2021年河北中考数学复习练习课件：§8.1 归纳与猜想.pptx

1、 中考数学 （河北专用） 第八章 专题拓展 8.1 归纳与猜想 一、数字类一、数字类 1.若正整数按如图所示的规律排列,则第八行第五列的数字是( ) A.64 B.56 C.59 D.60 答案答案 D 由题意可得每行的第一列数字为行数的平方,所以第八行第一列的数字为82=64,则第八行第 五列的数字是64-5+1=60,故选D. 解后反思解后反思 此题考查数字的变化规律,找出数字之间的排列规律,利用规律解决问题. 2.(2019湖南常德,8,3分)观察下列等式:70=1,71=7,72=49,73=343,74=2 401,75=16 807,根据其中的规律 可得70+71+72+72 01

2、9的结果的个位数字是( ) A.0 B.1 C.7 D.8 答案答案 A 70=1,71=7,72=49,73=343,74=2 401,75=16 807,个位数4个数一循环,(2 019+1)4=505,1+7+ 9+3=20, 70+71+72+72 019的结果的个位数字是0.故选A. 二、算式类二、算式类 1.(2018四川成都,23,4分)已知a0,S1=,S2=-S1-1,S3=,S4=-S3-1,S5=,即当n为大于1的奇数时,Sn= ;当n为大于1的偶数时,Sn=-Sn-1-1,按此规律,S2 018= .(用含a的代数式表示) 1 a 2 1 S 4 1 S -1 1 n

3、S 答案答案 - 1a a 解析解析 S1=,S2=-1=-,S3=-,S4=-,S5=-(a+1),S6=a,S7=,S2 018=S2=-. 1 a 1 a 1a a 1 a a 1 1a 1 a 1a a 2.(2020安徽,17,8分)观察以下等式: 第1个等式:=2-, 第2个等式:=2-, 第3个等式:=2-, 第4个等式:=2-, 第5个等式:=2-, 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第6个等式: ; (2)写出你猜想的第n个等式: (用含n的等式表示),并证明. 1 3 2 1 1 1 1 3 4 2 1 2 1 2 5 5 2 1 3 1 3 7 6 2 1 4 1

4、4 9 7 2 1 5 1 5 解析解析 (1)=2-.(3分) (2)=2-.(6分) 证明:因为左边=2-=右边.所以等式成立.(8分) 11 8 2 1 6 1 6 2 -1 2 n n 2 1 n 1 n 2 -1 2 n n 2 1 n 2 -1 2 n n 2n n 2 -1n n 1 n 三、图形排列类三、图形排列类 1.(2020海南,16,4分)海南黎锦有着悠久的历史,已被列入世界非物质文化遗产名录.如图是黎锦上的图 案,每个图案都是由相同菱形构成的,若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案,则第5个图中有 个菱形,第n个图中有 个菱形(用含n的代数式表示). 答案答案 41

5、;2n2-2n+1 解析解析 观察图形发现:第1个图中有1个菱形; 第2个图中有5=22+(2-1)2个菱形; 第3个图中有13=32+(3-1)2个菱形; 第4个图中有25=42+(4-1)2个菱形; 则第n个图中有n2+(n-1)2=2n2-2n+1个菱形, 故第5个图中有52+(5-1)2=41个菱形. 解题关键解题关键 解题的关键是能够从复杂的图形中找到规律. 2.如图,每一幅图中有若干个大小不同的菱形,第1幅图中有1个菱形,第2幅图中有3个菱形,第3幅图中有5 个菱形,若第n幅图中有2 019个菱形,则n= . 答案答案 1 010 解析解析 根据题意分析可得第1幅图中有1个菱形;

6、第2幅图中有22-1=3个菱形; 第3幅图中有23-1=5个菱形; 第4幅图中有24-1=7个菱形; 可以发现,每幅图中菱形的个数都比前一幅图多2.故第n幅图中共有(2n-1)个菱形. 第n幅图中有2 019个菱形,2n-1=2 019,n=1 010. 四、数形结合类四、数形结合类 1.(2016河北,19,4分)如图,已知AOB=7,一条光线从点A发出后射向OB边.若光线与OB边垂直,则光线 沿原路返回到点A,此时A=90-7=83. 当A83时,光线射到OB边上的点A1后,经OB反射到线段AO上的点A2,易知1=2.若A1A2AO,光线 又会沿A2A1A原路返回到点A,此时A= . 若光

