专题21 梯形（8年级数学 培优新帮手）.doc

1、 专题专题 21 梯形梯形 阅读与思考阅读与思考 梯形是一类具有一组对边平行而另一组对边不平行的特殊四边形，梯形的主要内容是等腰梯形、直 角梯形等相关概念及性质. 解决梯形问题的基本思路是：通过适当添加辅助线，把梯形转化为三角形或平行四边形，常见的辅 助线的方法有： （1）过一个顶点作一腰的平行线（平移腰） ； （2）过一个顶点作一条对角线的平行线（平移对角线） ； （3）过较短底的一个顶点作另一底的垂线； （4）延长两腰，使它们的延长线交于一点，将梯形还原为三角形 如图所示： 例题与求解例题与求解 【例例 1】如图，在四边形 ABCD 中，AB/CD，D2B，AD 和 CD 的长度分别为a，

2、b，那么 AB 的长是_. （荆州市竞赛试题） 解题思路解题思路：平移一腰，构造平行四边形、特殊三角形 A CD B 【例【例 2】如图 1，四边形 ABCD 是等腰梯形，AB/CD由四个这样的等腰梯形可以拼出图 2 所示的 平行四边形 （1）求四边形 ABCD 四个内角的度数； （2）试探究四边形 ABCD 四条边之间存在的等量关系，并说明理由； （3）现有图 1 中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图 （山东省中考试题） 解题思解题思路路：对于（1） 、 （2） ，在观察的基础上易得出结论，探寻上、下底和腰及上、下底之间的关 系，从作出梯形的常见辅助线入

3、手；对于（3） ，在（2）的基础上，展开想象的翅膀，就可设计出若干 种图形 图2图1 BA CD 【例【例 3】如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，ABDC，且 ACBD，AF 是梯形的高，梯形的面 积是 49cm2，求梯形的高. （内蒙古自治区东四盟中考试题） 解题思路解题思路：由于题目条件中涉及对角线位置关系，不妨从平移对角线入手 F O A D C B 【例【例 4】 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB/DC，AB998，DC1001，AD1999，点 P 在线段 AD 上，问：满足条件BPC900的点 P 有多少个？ （全国初中数学联赛试题） 解题思路：解题思路：根据 ABD

4、CAD 这一关系，可以在 AD 上取点构造等腰三角形 A D C B 【例【例 5】 如图，在等腰梯形 ABCD 中，CD/AB，对角线 AC，BD 相交于 O，ACD600，点 S，P， Q 分别为 OD，OA，BC 的中点 （1）求证：PQS 是等边三角形； （2）若 AB5，CD3，求PQS 的面积； （3）若PQS 的面积与AOD 的面积的比是 7：8，求梯形上、下两底的比 CD：AB （ “希望杯”邀请赛试题） 解题思路解题思路：多个中点给人以广泛的联想：等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等. S P OQ D C B A 【例例 6】如图，分别以ABC 的边 AC 和

5、 BC 为一边，在ABC 外作正方形 ACDE 和 CBFG，点 P 是 EF 的中点，求证：点 P 到边 AB 的距离是 AB 的一半 （山东省竞赛试题） 解题思路解题思路：本题考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质关键是要构造能运用条件 EP PF 的图形 P F G D E AB C 能力训练能力训练 A 级级 1. 等腰梯形中，上底：腰：下底1：2：3，则下底角的度数是_. （天津市中考试题） 2. 如图，直角梯形 ABCD 中，ABBC，AD3，BC5，将腰 DC 绕点 D 逆时针方向旋转 900至 DE，连接 AE，则ADE 的面积为_. （宁波市中考试题） 3如图，在等腰梯

6、形 ABCD 中，AB/CD，A 0 60，12，且梯形的周长为 30cm，则这个 等腰梯形的腰长为_. 第3题图第4题图 第2题图 2 1 FE A D A D B C B A D C B C E G 4.如图，梯形 ABCD 中，AD/BC，EF 是中位线，G 是 BC 边上任一点，如果 2 22cmS GEF ，那 么梯形 ABCD 的面积为_. （成都市中考试题） 5.等腰梯形的两条对角线互相垂直，则梯形的高h和中位线的长m之间的关系是 ( ) Amh Bmh Cmh D无法确定 6. 梯形 ABCD 中， AB/DC， AB5， BC23， BCD 0 45， CDA 0 60， 则

7、 DC 的长度是( ) A .3 3 2 7 B8 C. 2 1 9 D.38 E. 338 （美国高中考试题） 7如图，在等腰梯形 ABCD 中，ACBCAD，则DBC 的度数是 ( ) A.300 B.450 C.600 D.900 （陕西省中考试 第7题图第8题图 A D C B B D A C P 第9题图 F E G A D C B P 8如图，在直角梯形 ABCD 中，AD/BC，ABBC，AD2，BCDC5，点 P 在 BC 上移动，则 当 PAPD 取最小值时，APD 中边 AP 上的高为( ) A17 17 2 B17 17 4 C17 17 8 D3 （鄂州市中考试题） 9

