2021年广东中考数学复习练习课件：§4.5　特殊的平行四边形.pptx

1、 中考数学 （广东专用） 4.5 特殊的平行四边形 考点一 矩形 A组 20162020年广东中考题组 1.(2020广州,10,3分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OEAC,交AD于 点E,过点E作EFBD,垂足为F,则OE+EF的值为( ) A. B. C. D. 48 5 32 5 24 5 12 5 答案答案 C 四边形ABCD为矩形, ABC=90,ADBC,OA=OD, AC=10, sinACB=. ADBC,OA=OD, ODA=DAO=ACB. sinODA=sinDAO=sinACB=. 在RtAOE和RtDEF中,OE=AE s

2、inOAD=AE,EF=DE sinODA=DE, OE+EF=AE+DE=(AE+DE)=AD=8=.故选C. 22 ABBC 22 68 AB AC 6 10 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 24 5 一题多解一题多解 连接CE.由DEF=AEO=CEO,得OEF=CED,OEFCED,= sinDAC=.=,OE+EF=(EC+DE)=AD=. OE EC EF DE 3 5 OEEF ECDE 3 5 3 5 3 5 24 5 2.(2019广州,9,3分)如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,A

3、F=5, 则AC的长为( ) A.4 B.4 C.10 D.8 53 答案答案 A 如图,连接AE,设AC与EF交于点O.四边形ABCD是矩形,ADBC,FAO=ECO. EF垂直平分线段AC,OA=OC.在FAO和ECO中,FAOECO(ASA),CE =AF=5,BC=BE+EC=8, EF垂直平分线段AC,EA=EC=5. 四边形ABCD是矩形,B=90. 在RtABE中,AB=4.在RtABC中,AC=4.故选A. , , , FAOECO OAOC AOFCOE 22 -AE BE 22 5 -3 22 ABBC 22 485 思路分析思路分析 连接AE,设AC与EF交于点O.由垂直

4、平分线的性质易得EA=EC,OA=OC,可证明FAO ECO,从而得到EC=AF=5,BC=BE+EC=8.在RtABE中利用勾股定理可求出AB的长度,进而在RtABC中 利用勾股定理求出AC的长度. 3.(2020深圳,12,3分)如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=12.将纸片折叠,使点B落在边AD的延长线上的点 G处,折痕为EF,点E、F分别在边AD和边BC上.连接BG,交CD于点 K,FG交CD于点H.给出以下结论: EFBG;GE=GF;GDK和GKH的面积相等;当点F与点C重合时,DEF=75,其中正确的结 论共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案答案 C

5、由折叠可知,点G是点B关于折痕EF的对称点.设EF交BG于点O,根据对称点的连线被对称轴 垂直平分,可知EFBG,BO=GO,故正确.四边形ABCD是矩形,ADBC,EGO=FBO.又BO =GO,EOG=FOB=90,EGOFBO,GE=BF.又由折叠可知BF=GF,GE=GF,故正确.过点 K作KMHG于M,DGB=GBC,BF=FG,DGB=GBC=HGK,即GB是AGF的平分线.又 CDAD,KMHG,DK=KM.在RtDGH中,HGDG,HGK的面积大于DGK的面积,故错误.在 RtCDG中,CD=AB=6,CG=BC=12,CGD=30.由知GE=BC,四边形BCGE为平行四边形.

6、又BC =GC,四边形BCGE为菱形,BEG=180-CGD=150.根据菱形的对角线平分一组对角,可知DEF =BEG=150=75,故正确.正确的结论有,故选C. 1 2 1 2 4.(2016广东,15,4分)如图,矩形ABCD中,对角线AC=2,E为BC边上一点,BC=3BE.将矩形ABCD沿AE所 在的直线折叠,B点恰好落在对角线AC上的B处,则AB= . 3 答案答案 3 解析解析 由折叠和矩形的性质,可知BE=BE,ABE=ABE=90,EBC=90. BC=3BE, EC=2BE=2BE, ACB=30,AB=AC. AC=2,AB=. 1 2 33 5.(2017广州,24,

