2021年福建中考数学复习练习课件：§4.3　等腰三角形与直角三角形.pptx

1、 中考数学 （福建专用） 4.3 等腰三角形与直角三角形 20162020年全国中考题组 考点一 等腰三角形 1.(2020福建,5,4分)如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于( ) A.10 B.5 C.4 D.3 答案答案 B 根据等腰三角形“三线合一”可得AD是BC边上的中线,所以CD=BD=5.故选B. 2.(2020四川南充,6,4分)如图,在等腰ABC中,BD为ABC的平分线,A=36,AB=AC=a,BC=b,则CD= ( ) A. B. C.a-b D.b-a 2 ab 2 ab 答案答案 C AB=AC,A=36, ABC=C=72, BD为ABC的

2、平分线, ABD=DBC=ABC=36, BDC=72=C,ABD=A, BD=BC,BD=AD, AD=BC=b, CD=AC-AD=a-b. 故选C. 1 2 3.(2018福建,5,4分)如图,等边三角形ABC中,ADBC,垂足为D,点E在线段AD上,EBC=45,则ACE等 于( ) A.15 B.30 C.45 D.60 答案答案 A 由等边三角形ABC中,ADBC,垂足为点D,可得ACB=60,且点D是BC的中点,所以AD垂直 平分BC,所以EC=EB,根据等边对等角,得到ECB=EBC=45,故ACE=ACB-ECB=60-45=15. 4.(2016漳州,10,4分)如图,在A

3、BC中,AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点(不含端点B、C).若线段AD 长为正整数,则点D共有( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 答案答案 C 过A作AEBC于点E,AB=AC, EC=BE=BC=4,AE=3, D是线段BC上的动点(不含端点B、C), 3ADCAF,AEF为钝角三角形,不符 合;(2)当点A在直线DE上方时,如图2.当AFE=90时, DEAB, EDA=90, ABAC.由对称知四边形ABAC为正方形, AB=AC=4;当点A在直线DE上方时,如图3.当AEF=90时,AEAC, AEC=ACE=ACE, AC=AE. AE=EC, ACE为等边

4、三角形, ACB=ACB=60, 在RtACB中,AB=AC tan 60=4;当点A在直线DE上方时, EAFCAB,不可能为90. 综上所述,当AEF为直角三角形时,AB的长为4或4. 3 3 图1 图2 图3 思路分析思路分析 由题意知,点B为边AN上的动点,A点的对称点A可以在直线DE的下方或上方.分类讨论,当点 A在DE的下方时,AEF不可能为直角三角形,当点A在直线DE上方时,AEF或AFE为90时分别计 算AB的长,显然EAFA+B. (2)证明:如图,过点B作直线DEAC, A=ABD,C=CBE, 又ABD+ABC+CBE=180,A+ABC+C=180, ABC的内角和等于

5、180. (3)证明:原式可变形为=, a acb2 acb c (a+c)2-b2=2ac,即a2+2ac+c2-b2=2ac,a2+c2=b2, ABC是以B为直角的直角三角形. 教师专用题组 考点一 等腰三角形 1.(2019内蒙古包头,10,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2- 12x+m+2=0的两根,则m的值是( ) A.34 B.30 C.30或34 D.30或36 答案答案 A 由根与系数的关系可得当a=4时,b=8;当b=4时,a=8.而这两种情况都不能构成三角 形,a=b=6, m=34,故选A. 12, 2, ab abm 易

6、错警示易错警示 本题易错选C,原因是未考虑到a=4,b=8或b=4,a=8的情况下不能构成三角形. 2.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在ABC中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,B= 60,C=25,则BAD为( ) A.50 B.70 C.75 D.80 答案答案 B 因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以DAC=C=25,所以ADC=180-(25+ 25)=130.因为ADC=B+BAD,所以BAD=ADC-B=130-60=70,故选B. 3.(2017湖北武汉,10,3分)如图,在RtABC中,C=90,以ABC的一边为边画等腰三角形,使

7、得它的第三 个顶点在ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案答案 D 如图1,以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则BCD就是等腰三角形; 如图2,以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,则ACE就是等腰三角形; 如图3,以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于M,交AC于点F,则BCM、BCF是等腰三角形; 如图4,作AC的垂直平分线交AB于点H,则ACH就是等腰三角形; 如图5,作AB的垂直平分线交AC于点G,则AGB就是等腰三角形; 如图6,作BC的垂直平分线交AB于I,则BCI就是等腰三角形. 故选D. 4.(20

