2021年福建中考数学复习练习课件：§8.2　新定义与阅读理解.pptx

1、 中考数学 （福建专用） 8.2 新定义与阅读理解 1.定义符号mina,b的含义为:当ab时,mina,b=b;当ab时,mina,b=a.如:min1,-3=-3,min-4,-2= -4,则min-x2+1,-x的最大值是( ) A. B. C.2 D.0 51 2 51 2 答案答案 A 在同一平面直角坐标系xOy中,画出二次函数y=-x2+1与正比例函数y=-x的图象,如图所示, 设它们交于点A、B. 令-x2+1=-x,即x2-x-1=0,解得x=或, A,B. 观察图象可知: 15 2 15 2 1551 , 22 1515 , 22 当x时,min-x2+1,-x=-x2+1,

2、函数值随x的增大而增大,其最大值为; 当x0) 参照上面材料,解答下列问题: (1)24= ,(-2)4= ; (2)若x,且满足(2x-1)(4x2-1)=(-4)(1-4x),求x的值. (0), (0). b a a ab a 3 1 2 1 1 x x 1 2 解析解析 (1)2;-6.(4分) (2)x, 2x-10, (2x-1)(4x2-1)=2x+1.(6分) -40,(-4)(1-4x)=-4-(1-4x)=-5+4x.(8分) (2x-1)(4x2-1)=(-4)(1-4x)可化为2x+1=-5+4x, 解得x=3.(10分) 1 2 2 41 21 x x 解后反思解后反

3、思 本题考查了实数运算与解一元一次方程,难度不大,属于新定义题目,理解题意是关键. 5.(2020内蒙古呼和浩特,22,7分)“通过等价变换,化陌生为熟悉,化未知为已知”是数学学习中解决问题 的基本思维方式.例如:解方程x-=0,就可以利用该思维方式,设=y,将原方程转化为:y2-y=0这个熟悉 的关于y的一元二次方程,解出y,再求x,这种方法又叫“换元法”.请你用这种思维方式和换元法解决下 面的问题. 已知实数x,y满足求x2+y2的值. xx 22 22 522133, 251, 4 x yxy xy x y 解析解析 令xy=a,x+y=b,则原方程组可化为 整理得 -得11a2=275

4、, 解得a2=25,代入可得b=4, 方程组的解为或 x2+y2=(x+y)2-2xy=b2-2a, 当a=5时,x2+y2=6, 当a=-5时,x2+y2=26, 因此x2+y2的值为6或26. 2 2 52133, 251, 4 ab b a 2 2 52133, 162408, ab ab 5, 4 a b 5, 4, a b 思路分析思路分析 本题是一道阅读理解题,须先理解并掌握材料所给的方法,结合所学知识推导,求解. 6.(2020北京,28,7分)在平面直角坐标系xOy中,O的半径为1,A,B为O外两点,AB=1. 给出如下定义:平移线段AB,得到O的弦AB(A,B分别为点A,B的

5、对应点),线段AA长度的最小值称为线 段AB到O的“平移距离”. (1)如图,平移线段AB得到O的长度为1的弦P1P2和P3P4,则这两条弦的位置关系是 ;在点P1,P2,P 3,P4中,连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到O的“平移距离”; (2)若点A,B都在直线y=x+2上,记线段AB到O的“平移距离”为d1,求d1的最小值; 33 (3)若点A的坐标为,记线段AB到O的“平移距离”为d2,直接写出d2的取值范围. 3 2, 2 解析解析 (1)平行;P3.(2分) 详解:由题意可知P1P2,P3P4都是由线段AB平移得来的,所以P1P2P3P4. 由题意可知点A与点P1,点P3是对

6、应点,且点A与点P3在x轴上方,点P1在x轴下方,且点P1与点P3关于x轴对 称,所以连接点A与点P3的线段的长度小于连接点A与点P1的线段的长度.所以连接点A与点P3的线段的长 度等于线段AB到O的“平移距离”. (2)如图,由题意可得,ABAB且AB=AB=1, 则四边形AABB为平行四边形. 由题意可得,AA=d1. 分别取AB和AB的中点M和M,连接MM,可得MM=AA. 连接OM,则OMAB,且OM=. 设直线y=x+2交x轴于点C,交y轴于点D, 则点C(-2,0),D(0,2). 3 2 33 3 延长OM交直线CD于点N,则ONCD. 在RtCOD中,可得ON=. NM=. M