7、14分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,COD关于CD的对称图形为CED. (1)求证:四边形OCED是菱形; (2)连接AE,若AB=6 cm,BC= cm. 求sinEAD的值; 若点P为线段AE上一动点(不与点A重合),连接OP,一动点Q从点O出发,以1 cm/s的速度沿线段OP匀速 运动到点P,再以1.5 cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A,到达点A后停止运动.当点Q沿上述路线运动到 点A所需要的时间最短时,求AP的长和点Q走完全程所需的时间. 5 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是矩形,AC=BD. AC与BD交于点O,且COD、CED关于CD对称, DO=O

8、C,DO=ED,OC=CE, DO=OC=CE=ED, 四边形OCED是菱形. (2)如图,连接OE,交DC于点G,EO的延长线交AB于点F. 四边形OCED是菱形,OEDC. 又DCAB,OFAB. 四边形ABCD为矩形, ADAB,EFAD. G为DC的中点,且O为BD的中点, OG为BCD的中位线,OG=BC= cm. OG=EG=OF,EF= cm. F为AB的中点,AB=6 cm,AF=3 cm. AE=(cm). EAD=AEF, sinEAD=sinAEF=. 如图,过点P作PMAB交AB于点M. 设Q由O运动到A所需的时间为t s, 1 2 5 2 3 5 2 22 EFAF

9、2 2 3 5 3 2 9 2 3 9 2 2 3 由可得,AM=AP, 点Q以1.5 cm/s的速度从P运动到A所需的时间等于以1 cm/s的速度从M运动到A所需的时间, 即t=tOP+tPA=+=OP+MA, Q由O运动到A所需最短时间就是OP+MA的最小值. 当P运动到P1,即P1OAB时,所用时间最短, 此时t=OP1+M1A=AF=3. 2 3 1 OP 1 MA AP1= cm. 点Q运动到点A所需要的时间最短时,AP= cm,点Q走完全程所需的时间为3 s. 3 2 3 2 设AM1=2x cm,则AP1=3x cm, 在RtAP1M1中,A=A+P1, (3x)2=(2x)2+

10、, 解得x=或x=-(舍), 2 1 P 2 1 M 2 1 M 2 5 2 1 2 1 2 考点二 菱形 1.(2019深圳,12,3分)已知菱形ABCD,E、F是动点,边长为4,BE=AF,BAD=120,则下列结论正确的有 ( ) BECAFC; ECF为等边三角形; AGE=AFC; 若AF=1,则=. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 GF EG 1 3 答案答案 D 四边形ABCD是菱形,BAD=120, B=CAD=60,BA=BC, ABC是等边三角形, CB=CA, 又BE=AF, BECAFC(SAS), 正确. BECAFC, CE=CF,BCE=ACF, FCE=

11、FCA+ACE=BCE+ACE=ACB=60, ECF是等边三角形, 正确. AFCBEC, AFC=BEC. ECF是等边三角形, CEF=60, AEF+BEC=180-60=120, 又AEG+AGE=180-BAC=180-60=120, AGE=BEC, AGE=AFC, 正确. 四边形ABCD是菱形, AC平分EAF, =. AF=1, BE=AF=1, AE=AB-BE=4-1=3, AGF AGE S S AF AE GF GE =, 正确. 正确,结论正确的有4个, 故选D. GF GE AF AE 1 3 思路分析思路分析 利用菱形的性质,得出B=CAD,ABC是等边三角形

12、,进一步得出CA=CB,从而利用 SAS证明BECAFC.由BECAFC得出CE=CF,再利用全等的性质,得出ECF=60,从而得 出ECF是等边三角形.由AFCBEC,得出AFC=BEC,由BEC+AEF=AEG+AGE= 120得出BEC=AGE,从而得出AGE=AFC.由AC平分EAF,得出=,进一步得出 =. AGF AGE S S AF AE GF GE GF GE 1 3 2.(2020广东,15,4分)如图,在菱形ABCD中,A=30,取大于AB的长为半径,分别以点A,B为圆心作弧相 交于两点,过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示),连接BE,BD.则EBD的度数为 .