8、如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，ABCD，点 P 为 BC 边上一点，PEAB，PFCD， BGCD，垂足分别为 E，F，G求证 ：PEPFBG （哈尔滨市中考试题） 10. 如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，E，F 分别为 AB，AC 中点，BD 与 EF 相交于 G 求证：)( 2 1 ADBCGF G E F AD B C 11.如图，等腰三角形 ABC 中，ABAC，点 E、F 分别是 AB、AC 的中点，CEBF 于点 O 求证： （1）四边形 EBCF 是等腰梯形； （2） 222 2BEBCEF （深圳市中考试题） O FE CB A 12.如图 1，在等腰梯形

9、 ABCD 中，AD/BC，E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF/BC 交 CD 于点 F，AB 4，BC6，B 0 60 （1）求点 E 到 BC 的距离； （2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过 P 作 PMEF 交 BC 于点 M，过 M 作 MN/AB 交折线 ADC 于点 N，连接 PN，设 EPx 当点 N 在线段 AD 上时（如图 2） ，PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出PMN 的周长； 若改变，请说明理由 当点 N 在线段 DC 上时（如图 3） ，是否存在点 P，使PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所 有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由 （江西省中考

10、试题) 图5(备用图) 图4(备用图) 图2图1 图3 FE A FE A FE A FE A FE A B C D D C B B C D D C B D C B P M N P M N B 级级 1. 如图，在梯形 ABCD 中，AB/DC，ADBC，AB10，CD4，延长 BD 到 E，使 DEDB，作 EFAB 交 BA 的延长线于点 F，则 AF_. （山东省竞赛试题） 第2题图第1题图 E G F A D A B C D C B E F 2.如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，ABDC10cm，AC 与 BD 相交于 G，且AGD 0 60，设 E 为 CG 中点，F 是 AB

11、 中点，则 EF 长为_. （ “希望杯”邀请赛试题） 3.用四条线段：7, 9,13,14dcba作为四条边，构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位 线的长的最大值为_. （湖北赛区选拔赛试题） 4.如图，梯形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 相交于 O 点，且 AO：CO3：2，则两条对角线将梯形 分成的四个小三角形面积之比为 AOBCOBDOCAOD SSSS:_. （安徽省中考试题） M N FE O E A D C B A B C D AD B C 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 5.如图，在四边形 ABCD 中，AD/BC，E 是 AB 的中点，若DEC 的面积为 S

12、，则四边形 ABCD 的 面积为 ( ) AS 2 5 B2S CS 4 7 DS 4 9 （重庆市竞赛试题） 6.如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，B 0 20，C 0 70，E，M，F，N 分别为 AB，BC，CD， DA 的中点，已知 BC7，MN3，则 EF 的值为 ( ) A4 B 2 1 4 C5 D6 （全国初中数学联赛试题） 7.如图，梯形 ABCD 中，AB/DC，E 是 AD 的中点，有以下四个命题：若 ABDCBC，则BEC 0 90；若BEC 0 90，则 ABDCBC；若 BE 是ABC 的平分线，则BEC 0 90； 若 ABDCBC，则 CE 是DCB 的平

13、分线.其中真命题的个数是 ( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 （重庆市竞赛试题） 第8题图第7题图 N ME AB D DC AC B 8.如图，四边形 ABCD 是一梯形，AB/CD，ABC 0 90，AB9cm，BC8cm，CD7cm，M 是 AD 的中点，从 M 作 AD 的垂线交 BC 于 N，则 BN 的长等于 ( ) A1cm B1.5cm C2cm D2.5cm （ “希望杯”邀请赛试题） 9.如图，在梯形 ABCD 中，AB/DC，M 是腰 BC 的中点，MNAD.求证：ADMNS ABCD 四边形 （山东省竞赛试题） N M A CD B 10.如图， 在梯形 A

14、BCD 中， AD/BC， 分别以两腰AB， CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF， 设线段 AD 的垂直平分线l交线段 EF 于点 M.求证：点 M 为 EF 的中点. （全国初中数学联赛试题） l M E G H F J AD B C 11.已知一个直角梯形的上底是 3，下底是 7，且两条对角线的长都是整数，求此直角梯形的面积. （ “东方航空杯”上海市竞赛试题） 12.如图 1，平面直角坐标系中，反比例函数)0, 0(xk x k y的图象经过矩形 OABD 的边 BD 的 三等分点（BDDF 3 1 ）交 AB 于 E，AB12，四边形 OEBF 的面积为 16. （1）

15、求k值. （2）已知)0 ,13(C，点 P 从 A 出发以 0.5cm/s 速度沿 AB、BD 向 D 运动，点 Q 从 C 同时出发，以 1.5cm/s 的速度沿 CO，OA，AB 向 B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运 动开始，经过多少时间，四边形 PQCB 为等腰梯形（如图 2）. （3）在（2）条件下，在梯形 PQCB 内是否有一点 M，使过 M 且与 PB，CQ 分别交于 S，T 的直线 把 PQCB 的面积分成相等的两部分，若存在，请写出点 M 的坐标及 CM 的长度；若不存在，请说明理 由. x y x y Q P 图2 图1 E T S O F DO A B C A B C Q P M