2021年河南中考数学复习练习课件:§6.3 锐角三角函数.pptx
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1、 中考数学 (河南专用) 第六章 图形与变换 6.3 锐角三角函数 考点一 锐角三角函数 1.(2020浙江杭州,4,3分)如图,在ABC中,C=90,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,则( ) A.c=bsin B B.b=csin B C.a=btan B D.b=ctan B 答案答案 B RtABC中,C=90,A、B、C所对的边分别为a、b、c,sin B=,即b=csin B,故A 选项不成立,B选项成立;tan B=,即b=atan B,故C选项不成立,D选项不成立.故选B. b c b a 2.(2020四川南充,8,4分)如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sinB
2、AC=( ) A. B. C. D. 2 6 26 26 26 13 13 13 答案答案 B 如图,作BDAC于D, 设正方形网格中每个小正方形的边长为1, AB=, 又BD=, sinBAC=. 故选B. 22 3213 22 11 2 2 2 BD AB 2 2 13 26 26 3.(2019天津,2,3分)2sin 60的值等于( ) A.1 B. C. D.2 23 答案答案 C 根据特殊角的三角函数值,可得sin 60=,则2sin 60=2=,故选C. 3 2 3 2 3 4.(2018云南,12,4分)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为( ) A.3
3、 B. C. D. 1 3 10 10 3 10 10 答案答案 A AC=1,BC=3,C=90,tan A=3. BC AC 5.(2017内蒙古包头,18,3分)如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC上一点,且FC=2BF,连接AE, EF.若AB=2,AD=3,则cosAEF的值是 . 答案答案 2 2 解析解析 连接AF. 四边形ABCD是矩形,AB=CD,B=C=90. 点E是CD的中点,AB=2,CE=1. FC=2BF,BC=3,BF=1,FC=2. 易证ABFFCE, AF=EF,AFB=FEC, FEC+EFC=90, AFB+EFC=90,AFE=90. A
4、EF是等腰直角三角形, cosAEF=cos 45=. 2 2 1.(2020江苏苏州,7,3分)如图,小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度,他作了如下操作:(1)在点C处放置 测角仪,测得旗杆顶的仰角ACE=;(2)量得测角仪的高度CD=a;(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB =b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识,旗杆的高度可表示为( ) A.a+btan B.a+bsin C.a+ D.a+ tan b sin b 考点二 解直角三角形 答案答案 A 延长CE交AB于F, 由题意得,四边形CDBF为矩形, CF=DB=b,FB=CD=a, 在RtACF中,ACF=,CF=b, tan
5、ACF=, AF=CF tanACF=btan , AB=AF+BF=a+btan , 故选A. AF CF 解题关键解题关键 本题主要考查了解直角三角形,解题关键是通过构造直角三角形,将实际问题转化为数学问 题. 2.(2019河北,3,3分)如图,从点C观测点D的仰角是( ) A.DAB B.DCE C.DCA D.ADC 答案答案 B 从点C观测点D的仰角是视线与过点C的水平线的夹角,故选B. 3.(2017山西,14,3分)如图,创新小组要测量公园内一棵树的高度AB,其中一名小组成员站在距离树10米 的点E处,测得树顶A的仰角为54.已知测角仪的架高CE=1.5米,则这棵树的高度为 米
6、(结果保留 一位小数.参考数据:sin 54=0.809 0,cos 54=0.587 8,tan 54=1.376 4). 答案答案 15.3 解析解析 由题意知BD=CE=1.5米,CD=BE=10米,在RtADC中,由锐角三角函数可得AD=CDtanACD=10 tan 54=101.376 4=13.764(米),所以AB=AD+BD=13.764+1.5=15.26415.3(米). 4.(2020河南,18,9分)位于河南省登封市境内的元代观星台,是中国现存最早的天文台,也是世界文化遗产 之一. 某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示,他们在地面一条水