13、 1 2 答案答案 45 解析解析 根据作图可知虚线为线段AB的垂直平分线, AE=BE,EBA=A=30. 四边形ABCD是菱形, ADBC,ABD=CBD. A=30,ABC=180-30=150, ABD=ABC=75, EBD=75-30=45. 1 2 3.(2018广州,14,3分)如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是 . 答案答案 (-5,4) 解析解析 由A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0)可得AO=3,AB=5.由菱形ABCD四边相等可得CD=AD=AB=5.在Rt AOD中,由勾股定理可得OD=4,所以C(

14、-5,4). 22 -AD AO 方法总结方法总结 求平面直角坐标系内的点的坐标,实际上是求该点分别到y轴和x轴的距离,然后根据点所在 的象限得出横、纵坐标的正负.本题解题关键是利用菱形的性质,结合勾股定理进行求解. 4.(2016梅州,18,7分)如图,在平行四边形ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧,交AD于点F,再分别以 点B、F为圆心,大于BF的长为半径画弧,两弧交于一点P,连接AP并延长,交BC于点E,连接EF. (1)四边形ABEF是 ;(选填矩形、菱形、正方形、无法确定)(直接填写结果) (2)AE,BF相交于点O,若四边形ABEF的周长为40,BF=10,则AE的长为 ,

15、ABC= .(直接 填写结果) 1 2 解析解析 (1)菱形. 由题意知,EAB=EAF, 又ADBC, EAF=AEB=EAB, BE=AB=AF. 又AFBE, 四边形ABEF是平行四边形, 又AB=AF, 四边形ABEF是菱形. (2)10;120. 四边形ABEF是菱形, AEBF,BO=OF=5,ABO=EBO,AB=10, 在RtAOB中,sinBAO=, BAO=30,ABO=60, 3 1 2 AE=2AO=2BO=10,ABC=2ABO=120. 33 思路分析思路分析 (1)由角平分线的画法得出EAB=EAF,由ADBC,推出EAF=AEB=EAB,得到BE= AB=AF,

16、由此即可证明.(2)根据菱形的性质首先证明AOB是含有30角的直角三角形,由此即可解决问题. 5.(2017广东,21,7分)如图所示,已知四边形ABCD、ADEF都是菱形,BAD=FAD,BAD为锐角. (1)求证:ADBF; (2)若BF=BC,求ADC的度数. 解析解析 解法一:(1)证明:如图,设AD与BF相交于点M. 在ABM和AFM中, ABMAFM(SAS), AMB=AMF=90,ADBF. (2)BF=BC,四边形ABCD是菱形, BF=AB,BAM+ADC=180. ABMAFM,BM=FM, BM=BF=AB, , , , BAFA BAMFAM AMAM 1 2 1 2

17、 BAM=30,ADC=150. 解法二:(1)证明:如图,连接DB、DF. 四边形ABCD、ADEF都是菱形, AB=BC=CD=DA,AD=DE=EF=FA. 在BAD与FAD中, BADFAD, DB=DF, D在线段BF的垂直平分线上. AB=AF, A在线段BF的垂直平分线上, 直线AD是线段BF的垂直平分线, ADBF. (2)如图,设ADBF于H,作DGBC于G,则四边形BGDH是矩形, , , , ABAF BADFAD ADAD DG=BH=BF. 1 2 又BF=BC,BC=CD, DG=CD. 在直角CDG中,CGD=90,DG=CD, C=30.又BCAD, ADC=1

18、80-C=150. 1 2 1 2 6(2020广州,23,12分)如图,ABD中,ABD=ADB. (1)作点A关于BD的对称点C;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)所作的图中,连接BC,DC,连接AC,交BD于点O. 求证:四边形ABCD是菱形; 取BC的中点E,连接OE,若OE= , BD=10.求点E到AD的距离. 13 2 解析解析 (1)如图即为所求作的对称点C. (2)证明:ABD=ADB,AB=AD. C点与A点关于直线BD对称,AC与BD交于点O, AOBD,AO=OC,BO=OD. 四边形ABCD是平行四边形. 又AB=AD,四边形ABCD是菱形.

