2021年福建中考数学复习练习课件:§3.4 二次函数.pptx
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1、 中考数学 (福建专用) 3.4 二次函数 20162020年全国中考题组 考点一 二次函数的概念 1.(2020广东,7,3分)把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数解析式为( ) A.y=x2+2 B.y=(x-1)2+1 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-1)2+3 答案答案 C 根据抛物线的平移规律,知把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数 解析式为y=(x-1)-12+2=(x-2)2+2,故选C. 解题关键解题关键 本题考查二次函数图象的平移,解答的关键在于熟练掌握抛物线的平移规律“左加右减、 上加下减”. 2.
2、(2018山西,9,3分)用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为( ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25 答案答案 B y=x2-8x-9=x2-8x+16-16-9(x-4)2-25,故选B. 3.(2016南平,14,4分)写出一个y关于x的二次函数的解析式,且它的图象的顶点在y轴上: . 答案答案 y=x2(答案不唯一) 解析解析 根据二次函数的图象的顶点在y轴上,可得解析式的一次项系数为0,进而得出答案. 4.(2019湖北武汉,15,3分)抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,
3、0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b- bx的解是 . 答案答案 x1=-2,x2=5 解析解析 解法一:将方程整理可得a(x-1)2+b(x-1)+c=0,它的解是函数y=a(x-1)2+b(x-1)+c的图象与x轴交点的 横坐标,而y=a(x-1)2+b(x-1)+c的图象可以看作由函数y=ax2+bx+c的图象向右平移一个单位长度得到,所以 将函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点也向右平移一个单位长度,为(-2,0)和(5,0).所以方程的解为x1=-2,x2 =5. 解法二:依题意,得解得 所以关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx可化为
4、a(x-1)2-12a=-a+ax,即(x-1)2-12=-1+x, 化简得x2-3x-10=0, 解得x1=-2,x2=5. 930, 1640, abc abc , 12 . ba ca 考点二 二次函数的图象与性质 1.(2020福建,10,4分)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y=ax2-2ax上的点,下列命题正确的是( ) A.若|x1-1|x2-1|,则y1y2 B.若|x1-1|x2-1|,则y10时,如图所示: 若|x1-1|x2-1|,则x1到1的距离大于x2到1的距离. 由图知y1y2, 若|x1-1|x2-1|,则x1到1的距离小于x2到1的距离. 由图
5、知y1y2. 当a|x2-1|,则x1到1的距离大于x2到1的距离. 由图知y1y2, 若|x1-1|y2. 综上所述,A、B不正确. 由图可知,D不正确. 若|x1-1|=|x2-1|,则x1,x2到1的距离相等,所以y1=y2,故选C. 方法指导方法指导 解决二次函数中a不确定的问题时,一定要分a0和a0,2=b2-80, a24,b464, c2=与16无法比较大小, 无法判断3=c2-16与0的大小,故A错误. B.若M1=1,M2=0,则1=a2-4=0,2=b2-80, a2=4,0b464, 0c2=16, 3=c2-160, M3=0,故B正确. C.若M1=0,M2=2,则1
6、=a2-40, 2 b a 4 2 b a 4 2 b a 4 2 b a 0a264, c2=16, 3=c2-160,M3=2,故C错误. D.若M1=0,M2=0,则1=a2-40,2=b2-80, 0a24,0b40时,方程有两个不相等的实数根,函数图象与x轴有两个交点; (2)b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根,函数图象与x轴有一个交点; (3)b2-4ac0时,方程没有实数根,函数图象与x轴无交点.这些结论反过来也成立. 4.(2019福建,10,4分)若二次函数y=|a|x2-bx+c的图象过不同的五点A(m,n),B(0,y1),C(3-m,n),D(,y2),E(2,
7、y3), 则y1,y2,y3的大小关系是( ) A.y1y2y3 B.y1y3y2 C.y3y2y1 D.y2y30,抛物线的开口向上. 抛物线过A(m,n)和C(3-m,n), 抛物线的对称轴为直线x=. 作出二次函数的大致图象,如图. 由图可知y2y30,确定抛物线的开口方向.观察点的坐标可知A和C两点的纵坐标相同,说明点A与点C 关于对称轴对称,由此得到对称轴为直线x=.根据抛物线的开口方向及对称轴画出大致图象, 由图象比较大小. 3 2 mm3 2 5.(2016福州,11,3分)已知点A(-1,m),B(1,m),C(2,m+1)在同一个函数图象上,这个函数图象可以是( ) 答案答案
8、 C 点A(-1,m),B(1,m), 点A与B关于y轴对称,故A,B错误; B(1,m),C(2,m+1),m+1m, C正确,D错误.故选C. 6.(2019河南,8,3分)已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为( ) A.-2 B.-4 C.2 D.4 答案答案 B 抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,解得故选B. 424, 1644, nb nb 2, 4. b n 一题多解一题多解 抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,抛物线的对称轴为直线x=1,即=1,b=2,n= -(-2)2+2(-2)+4=-4. 24 2 2 b 7.(2019天津