8、18四川成都,11,4分)等腰三角形的一个底角为50,则它的顶角的度数为 . 答案答案 80 解析解析 等腰三角形的两底角相等,180-502=80, 顶角为80. 5.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的 中点,连接DG,则DG的长为 . 答案答案 19 2 解析解析 连接DE,在等边ABC中, D、E分别是AB、BC的中点, DEAC,DE=EC=AC=2. DEB=C=60. EFAC,EFC=90. FEC=30,EF=. DEG=180-60-30=90. G是EF的中点,EG=. 1 2 3 3 2 在

9、RtDEG中,DG=. 22 DEEG 2 2 3 2 2 19 2 思路分析思路分析 连接DE,根据题意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度数,判断出DEG是直角三角 形,再根据勾股定理即可求得DG的长. 疑难突破疑难突破 本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段DG的长, DG与图中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股定理求出DG的长. 6.(2017内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线. (1)求证:BD=CE; (2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中

10、点.当ABC的重心到顶点A的距离与底边长相 等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由. 解析解析 (1)证明:AB,AC是等腰ABC的两腰, AB=AC, BD,CE是中线,AD=AC,AE=AB, AD=AE, 又A=A,ABDACE, BD=CE. (2)四边形DEMN为正方形. 提示:由MN、DE分别是OBC、ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形,由(1)知BD=CE,故可 证OE=OD,从而四边形DEMN是矩形,再由ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等可知四边形DEMN 为正方形. 1 2 1 2 考点二 直角三角形 1.(2019贵州贵阳,9,3分)如图,在ABC中,A

11、B=AC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交AB于点B和点D,再分 别以点B,D为圆心,大于BD长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线CM交AB于点E,若AE=2,BE=1,则EC 的长度是( ) A.2 B.3 C. D. 1 2 35 答案答案 D 由作图叙述可知CEAB,AE=2,BE=1,AB=AC=3,在RtACE中,CE=,故选D. 22 32 5 2.(2019陕西,6,3分)如图,在ABC中,B=30,C=45,AD平分BAC,交BC于点D,DEAB,垂足为E.若 DE=1,则BC的长为( ) A.2+ B.+ C.2+ D.3 2233 答案答案 A 过点D作DFAC,垂足为F

12、.AD平分BAC,DEAB,DE=DF=1.B=30,BD=2DE=2. C=45,DC=DF=,BC=BD+CD=2+,故选A. 222 3.(2018陕西,6,3分)如图,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为D,ABC的平分线交 AD于点E,则AE的长为( ) A.2 B.3 C. D. 22 4 3 2 8 3 2 答案答案 D AC=8,C=45,ADBC, AD=ACsin 45=4,过点E作EFAB于点F,BE是ABC的平分线,DE=EF,ABC=60,AD BC,BAE=30,在RtAEF中,EF=AE,又AD=4,DE=EF,AE=AD= ,故选D.

13、2 1 2 2 2 3 8 3 2 思路分析思路分析 首先利用AC的长及C的正弦求出AD的长,进而通过角平分线的性质及直角三角形中30度 角的性质确定DE和AE的数量关系,最后求出AE的长. 4.(2020宁夏,16,3分)2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾 股圆方图,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1),且大正方形 的面积是15,小正方形的面积是3,直角三角形的较短直角边长为a,较长直角边长为b.如果将四个全等的 直角三角形按图2的形式摆放,那么图2中的大正方形的面积为 . 答案答案 27 解析解析 由题图1可得直角三

14、角形的面积为=3,大正方形的边长为,题图2中的大正方形的面积 为34+()2=27. 153 4 15 15 思路分析思路分析 先根据题图1求出直角三角形的面积和大正方形的边长,然后求出题图2中的大正方形的面 积. 5.(2018黑龙江齐齐哈尔,16,3分)四边形ABCD中,BD是对角线,ABC=90,tanABD=,AB=20,BC=10, AD=13,则线段CD= . 3 4 答案答案 或17 89 解析解析 如图1,作AE直线BD的延长线于点E,CF直线BD于点F, 图1 ABD+DBC=90, BCF+DBC=90, ABD=BCF, tanABD=,tanBCF=. 在RtAEB中,