19、过点E作EFAD,交AD的延长线于点F. 四边形ABCD为菱形,BO=OD=BD=5,AB=2OE=13. 在RtAOB中,AO=12, AC=2AO=24. S菱形ABCD=AC BD=AD EF, 2410=13EF, 1 2 22 -AB BO 22 13 -5 1 2 1 2 EF=. 点E到AD的距离为. 120 13 120 13 7.(2018深圳,20,8分)阅读短文,解决问题 如果一个三角形和一个菱形满足条件:三角形的一个角与菱形的一个角重合,且菱形的这个角的对角顶 点在三角形的这个角的对边上,则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.如图(1),菱形AEFD为ABC 的“亲密菱

20、形”. 如图(2),在ABC中,以点A为圆心,以任意长为半径作弧,分别交AB、AC于点M、N,再分别以M、N为圆 心,以大于MN的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线AP,交BC于点F,过点F作FDAC,FEAB. (1)求证:四边形AEFD是ABC的“亲密菱形”; (2)当AB=6,AC=12,BAC=45时,求菱形AEFD的面积. 1 2 解析解析 (1)证明:由尺规作图可知: AF平分BAC,DAF=EAF, 又DFAC,DFA=EAF, DAF=DFA,AD=DF. FDAC,FEAB, 四边形AEFD是平行四边形, 又AD=DF,平行四边形AEFD是菱形. BAC与DAE重合,点F在B

21、C上, 菱形AEFD是ABC的“亲密菱形”. (2)设菱形AEFD的边长为x, 即AD=DF=x,则BD=6-x. FDAC,BDFBAC, =,即=, 解得x=4. 过D点作DGAC于点G, 在RtADG中,DAG=45, DG=AD sinDAG=AD sin45=4=2, BD BA DF AC 6- 6 x 12 x 2 2 2 S菱形AEFD=AE DG=42=8, 菱形AEFD的面积为8. 22 2 方法总结方法总结 菱形的判定方法有:四边相等的四边形为菱形;一组邻边相等的平行四边形为菱形;对角线互 相垂直的平行四边形为菱形.要依据题目条件找出满足菱形判定的条件,要熟悉尺规作图的方

22、法,能综合 运用相似三角形的性质,三角函数等知识进行问题的解答.本题的解题关键是能作出菱形的高及求出菱 形的边长. 思路分析思路分析 (1)要根据题目给出的“亲密菱形”的定义进行证明,本质上就是要证明四边形AEFD为菱 形,通过题目给出的尺规作图的方法找到菱形判定的条件,进而说明满足“亲密菱形”定义所需的条件, 从而得证;(2)求菱形的面积需要找到菱形的底和高,通过辅助线作出菱形的高,利用三角形相似求出菱形 的边长,结合三角函数求出高,即可解决问题. 考点三 正方形 1.(2020广东,9,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在边AB,CD上,EFD=60.若将四边形EBCF

23、 沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则BE的长度为( ) A.1 B. C. D.2 23 答案答案 D 四边形ABCD是正方形, CDAB,EFD=FEB=60. 由折叠的性质可知FEB=FEB=60, AEB=180-FEB-FEB=60,ABE=30,BE=2AE. 设AE=x,则BE=BE=2x, AB=AE+BE=3x=3,x=1,BE=2x=2,故选D. 思路分析思路分析 由CDAB得到EFD=FEB=60,进而由折叠的性质得到FEB=FEB=60,则AEB= 60,然后根据直角三角形中30角所对的直角边长等于斜边长的一半得出AE与BE的倍数关系即可求解. 2.(2019广东,10

24、,3分)如图,正方形ABCD的边长为4,延长CB至E使EB=2,以EB为边在上方作正方形EFGB, 延长FG交DC于M,连接AM、AF,H为AD的中点,连接FH分别与AB、AM交于点N、K,则下列结论: ANHGNF;AFN=HFG;FN=2NK;SAFNSADM=14,其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案答案 C 因为正方形ABCD的边长为4,正方形EFGB的边长为2,H为AD的中点,所以FG=AH=2,HAN= FGN=90,ADFM,所以AHN=GFN,所以ANHGNF,故正确;因为在RtAFG中,AF= =2,而AH=2,所以AHFAFH,则AFNHFG