9、,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表: x -2 -1 0 1 2 y=ax2+bx+c t m -2 -2 n 且当x=-时,与其对应的函数值y0.有下列结论: abc0; -2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根; 0m+n0,b0,c0,正确.根据二次函数的对称性可知(-2,t)关于对称轴x=的对称点为 (3,t),即-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根,正确.对称轴为直线x=,-=,b=-a,当x =-时,y0,a-b-20,即a+a-20,a.对称轴为直线x=,二次函数y=ax2+bx+c的
10、图象过点 (-1,m),(2,n),m=n,当x=-1时,m=a-b+c=a+a-2=2a-2,m+n=4a-4,a, 4a-4,错误.故选C. 01 2 1 2 1 2 1 22 b a 1 2 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 8 3 1 2 8 3 20 3 方法指导方法指导 本题考查了抛物线与y轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标 特征以及二次函数的性质,逐一分析三个结论的正误是解题的关键. 8.(2019黑龙江齐齐哈尔,10,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于点(-3,0),其对称轴为直线x=-, 结合图象分析下列结论: abc0;3
11、a+c0;当x0时,y随x的增大而增大;一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=-,x2=; 0;若m,n(mn)为方程a(x+3)(x-2)+3=0的两个根,则m2. 其中正确的结论有( ) 1 2 1 3 1 2 2 4 4 bac a A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 答案答案 C 抛物线开口向下,a0, 对称轴为直线x=-, -=-, b=a0, abc0,正确. 抛物线经过点(-3,0), 9a-3b+c=0, 又b=a, c=-6a, 3a+c=3a-6a=-3a0,正确. 1 2 2 b a 1 2 抛物线开口向下,对称轴为直线x=-, 当x-时,y随x的增大而减
12、小, 错误. b=a,c=-6a, 一元二次方程cx2+bx+a=0可化为一元二次方程-6ax2+ax+a=0, 即6x2-x-1=0,解得x1=-,x2=, 正确. 抛物线与x轴有2个交点, b2-4ac0, 0,正确. 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 2 4 4 bac a 点(-3,0)关于直线x=-的对称点为(2,0), y=a(x+3)(x-2), 方程a(x+3)(x-2)+3=0的两根即为直线y=-3与抛物线交点的横坐标,结合题图可知m2, 正确.故选C. 1 2 解后反思解后反思 本题考查了二次函数图象与系数的关系,解题的关键是利用数形结合的思想将二次函数解 析式与函数
13、图象结合在一起.二次函数图象的开口方向,对称轴方程,与x轴、y轴的交点坐标以及顶点坐 标等都是解题的突破口. 9.(2018湖北黄冈,6,3分)当axa+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为( ) A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2 答案答案 D y=x2-2x+1=(x-1)2,当a1时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而增大,其最小值为a2-2a +1,则a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);当a+11,即a0时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而 减小,其最小值为(a+1)2-2(a+1)+1=a2,则a2=1,解得a
14、=-1或a=1(舍去);当0a0). (1)当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴; (2)试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标; 将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接写出C2的表达式; (3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值. 备用图 解析解析 (1)当a=1时,抛物线C1:y=x2-4x-5.(1分) 令y=0,则x2-4x-5=0, 解得x1=-1,x2=5, 抛物线C1与x轴的交点坐标为(-1,0),(5,0),(2分) 对称轴为直线x=2.(3分) (2)由抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a0),
15、可得其对称轴为直线x=-=2.(4分) 令x=0,有y=-5. 抛物线C1过定点(0,-5).(5分) 易知点(0,-5)关于直线x=2的对称点为点(4,-5), 由抛物线的对称性可知,无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点(0,-5)和(4,-5).(6分) y=-ax2+4ax-5(或y=-a(x-2)2+4a-5).(7分) (3)对于抛物线C2:y=-ax2+4ax-5,当x=2时,y=4a-5, 抛物线C2的顶点坐标为(2,4a-5),(8分) 4 2 a a |4a-5|=2,解得a1=,a2=.(9分) 7 4 3 4 考点三 二次函数综合 1.(2020山西,9,3分)竖直上
16、抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2 +v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地 面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为( ) A.23.5 m B.22.5 m C.21.5 m D.20.5 m 答案答案 C 由已知可得v0=20 m/s,h0=1.5 m,则h=-5t2+20t+1.5(t0),其图象的对称轴方程为t=-=2,图 象开口向下,当t=2时,h最大,为-522+202+1.5=21.5,故选C. 20 2( 5) 2.
