2021年北京中考数学复习练习课件:§3.4 二次函数.pptx
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1、 中考数学 (北京专用) 3. 4 二次函数 1.(2018北京,7,2分)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线 的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a 0).下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后 飞行到最高点时,水平距离为( ) A.10 m B.15 m C.20 m D.22.5 m 北京中考题组 答案答案 B 由题图中给出的点可知,抛物线的最高点的横坐标在0到20之间.若最高点的横坐标为10,由对 称性可知,(0,54.0)关
2、于对称轴的对称点为(20,54.0),而54.00)与x轴的交点为A,B. (1)求抛物线的顶点坐标; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 当m=1时,求线段AB上整点的个数; 若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,结合函数的图象,求 m的取值范围. 解析解析 (1)y=mx2-2mx+m-1=m(x-1)2-1. 抛物线的顶点坐标为(1,-1). (2)当m=1时,抛物线的表达式为y=x2-2x. 令y=0,解得x1=0,x2=2.线段AB上整点的个数为3. 当抛物线经过点(-1,0)时,m=. 当抛物线经过点(-2,0)时,m=. 结合函数的图象
3、可知,m的取值范围为|x2-1|,则y1y2 B.若|x1-1|x2-1|,则y10时,如图所示: 若|x1-1|x2-1|,则x1到1的距离大于x2到1的距离. 由图知y1y2, 若|x1-1|x2-1|,则x1到1的距离小于x2到1的距离. 由图知y1y2. 当a|x2-1|,则x1到1的距离大于x2到1的距离.由图知y1y2,若|x1-1|y2.综上所述,A、B不正确.由图可知,D不正确.若|x1-1|=|x2-1|,则x1,x2到1的距离相等,所以y1=y2,故选C. 方法指导方法指导 解决二次函数中a不确定的问题时,一定要分a0和a0)有两个根,其中一个根是3,则关于x的方程ax2+
4、bx+c+n=0(0n0)有两个根,其中一个根是3, 当y=-m时,关于x的方程ax2+bx+c=-m(m0)有两个根,其中一个根是3. 则函数y=ax2+bx+c的图象开口向下, 设直线y=-m(m0)与函数y=ax2+bx+c的图象交于A,B两点,点B的横坐标是3, 由对称性得点A的横坐标是-5,如图所示.设直线y=-n(0nm)与函数y=ax2+bx+c的图象交于C、D,点C的横坐 标为x1,点D的横坐标为x2,a0,-5 x1-3,1x23, 关于x的方程ax2+bx+c=-n(0nm)有两个整数根,这两个整数根是-4或2,故选B. 3.(2020河北,15,2分)如图,现要在抛物线y
5、=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的 说法如下, 甲:若b=5,则点P的个数为0; 乙:若b=4,则点P的个数为1; 丙:若b=3,则点P的个数为1. 下列判断正确的是( ) A.乙错,丙对 B.甲和乙都错 C.乙对,丙错 D.甲错,丙对 答案答案 C y=x(4-x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,抛物线的顶点坐标为(2,4),若b=5,则点P的个数为0,甲正确;若b=4,则 点P的个数为1(只能是顶点),乙正确;若b=3,根据二次函数图象的对称性,可知点P的个数为2,丙错误,故选C. 解题关键解题关键 从抛物线的对称性入手,结合图象探究直线y=b与
6、抛物线的交点情况是解题关键. 4.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是( ) A.c0 B.b2-4ac0 C.a-b+c0;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0;当x=-1时,y=a-b+ c,由题图可知a-b+c0,所以选项A,B,C错误,抛物线的对称轴为直线x=3,选项D正确,故选D. 15 2 5.(2019辽宁大连,10,3分)如图,抛物线y=-x2+x+2与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,点D在抛物线 上,且CDAB.AD与y轴相交于点E,过点E的直线PQ平行于x轴,与抛物线交于P,
7、Q两点,则线段PQ的长为 ( ) A.3 B.1+ C.4 D.2 1 4 1 2 55 答案答案 D 在y=-x2+x+2中,令x=0,则y=2, C(0,2);令y=0,则-x2+x+2=0, 解得x=-2或4,A(-2,0). CDAB,点D的纵坐标和点C的纵坐标相同,为2, 令y=2,则-x2+x+2=2, 解得x=0或2,D(2,2). 设直线AD的解析式为y=kx+b(k0), 将(-2,0),(2,2)代入y=kx+b中,得解得 直线AD的解析式为y=x+1, 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 20, 22, kb kb 1 , 2 1, k b 1 2 令y=x+
8、1中的x=0,则y=1,E(0,1). 令-x2+x+2=1, 即x2-2x-4=0,解得x=1, 所以PQ=(1+)-(1-)=2,故选D. 1 2 1 4 1 2 5 555 思路分析思路分析 根据抛物线的解析式求出其与x轴的交点A,与y轴的交点C的坐标,因为CDAB,所以点D的 纵坐标和点C的纵坐标相同,将点D的纵坐标代入抛物线解析式中,从而求出点D的坐标.利用待定系数法 求直线AD的解析式,并进一步求出点E的坐标,将点E的纵坐标代入抛物线的解析式中,求出点P、Q的横 坐标,进而可求出PQ的长. 6.(2019河南,8,3分)已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点