25、,故错误;由ADFM,可知AHK MFK,所以HKFK=AHMF=26=13.因为ANHGNF,所以FN=HN,所以HF=4HK=2NH,所以 HK=NK,所以FN=2NK,故正确;易求得SAFN=12=1,SADM=24=4,所以SAFNSADM=14,故正 确.综上所述,正确的结论有3个,故选C. 22 222 1 2 1 2 方法总结方法总结 证明三角形全等,从已知中找边和角相等;在一个三角形中看两角是否相等,可以证明相对两 边是否相等;边长的倍数关系常要联系到相似. 3.(2017广东,10,3分)如图,已知正方形ABCD,点E是BC边的中点,DE与AC相交于点F,连接BF.下列结论:

26、 SABF=SADF;SCDF=4SCEF;SADF=2SCEF;SADF=2SCDF,其中正确的是( ) A. B. C. D. 答案答案 C AB=AD,BAF=DAF,AF=AF, ABFADF,SABF=SADF,正确; 同理,SCDF=SCBF,点E为BC边的中点, SCBF=2SCEF,即SCDF=2SCEF,不正确; ADEC,FAD=FCE, 又AFD=CFE,AFDCFE, =2,=22=4, SAFD=4SCFE,不正确; =2,=2, SADF=2SCDF,正确.故选C. AD CE BC CE AFD CFE S S 2 AD CE AF FC AD CE ADF CD

27、F S S 方法规律方法规律 探索两个三角形面积的数量关系,主要的方法是从三角形全等、三角形相似、等底等高等 入手. 4.(2017深圳,12,3分)如图,正方形ABCD的边长是3,BP=CQ,连接AQ、DP交于点O,并分别与边CD,BC交 于点F、E,连接AE.则下列结论:AQDP;OA2=OE OP;SAOD=S四边形OECF;当BP=1时,tanOAE=. 其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 13 16 答案答案 C 易证DAPABQ,所以P=Q,可得Q+QAB=P+QAB=90,即AQDP,故正 确. 由射影定理得OA2=OD OP,若OD=OE,则AD=AE,

28、AB=AE,矛盾, ODOE,OA2OE OP,故错误. AQDP,ADO+FAD=90,又ADO+EDC=90, EDC=FAD,又DA=DC,ADC=DCE, DAFCDE,SDAF=SCDE, SDAF-SDOF=SCDE-SDOF,即SAOD=S四边形OECF,故正确. 当BP=1时,AP=4,又AD=3, DP=5,AO=,cos P=. PE=. AP=4, 12 5 AP DP 4 5 cos BP P 5 4 PO=AP cos P=, OE=PO-PE=, tanOAE=,故正确. 综上,正确结论的个数为3,故选C. 16 5 39 20 OE AO 13 16 5.(201

29、6深圳,12,3分)如图,CB=CA,ACB=90,点D在边BC上(与B、C不重合),四边形ADEF为正方形,过 点F作FGCA,交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q,给出以下结论: AC=FG;SFABS四边形CBFG=12;ABC=ABF;AD2=FQ AC, 其中正确的结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案答案 D 四边形ADEF为正方形, FAD=90,AD=AF=EF, CAD+FAG=90. FGCA, GAF+AFG=90, CAD=AFG. 在FGA和ACD中, FGAACD(AAS), AC=FG,正确; BC=AC, FG=BC. ACB=90,F

30、GCA, FGBC, , , , GC AFGCAD AFAD 四边形CBFG是矩形, SFAB=FB FG=S四边形CBFG,正确; CA=CB,C=CBF=90, ABC=ABF=45,正确; FQE=DQB=ADC,E=C=90, ACDFEQ, ACAD=FEFQ, AD FE=AD2=FQ AC,正确. 故选D. 1 2 1 2 6.(2020广州,15,3分)如图,正方形ABCD中,ABC绕点A逆时针旋转到ABC,AB,AC分别交对角线BD 于点E,F,若AE=4,则EF ED的值为 . 答案答案 16 解析解析 四边形ABCD为正方形,BAC=ADB=45. ABC由ABC旋转所