17、(2020陕西,10,3分)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m1)沿y轴向下平移3个单位,则平移 后得到的抛物线的顶点一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案答案 D 解法一:将抛物线y=x2-(m-1)x+m沿y轴向下平移3个单位后,得抛物线y=x2-(m-1)x+m-3= +,平移后得到的抛物线的顶点坐标为.m1,0, -m2+6m-13=-(m-3)2-40,即1,=b2-4ac=-(m-1)2-4(m-3)=(m-3)2+40. m1,0,对称轴在y轴右侧,又知抛物线开口向上,顶点在第四象限.故选D. 2 1 2 m x 2 6
18、13 4 mm 2 1613 , 24 mmm 1 2 m 2 613 4 mm 1 2 m A.y= x2 B.y=-x2 C.y=x2 D.y=-x2 3.(2019山西,9,3分)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛 物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象抛 物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点.拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78 米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系.则 此抛物线型钢拱的函数表达式为(
19、 ) 图1 图2 26 675 26 675 13 1 350 13 1 350 答案答案 B 设抛物线型钢拱的函数表达式为y=ax2, 将B(45,-78)代入得-78=a 452, a=-, 抛物线型钢拱的函数表达式为y=-x2,故选B. 26 675 26 675 思路分析思路分析 根据题意先确定点B的坐标,然后利用待定系数法求出函数表达式. 方法指导方法指导 用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤如下: 步骤一:设出含待定系数的函数表达式;步骤二:把已知条件(自变量x与函数的对应值y)代入表达式,得到 关于待定系数的方程或方程组;步骤三:解方程或方程组,求出待定系数;步骤四:将求得的待
20、定系数的值 代入所设表达式,写出表达式. 4.(2018北京,7,2分)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线 的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a 0).下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后 飞行到最高点时,水平距离为( ) A.10 m B.15 m C.20 m D.22.5 m 答案答案 B 由题图中给出的点可知,抛物线的最高点的横坐标在0到20之间.若最高点的横坐标为10,由对 称性可知,(0,54.0)关于对称轴的对称点为
21、(20,54.0),而54.0 x25时,总有y1y2. (1)求二次函数的表达式; (2)若直线l2:y=mx+n(n10),求证:当m=-2时,l2l1; (3)E为线段BC上不与端点重合的点,直线l3:y=-2x+q过点C且交直线AE于点F,求ABE与CEF面积之和 的最小值. 解析解析 本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知 识,考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识,考查函数与方程思想、数形结合思 想、化归与转化思想及分类与整合思想. (1)对于l1:y=-2x+10, 当x=0时,y=10,所以A(0,10); 当y=0时,
22、-2x+10=0,x=5,所以B(5,0). 又因为BC=4,所以C(9,0)或C(1,0), 若抛物线过C(9,0),则当5x3时,必有y随x的增大而增大,符合题意. 故可设二次函数的表达式为y=ax2+bx+10(a0), 依题意,二次函数的图象过B(5,0),C(1,0)两点, 所以 解得 255100, 100, ab ab 2, 12. a b 所以二次函数的表达式为y=2x2-12x+10. (2)证明:当m=-2时,直线l2:y=-2x+n(n10)与直线l1:y=-2x+10不重合, 假设l1和l2不平行,则l1和l2必相交,设交点为P(x0,y0), 由得-2x0+10=-2
23、x0+n, 解得n=10,与已知n10矛盾,所以l1与l2不相交, 所以l2l1. (3)如图,因为直线l3:y=-2x+q过C(1,0),所以q=2, 00 00 210, 2 yx yxn 又因为直线l1:y=-2x+10, 所以l3l1,即CFAB, 所以FCE=ABE,CFE=BAE, 所以FCEABE,所以=, 设BE=t(0t4),则CE=4-t, SABE=BE OA=t10=5t, 所以SFCE=SABE=5t=, 所以SABE+SFCE=5t+=10t+-40=10+40-40. 所以当t=2时,SABE+SFCE取最小值,且最小值为40-40. FCE ABE S S 2
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