7、平步 道MP上架设测角仪,先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22,然后沿MP方向前进16 m到达点N处, 测得点A的仰角为45,测角仪的高度为1.6 m. (1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 220.37,cos 220.93,tan 22 0.40,1.41); (2)“景点简介”显示,观星台的高度为12.6 m.请计算本次测量结果的误差,并提出一条减小误差的合理 2 化建议. 在RtACE中,AEC=90,ACE=45, CE=AE=x m,(3分) 在RtABE中,AEB=90,ABE=22, tan 22=, AE BE 解析解析 (1)如图
8、,过点A作AFMP,垂足为点F,交BC的延长线于点E, 由题意知,四边形MBCN和四边形NCEF均为矩形,(2分) 设AE=x m, BE=x m,(4分) BE-CE=BC, x-x=16. 解得x=10.67.(6分) EF=BM=1.6 m, AF=AE+EF=10.67+1.612.3 m. 即观星台最高点A距离地面的高度约为12.3 m.(7分) (2)误差为12.6-12.3=0.3(m).(8分) 可多次测量,取测量数据的平均值(答案不唯一,合理即可).(9分) tan22? AE 0.40 x5 2 5 2 32 3 5.(2019河南,19,9分)数学兴趣小组到黄河风景名胜区
9、测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝 塑像DE在高55 m的小山EC上.在A处测得塑像底部E的仰角为34,再沿AC方向前进21 m到达B处,测得塑 像顶部D的仰角为60,求炎帝塑像DE的高度.(精确到1 m.参考数据:sin 340.56,cos 340.83,tan 34 0.67,1.73) 3 解析解析 在RtACE中,A=34,CE=55, AC=82.1. BC=AC-AB=82.1-21=61.1.(4分) 在RtBCD中, CBD=60, CD=BC tan 6061.11.73105.7.(7分) DE=CD-CE=105.7-5551. 所以炎帝塑像DE的高度约为
10、51 m.(9分) tan34? CE55 0.67 思路分析思路分析 已知EC=55,A=34,先解RtACE,求得AC的长,由BC=AC-AB得BC的长,再解RtBCD,求 得CD的长,从而求得DE. 6.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若 干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据 高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答. 如图所示,底座上A,B两点间的距离为90 cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm,高杠上点D到 直线AB的距离DF的长为234
11、 cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为82.4,高杠的支架BD与直 线AB的夹角DBF为80.3.求高、低杠间的水平距离CH. (结果精确到1 cm.参考数据:sin 82.40.991,cos 82.40.132,tan 82.47.500,sin 80.30.983,cos 80.3 0.168,tan 80.35.850) 解析解析 在RtCAE中,AE=20.7.(3分) 在RtDBF中,BF=40.(6分) EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7151. 四边形CEFH为矩形, CH=EF=151. 即高、低杠间的水平距离CH约是151 cm.(9分)