31、得, BAC=BAC=45. EAF=ADE=45. 又AEF=DEA,AEFDEA, =,EF DE=EA2, AE=4,EF ED=EA2=16. EF EA AE DE 思路分析思路分析 由题不能直接求出EF,ED的长度,可由已知条件证出AEFDEA,可得=,即EA2= EF DE,将EA=4代入,便可求出EF DE的值. EF EA AE DE 一题多解一题多解 特殊值法.本题只有一个确定数值AE=4,设正方形对角线交点为O,不妨设旋转角为45,则此 时E点和O点重合,F点和D点重合,即EF ED=OD2,AE=AO=DO=4,所以EF ED=16. 7.(2018深圳,15,3分)如

32、图,四边形ACDF是正方形,CEA和ABF都是直角且点E,A,B三点共线,AB=4,则 阴影部分的面积是 . 答案答案 8 解析解析 四边形ACDF是正方形, AF=CA,CAF=90, CAE+FAB=90. ABF=90, AFB+FAB=90,AFB=CAE. 又ABF=E=90, ABFCEA(AAS),AB=CE=4. SABC=AB EC=44=8. 1 2 1 2 思路分析思路分析 求ABC的面积可以以AB为底,CE为高,通过证三角形全等可得AB=CE=4,继而可求出阴影 部分的面积. 方法总结方法总结 求三角形的面积需要求出三角形的底和高,观察图形,由条件可证两三角形全等,继而

33、得对应 边相等,代入三角形面积公式即可求答案. 8.(2017广东,16,4分)如图(1),矩形纸片ABCD中,AB=5,BC=3.先按图(2)操作:将矩形纸片ABCD沿过点A的 直线折叠,使点D落在边AB上的点E处,折痕为AF;再按图(3)操作:沿过点F的直线折叠,使点C落在边EF上 的点H处,折痕为FG,则A、H两点间的距离为 . 答案答案 10 解析解析 如图,连接AH. 四边形AEFD和四边形CFHG均为正方形, AE=EF=FD=AD=3, HF=FC=CD-DF=5-3=2, EH=1.AEH=90, AH=. 22 AEEH 22 3110 思路分析思路分析 求A、H两点之间的距

34、离,即求线段AH的长,因为AH为RtAEH的斜边,所以应先求出AE和 EH的长,然后利用勾股定理求AH的长. 9.(2016广州,16,3分)如图,正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线.将DCB绕点D顺时针旋转45得到 DGH,HG交AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG,则下列结论: 四边形AEGF是菱形;AEDGED; DFG=112.5;BC+FG=1.5. 其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号) 答案答案 解析解析 由题可知DGHDCB,DH=DB,DHG=DBC=45,DGH=DCB=90,DG=DC=AD, 又DAC=45,DAC=DHG,AFEG. 在RtAE

35、D和RtGED中,AD=GD,ED=ED, RtAEDRtGED,ADE=GDE,故正确. 在ADF与GDF中,AD=GD,ADF=GDF,FD=FD, ADFGDF,AF=GF,DGF=DAF=45, 又DBA=45,FGAE, 四边形AEGF是平行四边形, 又AF=GF,平行四边形AEGF是菱形,故正确. GDF=ADB=22.5,DGF=45,DFG=112.5,故正确. FG=AE=HA=HD-AD=BD-AD=-1,BC+FG=1+-1=,故不正确. 1 2 222 10.(2019深圳,15,3分)如图,在正方形ABCD中,BE=1,将BC沿CE翻折,使B点对应点刚好落在对角线AC

36、上, 将AD沿AF翻折,使D点对应点刚好落在对角线AC上,则EF= . 答案答案 6 解析解析 如图,过点E作EHCD于点H,设点B、D的对应点分别为B、D.BECBEC,BE=BE=1. 四边形ABCD为正方形,EAB=45,AB=BE=1,AE=, AB=+1,EH=BC=AB=+1. 由题意得DF=BE=1,CF=AE=, 又CH=BE=1,HF=CF-CH=-1.在RtEHF中,EF=. 22 ()()EBAB2 22 2 2 22 EHHF 22 ( 21)( 2-1)6 11.(2019广州,16,3分)如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动(不与点A,B重合),DAM

