2021年北京中考数学复习练习课件：§7.6　新定义问题.pptx

1、 中考数学 （北京专用） 7.6 新定义问题 1.(2020北京西城一模,28)对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2,给出如下定义:在图形W1上存 在两点A,B(点A与点B可以重合),在图形W2上存在两点M,N(点M与点N可以重合),使得AM=2BN,则称图形 W1和图形W2满足限距关系. (1)如图1,点C(1,0),D(-1,0),E(0,),点P在线段DE上运动(点P可以与点D,E重合),连接OP,CP. 线段OP的最小值为 ,最大值为 ;线段CP的取值范围是 ; 在点O,点C中,点 与线段DE满足限距关系; 3 (2)如图2,O的半径为1,直线y=x+b(b0)与x轴、y轴分

2、别交于点F,G.若线段FG与O满足限距关系, 求b的取值范围; (3)O的半径为r(r0),点H,K是O上的两个点,分别以H,K为圆心,1为半径作圆得到H和K,若对于 任意点H,K,H和K都满足限距关系,直接写出r的取值范围. 3 解析解析 (1);CP2. O. 详解:通过可以发现点O与线段DE上的点的距离OP的范围是OP,符合限距关系的概念,所 以点O满足题意;点C与线段DE上的点的距离CP的范围是CP2,如果要满足题意,最大值为最小值 的2倍,所以点C不满足限距关系. (2)直线y=x+b与x轴、y轴分别交于点F,G(0,b). 当0b1时,线段FG在O的内部,与O无公共点, 此时O上的

3、点到线段FG的最小距离为1-b,最大距离为1+b. 线段FG与O满足限距关系,1+b2(1-b).解得b.b的取值范围是b2时,线段FG在O的外部,与O无公共点, 此时O上的点到线段FG的最小距离为b-1,最大距离为b+1. 线段FG与O满足限距关系, b+12. 当b2时,线段FG与O满足限距关系. 综上,b的取值范围是b. (3)0r3. 详解:当01时,H与K上两点间的最小距离d1=2r-2, 最大距离d2=2r+2, 如果满足限距关系,需要d22d1, 即2r+22(2r-2), 整理得2r+24r-4, 故-2r-6,解得r3, 1r3. 综上,r的取值范围是0r3. 2.(2020

4、北京海淀一模,28)A,B是C上的两个点,点P在C的内部.若APB为直角,则称APB为AB关于 C的内直角,特别地,当圆心C在APB边(含顶点)上时,称APB为AB关于C的最佳内直角.如图1, AMB是AB关于C的内直角,ANB是AB关于C的最佳内直角.在平面直角坐标系xOy中. (1)如图2,O的半径为5,A(0,-5),B(4,3)是O上两点. 已知P1(1,0),P2(0,3),P3(-2,1),在AP1B,AP2B,AP3B中,是AB关于O的内直角的是 ; 若在直线y=2x+b上存在一点P,使得APB是AB关于O的内直角,求b的取值范围; (2)点E是以T(t,0)为圆心,4为半径的圆

5、上一个动点,T与x轴交于点D(点D在点T的右边).现有点M(1,0),N (0,n),对于线段MN上每一点H,都存在点T,使DHE是DE关于T的最佳内直角,请直接写出n的最大值, 以及n取得最大值时t的取值范围. 图1 图2 备用图 解析解析 (1)如图, P1(1,0),A(0,-5),B(4,3), AB=4,P1A=,P1B=3, P1不在以AB为直径的圆弧上, 故AP1B不是AB关于O的内直角, P2(0,3),A(0,-5),B(4,3), P2A=8,AB=4,P2B=4, 22 485 22 1526 22 332 5 P2A2+P2B2=AB2,AP2B=90, AP2B是AB

6、关于O的内直角, 同理可得,P3B2+P3A2=AB2, AP3B是AB关于O的内直角, 故答案为AP2B,AP3B. APB是AB关于O的内直角, APB=90,且点P在O的内部, 满足条件的点P形成的图形为图中的半圆H(不包括点A,B), 过点B作BDy轴于点D, A(0,-5),B(4,3),BD=4,AD=8, 直线AB的解析式为y=2x-5, 当直线y=2x+b过直径AB时,b=-5, 连接OB,作直线OH交半圆于点E,过点E作直线EFAB,交y轴于点F, OA=OB,AH=BH,EHAB, EHEF,EF是半圆H的切线. OAH=OAH,OHA=BDA=90, OAHBAD, =,

