专题03 从算术到代数(7年级数学 培优新帮手).doc
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1、 专题专题 03 从算术到代数从算术到代数 阅读与思考阅读与思考 算术与代数是数学中两门不同的分科,它们之间联系紧密,代数是在算术中“数”和“运算”的基 础上发展起来的. 用字母表示数是代数的一个重要特征, 也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上, 从确定的 数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程,是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点: 1.任意性 即字母可以表示任意的数. 2.限制性 即虽然字母表示任意的数,但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义. 3.确定性 即在用字母表示的数中,如果字母取定某值,那么代数式的值也随之确定. 4.抽象性 即与具体的数值相比,用字母表示
2、数具有更抽象的意义. 例题与求解例题与求解 【例【例 1】研究下列算式,你会发现什么规律: 131422 241932 3511642 4612552 请将你找到的规律用代数式表示出来:_ (山东菏泽地区中考试题) 解题思路解题思路:观察给定的几个简单的、特殊的算式,寻找数字间的联系,发现一般规律,然后用代数 式表示. 【例【例 2】下列四个数中可以写成 100 个连续自然数之和的是( ) A.1627384950 B. 2345678910 C. 3579111300 D. 4692581470 (江苏省竞赛试题) 解题思路解题思路:设自然数从 a1 开始,这 100 个连续自然数的和为(a
3、1)(a2) (a100) 100a5050,从揭示和的特征入手. 【例【例 3】设 A 22 12 1 2 + + 22 23 2 3 + + 22 34 3 4 + 22 10031004 1003 1004 + 22 10041005 1004 1005 + ,求 A 的整数部 分. (北京市竞赛试题) 解题思路解题思路:从分析 A 中第 n 项 22 (1) (1) nn nn + ? 的特征入手. 【例【例 4】现有 a 根长度相同的火柴棒,按如图摆放时可摆成 m 个正方形,按如图摆放时可摆成 2n 个正方形. (1)用含 n 的代数式表示 m; (2)当这 a 根火柴棒还能摆成如图
4、所示的形状时,求 a 的最小值. (浙江省竞赛试题) 解题思路解题思路:由图中有 m 个正方形、图中有 2n 个正方形,可设图中有 3p 个正方形,无论怎样 摆放,火柴棒的总数相同,可建立含 m,n,p 的等式. 【例【例 5】 化简 个个个nnn 9199999999. (江苏省竞赛试题) 解题思路解题思路:先考察 n1,2,3 时的简单情形,然后作出猜想,这样,化简的目标更明确. 【例【例 6】观察按下列规律排成的一列数: 1 1 , 1 2 , 2 1 , 1 3 , 2 2 , 3 1 , 1 4 , 2 3 , 3 2 , 4 1 , 1 5 , 2 4 , 3 3 , 4 2 ,
5、5 1 , 1 6 , (*) (1)在(*)中,从左起第 m 个数记为 F(m) 2 2001 时,求 m 的值和这 m 个数的积. (2)在(*)中,未经约分且分母为 2 的数记为 c,它后面的一个数记为 d,是否存在这样的两个 数 c 和 d,使 cd2001000,如果存在,求出 c 和 d;如果不存在,请说明理由. 解题思路解题思路:解答此题,需先找到数列的规律,该数列可分组为( 1 1 ) , ( 1 2 , 2 1 ) , ( 1 3 , 2 2 , 3 1 ) , ( 1 4 , 2 3 , 3 2 , 4 1 ) , ( 1 5 , 2 4 , 3 3 , 4 2 , 5 1
6、 ) ,. 能力训练能力训练 A 级级 1.已知等式:2 2 3 22 2 3 ,3 3 8 32 3 8 ,4 4 15 42 4 15 , ,10 a b 102 a b (a,b 均为正整数) ,则 ab_. (湖北省武汉市竞赛试题) 2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案,它的每边(包括顶点)都有 n(n2)个棋子, 每个图案棋子总数为 s,按此规律推断 s 与 n 之间的关系是_. n2 n3 n4 s4 s8 s12 (山东省青岛市中考试题) 3.规定任意两个实数对(a,b)和(c,d) , 当且仅当 ac 且 bd 时, (a,b)(c,d) 定义 运算“” : (a,b
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