15、设AE=3x,BE=4x, 则(3x)2+(4x)2=202, 3 4 3 4 解得x=4, AE=12,BE=16, 在RtBCF中,设BF=3y,CF=4y, 则(3y)2+(4y)2=102, 解得y=2, BF=6,CF=8, 在RtADE中,DE=5, BD=BE-DE=11,FD=BD-BF=5, 在RtDCF中,CD=. 如图2,同理,BE=16,ED=5,BF=6,CF=8.BD=BE+ED=21,FD=BD-BF=15, 22 ADAE 22 CFFD89 图2 在RtDCF中,CD=17. 综上所述,线段CD的长为或17. 22 CFFD 89 解题关键解题关键 考虑问题要

16、全面,正确画出图形,通过作垂线,构造直角三角形,然后利用勾股定理求出线段 BD、FD的长度是关键. 6.(2017山西,15,3分)一副三角板按如图方式摆放,得到ABD和BCD,其中ADB=BCD=90,A= 60,CBD=45.E为AB的中点,过点E作EFCD于点F.若AD=4 cm,则EF的长为 cm. 答案答案 (+) 26 解析解析 如图,连接DE,过点E作EMBD于点M,设EF交BD于点N, AD=4 cm,A=60, AB=8 cm,DB=4 cm, 点E为AB的中点,EMBD, DE=AB=4 cm,EM=AD=2 cm,由等腰直角三角形的性质可知ENM=FND=45, 在RtE

17、NM中,EN=EM=2 cm,MN=EM=2 cm, DN=DM-MN=DB-MN=(2-2)cm,在RtDFN中,FN=DN=(-)cm, EF=EN+FN=2+-=(+)cm. 3 1 2 1 2 22 1 2 3 2 2 62 26226 一题多解一题多解 过点A作AGCD的延长线于点G, CDB=CBD=45,ADB=90,ADG=45, AG=2 cm,ABD=30,BD=AD=4 cm,CBD=45,BC=2 cm,AG CG,EFCG,CBCG,AGEFBC,E是AB的中点,点F为CG的中点,EF=(AG+BC)=(2+2 )=(+)cm. 2 AD 233 2 BD 6 1 2

18、 1 2 2 626 7.(2017北京,28,7分)在等腰直角ABC中,ACB=90,P是线段BC上一动点(与点B,C不重合),连接AP,延 长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QHAP于点H,延长交AB于点M. (1)若PAC=,求AMQ的大小(用含的式子表示); (2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明. 解析解析 (1)ACB是等腰直角三角形, CAB=45, PAB=45-. QHAP, AMQ=90-PAB=45+. (2)线段MB与PQ之间的数量关系为PQ=MB. 证明:连接AQ,过点M作MNBQ于点N,如图. 则MNB为等腰直角三角形,MB=MN. ACBQ,CQ

19、=CP, 2 2 AP=AQ,QAC=PAC. QAM=BAC+QAC=45+QAC=45+PAC=AMQ, QA=QM. MQN+APQ=PAC+APQ=90, MQN=PAC, MQN=QAC, RtQACRtMQN, QC=MN, PQ=2QC=2MN=MB. 2 解题关键解题关键 解决本题第(2)问的关键是要通过添加辅助线构造全等三角形,从而找出边与边之间的数量 关系. A组 20182020年模拟基础题组 时间:20分钟 分值:32分 一、选择题（每小题4分，共8分） 1.(2019龙岩二检,7)如图,x、y、z分别表示以直角三角形三边为边长的正方形面积,则下列结论正确的是 ( )

20、A.x2=y2+z2 B.xz D.x=y+z 答案答案 D 根据正方形的面积等于边长的平方以及勾股定理可得x=y+z.故选D. 2.(2019龙岩二检,8)三个等边三角形的摆放位置如图,若3=60,则1+2的度数是( ) A.90 B.120 C.270 D.360 答案答案 B 如图. 3=60, 6=180-60-60=60. 4+5=120. 2+4=120,1+5=120, 1+2+120=240, 1+2=120. 解后反思解后反思 本题考查的是等边三角形的性质,熟知等边三角形各内角均等于60是解题的关键. 二、填空题（每小题4分，共16分） 3.(2020莆田二检,12)如图,等