7、 OH=AH=EH,OH=EO, EOF=AOH,FEO=AHO=90, EOFHOA(ASA), OH AH BD AD 4 8 1 2 1 2 1 2 OF=OA=5, EFAB,直线AB的解析式为y=2x-5, 直线EF的解析式为y=2x+5,此时b=5. b的取值范围是-5b5. (2)n的最大值为2,此时t的取值范围是-1t5. 详解:对于线段MN上每一个点H,都存在点T, 使DHE是DE关于T的最佳内直角, 点T一定在DHE的边上. TD=4,DHT=90, 线段MN上任意一点(不包含点M)都必须在以TD为直径的圆上,该圆的半径为2, 当点N在该圆的最高点时,n有最大值. 即n的最

8、大值为2. 分两种情况:若点H不与点M重合, 那么点T必须在边HE上,此时DHT=90, 5 点H在以DT为直径的圆上,如图, 当G与MN相切时,GHMN,OM=1,ON=2,MN=. 22 ONOM5 GMH=OMN,GHM=NOM,ON=GH=2, GHMNOM(AAS). MN=GM=.OG=-1. OT=+1. 当T与M重合,t=1, t的取值范围是-1t1, 若点H与点M重合,临界位置有两个,一个是当点T与M重合时,t=1,另一个是当TM=4时(T在M右侧),t=5, t的取值范围是1t5, 综上,t的取值范围是-1t5. 55 5 5 5 解题关键解题关键 解决本题的关键是要理解相

9、切为临界情况,第(3)问需要知道线段MN上任意一点(不包含 点M)都必须在以TD为直径的圆上,该圆的半径为2,则当点N在该圆的最高点时,n有最大值2,再分点H不 与点M重合,点H与点M重合两种情况分别求出临界位置时的t值. 3.(2020北京东城一模,28)在ABC中,CD是ABC的中线,如果上的所有点都在ABC的内部或边上, 则称为ABC的中线弧. (1)在RtABC中,ACB=90,AC=1,D是AB的中点. 如图1,若A=45,画出ABC的一条中线弧,直接写出ABC的中线弧所在圆的半径r的最小 值; 如图2,若A=60,求出ABC的最长的中线弧的弧长l; CD CD CD CD CD (

10、2)在平面直角坐标系中,已知点A(2,2),B(4,0),C(0,0),在ABC中,D是AB的中点.求ABC的中线弧所 在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围. CD 解析解析 (1)如图(答案不唯一). 中线弧所在圆的半径r的最小值为.(2分) 当中线弧所在圆与AC,AB都相切时,中线弧的弧长l最大. CD 1 2 CD CD 如图,此时中线弧所在圆的圆心在BC上,半径为. 所以最大弧长l=.(3分) (2)根据中线弧的定义可知ABC的中线弧所在圆的圆心P在CD的垂直平分线上. 如图,若中线弧在CD下方, CD 3 3 3 120 3 180 2 3 9 CD CD 如图,此时中线弧所在圆的圆心在

11、BC上,半径为. 所以最大弧长l=.(3分) (2)根据中线弧的定义可知ABC的中线弧所在圆的圆心P在CD的垂直平分线上. 如图,若中线弧在CD下方, CD 3 3 3 120 3 180 2 3 9 CD CD 当中线弧所在圆与BC相切时,可得圆心P的坐标为(0,5). 所以ABC的中线弧所在圆的圆心P的纵坐标t5. 如图,若中线弧在CD上方, CD CD CD 当中线弧所在圆与AC相切时,可得圆心P的坐标为. 所以ABC的中线弧所在圆的圆心P的纵坐标t-. 综上,ABC的中线弧所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围为t5或t-.(7分) CD 55 , 22 CD 5 2 CD 5 2 解题关

12、键解题关键 本题考查了直线与圆的位置关系,ABC的中线弧的定义,解直角三角形等知识,解题的关键 是理解题意,学会利用特殊位置(相切)解决问题,同时当图形不确定时要有分类讨论的意识. 4.(2020北京朝阳一模,28)在平面直角坐标系xOy中,点A(t,0),B(t+2,0),C(n,1),若射线OC上存在点P,使得 ABP是以AB为腰的等腰三角形,则称点P为线段AB关于射线OC的等腰点. (1)如图,t=0. 若n=0,则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是 ; 若n0,且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1,求n的取值范围; (2)若n=,且射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等

