专题03 从算术到代数（7年级数学 培优新帮手）.doc

1、 专题专题 03 从算术到代数从算术到代数 阅读与思考阅读与思考 算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基 础上发展起来的. 用字母表示数是代数的一个重要特征， 也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上， 从确定的 数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点： 1.任意性 即字母可以表示任意的数. 2.限制性 即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义. 3.确定性 即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定. 4.抽象性 即与具体的数值相比，用字母表示

2、数具有更抽象的意义. 例题与求解例题与求解 【例【例 1】研究下列算式，你会发现什么规律： 131422 241932 3511642 4612552 请将你找到的规律用代数式表示出来：_ (山东菏泽地区中考试题) 解题思路解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数 式表示. 【例【例 2】下列四个数中可以写成 100 个连续自然数之和的是（ ） A.1627384950 B. 2345678910 C. 3579111300 D. 4692581470 （江苏省竞赛试题） 解题思路解题思路：设自然数从 a1 开始，这 100 个连续自然数的和为（a

3、1）(a2) (a100) 100a5050，从揭示和的特征入手. 【例【例 3】设 A 22 12 1 2 + + 22 23 2 3 + + 22 34 3 4 + 22 10031004 1003 1004 + 22 10041005 1004 1005 + ，求 A 的整数部 分. （北京市竞赛试题） 解题思路解题思路：从分析 A 中第 n 项 22 (1) (1) nn nn + ? 的特征入手. 【例【例 4】现有 a 根长度相同的火柴棒，按如图摆放时可摆成 m 个正方形，按如图摆放时可摆成 2n 个正方形. (1)用含 n 的代数式表示 m； (2)当这 a 根火柴棒还能摆成如图

4、所示的形状时，求 a 的最小值. （浙江省竞赛试题） 解题思路解题思路：由图中有 m 个正方形、图中有 2n 个正方形，可设图中有 3p 个正方形，无论怎样 摆放，火柴棒的总数相同，可建立含 m，n，p 的等式. 【例【例 5】 化简 个个个nnn 9199999999. （江苏省竞赛试题） 解题思路解题思路：先考察 n1，2，3 时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确. 【例【例 6】观察按下列规律排成的一列数： 1 1 ， 1 2 ， 2 1 ， 1 3 ， 2 2 ， 3 1 ， 1 4 ， 2 3 ， 3 2 ， 4 1 ， 1 5 ， 2 4 ， 3 3 ， 4 2 ，

5、5 1 ， 1 6 ， （*） （1）在（*）中，从左起第 m 个数记为 F(m) 2 2001 时，求 m 的值和这 m 个数的积. （2）在（*）中，未经约分且分母为 2 的数记为 c，它后面的一个数记为 d，是否存在这样的两个 数 c 和 d，使 cd2001000，如果存在，求出 c 和 d；如果不存在，请说明理由. 解题思路解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（ 1 1 ） ， （ 1 2 ， 2 1 ） ， （ 1 3 ， 2 2 ， 3 1 ） ， （ 1 4 ， 2 3 ， 3 2 ， 4 1 ） ， （ 1 5 ， 2 4 ， 3 3 ， 4 2 ， 5 1

6、 ） ，. 能力训练能力训练 A 级级 1.已知等式：2 2 3 22 2 3 ，3 3 8 32 3 8 ，4 4 15 42 4 15 ， ，10 a b 102 a b （a，b 均为正整数） ，则 ab_. (湖北省武汉市竞赛试题) 2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有 n（n2）个棋子， 每个图案棋子总数为 s，按此规律推断 s 与 n 之间的关系是_. n2 n3 n4 s4 s8 s12 (山东省青岛市中考试题) 3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d） ， 当且仅当 ac 且 bd 时， （a，b）（c，d） 定义 运算“” ： （a，b

7、）（c，d）（acbd，adbc） 若（1，2）（p，q）（5，0） ，则 pq_ (浙江省湖州市数学竞赛试题) 4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板， 则第 （3） 个图形中有黑色瓷砖_ 块，第 n 个图形中需要黑色瓷砖_块（含 n 代数式表示） （广东省中考试题） -= 5.如果 a 是一个三位数，现在把 1 放在它的右边得到一个四位数是（ ） A.1000a1 B. 100a1 C. 10a1 D. a1 (重庆市竞赛试题) 6.一组按规律排列的多项式：ab，a2b3，a3b5，a4b7，其中第十个式子是（ ） A. a10b19 B. a10-b19 C. a10-