37、=45,点F 在射线AM上,且AF=BE,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG.则下列结论: ECF=45;AEG的周长为a; BE2+DG2=EG2;EAF的面积的最大值是a2. 其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号) 2 2 1 2 1 8 答案答案 解析解析 如图1,在BC上截取BH=BE,连接EH. B=90,BE=BH, EH=BE,EHB=BEH=45, EHC=180-EHB=180-45=135. FA=BE, FA=EH. DAM=45,DAB=90, FAE=DAM+DAB=45+90=135, FAE=EHC. BA=BC,BE=BH, BA-BE=BC-B

38、H, AE=HC. 22 BEBH 22 BEBE2 2 在FAE和EHC中, FAEEHC(SAS), EF=CE,AEF=HCE, HEC+AEF=HEC+HCE=EHB=45, FEC=180-(AEF+HEC)-BEH=180-45-45=90, ECF=EFC=45,故正确. 图1 , , , FAEH FAEEHC AEHC 如图2,延长AD至点H,使得DH=BE,连接CH. CB=CD,B=CDH=90,BE=DH, CBECDH(SAS), ECB=HCD,CE=CH. 由的证明可知ECF=45, ECB+GCD=45, GCH=GCD+DCH=GCD+ECB=45, ECG=

39、HCG, 又CG=CG, CEGCHG(SAS), EG=GH=GD+DH=GD+BE,故错误. CAEG=AE+AG+EG=AE+AG+GH =AE+AG+GD+DH=AE+AG+GD+EB =(AE+EB)+(AG+GD)=AB+AD=2a. 故错误. 图2 设BE=x(0xa),则AE=a-x,AF=x,易知点F到AE的距离为x. SAEF=(a-x) x=-x2+ax=-+a2. -0, 当x=a时,SAEF有最大值a2, 故正确. 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 - 2 xa 1 8 1 2 1 2 1 8 故正确的结论是. 思路分析思路分析 对于,如图1,在BC边上截取

40、BH=BE,连接EH,证明FAEEHC,证明FEC为等腰直角 三角形,就可以得到ECF=45;对于,如图2,延长AD至点H,使DH=BE,连接CH,先证明CBE CDH,再证明CEGCHG,便可判断出是错误的;对于,设BE=x(0x0),则有a (a-1)=1,化简得a2-a-1=0. 解得a=或(舍),所以AE的长为.(10分) (3)证法一:如图1,在线段EG上取点P,使得EP=DG. 在AEP与ADG中,AE=AD,AEP=ADG,EP=DG, 所以AEPADG,所以AP=AG,EAP=DAG. 所以PAG=PAD+DAG=PAD+EAP=DAE=90, 所以PAG为等腰直角三角形. A

41、E DC AF DF 15 2 1- 5 2 15 2 于是EG-DG=EG-EP=PG=AG.(14分) 证法二:如图2,过点A作AG的垂线,与DB的延长线交于点Q. 在AEG与ADQ中, AE=AD,AEG=ADQ,EAG=90+DAG=DAQ, 2 所以AEGADQ,所以EG=DQ,AG=AQ, 所以AGQ为等腰直角三角形. 于是EG-DG=DQ-DG=QG=AG.(14分) 2 思路分析思路分析 (1)先利用SAS证明AEFADB,再利用互余性质得出EGB=90,问题解决;(2)先根据矩 形性质可证AEFDCF,得到AE DF=AF DC,再设AE=AD=a(a0),则DF=a-1,解

42、方程即可;(3)两种证 法:在线段EG上截取线段EP=DG,然后证明AEPADG(SAS),得到AP=AG,EAP=DAG,再证 PAG=90,利用等腰直角三角形的性质得出结论;作AQAG交DB的延长线于点Q,然后利用(1)的结论 及已知证明AEGADQ,得到EG=DQ,AG=AQ,再由等腰直角三角形的性质得出结论. 难点突破难点突破 解决第(3)问的突破口是构造AEPADG(或AEGADQ),将问题转化为求证PG= AG(或QG=AG),体现了转化与化归的思想. 22 6.(2017福建,24,12分)如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P,E分别是线段AC,BC上的点,且四边形PEF