13、腰点,则t的取值范围是 . 3 3 解析 (1)(0,2). 如图,设以O为圆心,AB为半径的圆与直线y=1在第二象限的交点为D,作DE垂直x轴于点E, OD=2,DE=1. 在RtODE中,根据勾股定理得OE=. n的取值范围是n-. 3 3 (2)-4t-2或-2t2或t=0或t=. 提示:当t=0时,满足题意.当t=-2时,满足题意. 4 3 3 4 3 3 当t=-4时,不满足题意. -4t-2. 当圆B与射线OC相切时,切点为C,连接BC,可得OB=, sin60 CB 2 3 2 4 3 3 A,即t=-2. 当t=2时,满足题意. 4 3 2,0 3 4 3 3 -2t2. 当圆

14、A与射线OC相切时,切点为C,连接AC,可得OA=, 4 3 3 sin60 CA 2 3 2 4 3 3 A,即t=. 综上,-4t-2或-20). (1)当t=2时. 在点C1(-3,2),C2(0,2),C3(2,4),C4(4,2)中,满足条件的点C是 ; 若在直线y=kx(k0)上存在点P是ABC的C-中线弧所在圆的圆心,其中CD=4,求k的取值范围; (2)若ABC的C-中线弧所在圆的圆心为定点P(2,2),直接写出t的取值范围. DE DE 3 DE DE 解析解析 (1)当t=2时,点B的坐标为(4,0), 点D是AB的中点,D(2,0).如图,过点C作CEAB于E,则点C和点

15、E的横坐标相同.点E是以CD为直径 的圆与边AB的交点,0AE4.点E不与点D重合,AE2.点E的横坐标大于等于0小于等于4,且 不等于2,点C1(-3,2),C2(0,2),C3(2,4),C4(4,2)中,只有点C2,C4的横坐标满足条件.故满足条件的点C是C2, C4. ABC的中线CD=4,B(4,0),k0, 3 点C在上(点H除外),其中点M(0,2),点N(4,2),点H(2,4). 点P是ABC的C-中线弧所在圆的圆心, 点P在上(点Q除外),其中点P1(1,),点P2(3,),点Q(2,2). 当直线y=kx过点P1(1,)时,得k=. 当直线y=kx过点P2(3,)时,得k

16、=. MN 33 DE 12 PP 33 33 3 3 3 当直线y=kx过点Q(2,2)时,得k=1. 结合图形,可得k的取值范围是k且k1. (2)t4且t2. 提示:由(1)知,点E的横坐标大于等于0小于等于2t,且不等于t, 点D是AB的中点,且B(2t,0),D(t,0), 当点E在线段AD上时,AE=t-2(t-2)=-t+40, t4. 当点E在线段BE上时,AE=2(2-t)+t2t,t. t4且t2. 3 3 3 4 3 4 3 4 3 6.(2020北京丰台一模,28)如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上,那么称这个圆为该角的角内 圆.特别地,当这个圆与角的至少一边相

17、切时,称这个圆为该角的角内相切圆.在平面直角坐标系xOy中,点 E,F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上. (1)分别以点A(1,0),B(1,1),C(3,2)为圆心,1为半径作圆,得到A,B和C,其中是EOF的角内圆的是 ; (2)如果以点D(t,2)为圆心,以1为半径的D是EOF的角内圆,且与直线y=x有公共点,求t的取值范围; (3)点M在第一象限内,如果存在一个半径为1且过点P(2,2)的圆为EOM的角内相切圆,直接写出 EOM的取值范围. 3 解析解析 (1)如图,由作图可知B和C是EOF的角内圆. 故答案为B,C. (2)如图, 当D1与y轴相切时, 设切点为M, 则MD1=1,

18、可得t1=1. 当D2与直线y=x相切时, 设切点为H,连接HD2, 设直线y=x与直线y=2交于点K, 则HKD2,MOK都是等腰直角三角形, KH=HD2=1, KD2=, OM=MK=2, MD2=MK+KD2=2+, t2=2+, 满足条件的t的取值范围是1t2+. (3)如图,连接OP,OM. 2 2 2 2 P(2,2),tanPOE=,POE=60, 观察图象可知当射线OM在POF的内部(包括射线OP,不包括射线OF)时,存在一个半径为1且过点P(2,2 )的圆为EOM的角内相切圆,60EOM90. 3 2 3 2 3 3 7.(2020北京密云一模,28)对于平面直角坐标系xO