9、,则n的值为( ) A.-2 B.-4 C.2 D.4 答案答案 B 抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点, 解得故选B. 424, 1644, nb nb 2, 4. b n 一题多解一题多解 抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,抛物线的对称轴为直线x=1,即=1,b=2,n=-(- 2)2+2(-2)+4=-4. 24 2 2 b 7.(2018陕西,10,3分)对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y0,则这条抛物线的顶点一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案答案 C 当x=1时,y=a+2a-1+a-30,解得a1,又根据抛
10、物线顶点坐标公式可得-=-0,= =0,所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选C. 2 b a 21 2 a a 2 4 4 acb a 2 4 (3)(21) 4 a aa a 81 4 a a 8.(2018贵州贵阳,10,3分)已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x 轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象(如图所示).当直线y=-x+m与新图象有4个交点 时,m的取值范围是 ( ) A.-m3 B.-m-2 C.-2m3 D.-6m-2 25 4 25 4 答案答案 D 易知抛物线y=-x2+x+6与x轴交于点(-2,0),
11、(3,0), 依题意知,新图象对应的函数解析式为y= 如图,当直线y=-x+m经过点(-2,0)时,直线与新图象有3个交点,此时,m=-2. 由方程组得x2-m-6=0, 当该一元二次方程有两个相等的实数根时,=02-41(-m-6)=4m+24=0,解得m=-6, 将m=-6代入方程组,解得方程组的解是 故当直线y=-x+m经过点(0,-6)时,直线与新图象有3个交点,此时,m=-6.所以当-6m-2时,直线y=-x+m与新 图象有4个交点,故选D. 2 2 6(23), 6( 23). xxxx xxx 或 2 , 6 yxm yxx 0, 6. x y 思路分析思路分析 画出直线y=-x
12、,然后平移,判断直线y=-x+m与新图象有4个交点的临界位置:一是直线经过点(- 2,0),求得m=-2;二是直线与抛物线y=x2-x-6(-2x3)相切,这时,方程组只有一组解,即方程x2 -m-6=0有两个相等的实数根,令根的判别式等于0,可以求得m=-6.结合图象可知,当-6m8 B.b-8 C.b8 D.b-8 答案答案 D 由题意可得,y=x2的图象经过两次平移后得到y=(x-3)2-1的图象.将代入 得,x2-8x+8-b=0.因为抛物线与直线有公共点,所以=(-8)2-4(8-b)=4b+320,所以b-8,故选D. 2 (3)1, 2, yx yxb 10.(2017陕西,10
13、,3分)已知抛物线y=x2-2mx-4(m0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M.若点M在这条 抛物线上,则点M的坐标为( ) A.(1,-5) B.(3,-13) C.(2,-8) D.(4,-20) 答案答案 C y=x2-2mx-4=(x-m)2-m2-4,则顶点M的坐标为(m,-m2-4),M的坐标为(-m,m2+4),点M在抛物线上, m2+2m2-4=m2+4,m2=4.m0,m=2,M(2,-8),故选C. 思路分析思路分析 先配方求出抛物线的顶点M的坐标,根据对称性表示出点M的对称点M的坐标,由点M在抛 物线上,可将M的坐标代入解析式求出m的值,进而求得点M的坐标. 11.(2
14、019安徽,14,5分)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交 于P,Q两点.若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是 . 答案答案 a1或a-1 解析解析 解法一:函数y=x2-2ax的图象与x轴的交点为(0,0),(2a,0),函数y=x-a+1的图象与x轴的交点为(a-1,0), 与y轴的交点为(0,1-a). 分两种情况:当a2a,可得a0时,如图(2),要满足题意,则需a-10,可得a1. 综上,实数a的取值范围是a1或a-1. 解法二:直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P、Q两点,且
15、都在x轴的下方, 令y=x-a+10,解得xa-1. 令y=x2-2ax0时,解得0x2a;当a0时,解得2ax0时,若有解,则a-10,解得a1; 当a0时,若有解,则2aa-1,解得a1或a-1. 1, 02 xa xa 1, 20 xa ax 思路分析思路分析 考虑到二次函数图象的对称轴方程是x=a,故分a0两种情况,解法一:由于二次函数的 图象过原点,结合图象知只需满足直线y=x-a+1与二次函数图象相交的最左边交点在x轴的下方即可,从 而得出关于a的不等式;解法二:分别在a0两种情况下满足有解,解之即可. 2 10, 20 xa xax 难点突破难点突破 根据二次函数图象的特点分a0
16、两种情况考虑是解答本题的突破口. 12.(2019湖北武汉,15,3分)抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b -bx的解是 . 答案答案 x1=-2,x2=5 解析解析 解法一:将方程整理可得a(x-1)2+b(x-1)+c=0,它的解是函数y=a(x-1)2+b(x-1)+c的图象与x轴交点的 横坐标,而y=a(x-1)2+b(x-1)+c的图象可以看作由函数y=ax2+bx+c的图象向右平移一个单位长度得到,所以 将函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点也向右平移一个单位长度,为(-2,0)和(5,0).所以方程的