21、边三角形ABC的边长为2,DE是ABC的中位线,则DE的长为 . 答案答案 1 解析解析 DE是ABC的中位线, DE=BC=2=1, 1 2 1 2 解后反思解后反思 熟记三角形的中位线定理是解题的关键. 4.(2020漳州一检,12)如图,在 RtABC中,ACB=90,CD是AB边上的中线,CD=5,则AB的长是 . 答案答案 10 解析解析 由题意知CD=AB, CD=5,AB=2CD=25=10. 1 2 5.(2019莆田二检,13)如图,在ABC中,AB+AC=6,BC的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,则ACD 的周长为 . 答案答案 6 解析解析 易得BD=CD, 则

22、CACD=AD+CD+CA=AD+BD+AC=AB+AC=6. 6.(2020南平一检,13)如图,DEC与ABC关于点C成中心对称,AB=3,AC=1,D=90,则AE的长是 . 答案答案 13 解析解析 DEC与ABC关于点C成中心对称, DECABC,D、C、A共线, DE=AB=3,DC=AC=1, DA=DC+AC=1+1=2. 在RtADE中,D=90, 由勾股定理可得AE=. 22 ADDE 22 2313 三、解答题（共8分） 7.(2018漳州质检,18)如图,在ABC中,A=80,B=40. (1)求作线段BC的垂直平分线DE,垂足为E,交AB于点D;(要求:尺规作图,保留

23、作图痕迹,不写作法) (2)在(1)的条件下,连接CD,求证:AC=CD. 解析解析 (1)如图,直线DE即为所求. (2)证法一:DE垂直平分BC, BD=CD, 1=B=40. 2=B+1=80. A=80, 2=A. AC=CD. 证法二:DE垂直平分BC, BD=CD, 1=B=40. A=80, ACB=180-A-B=60. ACD=60-40=20. 2=180-A-ACD=80=A. AC=CD. B组 20182020年模拟提升题组 时间:60分钟 分值:72分 一、选择题（每小题4分，共12分） 1.(2020三明二检,16)如图,PAB中,PA=3,PB=4,以AB为边作

24、等边ABC,则点P,C间的距离的最大值为 . 答案答案 7 解析解析 如图,将ABP绕点B顺时针旋转60得到CBP,连接PP,CP,则BPP是等边三角形, BP=BP=PP=4,CP=AP=3. PCPP+PC=7, 当P,P,C三点共线时,PC的长取得最大值, P,C间的距离的最大值为7. 2.(2019龙岩二检,16)如图,在ABC中,ABC=30,AB=4,BC=5,P是ABC内部的任意一点,连接PA,PB, PC,则PA+PB+PC的最小值为 . 答案答案 41 解析解析 如图,将ABP绕点B逆时针旋转60得到ABP,连接PP,则BPP为等边三角形, BP=BP=PP,AP=AP, P

25、A+PB+PC=AP+PP+CP, 当A,P,P,C四点共线时,PA+PB+PC的值最小,最小值为AC的长. ABC=30,ABA=60, ABC=90. AC=. 22 A BBC 22 4541 方法点拨方法点拨 (1)本题通过旋转变换,把分散的三个条件重新组合,把一般三角形转化为直角三角形,从而使 问题得到解决.(2)旋转不仅可以把一些集中条件分散开,还可以把一些分散的条件集中到同一个图形中, 这种转化思想在特殊图形(特别是正方形、正三角形)中经常使用. 3.(2020福州一检,16)如图,在直角三角形ABC中,C=90,D是AC边上一点,以BD为边,在BD上方作等腰 直角三角形BDE,

26、使得BDE=90,连接AE.若BC=4,AC=5,则AE的最小值是 . 答案答案 2 2 解析解析 如图所示,过E作EG垂直于CA的延长线于G. BDE=90, EDG+BDC=90. DCB=90, BDC+DBC=180-DCB=90, EDG=DBC. 又EGD=DCB=90,ED=BD, EGDDCB. 设DC=x,则EG=x. GD=BC=4,AC=5, AG=x-1, AE= = = 22 AGEG 22 21xxx 2 221xx =. AEmin=. 2 11 2 22 x 2 2 2 2 方法技巧方法技巧 看到等腰直角三角形须先想到K型全等,而线段长度的最值可以用二次函数的性

27、质求出. 二、填空题（共60分） 4.(2020南平二检,22)如图,在RtABC与RtEFC中,ACB=ECF=90,点E在AB边上,A=CEF. (1)求证:=; (2)若A=30,CE三等分ACB,求的值. AE BF AC BC AC CE 解析解析 (1)证明:在ABC与EFC中, ACB=ECF=90,A=CEF, ABCEFC, =,(2分) 又ACB-ECB=ECF-ECB, 即ACE=BCF, ACEBCF, =.(4分) (2)当ACE=BCE时, ACE=ACB=30,(5分) A=30, AC BC EC FC AE BF AC BC 1 2 1 3 ACE=A, 过点

