专题10 最优化(9年级数学 培优新帮手).doc
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1、 专题专题 10 10 最优化最优化 阅读与思考阅读与思考 数学问题中常见的一类问题是:求某个变量的最大值或最小值;在现实生活中,我们经常碰到一些 带有“最”字的问题,如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等,这类问题我们称之 为最值问题,解最值问题的常见方法有: 1配方法 由非负数性质得0 2 ba 2不等分析法 通过解不等式(组) ,在约束条件下求最值 3运用函数性质 对二次函数0 2 acbxaxy,若自变量为任意实数值,则取值情况为: (1)当0a, a b x 2 时, a bac y 4 4 2 最小值 ; (2)当0a, a b x 2 时, a bac y 4 4
2、2 最大值 ; 4构造二次方程 利用二次方程有解的条件,由判别式0确定变量的取值范围,进而确定变量的最值 例题与求解例题与求解 【例【例 1】当x变化时,分式 1 2 1 563 2 2 xx xx 的最小值是 (全国初中数学联赛试题) 解题思路:解题思路:因分式中分子、分母的次数相等,故可将原分式用整式、真分式的形式表示,通过配方 确定最小值 【例【例 2】已知1y,且12 yx,则 22 3162yxx的最小值为( ) A. 7 19 B. 3 C. 7 27 D. 13 (太原市竞赛试题) 解题思路:解题思路:待求式求表示为关于 x(或 y)的二次函数,用二次函数的性质求出最小值,需注意
3、的是变 量 x、y 的隐含限制 【例【例 3】 2 13 2 2 x xf,在bxa的范围内最小值 2a,最大值 2b,求实数对(a,b). 解题思路解题思路:本题通过讨论 a,b 与对称轴0 x的关系得出结论 【例【例 4】 (1)已知 2 1 1xxy的最大值为 a,最小值 b,求 22 ba 的值 ( “ 数学周报杯”竞赛试题) (2)求使1684 2 2 xx取得最小值的实数x的值 (全国初中数学联赛试题) (3)求使201641412949 2222 yyyxyxx取得最小值时 x,y 的值 ( “我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题) 解题思路:解题思路:解与二次根式相关的最值问题,
4、除了利用函数增减性、配方法等基本方法外,还有下列 常用方法:平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等 【例【例 5】如图,城市 A 处位于一条铁路线上,而附近的一小镇 B 需从 A 市购进大量生活、生产用品, 如果铁路运费是公路运费的一半,问:该如何从 B 修筑一条公路到铁路边,使从 A 到 B 的运费最低? (河南省竞赛试题) 解题思路:解题思路:设铁路与公路的交点为 C,ACx 千米,BCy 千米,ADn 千米,BDm 千米,又设 铁路每千米的运费为 a 元,则从 A 到 B 的运费aymynaS2 22 ,通过有理化,将式子整理 为关于y的方程 【例【例 6】 (1)设 r x,
5、1r x, k x(rk ) ,为 kr1 个互不相同的正整数,且 xrxr1 xk2003,求k的最大可能值 (香港中学竞赛试题) (2)a,b,c 为正整数,且 432 cba,求 c 的最小值 (全国初中数学联赛试题) 解题思路:解题思路:对于(1),因 r1,对 kr1 k11k 个正整数 x1,x2,xk,不妨设 x1x2 xk2013,可见,只有当各项 x1,x2,xk的值愈小时,才能使 k 愈大(项数愈多) ,通过放缩求 k 的最大值;对于(2) ,从 222 bacac入手 能力训练能力训练 A 级级 1已知三个非负数 a,b,c,满足 3a2bc5 和 2ab3c1,若 m3
6、ab7c,则 m 的最 小值为_,最大值为 2多项式 p2x24xy5y212y13 的最小值为 3已知 x,y,z 为实数,且 x2yz6,xy2z3,那么 x2y2z2的最小值为 ( “希望杯”邀请赛试题) 4若实数 a,b,c,满足 a2b2c29,则代数式(ab)2(bc)2(ca)2的最大值为 ( ) (全国初中数学联赛试题) 5已知两点 A(3,2)与 B(1,1),点 P 在 y 轴上且使 PAPB 最短,则 P 的坐标是( ) A.(0, 2 1 ) B.(0,0) C.(0, 6 11 ) D.(0, 4 1 ) (盐城市中考试题) 6正实数x,y满足1xy,那么 44 4
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