19、y中的任意一点P,给出如下定义:经过点P且平行于两 坐标轴夹角平分线的直线,叫做点P的“特征线”. 例如:点M(1,3)的特征线是y=x+2和y=-x+4. (1)若点D的一条特征线是y=x+1,则在D1(2,2)、D2(-1,0)、D3(-3,4)三个点中,可能是点D的点有 ; (2)已知点P(-1,2)的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x轴相交于点A,直线y=kx+b(k0)经过点 P,且与x轴交于点B.若使BPA的面积不小于6,求k的取值范围; (3)已知点C(2,0),T(t,0),且T的半径为1.当T与点C的特征线存在交点时,直接写出t的取值范围. 解析解析 (1)D2. (2

20、)设点P(-1,2)的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线是y=-x+b, 1+b=2,解得b=1. 点P(-1,2)的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线是y=-x+1,A(1,0), 令BPA的面积为6, AB 2=6,解得AB=6, B(-5,0)或B(7,0), 当y=kx+b经过P(-1,2)和点B(-5,0)时, 解得k=. 当y=kx+b经过P(-1,2)和点B(7,0)时, 解得k=-. 1 2 2, 50, kb kb 1 2 2, 70, kb kb 1 4 0k或-k0),请利用特征点求出该函数的最小值. 1 x 解析解析 (1)1+2=3,1+3=4,2.5+0=2.5

21、,2a3, A,C是特征点. 故答案为:A,C. 如图, 当W1与直线y=-x+2相切时,W1(2-,0), 当W2与直线y=-x+3相切时,W2(3+,0), 观察图象可知满足题意的m的取值范围为2-m3+. 2 2 22 (2)x0,函数y=的图象在第一象限,这个图象上的点的坐标为, 特征点满足x+y=a(x0,a为常数), x+=a,特征点对应的图象是由原点向外扩大,当与反比例函数的图象第一次有交点时,x+的值最小 (如图), 此时交点的坐标为(1,1), 1 x 1 , x x 1 x 1 x 函数z=x+的最小值为2. 1 x 10.(2020北京平谷一模,28)在ABM中,ABM=

22、90,以AB为一边向ABM的异侧作正方形ABCD,以A为 圆心,AM为半径作A,我们称正方形ABCD为A的“关于ABM的友好正方形”,如果正方形ABCD恰 好落在A的内部(或圆上),我们称正方形ABCD为A的“关于ABM的绝对友好正方形”. 例如,图1中正方形ABCD是A的“关于ABM的友好正方形”. (1)图2中,在ABM中,BA=BM,ABM=90,在图中画出A的“关于ABM的绝对友好正方形ABCD”; (2)若点A在反比例函数y=(k0,x0)的图象上,它的横坐标是2,过点A作ABy轴于B,若正方形ABCD为 A的“关于ABO的绝对友好正方形”,求k的取值范围; (3)若点A是直线y=-

23、x+2上的一个动点,过点A作ABy轴于B,若正方形ABCD为A的“关于ABO的绝 对友好正方形”,求出点A的横坐标m的取值范围. k x 解析解析 (1)BA=BM,ABM=90, 圆A的半径AM=AB=AC,故点C在圆上,补全图形如图. (2)设A(2,a), 当a=2时,正方形ABCD的顶点C恰好落在A上(如图); 2 当a2时,正方形ABCD的顶点均落在A内部(如图); 当a0,x0)过点A(2,a), 当a2时,k4, k的取值范围为k4. (3)当m=1时,正方形ABCD的顶点C恰好落在A上(如图); k x 当0m1时,正方形ABCD均落在A内部(如图); 当m=0时,ABO不存在

24、; 当m1时,正方形ABCD的顶点C落在A外部(如图),当m=2时ABO不存在. 综上,点A的横坐标m的取值范围为0m1或m0,则称图形M与图形N相离. (1)已知点A(1,2)、B(0,-5)、C(2,-1)、D(3,4). 与直线y=3x-5相离的点是 ; 若直线y=3x+b与ABC相离,求b的取值范围; (2)设直线y=x+3、直线y=-x+3及直线y=-2围成的图形为W,T的半径为1,圆心T的坐标为(t,0),直接 写出T与图形W相离的t的取值范围. 33 解析解析 (1)点A(1,2),当x=1时,3-5=-2, 点A不在直线y=3x-5上, 同理,点C(2,-1)不在直线y=3x-

