专题13 三角形的基本知识（8年级数学 培优新帮手）.doc

1、 专题专题 13 三角形的基本知识三角形的基本知识 阅读与思考阅读与思考 三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题 来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、 三角形三边关系定理及推论、 三角形内角和定理及推论 等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用. 解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题 及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类. 应熟悉以下基本图形： 图4图3图2图1 C D B A D CB A D C B A D C O BA 例题与求解例题与求解 【例【例 1】

2、在ABC 中，A=50 ，高 BE，CF 交于 O，则BOC=_. （ “东方航空杯”上海市竞赛试题） 解题思路：解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性. 【例【例 2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 12cm 和 21cm 两部分，则这个等腰三角形 底边的长为（ ） A.17cm B.5cm C.5cm 或 17cm D.无法确定 （北京市竞赛试题） 解题思路：解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论. 【例【例 3】 如图，BE 是ABD 的平分线，CF 是ACD 的平分线，BE 与 CF 交于 G，若

3、BDC=140 ， BGC=110 ，求A 的大小. （ “希望杯”邀请赛试题） 解题思路：解题思路：运用凹四边形的性质计算. G C D B E F A 【例【例 4】 在ABC 中，三个内角的度数均为正数，且ABC，4C7A，求B 的度数. （北京市竞赛试题） 解题思路：解题思路：把A，C 用B 的代数式表示，建立关于B 的不等式组，这是解本题的突破口. 【例【例 5】 （1）周长为 30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？ （2）现有长为 150cm 的铁丝，要截成)2( nn小段，每段的长不小于 1cm 的整数，如果其中任意 3 小 段都不能拼成三角形，试求n的最大值.此时有

4、几种方法将该铁丝截成满足条件的n段. （江苏省竞赛试题） 解题思路：解题思路：对于（1） ，不妨设三角形三边为a，b，c，且cba，由条件及三角形三边关系定理可 确定c的取值范围，从而可以确定整数c的值. 对于（2） ，因n段之和为定值 150cm，故欲使n尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题 意可构造一个数列. 【例【例 6】 在三角形纸片内有 2 008 个点，连同三角形纸片的 3 个顶点，共有 2 011 个点，在这些点中， 没有三点在一条直线上.问： 以这 2 011 个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角 形？ （天津市竞赛试题） 解题思路：解题思路：本

5、题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加 1 个内点，就增加了 2 个三角形和 3 条边. 能力训练能力训练 A 级级 1.设a，b，c是ABC 的三边，化简cbacba=_. 2.三角形的三边分别为 3，a21，8，则a的取值范围是_. 3.已知一个三角形三个外角度数比为 2:3:4，这个三角形是_（按角分类)三角形. 4.如图，A+B+C+D+E 的度数为_. （ “缙云杯“试题） E D C B A H DC M G BA E CB A （第 4 题） （第 5 题） （第 6 题） 5.如图，已知 ABCD，GM，HM 分别是AGH，CHG 的角平分线，那么GMH=_. T E D G

6、 H CB A F 2 1 A C E D B （第 7 题） （第 9 题） 6.如图，ABC 中，两外角平分线交于点 E，则BEC 等于（ ） A.)90( 2 1 A B.A 2 1 90 C.)180( 2 1 A D.A 2 1 180 7.如图，在ABC 中，BD，BE 分别是高和角平分线，点 F 在 CA 的延长线上，FHBE 交 BD 于 G， 交 BC 于 H.下列结论： DBE=F；2BEF=BAF+C；F= 2 1 （BAC-C） ；BGH=ABE+C. 其中正确的是（ ） A. B. C. D. 8.已知三角形的每条边长的数值都是 2 001 的质因数，那么这样的不同的

7、三角形共有（ ） A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个 9.如图，将纸片ABC 沿着 DE 折叠压平，则（ ） A.A=1+2 B.A= 2 1 （1+2） C.A= 3 1 （1+2） D.A= 4 1 （1+2） （北京市竞赛试题） 10.一个三角形的周长是偶数， 其中的两条边分别是4和1 997， 则满足上述条件的三角形的个数是 （ ） A.1 个 B.3 个 C.5 个 D.7 个 （北京市竞赛试题） 11.如图，已知3=1+2，求证：A+B+C+D=180 . （河南省竞赛试题） 3 2 1 E G F D C B A 12.平面内，四条线段 AB，BC，CD，DA 首尾顺