28、E作EHAC,垂足为H. CH=AC,(6分) 在RtHCE中,cosECH=, =.(7分) 1 2 HC EC 3 2 AC CE 2CH CE 3 当ACE=2BCE时, ACE=ACB=60,(8分) A=30, AEC=90, cosECA=,(9分) =2.(10分) 2 3 EC AC 1 2 AC CE 5.(2020南平一检,24)如图,AC,BD为四边形ABCD的对角线,ABC=90,ABD+ADB=ACB,ADC= BCD. (1)求证:ADAC; (2)探求BAC与ACD之间的数量关系,并说明理由. 解析解析 (1)证明:在ABC中,ABC=90, ACB+BAC=90

29、.(1分) 在ABD中, ABD+ADB+BAD=180,(2分) 又ABD+ADB=ACB, ACB+BAD=180,(4分) 即ACB+BAC+CAD=180, CAD=90.(5分) ADAC. (2)解法一:BAC=2ACD.(6分) 理由如下:如图,过点C作CEBC,垂足为C,过点D作DFCE,垂足为F.(7分) ABC+BCF=90+90=180, ABCE, BAC=ACF,(8分) DFCE,BCCE, DFBC, BCD=CDF.(9分) ADC=BCD, ADC=CDF,(10分) 又DAC=DFC=90,CD=CD, DACDFC,(11分) ACD=DCF, BAC=2

30、ACD.(12分) 解法二:BAC=2ACD.(6分) 理由如下:如图,延长CB,DA交于点E,过点E作EFDC,垂足为F.(7分) ADC=BCD, ED=EC, EFDC, DEF=CEF, 即DEC=2DEF.(8分) DAC=ABE=90, EAB+BAC=EAB+AEB=90, BAC=AEB=2DEF,(10分) 在DEF与DAC中, DFE=DAC=90,EDF=CDA, DEF=ACD,(11分) BAC=2ACD.(12分) 解法三:BAC=2ACD.(6分) 理由如下:ABC=90, BAC=90-ACB =90-(BCD-ACD),(8分) DAC=90, ADC=90-

31、ACD, ADC=BCD, BCD=90-ACD,(10分) BAC=90-(90-ACD-ACD)=2ACD.(12分) 6.(2018宁德质检,24)如图1,在ABC中,BAC=90,AB=AC=4,D是BC上的一个动点,连接AD,以AD为边 向右侧作等腰直角ADE,其中ADE=90. (1)如图2,G,H分别是边AB,BC的中点,连接DG,AH,EH,求证:AGDAHE; (2)如图3,连接BE,直接写出当BD为何值时,ABE是等腰三角形; (3)在点D从点B向点C运动过程中,求ABE周长的最小值. 解析解析 (1)证明:ABC和ADE都是等腰直角三角形, B=DAE=45. G为AB的

32、中点,H为BC的中点, AHBC. BAH=45=DAE. GAD=HAE.(1分) 在等腰直角BAH和等腰直角DAE中, AH=AB=AG,AE=AD. =.(3分) AGDAHE.(4分) (2)当BD=0或或2时,ABE是等腰三角形.(8分) (注:给出0和2各得1分,给出得2分) (3)解法一:当点D与点B重合时,点E的位置记为点M. 2 2 22 AH AG AE AD 22 22 此时,ABM=BAC=90,AMB=BAM=45,BM=AB=AC, 四边形ABMC是正方形. BMC=90, AMC=BMC-AMB=45,(9分) BAM=DAE=45, BAD=MAE, 在等腰直角

33、BAM和等腰直角DAE中, AM=AB,AE=AD, =. ABDAME. AME=ABD=45, 点E在射线MC上.(10分) 作点B关于直线MC的对称点N,连接AN交MC于点E, BE+AE=NE+AEAN=NE+AE=BE+AE, ABE就是所求周长最小的ABE. 在RtABN中, AB=4,BN=2BM=2AB=8, AN=4. ABE周长的最小值为AB+AN=4+4.(13分) 22 AM AB AE AD 22 ABBN5 5 解法二:取BC的中点H,连接AH, 同解法一证ACEAHD. ACE=AHD=90. 点E在过点C且垂直于AC的直线上,记为直线l.(10分) 记点A关于直