25、5上,点B(0,-5),点D(3,4)在直线y=3x-5上, 与直线y=3x-5相离的点是A,C. 故答案为A,C. 当直线y=3x+b过点A(1,2)时,b=-1. 当直线y=3x+b过点C(2,-1)时,b=-7. 若直线y=3x+b与ABC相离,b的取值范围是b-1或b时,T与图形W相离. 如图,当T位于直线y=x+3左侧, 且与直线AB相切于点H时,连接TH,直线AB与x轴交于点E, 2 3 3 32 3 3 5 3 3 5 3,0 3 5 3 3 3 如图,当T位于直线AC左侧,且与直线AC相切时, 同理可得TD=,OD=, OT=OD-TD=-=, 2 3 3 3 3 2 3 3

26、3 3 T; 当T与AB相切,且位于直线AB的右侧时,T, 当-t时,T与图形W相离. 综上,T与图形W相离时t的取值范围是t或-t. 3 ,0 3 3 ,0 3 3 3 3 3 5 3 3 5 3 3 3 3 3 3 同理可得,TE=,OE=,OT=, T, 当t-时,T与图形W相离. 2 3 3 3 5 3 3 5 3,0 3 5 3 3 12.(2020北京房山二模,28)过三角形的任意两个顶点画一条弧,若弧上的所有点都在该三角形的内部或 边上,则称该弧为三角形的“形内弧”. (1)如图,在等腰RtABC中,A=90,AB=AC=2. 在图中画出一条RtABC的形内弧; 在RtABC中,

27、其形内弧的长度最长为 ; (2)在平面直角坐标系中,点D(-2,0),E(2,0),F(0,1),点M为DEF形内弧所在圆的圆心.求点M纵坐标yM的取 值范围; (3)在平面直角坐标系中,点M(2,2),点G为x轴上一点.点P为OMG最长形内弧所在圆的圆心,求点P纵 坐标yP的取值范围. 3 解析解析 (1)作RtABC的形内弧如图. 当OB=2时,RtABC的形内弧最长,此时弧长=. (2)当圆心M在x轴下方时,此时最长形内弧与线段DF,EF相切, DOFDOM1,OF OM1=OD2.OM1=4.yM-4. 当圆心M在x轴上方时,此时最长形内弧与x轴相切, FOEEHM2,=,又EH=.易

28、求得EM2=.yM. 综上所述,yM-4或yM. (3)当xG-4时,此时最长形内弧与x轴相切, FO EH 2 FE EM 5 2 5 2 5 2 5 2 GOP1HOG,GP1=4.4. 当-4xG0时,此时最长形内弧与线段OM相切,解得4, 3 1 P y3 2 P y3 当0xG, 3 3 P y 4 3 3 当xG4时,此时最长形内弧与线段MG相切,解得-. 4 P y 2 3 3 综上所述,yP或yP-. 4 3 3 2 3 3 13.(2020北京,28,7分)在平面直角坐标系xOy中,O的半径为1,A,B为O外两点,AB=1. 给出如下定义:平移线段AB,得到O的弦AB(A,B

29、分别为点A,B的对应点),线段AA长度的最小值称为线 段AB到O的“平移距离”. (1)如图,平移线段AB得到O的长度为1的弦P1P2和P3P4,则这两条弦的位置关系是 ;在点P1,P2,P 3,P4中,连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到O的“平移距离”; (2)若点A,B都在直线y=x+2上,记线段AB到O的“平移距离”为d1,求d1的最小值; 33 (3)若点A的坐标为,记线段AB到O的“平移距离”为d2,直接写出d2的取值范围. 3 2, 2 解析解析 (1)平行;P3.(2分) 详解:由题意可知P1P2,P3P4都是由线段AB平移得来的,所以P1P2P3P4. 由题意可知点A与点

30、P1,点P3是对应点,且点A与点P3在x轴上方,点P1在x轴下方,且点P1与点P3关于x轴对 称,所以连接点A与点P3的线段的长度小于连接点A与点P1的线段的长度.所以连接点A与点P3的线段的长 度等于线段AB到O的“平移距离”. (2)如图,由题意可得,ABAB且AB=AB=1, 则四边形AABB为平行四边形. 由题意可得,AA=d1. 分别取AB和AB的中点M和M,连接MM,可得MM=AA. 连接OM,则OMAB,且OM=. 设直线y=x+2交x轴于点C,交y轴于点D, 则点C(-2,0),D(0,2). 3 2 33 3 延长OM交直线CD于点N,则ONCD. 在RtCOD中,可得ON=