8、次连接，ABC=24 ，ADC=42 . （1）BAD 和BCD 的角平分线交于点 M（如图 1） ，求AMC 的大小. （2）点 E 在 BA 的延长线上，DAE 的平分线和BCD 平分线交于点 N（如图 2） ，求ANC. C D M B A E N D C B A 图 1 图 2 13.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，E 位于线段 CA 上，D 位于线段 BE 上. （1）证明：AB+AEDB+DE； （2）证明：AB+ACDB+DC； （3）AB+BC+CA 与 2（DA+DB+DC）哪一个更大？证明你的结论； （4）AB+BC+CA 与 DA+DB

9、+DC 哪一个更大？证明你的结论. （加拿大埃蒙德顿市竞赛试题） E D C B A B 级级 1.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是 4，但不是最短边，这样的三角形的 个数有_个. （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 2.以三角形的 3 个顶点和它内部的 9 个点共 12 个点为顶点能把原三角形分割成_个没有公共部分 的小三角形. 3.ABC 中，A 是最小角，B 是最大角，且有 2B=5A，若B 的最大值是 m，最小值是 n， 则nm_. （上海市竞赛试题） 4.如图，若CGE=，则A+B+C+D+E+F=_. （山东省竞赛试题） G F E D C B A D A2 A1 C B

10、A （第 4 题） （第 5 题） 5.如图，在ABC 中，A=96，延长 BC 到 D，ABC 与ACD 的平分线相交于 1 A点，BCA1与 CDA1的平分线相交于 2 A点，依此类推，BCA4与CDA4的平分线相交于 5 A点，则 5 A的大小 是（ ） A.3 B.5 C.8 D.19.2 6.四边形 ABCD 两组对边 AD，BC 与 AB，DC 延长线分别交于点 E，F，AEB，AFD 的平分线交于 点 P.A=64，BCD=136，则下列结论中正确的是（ ） EPF=100； ADC+ABC=160； PEB+PFC+EPF=136； PEB+PFC=136. A. B. C.

11、D. F E D P C B A 7.三角形的三角内角分别为，且，2，则的取值范围是（ ） A. 4536 B. 6045 C. 9060 D. 3245 （重庆市竞赛试题） 8.已知周长小于 15 的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为 3，这样的三角形有（ ） A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个 （山东省竞赛试题） 9.不等边ABC 的两条高的长度分别为 4 和 12，若第三条高的长也是整数，试求它的长. （第三十二届美国邀请赛试题） 10.设m，n，p均为自然数，满足pnm且15pnm，试问以m，n，p为三边长的三角 形有多少个？ 11.锐角三角形用度数来表示时，所有角的

12、度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的 4 1 ，求满足 此条件的所有锐角三角形的度数. （汉城国际数学邀请赛试题） 12.如图 1，A 为x轴负半轴上一点，B 为x轴正半轴上一点，C（0，-2） ，D（-2，-2）. （1）求BCD 的面积； （2）如图 2，若BCO=BAC，作 AQ 平分BAC 交y轴于 P，交 BC 于 Q. 求证：CPQ=CQP； （3）如图 3，若ADC=DAC，点 B 在x轴正半轴上运动，ACB 的平分线交直线 AD 于 E，DFAC 交y轴于 F， FM 平分DFC 交 DE 于 M， E DMFBCF 2 的值是否发生变化？证明你的结论. y x A C

13、D BO x y Q C P D O B A 图 1 图 2 x y O B F CD M A E 图 3 13.如图 1，), 0(mA，)0 ,(nB.且m，n满足0)42(3 2 nm. OB A x y C A P F BE O x y 图 1 图 2 （1）求 A，B 的坐标； （2）C 为y轴正半轴上一动点，D 为BCO 中BCO 的外角平分线与COB 的平分线的交点，问是否 存在点 C，使D= 4 1 COB.若存在，求 C 点坐标； （3）如图 2，C 为y轴正半轴上 A 的上方一动点，P 为线段 AB 上一动点，连 CP 延长交x轴于 E， CAB 和CEB 平分线交于 F，点 C 在运动过程中 F ECOABO 的值是否发生变化？若不 变求其值；若变化，求其范围.