专题22 直线、射线与线段（7年级数学 培优新帮手）.doc

1、 专题 22 直线、射线与线段（录入：王云峰录入：王云峰） 阅读与思考阅读与思考 构成平面图形的基本元素是点和线，在几何图形中，点无大小，线无宽窄，它们都是抽象思维的产 物，点与线有着密切的联系，点运动成线，线与线相交的地方形成点，一条线确定了两个端点，线的长 短也就确定了，从这个意义上讲，点是线的界限 在线中，最简单、最常见的就是直线、射线、线段，它们是最基本的图形，它们的概念、性质及画 图是今后研究由线段所组成的比较复杂图形（如三角形、四边形等）的基础，解与直线、射线、线段相 关问题常涉及如下知识与方法： 1直线、射线、线段的区别与联系 2线段中点的概念 3枚举法、分类讨论法 例题与求解例

2、题与求解 【例 1】已知一条直线上有 A，B，C 三点，线段 AB 的中点为 P，AB10，线段 BC 的中点为 Q， BC6，则线段 PQ 的长为 （江苏省竞赛试题） 解题思路解题思路：未给出图形，注意 C 点位置有多种可能 【例 2】在一条直线上已知四个不同的点依次是 A，B，C，D，那么到 A，B，C，D 的距离之和最小 的点（ ） A可以是直线 AD 外的某一点 B只有点 B 或点 C C只是线段 AD 的中点 D有无穷多个 （全国初中数学联赛试题） 解题解题思路思路：直线上的四个点把直线分成五部分，就每一种情况画图表示出到 A，B，C，D 的距离， 从直观的图形中作出判断 【例 3】

3、如图，C 是线段上的一点，D 是 BC 的中点，已知图中所有线段的长度之和为 23，线段 AC 的长度与线段 BC 的长度都是正整数，求线段 AC 的长 （ “希望杯”邀请赛试题） 解题思路解题思路：解题的关键是将每一条线段用 AC 或 BC 来表示，依题意可列一个关于 AC，BC 的方程， 讨论此不定方程的正整数解 【例 4】如图所示，点 C 为线段 AB 的中点，点 E 为线段 AB 上的点，点 D 为线段 AE 的中点 （1）若线段 ABa，CEb， 2 15(4.5)ab0，求a，b （2）如图，在（1）的条件下，求线段 DE 的长 （3）如图，若 AB15，AD2BE，求线段 CE

4、的长 （湖北省武汉市调考试题） 解题思路解题思路：将几何问题代数化，对于（3） ，引入未知数，列方程求解 【例 5】 （1）一条直线可以把平面分成两个部分（或区域） ，如图，两条直线可以把平面分成几个部 分？三条直线可以把平面分成几个部分？试画图说明 （2）四条直线最多可以把平面分成几个部分？试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系 （3）平面上有n条直线，每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的n条 直线分一个平面所成的区域最多，记为 n a，试研究 n a与n之间的关系 （山东省聊城市中考试题） 解题思路解题思路：从简单情形入手，由简到繁，归纳发现规律 l 2 1 AB

5、CDE 图 ABCDE 图 ABCD 【例 6】 已知线段 ABm， CDn， 线段 CD 在直线上运动 （A 在 B 左侧， C 在 D 左侧） ， 若2mn 与 2 (6)n互为相反数 （1）求线段 AB，CD 的长 （2）M，N 分别是线段 AC，BD 的中点，若 BC4，求 MN （3）当 CD 运动到某一时刻时，D 点与 B 点重合，P 是线段延长线上任意一点，下列两个结论： PAPB PC 是定值； PAPB PC 是定值可以证明，有且只有一个结论是正确的，请你作出正确的 选择并画图求值 （浙江省宁波市中考试题改编） 解题思路解题思路： （1）2mn与(6)n的平方互为相反数，可以

6、推出二者都为零，否则一个正数是不可 能等于一个负数的，所以n6，m12 （2）需要分类讨论：如图，当点 C 在点 B 左侧时，根据“M，N 分别为线段 AC，BD 的中点” ， 先计算出 AM，DN 的长度，然后计算 MNADAMDN；如图，当点 C 位于点 B 右侧时，利用线 段间的和差关系求得 MN 的长度 （3）能计算出或的值是一个常数的，即为符合题意的结论 能力训练能力训练 A 级级 1已知点 O 在直线 AB 上，且线段 OA 的长度为 4cm，线段 OB 的长度为 6cm，E，F 分别为线段 A，OB 的中点，则线段 EF 的长度为 （黑龙江省中考试题） 2如图，线段 ABBCCD

7、DE1 厘米，那么图中所有线段的长度之和等于厘米 （“希望杯”邀请赛试题） 3如图，B，C，D依次是上的三点，已知AE8.9cm，BD3cm，则图中以A，B，C，D，E这5 个点为端点的所有线段长度的和为cm ABCDE （ 中学生数理化读刊用刊知识竞赛试题） 4平面内两两相交的 8 条直线，其交点个数最少为，最多为 （“希望杯”邀请赛试题） 5直线a，b，c，d，e共点O，直线l与上述五条直线分别交于A，B，C，D，E五点，则上述 图形中共有线段（ ）条 A4 B5 C10 D15 6如图，点 A，B，C 顺次在直线上，M 是线段 AC 的中点，N 是线段 BC 的中点若想求出 MN 的长度