31、. NM=. MMNM, AA. d1的最小值是(当AB的中点M与点N重合时取得).(5分)(3)d2.(7分) 提示:当点A在线段OA上时(如图1),可知AA有最小值,易求得AO=2.5,所以AA的最小值为2.5-1=1.5;当AA =AA时(如图2),AA有最大值,OP=0.5,AO=2.5,AP=,可知AA= =. 3 3 2 3 2 3 2 3 2 39 2 3 2 2 2 3 (0.52.5) 2 39 2 图1 图2 14.(2019北京,28,7分)在ABC中,D,E分别是ABC两边的中点,如果上的所有点都在ABC的内部 或边上,则称为ABC的中内弧.例如,下图中是ABC的一条中

32、内弧. (1)如图,在RtABC中,AB=AC=2,D,E分别是AB,AC的中点.画出ABC的最长的中内弧,并直接写 出此时的长; DE DE DE 2DE DE (2)在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),B(0,0),C(4t,0)(t0).在ABC中,D,E分别是AB,AC的中点. 若t=,求ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围; 若在ABC中存在一条中内弧,使得所在圆的圆心P在ABC的内部或边上,直接写出t的取值 范围. 1 2 DE DE DE 解析解析 (1)ABC的最长的中内弧,如图. 的长为. (2)当t=时,点C(2,0). 取BC的中点F(1,0), 则四边形D

33、EFB为正方形. DE DE 1 2 (i)(除端点外)在线段DE的上方, 当所在圆P1与AC相切时,圆心P1是正方形DEFB的中心. 点P1.结合图形,可得点P的纵坐标yP. (ii)(除端点外)在线段DE的下方, DE DE 1 1 , 2 2 1 2 DE 当所在圆P2与AB相切时,圆心P2是线段DE的中点. 点P2. 结合图形,可得点P的纵坐标yP1. 综上所述,圆心P的纵坐标yP的取值范围是yP或yP1. t的取值范围是0t. 提示:如图1,当(除端点外)在线段DE上方,即P与AC相切时,PEAC,易证EFCPFE,可求得t =,结合图象可知0t;如图2,当(除端点外)在线段DE下方

34、,即P与BC相切时,易证PFC ABC,可求得PF=1.5,设PF与DE交于点G,PG=0.5,进而在RtPDG中可求t=,结合图象可知0t. 综上,t的取值范围是01,不符合题意; 当点P与原点不重合时,设射线OP与O的交点为Q. (i)当0OP1, 此时P不是O的关联点. 2 2 2 2 3 2 2 (ii)当1OP3时,如图3. PQ=|OP-OQ|1,此时P是O的关联点. (iii)当OP3时,如图4. 图3 图4 对于O上任意一点Q,总有PQOP-OQ=OP-OQ=PQ1, 此时P不是O的关联点. 综上所述,当P为O的关联点时,1OP3. 点P的横坐标xP的取值范围是-xP-或xP.

35、 (2)圆心C的横坐标xC的取值范围是-2xC1-或2xC2. 提示:由(1)可知,线段AB上的点均满足:与 圆心C的距离大于等于1,且小于等于3. 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 22 以下为临界情况: 如图a,C1EAB,且C1E=1,此时点C1的横坐标为1-; 如图b,C2A=3,此时点C2的横坐标为-2; 2 图a 图b 图c 如图c,AC3=1,此时点C3的横坐标为2; 图d 如图d,C4B=3,此时点C4的横坐标为2. 易知点C在线段C1C2和C3C4上满足题意, 圆心C的横坐标xC的取值范围是-2xC1-或2xC2. 2 2 2 17.(2016北京,29,8分)在平面直

36、角坐标系xOy中,点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),且x1x2,y1y2,若 P,Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”.下 图为点P,Q的“相关矩形”的示意图. (1)已知点A的坐标为(1,0), 若点B的坐标为(3,1),求点A,B的“相关矩形”的面积; 点C在直线x=3上,若点A,C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式; (2)O的半径为,点M的坐标为(m,3).若在O上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形”为正方形,求m 的取值范围. 2 解析解析 (1)如图,矩形AEBF为点A(1,0),B(3,1)的“

