专题27 面积法（8年级数学 培优新帮手）.wps

1、 专题 专题 27 面积法面积法 阅读与思考阅读与思考 平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角 所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方 法有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以 借助于有关面积的知识求解，常常简捷明快 用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得 到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果 下列情况可以考虑用面积法： （1）涉及三角形的高、垂线等问题； （2）涉及角平分线的问题 例题与

2、求解例题与求解 【例【例1】 】 如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这 个等边三角形的边长为_ (全国初中数学联赛试题) 解题思路：解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手 等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？ D E F A BC P 【例 【例2】 】 如图，AOB中，O 0 90，OAOB，正方形 CDEF 的顶点C 在 DA 上，点 D 在 OB 上， 点F在AB上，如果正方形CDEF 的面积是AOB的面积的 5 2 ，则OC：OD等于( ) A3：1 B2：1 C3：2 D5：3 解

3、题思路解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解 决 E F A O B D C 【例【例3】 如图，在ABCD 中，E为 AD 上一点，F为AB 上一点，且 BEDF，BE 与DF 交于G， 求证：BGCDGC. （长春市竞赛试题） 解题思路： 解题思路：要证BGCDGC，即证CG 为BGD 的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口 G D B C A F E 【例【例4】 如图，设 P为ABC内任意一点，直线 AP，BP，CP 交 BC，CA，AB 于点 D、E、F. 求证：（1）1 CF PF BE PE AD PD ； （2）2 CF PC B

4、E PB AD PA . （南京市竞赛试题） 解题思路解题思路：过P点作平行线，产生比例线段. E P B A C D F 【例【例5】 如图，在ABC 中，E，F，P分别在BC，CA，AB上，已知 AE，BF，CP 相交于一点 D，且 1994 DP CD DF BD DE AD ，求 DP CD DF BD DE AD 的值. 解题思路：解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值. （黄冈市竞赛试题） F D A B C E P 【例【例6】如图，设点E，F，G，H 分别在面积为 1 的四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD， DA 上，且 k HA DH GD CG FC BF E

5、B AE （k是正数），求四边形 EFGH 的面积 （河北省竞赛试题） 解题思路：解题思路：连对角线，把四边形分割成三角形，将线段的比转化为三角形的面积比 线段比与面积比的相互转化，是解面积问题的常用技巧转化的基本知识有： (1) 等高三角形面积比，等于它们的底之比； (2) 等底三角形面积比，等于它们的高之比； (3) 相似三角形面积比，等于它们相似比的平方 AB C D H E F G 能力训练能力训练 1如图，正方形 ABCD 的边长为4cm，E是 AD 的中点，BMEC，垂足为M，则 BM_. （福建省中考试题） 2如图，矩形 ABCD 中，P为AB 上一点，AP 2BP，CEDP 于

6、 E，ADa，ABb，则 CE_. （南宁市中考试题） M E AD B C E D A C B P 121 48 144 25 C B A H G F D E Q T P R 第 1题图 第 2 题图 第 3题图 3如图，已知八边形 ABCDEFGH 中四个正方形的面积分别为 25，48，121，114，PR13，则该 八边形的面积为_. （江苏省竞赛试题） 4. 在ABC 中，三边长为3a，4b，6c， a h表示a边上的高的长， b h， c h的意义类似， 则( a h b h c h) cba hhh 111 的值为_. （上海市竞赛试题） 5如图，ABC 的边 AB2，AC3，分别

7、表示以 AB，BC，CA 为边的正方形，则图 中三个阴影部分的面积之和的最大值是_. （全国竞赛试题） 6如图，过等边ABC 内一点 P 向三边作垂线，PQ6，PR8，PS10，则ABC 的面积是 ( ) A. 3192 B. 3190 C. 3194 D. 3196 （湖北省黄冈市竞赛试题） E B A D C R S Q A P CB D B C A 第 5题图 第 6 题图 第 7题图 7如图，点 D 是ABC 的边 BC 上一点，若CADDAB 0 60，AC3，AB6，则 AD 的长 是( ) A2 B. 2 1 2 C.3 D. 2 1 3 8如图，在四边形 ABCD 中，M，N

8、分别是 AB，CD 的中点，AN，BN，DM，CM 划分四边形所 成的7个区域的面积分别为 1 S， 2 S， 3 S， 4 S， 5 S， 6 S， 7 S，那么恒成立的关系式是( ) A. 2 S+ 6 S= 4 S B. 1 S+ 7 S= 4 S C. 2 S+ 3 S= 4 S D 1 S+ 6 S= 4 S S1 S2 S6 S7 S5 S3 S4 N M A B D C 9已知等边ABC 和点 P，设点 P 到ABC 三边 AB，AC，BC 的距离分别为 1 h， 2 h， 3 h， ABC的高为h若点P在一边 BC 上（如图 1），此时0 3 h，可得结论： 1 h 2 h 3

9、 hh. 请直接用上述信息解决下列问题： 当点 P在ABC 内（如图 2）、点 P在ABC 外（如图 3）这两种情况时，上述结论是否还成立？ 若成立请给予证明；若不成立， 1 h， 2 h， 3 h与h之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明 （黑龙江省中考试题） 图3图2图1 M MM F E D A F E D A E D A BC P BC P BC P 10.如图，已知D，E，F分别是锐角ABC 的三边BC，CA，AB上的点，且 AD、BE、CF 相交于 P 点，APBPCP6，设PDx，PEy，PFz，若28zxyzxy，求xyz的值 （“希望杯”邀请赛试题） E P D A C

10、B F 11.如图，在凸五边形 ABCDE 中，已知 ABCE，BCAD，BECD，DEAC，求证：AEBD. （加拿大数学奥林匹克试题） R P Q E D C B A F D A B C E 12.如图，在锐角ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 边上的三等分点. P，Q，R 分别是 ADF，BDE，CEF的三条中线的交点. (1) 求DEF与ABC的面积比； (2) 求PDF与ADF的面积比； (3) 求多边形PDQERF与ABC 的面积比. 13 如 图 ， 依 次 延 长 四 边 形 ABCD 的 边 AB ， BC ， CD ， DA 至 E ， F ， G ， H ， 使 m DA AH CD DG BC CF AB BE ， 若 ABCDEFGH SS 四边形四边形 2，求m的值 （上海市竞赛试题） H E F G A D C B 14. 如图，一直线截ABC 的边 AB，AC 及 BC 的延长线分别交于 F，E，D 三点，求证： 1 FB AF EA CE DC BD （梅涅劳斯定理） E BD A C F 15如图，在ABC中，已知 2 1 FA FB EC EA DB DC ，求 ABC GHI S S 的值. （“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题） H G I D F C A B E