12、tan CE CAE 155 tan82.4? 155 7.500 tan DF DBF 234 tan80.3? 234 5.850 思路分析思路分析 根据RtCAE和RtDBF中的边和角的数值,用正切函数分别求得AE,BF的长度,得EF=AE+ AB+BF,由矩形的性质可知CH=EF,可以求出问题的答案. 7.(2017河南,19,9分)如图所示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前 往救援遇险抛锚的渔船C.此时,B船在A船的正南方向5海里处,A船测得渔船C在其南偏东45方向,B船测 得渔船C在其南偏东53方向.已知A船的航速为30海里/小时,B船的航速为
13、25海里/小时,问C船至少要等 待多长时间才能得到救援?参考数据:sin 53,cos 53,tan 53,1.41 4 5 3 5 4 3 2 解析解析 过点C作CDAB交直线AB于点D, 则CDA=90.(1分) 设CD=x海里,则AD=CD=x海里. BD=AD-AB=(x-5)海里.(3分) 在RtBDC中,CD=BD tan 53, 即x=(x-5) tan 53, x=20.(6分) BC=20=25海里. B船到达C船处约需2525=1(小时).(7分) 在RtADC中,AC=x1.4120=28.2海里, A船到达C船处约需28.230=0.94(小时).(8分) 而0.940
14、,已知CD=2,则有9k2+16k2=4,解得k=, BM=CJ=,DJ=,又BC=MJ=1, EM=MJ+DJ+DE=, 在RtAEM中,tanAEM=,tan 58=1.6,解得AB13.1(米),故选B. CJ DJ 1 0.75 4 3 2 5 8 5 6 5 46 5 AM EM 8 5 46 5 AB 思路分析思路分析 延长AB交ED的延长线于M,作CJDM于J,则四边形BMJC是矩形.在RtCJD中求出CJ、DJ 的长,再根据tanAEM=即可解决问题. AM EM 2.(2020安徽,18,8分)如图,山顶上有一个信号塔AC,已知信号塔高AC=15米,在山脚下点B处测得塔底C的
15、 仰角CBD=36.9,塔顶A的仰角ABD=42.0,求山高CD(点A,C,D在同一条竖直线上). (参考数据:tan 36.90.75, sin 36.90.60,tan 42.00.90) 解析解析 由题意,在RtABD与RtCBD中, AD=BDtanABD0.9BD,CD=BDtanCBD0.75BD. 于是AC=AD-CD=0.15BD. 因为AC=15米,所以BD=100米. 所以山高CD=0.75BD=75米.(8分) 解题关键解题关键 根据图形建立等式关系AC=AD-CD是解答本题的关键. 3.(2020天津,22,10分)如图,A,B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连接AC
16、,BC.测得BC=221 m,ACB=45, ABC=58.根据测得的数据,求AB的长(结果取整数). 参考数据:sin 580.85,cos 580.53,tan 581.60. 解析解析 如图,过点A作AHCB,垂足为H. 根据题意,ACB=45,ABC=58,BC=221. 在RtCAH中,tanACH=, CH=AH. 在RtBAH中,tanABH=,sinABH=, BH=,AB=. AH CH AH BH AH AB 又CB=CH+BH, 221=AH+, 可得AH=. AB=160. 答:AB的长约为160 m. 思路分析思路分析 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是从实际问
17、题中构造出直角三角形,本题已知 B、C的度数和BC的长,因此,过A点作BC的垂线AH构造直角三角形,用AH分别表示出BH、CH和AB, 进而求得AB的长. 4.(2020内蒙古呼和浩特,19,7分)如图,一艘船由A港沿北偏东65方向航行38 km至B港,然后再沿北偏西4 2方向航行至C港,已知C港在A港北偏东20方向. (1)直接写出C的度数; (2)求A、C两港之间的距离.(结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可) 解析解析 (1)62. 详解:如图,由题意得ACB=20+42=62. (2)由题意得,CAB=65-20=45, 过B点作BEAC于E,如图所示. AEB=CEB=90, 在
18、RtABE中,EAB=45, ABE是等腰直角三角形, AB=38,AE=BE=AB=19, 在RtCBE中,ECB=62,tanECB=, CE=,AC=AE+CE=19+, A,C两港之间的距离为km. 2 2 2 BE CE tan62? BE19 2 tan62? 2 19 2 tan62? 19 2 19 2 tan62? 5.(2020江西,20,8分)如图1是一种手机平板支架,由托板、支撑板和底座构成,手机放置在托板上,图2是 其侧面结构示意图.量得托板长AB=120 mm,支撑板长CD=80 mm,底座长DE=90 mm.托板AB固定在支撑 板顶端点C处,且CB=40 mm,托