7、MNM, AA. d1的最小值是(当AB的中点M与点N重合时取得).(5分) (3)d2.(7分) 提示:当点A在线段OA上时(如图1),可知AA有最小值,易求得AO=2.5,所以AA的最小值为2.5-1=1.5;当AA =AA时(如图2),AA有最大值,OP=0.5,AO=2.5,AP=,可知AA= =. 3 3 2 3 2 3 2 3 2 39 2 3 2 2 2 3 (0.52.5) 2 39 2 图1 图2 7.(2016厦门,28,6分)当m,n是正实数,且满足m+n=mn时,就称点P为“完美点”,已知点A(0,5)与点M 都在直线y=-x+b上,点B,C是“完美点”,且点B在线段A

8、M上,若MC=,AM=4,求MBC的面积. , m m n 32 解析解析 m+n=mn,且m,n是正实数, +1=m,即=m-1, P(m,m-1), 即“完美点”B在直线y=x-1上, 点A(0,5)在直线y=-x+b上, b=5, 直线AM的方程为y=-x+5, “完美点”B在直线AM上, 由 解得 B(3,2), m n m n 1, 5, yx yx 3, 2. x y 一、三象限的角平分线y=x垂直于二、四象限的角平分线y=-x,而直线y=x-1与直线y=x平行,直线y=-x+ 5与直线y=-x平行, 直线AM与直线y=x-1垂直, 点B是直线y=x-1与直线AM的交点, 垂足是点

9、B, 点C是“完美点”, 点C在直线y=x-1上, MBC是直角三角形, B(3,2),A(0,5), AB=3, AM=4, BM=, 又CM=, BC=1, 2 2 2 3 SMBC=BM BC=. 1 2 2 2 思路分析思路分析 由m+n=mn变形为=m-1,可知P(m,m-1),所以“完美点”在直线y=x-1上,点A(0,5)在直线y=-x +b上,求得直线AM:y=-x+5,进而求得B(3,2),根据直线平行的性质证得直线AM与直线y=x-1垂直,然后根据 勾股定理求得BC的长,从而求得三角形的面积. m n 解后反思解后反思 本题考查了一次函数的性质,直角三角形的判定,勾股定理的

10、应用以及三角形面积的计算等, 判断直线垂直,借助正比例函数是本题的关键. 8.(2020厦门二检,25)在平面直角坐标系中,点(p,tq)与(q,tp)(t0)称为一对泛对称点. (1)若点(1,2),(3,a)是一对泛对称点,求a的值; (2)若P,Q是第一象限内的一对泛对称点,过点P作PAx轴于点A,过点Q作QBy轴于点B,线段PA,QB交 于点C,连接AB,PQ,判断直线AB与PQ的位置关系,并说明理由; (3)抛物线y=ax2+bx+c(ayN时xM的取值范围;若不是,请说明 理由. 解析解析 (1)因为点(1,2),(3,a)是一对泛对称点, 所以令3t=2,(1分) 解得t=.(2

11、分) 所以a=t1=.(3分) (2)ABPQ.理由: 解法一:设P,Q两点的坐标分别为P(p,tq),Q(q,tp),其中0p0. 因为PAx轴于点A,QBy轴于点B,线段PA,QB交于点C,所以点A,B,C的坐标分别为A(p,0),B(0,tp),C(p, tp).(4分) 设直线AB,PQ的解析式分别为y=k1x+b1,y=k2x+b2,其中k1k20. 分别将A(p,0),B(0,tp)代入y=k1x+b1,得 解得(5分) 2 3 2 3 11 1 0, , pkb btp 1 1 , . kt btp 分别将点P(p,tq),Q(q,tp)代入y=k2x+b2,得解得(6分) 因为

12、k1=k2,b1b2, 所以ABPQ.(7分) 解法二:设P,Q两点的坐标分别为P(p,tq),Q(q,tp),其中0p0. 因为PAx轴于点A,QBy轴于点B,线段PA,QB交于点C,所以点A,B,C的坐标分别为A(p,0),B(0,tp),C(p, tp).(4分) 所以QC=xQ-xC=q-p,CB=xC-xB=p,PC=yP-yC=tq-tp,CA=yC-yA=tp. 在RtPCQ与RtACB中, tanCPQ=.(5分) 22 22 , , pkbtq qkbtp 2 2 , . kt btptq QC PC qp tqtp () qp t qp 1 t tanCAB=.(6分) 所

13、以tanCPQ=tanCAB. 所以CPQ=CAB. 所以ABPQ.(7分) (3)因为抛物线y=ax2+bx+c(a0)交y轴于点D, 所以点D的坐标为(0,c), 因为DMx轴, 所以点M的坐标为(xM,c),又因为点M在抛物线y=ax2+bx+c(a0)上, 所以a+bxM+c=c,即xM(axM+b)=0. 解得xM=0或xM=-. 因为点M不与点D重合,即xM0,也即b0, 所以点M的坐标为.(8分) CB CA p tp 1 t 2 M x b a , b c a 因为直线y=ax+m经过点M, a+m=c,化简得m=b+c.(9分) 所以直线MN的解析式为y=ax+b+c. 因为