37、相关矩形”. 可得AE=2,BE=1. 点A,B的“相关矩形”的面积为2. 由点A(1,0),点C在直线x=3上,点A,C的“相关矩形”AECF为正方形,可得AE=2. 当点C在x轴上方时,CE=2, 可得C(3,2). 直线AC的表达式为y=x-1. 当点C在x轴下方时,CE=2, 可得C(3,-2). 直线AC的表达式为y=-x+1. (2)由点M,N的“相关矩形”为正方形, 可设直线MN为y=x+b或y=-x+b. (i)当直线MN为y=x+b时,可得m=3-b. 由图可知,当直线MN平移至与O相切, 且切点在第四象限时,b取得最小值, 此时直线MN记为M1N1, 其中N1为切点,T1为

38、直线M1N1与y轴的交点. ON1T1为等腰直角三角形,ON1=, OT1=2,b的最小值为-2. m的最大值为5. 当直线MN平移至与O相切, 2 且切点在第二象限时,b取得最大值, 此时直线MN记为M2N2, 其中N2为切点,T2为直线M2N2与y轴的交点. 同理可得,b的最大值为2,m的最小值为1. m的取值范围为1m5. (ii)当直线MN为y=-x+b时,同理可得,m的取值范围为-5m-1. 综上所述,m的取值范围为-5m-1或1m5. 思路分析思路分析 (1)根据“相关矩形”的概念,求点A,B的“相关矩形”的面积.由题意知AC与x轴正方向 的夹角为45,从而得到AE=CE,从而得出

39、点C的坐标,进而求出AC的表达式,注意分情况讨论.(2)由M,N的 “相关矩形”为正方形设直线MN的方程为y=x+b或y=-x+b,再在运动变化中确定点的变化范围. 解题关键解题关键 (1)要准确理解点P、Q的“相关矩形”的含义,明确点P、Q的“相关矩形”应满足的条件. (2)根据题目给出的点的坐标,准确画出“相关矩形”并解决一些简单问题.(3)运用类比,归纳、联想、 分类讨论、数形结合等思想,依据新定义解决较复杂问题. 18.(2019北京西城一模,28)在平面直角坐标系xOy中,对于两个点P,Q和图形W,如果在图形W上存在点M, N(M,N可以重合)使得PM=QN,那么称点P与点Q是图形W

40、的一对平衡点. (1)如图1,已知点A(0,3),B(2,3). 设点O与线段AB上一点的距离为d,则d的最小值是 ,最大值是 ; 在P1,P2(1,4),P3(-3,0)这三个点中,与点O是线段AB的一对平衡点的是 ; 3 ,0 2 图1 (2)如图2,已知O的半径为1,点D的坐标为(5,0).若点E(x,2)在第一象限,且点D与点E是O的一对平衡 点,求x的取值范围. (3)如图3,已知点H(-3,0),以点O为圆心,OH长为半径画弧交x轴的正半轴于点K.点C(a,b)(其中b0)是坐 图2 标平面内一个动点,且OC=5,C是以点C为圆心,半径为2的圆.若上的任意两个点都是C的一对平 衡点

41、,直接写出b的取值范围. 图3 HK 解析解析 (1)3;.(2分) P1.(3分) (2)设点D(5,0)与O上一点的距离为d1,则4d16. 设点E(x,2)与O上一点的距离为d2,连接OE,如图, 则OE-1d2OE+1. 13 点D与点E是O的一对平衡点, OE-16且OE+14. 3OE7. 过点E作EFOD于点F. 点E在第一象限, OF=x,EF=2. 在RtOEF中,OE2=OF2+EF2=x2+4. 当OE=3时,32=x2+4,解得x=(舍负). 同理,当OE=7时,可得x=3. x3.(5分) (3)b5.(7分) 提示:根据题意可知,点C在以原点为圆心,半径为5的圆上,

42、当b=5时,点C坐标为(0,5),H到C的最短距离 5 5 55 4 14 3 是-2,最大距离是+2,而点(0,3)到C的最短距离是0,最大距离是4,-20的情况,可列方程-2=4,且a2+b2=25, 解得a=,再代入a2+b2=25,可得b=,所以b5. 343434 22 (3)ba 1 3 4 14 3 4 14 3 解题关键解题关键 解决本题最后一问的关键是发现点到圆的最值,同时根据勾股定理列出方程进行求解. 19.(2019北京东城一模,28)在平面直角坐标系xOy中,对于P,Q两点给出如下定义:若点P到x、y轴的距离 中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值,则称P,Q两点

