赛试题） 解题思路：解题思路：ADB 与CDF 对应的三角形不全等，因此，需构造全等三角形，而在等腰三角形中， 作顶角的平分线或底边上的高(中线)是一条常用的辅助线 B C A D 图 1 A D B C 1 2 图 2 A

3、B C D E A B C D E F 【例【例 3】如图，在ABC 中，AC=BC，ACB=900，D 是 AC 上一点，且 AE 垂直 BD 的延长线于 E， 又 AE= 1 2 BD，求证：BD 是ABC 的角平分线 （北京市竞赛试题） 解题思路：解题思路：ABC 的角平分线与 AE 边上的高重合，故应作辅助线补全图形，构造全等三角形、等 腰三角形 【例【例 4】如图，在ABC 中，BAC=BCA=440，M 为ABC 内一点，使MCA=300，MAC=160， 求BMC 度数 （北京市竞赛试题） 解题思路：解题思路：作等腰ABC 的对称轴(如图 1)，通过计算，证明全等三角形，又 44

4、0+160=600；可以 AB 为一边，向点 C 所在的一侧作等边ABN，连结 CN，MN(如图 2)；或以 AC 为一边，向点 B 所在的 一侧作等边ACN，连结 BN(如图 3) A E B C D B C M A B C M A 图1 D O B C M A 图2 N B C M A 图3 N 【例【例 5】如图，ABC 是边长为 1 的等边三角形，BDC 是顶角BDC=1200的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 600角， 角的两边分别交 AB 于 M， 交 AC 于 N， 连结 MN， 形成一个三角形 求证： AMN 的周长等于 2 （天津市竞赛试题） 解题思路：解题思路：欲证AMN

5、 的周长等于 2，只需证明 MN=BM+CN，考虑用补短法证明 【例【例 6】如图，ABC 中，ABC=460，D 是 BC 边上一点，DC=AB，DAB=210，试确定CAD 的度数 （北京市竞赛试题） 解题思路：解题思路：解本题的关键是利用 DC=AB 这一条件 能力训练能力训练 A 级级 1如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夹角为 450，那么这个等腰三角形的底角为_ 2如图，已知A=150，AB=BC=CD=DE=EF，则FEM=_ 3如图，在等边ABC 的 AC，BC 边上各取一点 P、Q，使 AP=CQ，AQ，BP 相交于点 O，则 BOQ=_. 4如图，在ABC 中，BCA=900

6、，BAC=600，BC=4，在 CA 的延长线取点 D，使 AD=AB，则 D，B 两点之间的距离是_ (第 2 题) B A C D E F M N A B C Q P O (第 3 题) A B C D (第 4 题) B D C A B A C D N M 5如图，在ABC 中，AB=AC，D 为 BC 上一点，BF=CD，CE=BD，那么EDF 等于（ ） A900- 1 2 A B900-A C1800-A D450- 1 2 A 6如图，在ABC 中，ACB=900，AC=AE，BC=BF，则ECF=（ ） A600 B450 C300 D不确定 （安徽省竞赛试题） F BC A

7、E D 第 5 题图 第 6 题图 7ABC 的一个内角的大小是 400，且A=B，那么C 的外角的大小是（ ） A1400 B800或 1000 C1000或 1400 D800或 1400 (“希望杯”邀请赛试题) 8三角形三边长a，b，c满足 1111 abcabc ，则三角形一定是（ ） A等边三角形 B以a为底边的等腰三角形 C以c为底边的等腰三角形 D等腰三角形 （北京市竞赛试题） 9如图，在ABC 中，AB=AC，D，E 分别是腰 AB，AC 延长线上的点，且 BD=CE，连结 DE 交 BC 于 G，求证：DG=EG （湖北省竞赛试题） A C B E F A B C D G

8、E 10如图，在ABC 中，BAC=900，AB=AC，BE 平分ABC，CEBE，求证：CE= 1 2 BD （江苏省竞赛试题） 11已知 RtABC 中，AC=BC，C=900，D 为 AB 边中点，EDF=900，将EDF 绕 D 点旋转， 它的两边分别交 AC，BC(或它们的延长线)于 E、F，当EDF 绕 D 点旋转到 DEAC 于 E 时(如图 1)， 易证：SDEF+SCEF= 1 2 SABC，当EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况 下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，SDEF，SCEF，SABC又有怎样的数量关系？

9、 请写出你的猜想，不需证明 （牡丹江市中考试题） 12如图，在ABC 中，AB=AC，BAC=800，O 为ABC 内一点，且OBC=100，OCA=200， 求BAO 的度数 （天津市竞赛试题） O A BC A B C A B C A B C E D F E D F D F 图 1 图 2 图 3 A B C D E B 级级 1如图，在ABC 中，ABC=1000，AM=AN，CN=CP，则MNP=_ 2如图，在ABC 中，AB=AC，BAC=900，直角EPF 的顶点 P 是 BC 的中点，两边 PE，PF 分别交 AB， AC 于点 E， F， 给出以下 4 个结论： AE=CF；

10、EPF 是等腰直角三角形； S四边形AEPF= 1 2 S ABC；EF=AP当EPF 在ABC 内绕顶点 P 旋转时(点 E 不与 A，B 重合)上述结论正确的是 _ （苏州市中考试题） 3如图，在ABC 中，AB=BC，M，N 为 BC 边上两点，并且BAM=CAN，MN=AN，则MAC 的度数是_ 4如图，在ABC 中，AB=AC，BAC 与ACB 的平分线相交于 D，ADC=1300，那么CAB 的大小是（ ） A800 B500 C400 D200 5如图，在ABC 中，BAC=1200，ADBC 于 D，且 AB+BD=DC，则C 的大小是（ ） A200 B250 C300 D4

11、50 6如图，在ABC 中，AC=BC，ACB=900，AE 平分BAC 交 BC 于 E，BDAE 于 D，DMAC 交 AC 的延长线于 M，连 CD，下列四个结论：ADC=450；BD= 1 2 AE；AC+CE=AB； AB-BC=2MC其中正确结论的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 7如图，已知ABC 为等边三角形，延长 BC 至 D，延长 BA 至 E，并且使 AE=BD，连结 CE、DE， 求证：CE=DE A B C D E A B C N M P (第 1 题) A B C P E F (第 2 题) A B C N M (第 3 题) A (第 4 题)

12、 B C D (第 5 题) A B C D A B D E C M (第 6 题) 8如图，ABC 中，已知C=600，ACBC，又ABC、ABC、ABC 都是ABC 外的等边 三角形，而点 D 在 AC 上，且 BC=DC 证明：CBDBDC； 证明：ACDDBA； 对ABC、ABC、ABC、ABC，从面积大小关系上，你能得出什么结论？ （江苏省竞赛试题） 9在ABC 中，已知 AB=AC，且过ABC 某一顶点的直线可将ABC 分成两个等腰三角形，试求 ABC 各内角的度数 （江苏省扬州中学测试题） 10如图，在ABC 中，C=900，CAD=300，AC=BC=AD，求证：CD=BD 11已知ABC 中，B 为锐角，从顶点 A 向边 BC 或 BC 的延长线引垂线交 BC 于 H 点，又从顶 点 C 向边 AB 或 AB 的延长线引垂线交 AB 于 K，试问：当 2BH BC ， 2BK AB 是整数时，ABC 是怎样的三 角形？并证明你的结论 （ “智能杯”通讯赛试题） A B C D A B C D A B C