19、板AB可绕点C转动,支撑板CD可绕点D转动.(结果保留小数点后一位) (1)若DCB=80,CDE=60,求点A到直线DE的距离; (2)为了观看舒适,在(1)的情况下,把AB绕点C逆时针旋转10后,再将CD绕点D顺时针旋转,使点B落在直 线DE上即可,求CD旋转的角度. (参考数据:sin 400.643,cos 400.766,tan 400.839,sin 26.60.448,cos 26.60.894,tan 26.60.5 00,1.732) 3 解析解析 (1)如图1,过点C作CHDE于点H. CD=80,CDE=60, sin 60=, CH=40401.732=69.28. 图
20、1 作AMDE交ED的延长线于点M,CNAM于点N,则四边形NMHC是矩形. MN=CH=40,NCMH,NCD=CDE=60. DCB=80,ACN=180-80-60=40. sinACN=,AC=80, CH CD80 CH3 2 3 3 AN AC AN=80sin 40800.643=51.44. AM=AN+NM=51.44+69.28120.7. 答:点A到直线DE的距离为120.7 mm. (2)解法一: AB绕着点C逆时针旋转10, DCB=90.如图2. 连接BD. DC=80,CB=40, tanCDB=0.5. CDB26.6. BDE60-26.6=33.4. 答:C
21、D旋转的度数约为33.4. CB CD 40 80 图2 解法二: 当点B落在DE上时,如图3. 在RtBCD中,BC=40,CD=80,(DCB=90,同解法一)tanBDC=0.5. BDC26.6. CDC=BDC-BDC60-26.6=33.4. 答:CD旋转的度数约为33.4. BC CD 40 80 图3 思路分析思路分析 (1)分别作CHDE,AMED,CNAM,构造RtCDH、RtCAN,然后利用sinCDH=sin 60 =和sinACN=sin 40=求出CH和AN,而NM=CH,问题解决;(2)两种解法:根据AB绕点C逆时针 旋转10可判断DCB=90,连接BD构造直角三
22、角形DCB,利用tanCDB求出CDB,再利用BDE= CDE-CDB求出BDE,问题解决;当点B落在DE上时,在RtBCD中利用tanBDC求出BDC,再根 据CDC=BDC-BDC即可求出CD旋转的度数. CH CD AN AC 6.(2019内蒙古呼和浩特,20,7分)如图(1),已知甲地在乙地的正东方向,因有大山阻隔,由甲地到乙地需要 绕行丙地.已知丙地位于甲地北偏西30方向,距离甲地460 km,丙地位于乙地北偏东66方向,现要打通穿 山隧道,建成甲乙两地直达高速公路.如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C,可抽象成图(2)所示的 三角形,求甲乙两地之间直达高速线路的长AB(结果用
23、含非特殊角的三角函数和根式表示即可). 解析解析 过C作CDAB,垂足为D, 在RtACD中,ACD=30, AD=AC sin 30=460=230 km, CD=AC cos 30=460=230 km, 在RtBCD中,tanBCD=,而BCD=66, BD=CD tan 66=230tan 66 km, AB=AD+DB=230(1+tan 66)km. 答:甲乙两地之间直达高速线路的长为230(1+tan 66)km. 1 2 3 2 3 BD CD 3 3 3 方法总结方法总结 解直角三角形的应用,要根据题意抽象出数学图形,构造适当的直角三角形,解直角三角形,得 出实际问题的答案.
24、 7.(2019湖北黄冈,22,7分)如图,两座建筑物的水平距离BC为40 m,从A点测得D点的俯角为45,测得C点 的俯角为60.求这两座建筑物AB,CD的高度.(结果保留小数点后一位,1.414,1.732) 23 解析解析 延长CD交过A点的水平线于点M, 则AMC=90,AM=BC=40 m. 在RtADM中,tan =, DM=AM tan =40 tan 45=40 m, 在RtACM中,tan =, CM=AM tan =40 tan 60=40 m, AB=CM,AB=40401.73269.3 m. 则CD=CM-DM=40-40=69.3-40=29.3 m. 答:建筑物A
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