14、抛物线y=ax2+bx+c与直线y=ax+b+c交于点N, 由ax2+bx+c=ax+b+c,可得ax2+(b-a)x-b=0. 因为=(b-a)2+4ab=(a+b)20, 解得x1=-,x2=1. 即xM=-,xN=1,且-1,也即a+b0. 所以点N的坐标为(1,a+b+c).(10分) 要使M与N(1,a+b+c)是一对泛对称点, b a b a b a b a , b c a 则需c=t1且a+b+c=t. 也即a+b+c= c.(11分) 也即(a+b) a=-(a+b) c. 因为a+b0, 所以当a=-c时,M,N是一对泛对称点. 因此对于任意满足条件的实数b,都存在M,N是一

15、对泛对称点的情形.(12分) 此时点M的坐标为,点N的坐标为(1,b), 所以M,N两点都在函数y=(b0)的图象上. 因为a0时,点M,N都在第一象限,此时y随x的增大而减小,所以当yMyN时,0xM1; 当byN时,xM的取值范围是xM0. 综上,xM的取值范围是xM1 且xM0.(14分) 9.【图形定义】 如图,将正n边形绕点A顺时针旋转60后,发现旋转前后两图形有另一个交点O,连接AO,我们称AO为 “叠弦”;再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60后,交旋转前的图形于点P,连接PO,我们 称OAB为“叠弦角”,AOP为“叠弦三角形”. 【探究证明】 (1)请在图1和图2中选择

16、其中一个证明:“叠弦三角形”(即AOP)是等边三角形; (2)如图2,求证:OAB=OAE; 【归纳猜想】 (3)图1、图2中“叠弦角”的度数分别为 , ; (4)图n中,“叠弦三角形” 等边三角形(填“是”或“不是”); (5)图n中,“叠弦角”的度数为 (用含n的式子表示). 解析解析 (1)选择图1. 证明:依题意得DAD=60,PAO=60. DAP=DAD-PAD=60-PAD, DAO=PAO-PAD=60-PAD, DAP=DAO. D=D,AD=AD, DAPDAO, AP=AO. PAO=60, AOP是等边三角形.(2分) 选择图2. 证明:依题意得EAE=60,PAO=6

17、0. EAP=EAE-PAE=60-PAE, EAO=PAO-PAE=60-PAE, EAP=EAO. E=E,AE=AE, EAPEAO, AP=AO. PAO=60, AOP是等边三角形.(2分) (2)证法一:连接AC,AD,CD. AE=AB,E=B=108,ED=BC, AEDABC, AD=AC,ADE=ACB, 由AD=AC,得ADC=ACD, ODC=OCD,OC=OD, BC-OC=ED-OD,即BO=EO. AB=AE,B=E, ABOAEO, OAB=OAE.(5分) 证法二:连接AC,AD,CD. AE=AB,E=B=108,ED=BC, AEDABC, AD=AC,A

18、DE=ACB,EAD=BAC, 点A在线段CD的垂直平分线上,ADC=ACD, ODC=OCD,OC=OD, 点O在线段CD的垂直平分线上, 直线AO是线段CD的垂直平分线, CAO=DAO, BAC-CAO=EAD-DAO, 即OAB=OAE.(5分) (3)15;24.(7分) (4)是.(8分) (5)60-.(10分) 180 3n 解后反思解后反思 本题主要考查新定义“叠弦三角形”,等边三角形和全等三角形以及正多边形的综合应用. 解答本题的关键是先读懂新定义,再利用新定义解决问题.同时要从特殊到一般归纳出结论. 10.阅读理解 抛物线y=x2上任意一点到点(0,1)的距离与到直线y=

19、-1的距离相等,你可以利用这一性质解决问题. 问题解决 如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1与y轴交于C点,与函数y=x2的 图象交于A,B两点,分别过A,B两点 作直线y=-1的垂线,交于E,F两点. (1)写出点C的坐标,并说明ECF=90; (2)在PEF中,M为EF的中点,P为动点. 求证:PE2+PF2=2(PM2+EM2); 已知PE=PF=3,以EF为一条对角线作平行四边形CEDF,若1PD2,试 求CP的取值范围. 1 4 1 4 解析解析 (1)当x=0时,y=k 0+1=1, 则点C的坐标为(0,1). 根据题意可得AC=AE, AEC=ACE. AEEF,COEF,