8、，则只需条件（ ） AAB12 BBC4 CAM5 DCN2 （海南省竞赛试题） 7如图，A，B，C，D四点在同一直线上，M是线段AB的中点，N是线段DC的中点，MNa， BCb则 AD（ ） Aab B2ab C2ba D2ab 8如图，AC 1 3 AB，BD 1 4 AB，且 AECD，则 CE 为 AB 长的（ ） A 1 6 B 1 8 C 1 12 D 1 16 9已知线段 AB6 （1）取线段 AB 的三等分点，这些点连同线段 AB 的两个端点可以组成多少条线段？求这些线段长 度的和 （2） 再在线段 AB 上取两种点：第一种是线段 AB 的四等分点；第二种是线段 AB 的六等分

9、点，这些 点连同（1）中的三等分点和线段 AB 的两个端点可以组成多少条线段？求这些线段长度的和 （湖北省武汉市武昌区期末调考试题） ABCDE A l BCDE O a bc d e ABCMN ABCDMN ABCDE 10已知 AB60cm，点 C 是直线 AB 上不同于 A，B 的点，M 为 AC 中点，N 是 BC 中点，求 MN 的长度 11如图，已知点 A，B，C 是数轴上三点，点 C 对应的数为 6，BC4，AB12 （1）求点 A，B 对应的数； （2）动点 P，Q 同时从 A，C 出发，分别以每秒 6 个单位和 3 个单位的速度沿数轴正方向运动M 为 AP 的中点，N 在

10、CQ 上，且 CN 1 3 CQ，设运动时间t（t0） 求点 M，N 对应的数（用含t的式子表示） t为何值时，OM2BN？ B 级级 1把线段 AB 延长至 D，使 BD 3 2 AB，再延长 BA 至 C，使 CAAB，则 BC 是 CD 的倍 2如图，ABBCCD234，AB 的中点 M 与 CD 的中点 N 的距离是 3 厘米，则 BC 厘米 3如图，C 是线段 AB 的中点，D 是线段 CB 上的一点，若所有线段的长度都是正整数，且线段 AB 的所有可能的长度数的乘积等于 140，则线段 AB 的所有可能的长度数的和等于 （ “希望杯”邀请赛试题） 4如图，已知 B，C 是线段 AD

11、 上的两点，M 是 AB 的中点，N 是 CD 的中点，若 MNa，BCb， 则线段 AD 5如图，已知数轴上点 A，B，C 所对应的数a，b，c都不为 0，且 C 是 AB 的中点如果 222abacbcabc0，那么原点 O 的位置在（ ） A线段 AC 上 B线段 CA 的延长线上 C线段 BC 上 D线段 CB 的延长线上 （江苏省竞赛试题） ABC 0 ABCDMN ABCD ABCDMN ABC ac b 6如图，已知 B 是线段 AC 上的一点，M 是线段 AB 的中点，N 为线段 AC 的中点，P 为 NA 的中 点，Q 为 MA 的中点，则 MNPQ 等于（ ） A1 B2

12、C3 D4 7平面上有四个点，经过其中每两个点画一条直线，那么一共可以画直线（ ） A6 条 B1 条或 3 条或 6 条 C1 条或 4 条 D1 条或 4 条或 6 条 8如图，在一条笔直的公路上有 7 个村庄，其中 A，B，C，D，E，F 离城市的距离分别为 4，10， 15，17，19，20 公里，而村庄 G 正好是 AF 的中点，现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中 心的路程之和最短，则活动中心应建在（ ） AA 处 BC 处 CG 处 DE 处 （江苏省竞赛试题） 9电子跳蚤游戏盘为ABC，AB8a，AC9a，BC10a，如果电子跳蚤开始时在 BC 边上 P0 点，BP04

13、a，第一步跳蚤跳到 AC 边上 P1点，且 CP1CP0；第二步跳蚤从 P1跳到边上 P2点，且 AP2 AP1； 第三步跳蚤从 P2跳到 BC 边上 P3点， 且 BP3BP2跳蚤按上述规则跳下去， 第 2001 次落到 P2001， 请计算 P0与 P2001之间的距离 （ “华杯赛”邀请赛试题） 10设有甲、乙、丙三人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度为步行速度的 3 倍现甲自 A 地去 B 地，乙、丙则从 B 地去 A 地，双方同时出发，出发时，甲、乙为步行，丙骑车途 中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按各自原有方向继续前进；当甲、乙相遇 时，甲将车

14、给乙骑，自己又步行，三人仍按各自原有方向继续前进问：三人之中谁最先到达自己的目 的地？谁最后到达自己的目的地？ （ “华罗庚金杯”竞赛试题） QABCMNP ABCDEFG 城市 11已知数轴上 A，B 两点对应数分别为2 和 4，P 为数轴上一点，对应数为x （1）若 P 为线段 AB 的三等分点，求 P 点对应的数 （2）数轴上是否存在点 P，使 P 点到 A 点，B 点距离和为 10？若存在，求出x值；若不存在，请说 明理由 （3）若点 A、点 B 和点 P（点 P 在原点）同时向左运动，它们的速度分别为 1，2，1 个（长度单位 /分） ，则第几分钟时，P 为 AB 的中点？ 12条直线顺次排列着 1990 个点：P1，P2，P1990，已知点 k P是线段 11kk PP 的k等分点当中 最靠近巧 1k P的那个点（2k1989） ，如 P5是线段 P4P6的 5 等分点当中最靠近 P6的那个分点如果 线段 P1P2的长度是 1，线段 P1989P1990的长度为t 求证： 1 t 1988 19873 2 （浙江省竞赛试题）