专题04 和差化积-因式分解的方法（2）（8年级数学 培优新帮手）.doc

1、 专题专题 04 和差化积和差化积-因式分解的方法（因式分解的方法（2） 阅读与思考阅读与思考 因式分解还经常用到以下两种方法 1主元法 所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按 降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法 2待定系数法 即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式 子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一 般步骤是： （1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数； （2）利用恒等式对应项系数相等的性质，

2、列出含有待定系数的方程组； （3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解 例题与求解例题与求解 【例【例 l】xyzyzxyzxxzzyyx2 222222 因式分解后的结果是（ ） Azxyxzy Bzxyxzy Czxyxzy Dzxyxzy （上海市竞赛题） 解题思路解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多 项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口 【例【例 2】分解因式：】分解因式： （1）bcacabcba54332 222 ； （ “希望杯”邀请赛试题） （2）zyxyxyzyxzxx 22223 22

3、42 （天津市竞赛题） 解题思路解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元 法分解 【例【例 3】分解因式1) 12() 12( 2223 axaaxax （ “希望杯”邀请赛试题） 解题思路：解题思路：因a的最高次数低于x的最高次数，故将原式整理成字母a的二次三项式 【例【例 4】k为何值时，多项式kyxyxyx1082 22 有一个因式是?22 yx （ “五羊杯”竞赛试题） 解题思路：解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手 【例【例 5】把多项式12544 234 xxxx写成一个多项式的完全平方式.

4、（江西省景德镇市竞赛题） 解题思路：解题思路：原多项式的最高次项是 4 4x，因此二次三项式的一般形式为baxx 2 2，求出ba、即 可 【例【例 6】如果多项式15)5( 2 axax能分解成两个一次因式)(bx，)(cx的乘积（cb,为 整数） ，则a的值应为多少？ （江苏省竞赛试题） 解题思路：解题思路： 由待定系数法得到关于acb,的方程组， 通过消元、 分解因式解不定方程， 求出acb,的 值 能力训练能力训练 A 级级 1分解因式： 222 449cbcba_ （ “希望杯”邀请赛试题） 2分解因式： 22 635yyxxyx_ （河南省竞赛试题） 3分解因式：)(3)( 3 2

5、2 yxyyxx_ （重庆市竞赛试题） 4多项式786 22 yxyx的最小值为_ （江苏省竞赛试题） 5把多项式8222 22 yxyxyx分解因式的结果是（ ） A)2)(4(yxyx B)8)(1(yxyx C )2)(4(yxyx D)8)(1(yxyx 6已知12 2 axx能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 7若43 23 kxx被13 x除后余 3，则k的值为（ ） A2 B4 C9 D10 （ “CASIO 杯”选拔赛试题） 8若 5 1 ba，13 ba，则 5 3 9123 22 baba的值是（ ）

6、 A 9 2 B 3 2 C 5 4 D0 （大连市“育英杯”竞赛试题） 9分解因式： （1）acbcabba22 22 ； （吉林省竞赛试题） （2）)(4)( 2 bacbac； （昆明市竞赛试题） （3）axaxx2)2(3 23 ； （天津市竞赛试题） （4）122672 22 yxyxyx； （四川省联赛试题） （5） 2 ) 1() 2 1 (2)3() 1(yxyxxyxyxy （天津市竞赛试题） 10如果1)4)(xax能够分割成两个多项式bx和cx的乘积（cb、为整数） ，那么a应为多 少？ （兰州市竞赛试题） 11已知代数式243 22 byxyxyx能分解为关于yx,的一

7、次式乘积，求b的值 （浙江省竞赛试题） B 级级 1若kxxx33 23 有一个因式是1x，则k_ （ “希望杯”邀请赛试题） 2设ykxxyxx423 23 可分解为一次与二次因式的乘积，则k_ （ “五羊杯”竞赛试题） 3已知4 yx是43 22 ymxyx的一个因式，则m_ （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 4多项式65 22 yxbyaxyx的一个因式是2 yx，则ba的值为_ （北京市竞赛试题） 5若8 23 bxaxx有两个因式1x和2x，则ba（ ） A8 B7 C 15 D21 E22 （美国犹他州竞赛试题） 6多项式2512445 22 xyxyx的最小值为（ ） A4 B5 C

8、16 D25 （ “五羊杯”竞赛试题） 7若1364983 22 yxyxyxM（yx,为实数） ，则 M 的值一定是（ ） A正数 B负数 C零 D整数 (“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题） 8设nm,满足01610 2222 mnnmnm，则),(nm（ ） A （2，2）或（2，2） B （2，2）或（2，2） C （2，2）或（2，2） D （2，2）或（2，2） （ “希望杯”邀请赛试题） 9k为何值时，多项式2532 22 yxkyxyx能分解成两个一次因式的积？ （天津市竞赛试题） 10证明恒等式： 222444 )(2)(babababa （北京市竞赛试题） 11已知整数cba,，使等式) 1)(11()10()(xxxcbxax对任意的x均成立，求c的值 （山东省竞赛试题） 12证明：对任何整数yx,，下列的值都不会等于 33 54322345 1241553yxyyxyxyxx （莫斯科市奥林匹克试题）