17、解为x1=-2,x2 =5. 解法二:依题意,得解得 所以关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx可化为a(x-1)2-12a=-a+ax,即(x-1)2-12=-1+x, 化简得x2-3x-10=0, 解得x1=-2,x2=5. 930, 1640, abc abc , 12 . ba ca 考点二 二次函数的实际应用 1.(2019山西,9,3分)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛 物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象抛 物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点.拱高为
18、78米(即最高点O到AB的距离为78 米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系.则 此抛物线型钢拱的函数表达式为( ) 图1 图2 A.y=x2 B.y=-x2 C.y=x2 D.y=-x2 26 675 26 675 13 1 350 13 1 350 答案答案 B 设抛物线型钢拱的函数表达式为y=ax2, 将B(45,-78)代入得-78=a 452,a=-, 抛物线型钢拱的函数表达式为y=-x2,故选B. 26 675 26 675 思路分析思路分析 根据题意先确定点B的坐标,然后利用待定系数法求出函数表达式. 方法指导方法指
19、导 用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤如下: 步骤一:设出含待定系数的函数表达式;步骤二:把已知条件(自变量x与函数的对应值y)代入表达式,得到 关于待定系数的方程或方程组;步骤三:解方程或方程组,求出待定系数;步骤四:将求得的待定系数的值 代入所设表达式,写出表达式. 2.(2018湖北武汉,15,3分)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t- t2.在飞机着陆滑行中,最后4 s滑行的距离是 m. 3 2 答案答案 24 解析解析 y=60t-t2=-(t-20)2+600,即t=20时,y取得最大值,即滑行距离达到最大,此时滑行距离是600
20、 m.当t =16时,y=6016-162=576,所以最后4 s滑行的距离为600-576=24 m. 3 2 3 2 3 2 3.(2018辽宁沈阳,15,3分)如图,一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开. 已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计),当AB= m时,矩形土地ABCD的面积最大. 答案答案 150 解析解析 四边形ABCD是矩形,ABCD,AB=CD,ADBC,AD=BC,又EFCD,四边形CDEF是平行 四边形,EF=CD, 设AB=x,则EF=CD=x,篱笆总长为900 m,AD=BC=(0x300), S矩形ABCD=AB AD=
21、x=-x2+450 x,当x=-=150 m时,矩形土地ABCD的面积最大. 9003 2 x 9003 2 x3 2 450 3 2 2 疑难突破疑难突破 当篱笆总长一定时,AD长随着AB的变化而变化,因此矩形面积与AB长之间存在着二次函数 关系,问题即转化为求二次函数的最大值问题. 思路分析思路分析 篱笆由AB、EF、CD、AD、BC五段构成,由矩形性质可得,AB=EF=CD,AD=BC,设AB=x,则 AD可用含x的式子表示,从而矩形的面积也可用含x的式子表示,则利用矩形面积与x之间存在的函数关 系可求面积最大值. 解后反思解后反思 本题中,二次函数的最大值可以用配方法,也可以直接由顶点
22、公式得到.但要注意,还需要考虑 最大值点能否落在自变量的取值范围内. 4.(2020贵州贵阳,24,12分)2020年体育中考增设了考生进入考点需进行体温检测的要求.防疫部门为了 解学生错峰进入考点进行体温检测的情况,调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与 时间x(分钟)的变化情况,数据如下表:(表中915表示9x15) 时间x (分钟) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 915 人数y (人) 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810 (1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律,利用初中所学函数知识求出y与x之
23、间 的函数关系式; (2)如果考生一进考点就开始测量体温,体温检测点有2个,每个检测点每分钟检测20人,考生排队测量体 温,求排队人数最多时有多少人,全部考生都完成体温检测需要多少时间; (3)在(2)的条件下,如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测,从一开始就应该至少增加几个检测点? 解析解析 (1)根据表中数据的变化趋势可知: 当0 x9时,y是x的二次函数. 当x=0时,y=0, 二次函数的关系式可设为y=ax2+bx(a0). 当x=1时,y=170;当x=3时,y=450, 将它们分别代入关系式得解得 二次函数的关系式为y=-10 x2+180 x. 将表格内的其他各组对应值代入此
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