43、为“等距点”.如图中的P,Q两点即为 “等距点”. (1)已知点A的坐标为(-3,1), 在点E(0,3),F(3,-3),G(2,-5)中,为点A的“等距点”的是 ; 若点B在直线y=x+6上,且A,B两点为“等距点”,则点B的坐标为 ; (2)直线l:y=kx-3(k0)与x轴交于点C,与y轴交于点D. 若T1(-1,t1),T2(4,t2)是直线l上的两点,且T1与T2为“等距点”,求k的值; 当k=1时,半径为r的O上存在一点M,线段CD上存在一点N,使得M,N两点为“等距点”,直接写出r的 取值范围. 解析解析 (1)E,F.(2分) (-3,3).(3分) (2)T1(-1,t1)

44、,T2(4,t2)是直线l上的两点, t1=-k-3,t2=4k-3. k0, |-k-3|=k+31,4k-3-3. 依题意可得: 当-34k-34时,k+3=4,解得k=1; 当4k-34时,k+3=4k-3,解得k=2. 综上所述,k的值为1或2.(5分) r3.(7分) (提示:线段CD上点(1.5,-1.5)距离x,y轴的最大距离最小,故r的最小值为1.5;当点(3,-3)在O上时,r可取得 最大值3.) 3 2 2 2 20.(2019北京石景山一模,28)在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的顶点分别为A(0,1),B(-1,0),C(0,-1), D(1,0).对于图形M,

45、给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为正方形ABCD边上任意一点,如果P,Q两点 间的距离有最大值,那么称这个最大值为图形M的“正方距”,记作d(M). (1)已知点E(0,4), 直接写出d(点E)的值; 直线y=kx+4(k0)与x轴交于点F,当d(线段EF)取最小值时,求k的取值范围; (2)T的圆心为T(t,3),半径为1.若d(T)6,直接写出t的取值范围. 解析 (1)5. 如图, d(点E)=5. d(线段EF)的最小值是5. 符合题意的点F应满足d(点F)5. 当d(点F)=5时,BF1=DF2=5. 点F1的坐标为(4,0),点F2的坐标为(-4,0). k=-1或k=1.

46、 结合函数图象可得k-1或k1. (2)-3t3. (提示:如图, 虚线长为5时,d(T)=6,借助勾股定理可得t=-3, 同理当圆心在y轴右侧,且d(T)=6时,t=3, d(T)6,-3t3.) 21.(2019北京门头沟一模,28)对于平面直角坐标系xOy中的线段MN和点P,给出如下定义:点A是线段MN 上一个动点,过点A作线段MN的垂线l,点P是垂线l上的另外一个动点.如果以点P为旋转中心,将垂线l沿 逆时针方向旋转60后与线段MN有公共点,我们就称点P是线段MN的“关联点”. 如图,M(1,2),N(4,2). (1)在点P1(1,3),P2(4,0),P3(3,2)中,线段MN的“

47、关联点”有 ; (2)如果点P在直线y=x+1上,且点P是线段MN的“关联点”,求点P的横坐标x的取值范围; (3)如果点P在以O(1,-1)为圆心,r为半径的O上,且点P是线段MN的“关联点”,直接写出O半径r的取 值范围. 解析解析 (1)P1和P3.(2分) (2)线段MN的“关联点”P的位置如图中阴影所示, 直线y=x+1经过点M(1,2), x1.(3分) 设直线y=x+1与P4N交于点A. 过点A作ABMN于B,延长AB交x轴于C. 由题意易知,在AMN中,MN=3,AMN=45,ANM=30. 设AB=MB=a,tanANM=, 即tan 30=, 解得a=.(4分) 点A的横坐标为x=a+1=+1=. x.(5分) 综上,1x.(6分) (3)r3+.(7分) AB BN 3 a a 3 33 2 3 33 2 3 31 2 3 31 2 3 31 2 3 3 2 3 根据(2)中图可知当圆与MP5相切时,r=;当点P4在圆上时,r=3+,故r3+. 3 2 33 3 3 2 3 解题关键解题关键 解决本题的关键是发现关联点的范围是一个含60角的平行四边形. 22.(2019北京房山二模,28)对于平面直角坐标系xOy中的点P和C,给出如下定义:若C上存在点A,使 得APC=30,则称P为C的半角关联点. 当O的半径为1时, (1)在点D,E(2