专题01 质数那些事-答案（7年级数学 培优新帮手）.doc

1、 专题 01 质数那些事 例 1 34 例 2 C 例 3 3 符合要求 提示：当 p=3k1 时，p10=3k11，p14=3(k5)，显然 p14 是合数，当 p=3k2 时，p10=3(k4)是合数，当 p=3k 时，只有 k=1 才符合题意 例 4 （1）因 122004= 2 1 2004（12004）=10022005 为 3 的倍数，故无论怎样交换 这 2004 个数的顺序，所得数都有 3 这个约数 （2）因 n 是大于 2 的正整数，则 n 217， n 21、 n 2、 n 21 是不小于 7 的三个连续的正 整数，其中必有一个被 3 整除，但 3 不整除 n 2，故 n 2

2、1 与 n 21 中至多有一个数是质数 （3）设正整数 a 的所有正约数之和为 b， 1 d， 2 d， 3 d， n d为 a 的正约数从小到大的排列， 于是 1 d=1， n d=a由于 n dddd S 1111 321 中各分数分母的最小公倍数 n d=a，故 S= nn n n n d d d d d d 11 = n n d ddd 21 = a b ，而 a=360=532 23 ，故 b=（12 2 2 3 2） （13 2 3）（15）=1170 a b = 360 1170 = 4 1 3 例 5 由 xy yx = p 2 ，得 xy= p xy2 =k （k 为正整数）

3、 ，可得 2xy=kp，所以 p 整除 2xy 且 p 为奇质数， 故 p 整除 x 或 y，不放设 x=tp，则 tpy=2ty，得 y= 12 t tp 为整数又 t 与 2t1 互质，故 2t1 整除 p，p 为质数，所以 2t1=1 或 2t1=p若 2t1=，得 t=1，x=y=p，与 xy 矛盾；若 2t 1=p，则 xy yx = p 2 ，2xy=p（xy） p 是奇质数，则 xy 为偶数，x、y 同奇偶性，只能同 为 xy= 2 yxp 必有某数含因数 p令 x=ap，ay= 2 yap ，2ay=apyy= 12 a ap ，故 a，2a 1 互质，2a1 整除 p，又 p

4、 是质数，则 2a1=p，a= 2 1p ，故 x=p p 2 1 = 2 1pp ，x y= 2 1pp 2 1p = 2 1 2 p 。 例 6 设 N 是一个同时含有数字 1， 3， 7， 9 的绝对质数 因为 0 k=7931， k=1793， 2 k=9137， 3 k=7913， 4 k=7193， 5 k=1937， 6 k=7139 除以 7 所得余数分别为 0，1，2，3，4，5，6故如下 7 个正整 数： 7931 4210 n CCCN=L 0 4 10kL， 1793 4211 n CCCN=L 1 4 10kL， 7139 4216 n CCCN=L 6 4 10kL

5、， 其中，一定有一个能被 7 整除，则这个数就不是质数，故矛盾 A 级 11998 21 363 42000 5D 6A 7B 8由 r=pq 可知 r 不是最小的质数，则为奇数，故 p，q 为一奇一偶，又因为 pq故 p 既是质数 又是偶数，则 p=2 9设十个连续合数为 k2，k3，k4，k10，k11，这里 k 为自然数，则只要取 k 是 2，3， 4，11 的倍数即可 10选甲提示：相邻的两个自然数总是互质数，把相邻自然数两两分为一组，这两数总是互质的， （2，3） ， （4，5） ， （6，7） ， （1992，1993） ，1994，甲擦掉 1994，无论乙擦哪一个数，甲 就擦那一

6、组的另一数，以此类推，最后还剩一对互质数 11设这块地面积为 S，则 S= 2 nx=（n124） 2 y 22 yxn=124 2 y xy （x，y）=1 （ 2 x， 2 y）=1 （ 22 yx ， 2 y）=1 得 22 yx 124 124= 2 231， 22 yx =（xy） （xy） 1 31 yx yx ，或 2 62 yx yx 15 16 y x ，或 30 32 y x （舍） 此时 n= 22 2 124 yx y =900 S= 2 nx=900 2 16=230400cm 2 =2304m 2 。 B 级 119 或 25 2 3 31 提示：q=mn，则 m、

7、n 只能一个为 1，另一个为 q 3133 23 42001 5B 提示：唯有 a=2，b=2089 11 2=20892048=41 是质数，符合题意 6A 提示：当 a=3 时，符合题意；当 a3 时， 2 a被 3 处余 1，设 2 a=3n1，则 7 2 a8=21n15， 8 2 a7=24n15，它们都不是质数，与条件矛盾故 a=3 7 2 aa， 2 bb， 2 cc， 2 dd 都是偶数， 即 M= 2222 dcba （abcd） 是偶数 因 为 22 ba = 22 dc ， 所 以 2222 dcba=2 （ 22 ba ） 是 偶 数 ， 从 而 有 a b c d=

8、2222 dcbaM=2（ 22 ba ）M，它 一定是偶数，但 abcd2，于是 abc d 是个合数 8取六个数 aii(123456)1 (i1，2，6)，则其中任意两个数都是互质的，事 实上，假设 a2与 a5不互质，设 d 是 a2与 a5的最大公约数，则 d 必是(52)123456，即 3123456 的一个因子，但从 a221234561 知，d 不整除 a2，这与假设 d 是 a2与 a5的最大公约数矛盾，故 a2与 a5互质 9由 pq1111 且 pq11 是质数知，pq11 必为正奇数，从而 p2 或 q2 (1)若 p2，此时 7pq 及 2q11 均为质数设 q3k

9、1，则 q143(k5)不是质数；设 q3k 2，则 2q113(2k5)不是质数，因此 q 应为 3k 型的质数，当然只能是 q3 (2)若 q2，此时 7pq 与 2p11 均为质数，设 p3k1，则 7p23(7k3)不是质数；设 p 3k2，则 2p113(2k5)不是质数，因此，p 应为 3k 型的质数，p3 综合(1)，(2)知 p3，q 2 或 p2，q3，所以 pq十 qp 17 10(1)能办到 提示：注意到 41 与 43 都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然它 们只能都是奇数， 因此， 在这排数中只能一奇一偶相间排列： 不妨先将奇数排成一排： 1， 3， 5， 7， ， 41，在每两数之间留空，然后将所有的偶数依次反序插在各空白中，得 1，40，3，38，5，36，7， 34，8，35，6，37，4，39，2，41.这样任何相邻两数之和都是 41 或 43.满足题目要求 (2)不能办到 提示：若把 1，2，3，40，41 排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质 数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶但现有 20 个偶数，21 个奇数，总共是 41 个号 码，由此引出矛盾，故不能办到，