43、D为矩 形. (1)若PCD是等腰三角形,求AP的长; (2)若AP=,求CF的长. 2 解析解析 (1)在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,ADC=90, DC=AB=6,AC=10. 要使PCD是等腰三角形,有如下三种情况: 当CP=CD时,CP=6,AP=AC-CP=4. 当PD=PC时,PDC=PCD, PCD+PAD=PDC+PDA=90, PAD=PDA,PD=PA, PA=PC,AP=,即AP=5. 当DP=DC时,过D作DQAC于Q,则PQ=CQ. SADC=AD DC=AC DQ, DQ=, 22 ADDC 2 AC 1 2 1 2 AD DC AC 24 5 CQ=, P

44、C=2CQ=,AP=AC-PC=. 综上所述,若PCD是等腰三角形,则AP=4或AP=5或AP=. (2)连接PF,DE,记PF与DE的交点为O,连接OC. 22 -DC DQ 18 5 36 5 14 5 14 5 四边形ABCD和四边形PEFD都是矩形, ADC=PDF=90, 即ADP+PDC=PDC+CDF, ADP=CDF. BCD=90,OE=OD,OC=ED. 在矩形PEFD中,PF=DE,OC=PF. 1 2 1 2 OP=OF=PF,OC=OP=OF, OCF=OFC,OCP=OPC, 又OPC+OFC+PCF=180, 2OCP+2OCF=180, PCF=90,即PCD+

45、FCD=90. 在RtADC中,PCD+PAD=90,PAD=FCD. ADPCDF,=. AP=,CF=. 1 2 CF AP CD AD 3 4 2 3 2 4 易错警示易错警示 在第(1)问中,分CP=CD,PD=PC,DP=DC三种情况讨论,不能丢解. 一题多解一题多解 在第(2)问中,连接PF,DE,记PF与DE相交于点O,连接OC. 四边形DPEF是矩形,OP=OE=OD=OF. 又ECD是直角三角形,OC=OE=OD. D,P,E,C,F都在以O为圆心, OC为半径的圆上. PCF=BCD=90,DCF=ACB. ADBC,ACB=DAC. DCF=DAP. 又ADC=PDF=9

46、0, CDF=ADP,CDFADP, =,=, CF=. CF AP DC AD2 CF6 8 3 2 4 考点二 菱形 1.(2020宁夏,5,3分)如图,菱形ABCD的边长为13,对角线AC=24,点E、F分别是边CD、BC的中点,连接EF 并延长与AB的延长线相交于点G,则EG=( ) A.13 B.10 C.12 D.5 答案答案 B 连接BD交AC于点O.在菱形ABCD中,ACBD,且OC=OA=12,在RtDOC中,OD= =5,BD=10.又E、F分别是CD、BC的中点,EF=BD=5.易得EFCGFB,EF=FG, EG=10. 22 -DC OC 22 13 -12 1 2

47、2.(2018陕西,8,3分)如图,在菱形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,连接EF、 FG、GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是( ) A.AB=EF B.AB=EF C.AB=2EF D.AB=EF 23 5 答案答案 D 如图,连接AC、BD交于O. 四边形ABCD是菱形, ACBD,OA=OC,OB=OD. 点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点, EF=AC,EH=BD, 又EH=2EF, BD=2AC,OB=2OA. AB=OA. 1 2 1 2 22 OBOA5 易知OA=EF,AB=EF,故选D. 5 思路分析思路分析 首先根据菱形的性质得到ACBD,OA=OC,OB=OD,然后根据三角形中位线定理得出EF= AC,EH=BD,进而得到OB=2OA,最后根据勾股定理求得AB=OA,即得AB=EF. 1 2 1 2 55 3.(2017河南,7,3分)如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件判定ABCD是菱形 的只有( ) A.ACBD B.AB=BC C.AC=BD D.1=2 不能 答案答案 C 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得选项A能判定;根据一组邻边相等的平行四边 形是菱形可得选项B能判定;对角线相等的平行四边形为矩形,故选项C不能判定;因为CDAB,所以