34、线l的对称点M,连接BM交直线l于点E, 同解法一,证得ABE就是所求周长最小的ABE. ABE周长的最小值为AB+BM=4+4.(13分) 5 7.(2019莆田二检,24)如图1,在RtABC中,ABC=90,AB=BC,将ABC绕点A逆时针旋转,得到ADE,旋 转角为(090),连接BD,其延长线交CE于点F. (1)如图2,当=45时,求证:CF=EF; (2)在旋转过程中, (1)中的结论是否仍然成立?证明你的结论; 连接CD,当CDF为等腰直角三角形时,求tan的值. 2 解析解析 (1)证明:由旋转45,可知ADE=ABC=90,EAD=CAB=45,AE=AC,AD=AB, A

35、CE=AEC=67.5,ABD=ADB=67.5.(1分) FDC=ADB=67.5, FDC=DCF, CF=DF.(2分) 在RtEDC中,CED=EDF=22.5, EF=DF, EF=CF.(3分) (2)(1)中的结论仍然成立. 证明:如图,过点E作EGCB 交BF的延长线于点G.(4分) AD=AB, ADB=ABD. EDG+ADB=CBF+ABD=90, EDG=CBF. EGCB, G=CBF, EDG=G, EG=ED. ED=BC, EG=BC.(6分) 又EFG=CFB, FEGFCB, EF=CF.(7分) 过点A作APBD于点P. AB=AD, PAB=DAB=.

36、PAB+PBA=CBD+PBA=90, CBD=PAB=. =,EAC=DAB,AECADB, =, ACE=ABD, CFB=CAB=45.(9分) 当CDF=90时,CDF为等腰直角三角形,则CF=DF. 1 22 2 AE AD AC AB 2 CE BD AE AD 2 2 EF=CF, CF=BD, DF=BD. CD=DF, CD=BD, tan=tanCBD=.(11分) 2 2 1 2 1 2 2 CD BD 1 2 当FCD=90时,如图,CDF为等腰直角三角形, 则CF=DF,过点C作CGDF于点G. EF=CF, CF=BD, DF=BD, CGDF, CG=DF, CG

37、=BG, 2 2 2 2 1 2 1 3 tan=tanCBG=. 综上所述,tan=或.(12分) 2 CG BG 1 3 2 1 2 1 3 8.(2019宁德二检,24)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AD边上的一个动点,将四边形BCDE沿直线 BE折叠,得到四边形BCDE,连接AC,AD. (1)若直线DA交BC于点F,求证:EF=BF; (2)当AE=时,求证:ACD是等腰三角形; (3)在点E的运动过程中,求ACD面积的最小值. 4 3 3 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是矩形, ADBC. FEB=EBC.(2分) 由对称性可得FBE=EBC, FEB=FB

38、E. BF=EF.(4分) (2)证明:如图,分别过点A作AGBC于点G,AHCD于点H. 四边形ABCD是矩形, BAD=90. tanABE=. ABE=30.(5分) FEB=90-ABE=60. ABG=FBE-ABE=30. AG=AB=2.(7分) 根据折叠的性质可得BCD=C=90,CD=CD, BCD=CGA=CHA=90. 四边形AGCH是矩形. CH=AG=2,CH=DH, AH是CD的垂直平分线.(8分) AE AB 4 3 3 4 3 3 1 2 AC=AD. ACD是等腰三角形.(9分) (3)解法一:如图,由题意可得点C与点D关于BE的对称点分别为点C,D,作点A关

39、于BE的对称点A. 由对称性得ACDACD,BA=BA. SACD=SACD,点A落在以点B为圆心,以AB长为半径的弧AM上.(11分) 设弧AM交BC于点M,过点A作ANCD于N. 由垂线段最短知BA+ANBM+MC. BA=BM,ANMC. 当点A落在点M处时,ACD的面积最小, 即ACD的面积最小,此时MC=BC-BM=2. SACD=SACD=MC DC=4. ACD面积的最小值为4.(13分) 解法二:如图,过B点作DE的垂线交DE的延长线于点J.过点A作AHCD于点H,延长HA交BJ于点I, 1 2 AH+AI=HI=BC=6.AH=6-AI. AH随AI的增大而减小.(11分) AIAB, 当AI=AB时,AI取得最大值4,此时,AH取得最小值2.SACD=CD AH=4. ACD面积的最小值为4.(13分) 1 2