20、 AECO, AEC=OCE, ACE=OCE. 同理可得OCF=BCF. ACE+OCE+OCF+BCF=180, 2OCE+2OCF=180, OCE+OCF=90,即ECF=90. (2)证明:过点P作PHEF于H, (i)若点H在线段EF上,如图. 图 M为EF的中点, EM=FM=EF. 根据勾股定理可得 PE2+PF2-2PM2=PH2+EH2+PH2+HF2-2PM2 =2PH2+EH2+HF2-2(PH2+MH2) 1 2 =EH2-MH2+HF2-MH2 =(EH+MH)(EH-MH)+(HF+MH)(HF-MH) =EM(EH+MH)+MF(HF-MH) =EM(EH+MH

21、)+EM(HF-MH) =EM(EH+MH+HF-MH) =EM EF=2EM2, PE2+PF2=2(PM2+EM2). (ii)若点H在线段EF的延长线(或反向延长线)上,如图. 图 同理可得PE2+PF2=2(PM2+EM2). 综上所述:当点H在直线EF上时,都有PE2+PF2=2(PM2+EM2). 连接CD、PM、PE、PF,如图. ECF=90, CEDF是矩形, M是EF的中点, M是CD的中点,且MC=EM. 由中的结论可得 在PEF中,有PE2+PF2=2(PM2+EM2), 在PCD中,有PC2+PD2=2(PM2+CM2). MC=EM, PC2+PD2=PE2+PF2

22、. PE=PF=3,PC2+PD2=18. 1PD2,1PD24, 118-PC24, 14PC20,PC0,3k2-2k+1=3+0, “带线”l与x轴,y轴所围成的三角形的面积为 S= k=, 令t=,则t2,S=, =t2-2t+3=(t-1)2+2, 2 321 2 kk 2 321 2 kk 2 2 ,0 321 k kk 1 2 2 1 3 k 2 3 1 2 2 2 321 k kk 2 2 321 k kk 2 1 11 23 kk 1 k 1 2 2 1 23tt 1 S 当t2时,=3,=2, 23,S. 1 2 1 S 最大值 1 S 最小值 1 S 1 3 1 2 12

23、.在平面直角坐标系中,我们定义点P(a,b)的“变换点”为Q,且规定:当ab时,Q为(b,-a);当ab时,Q为 (a,-b). (1)(2,1)的变换点坐标为 ; (2)若点A(a,-2)的变换点在函数y=的图象上,求a的值; (3)已知直线l与坐标轴交于(6,0),(0,3)两点.将直线l上所有点的变换点组成一个新的图形记作M.判断抛 物线y=x2+c与图形M的交点个数,以及相应的c的取值范围,请直接写出结论. 1 x 解析解析 (1)(1,-2). 21, 点(2,1)的变换点坐标为(1,-2). (2)当a-2时,A(a,-2)的变换点坐标为(-2,-a), 代入y=可得-a=,解得a

24、=; 当a-2时,A(a,-2)的变换点坐标为(a,2), 代入y=可得2=,解得a=(舍去). 综上可知,a的值为. (3)设直线l的解析式为y=kx+d(k0), 将(6,0)、(0,3)代入y=kx+d得解得 1 x 1 2 1 2 1 x 1 a 1 2 1 2 60, 3, kd d 1 , 2 3. k d 直线l的解析式为y=-x+3. 当x=y时,x=-x+3,解得x=2. 设此时的点为C,变换点为C,则点C的坐标为(2,2),点C的变换点的坐标为C(2,-2), 点(6,0)的变换点的坐标为(0,-6),点(0,3)的变换点的坐标为(0,-3). 当x2时,所有变换点组成的图

25、形是以C(2,-2)为端点,过(0,-6)的一条射线,即y=2x-6. 当x2时,所有变换点组成的图形是以C(2,-2)为端点,过(0,-3)的一条射线,即y=x-3. 所以新的图形M是由以C(2,-2)为端点的两条射线组成的图形.如图所示: 1 2 1 2 1 2 由得x2-x+c+3=0(x-时,抛物线y=x2+c与图形M有0个交点; 当方程(*)有两个相等的实数根,即c=-时,抛物线y=x2+c与图形M有1个交点; 当方程(*)无实数根,且方程(*)有两个不相等的实数根时,或当y=x2+c的图象恰好经过点C后再向下平 移时,-5c-或c-6,此时抛物线y=x2+c与图形M有2个交点; 当方程(*)有两个相等的实数根或y=x2+c的图象恰好经过C时,即当c=-5或c=-6时,抛物线y=x2+c与图 形M有3个交点; 当方程(*)和方程(*)均有两个不相等的实数根,且各根均小于2时,即当-6c-5时,抛物线y=x2+c与图 形M有4个交点. 47 16 47 16 47 16