8、b17 D. a10-b21 (四川省眉山市竞赛试题) 7.有三组数 x1，x2，x3；y1，y2，y3；z1，z2，z3，它们的平均数分别是 a，b，c，那么 x1y1z1，x2 y2z2，x3y3z3的平均数是（ ） A. 3 a bc+ + B. 3 abc+- C. abc D. 3(abc) (希望杯邀请赛试题) 8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相 同，那么它们的面积 S1、S2 的大小关系是（ ） （东方航空杯竞赛试题） A. S1S2 BSlS2 CS1S2 D无法比较 9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一

9、次将圆纸等分为 4 个扇形面；第二次 将上次得到的一个扇形面再等分成 4 个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去 （1）请通过操作，猜想将第 3、第 4 次，第 n 次剪裁后扇形面的总个数填入下表； 剪裁次数 1 2 3 4 n 所得的总数 4 7 （2）请你推断，能否按上述操作剪裁出 33 个扇形面？为什么？ （山东省济南市中考试题） 10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原 a（a0）个成品，且每个每天都生产 b（b0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品， 然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每天检验

10、的成品数相同 （1）这若干名检验员 1 天检验多少个成品（用含 a、b 的代数式表示） ； （2）试求出用 b 表示 a 的关系式； （3）若 1 名质检员 1 天能检验 5 4 b 个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？ （广东省广州市中考试题） B 级级 1. 你能很快算出 19952吗？ 为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为 5 的自然数的平方，任意一个个位数为 5 的自然数可写成 （10n5） （n 为自然数） ，即求（10n5）2的值（n 为自然数） ，分析 n1，n2，n3，这些 简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）. （1）通过计算，

11、探索规律. 152225 可写成 1001（11）25； 252625 可写成 1002（21）25； 3521225 可写成 1003（31）25； 4522025 可写成 1004（41）25； . 7525625 可写成_； 8527225 可写成_； （2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n5）2_； （3）根据上面的归纳猜想，请算出 19952_. （福建省三明市中考试题） 2.已知 122232n2 1 6 n(n1)(2n1)，计算： （1）112122192_； (2)2242502_. 3.已知 n 是正整数，an1234n，则 1 3 a a 2 4 a a 2010

12、2012 a a 2011 2013 a a _. (“希望杯”邀请赛训练题) 4.已知 17 个连续整数的和是 306，那么，紧接着这 17 个数后面的那 17 个整数的和为_. （重庆市竞赛试题） 5.A，B 两地相距 S 千米，甲、乙的速度分别为 a 千米/时、b 千米/时（ab） ，甲、乙都从 A 地到 B 地去开会，如果甲比乙先出发 1 小时，那么乙比甲晚到 B 地的小时数是（ ） A(1) ss ab -+ B(1) ss ba -+ C(1) ss ab - D(1) ss ba - 6.某商店经销一批衬衣，进价为每件 m 元，零售价比高 a%，后因市场的变化，该店把零售价调整

13、原来零售价的 b%出售，那么调价后的零售价是（ ） Am（1a%） （1b%）元 Bma%（1b%）元 Cm（1a%）b%元 Dm（1a%b%）元 （山东省竞赛试题） 7.如果用 a 名同学在 b 小时内共搬运 c 块砖，那么个以同样速度所需要的数是（ ） A 2 2 c a b B 2 c ab C 2 ab c D 2 2 a b c (“希望杯”邀请赛试题) 8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小组的人数是乙班 未参加人数的 1 3 ，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的 1 5 问甲班未参加的人数是乙班未参加 人数的几分之几？ 9.将自然数 1，2，3，21 这 21 个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它 们的和不小于 33. （重庆市竞赛试题） 10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数， 再将各组所得的数相加，其和恰好等于 18.若这四个数的乘积是 23100，求这四个数. （天津市竞赛试题）