7、线从点A发出后,经若干次反射能沿原路返回到点A,则锐角A的最小值= . 答案答案 76;6 解析解析 由题图可知1=2=90-O=83,AA1A2=180-1-2=14,A=90-AA1A2=90-14= 76. 设光线从点A发出后,经n次反射能沿原路返回到点A,记光线自A(A0)发出后与边的交点依次为A1,A2,A3, ,An,即An-1AnO=90,则AnAn-1An-2=14,An-3An-2An-1=28,An-4An-3An-2=42,依次为14的n倍(n=1,2, 3,),21=180-14n,即1=90-7n,A=1-7=83-7n,当n=11时,A最小,为6. 2.(2018石

8、家庄质检,19)在平面直角坐标系xOy中,若干个半径为1个单位长度,圆心角是60的扇形按图中 的方式摆放,动点K从原点O出发,沿着“半径OA半径CD半径DE”运动,若点K在线段 上运动的速度为每秒1个单位长度,在弧线上运动的速度为每秒个单位长度,设第n秒运动到点Kn(n为 自然数),则K3的坐标为 ,K2 018的坐标是 . AB BC 3 答案答案 ;(1 009,0) 33 ,- 22 解析解析 由题意得的长=,所以点K在每个圆弧上运动的时间为=1秒.当n=3时,点K运动 到点C,过点C作CMx轴,连接BC,易得BC=1,BCM=30,BM=BC sin 30=,CM=BC cos 30=

9、,K3的 坐标为,K2的坐标即点B的坐标为(1,0),K4的坐标即点D的坐标为(2,0),K6的坐标即点F的坐标为(3, 0),以此类推,点K2 018的坐标为(1 009,0). AB 60 1 180 3 3 3 1 2 3 2 33 ,- 22 3.(2018河北,22,9分)如图,阶梯图的每个台阶上都标着一个数,从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着 -5,-2,1,9,且任意相邻四个台阶上数的和都相等. 尝试 (1)求前4个台阶上数的和是多少; (2)求第5个台阶上的数x是多少. 应用 求从下到上前31个台阶上数的和. 发现 试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数.

10、解析解析 尝试 (1)-5-2+1+9=3. (2)由题意,得-5-2+1+9=-2+1+9+x, 解得x=-5. 应用 与(2)同理,得第6个到第8个台阶上的数依次是-2,1,9,可见台阶上的数从下到上按-5,-2,1,9四个数 依次循环排列. 31=74+3, 前31个台阶上数的和为73+(-5-2+1)=15. 发现 4k-1. 思路分析思路分析 尝试:(1)直接列式,计算算式的值即可;(2)根据任意相邻四个台阶上数的和相等列出方程,得 解.应用:同(2)的方法求出第6,7,8个台阶上的数,发现规律为台阶上的数从下到上每四个一循环,进而求 出从下到上前31个台阶上数的和.发现:根据台阶上

11、的数每四个一循环,可知数“1”所在的台阶数间隔 为4,即可求解. 方法指导方法指导 对于数字(或图形)循环变换类规律题,求经过N次变换后对应的数字(或图形)的解题步骤:1. 通过观察这组数字(或图形),得到该组数字(或图形)经过一个循环变换需要的次数,记为n;2.用N除以n,当 能整除时,第N次变换后对应的数字(或图形)就是一个循环变换中最后一次变换后对应的数字(或图形); 当商b余m(0mn)时,第N次变换后对应的数字(或图形)就是一个循环变换中第m次变换后对应的数字 (或图形). 五、阅读理解类五、阅读理解类 (2014河北,20,3分)如图,点O,A在数轴上表示的数分别是0,0.1. 将

12、线段OA分成100等份,其分点由左向右依次为M1,M2,M99; 再将线段OM1分成100等份,其分点由左向右依次为N1,N2,N99; 继续将线段ON1分成100等份,其分点由左向右依次为P1,P2,P99. 则点P37所表示的数用科学记数法表示为 . 答案答案 3.710-6 解析解析 将线段OA分成100等份, 则OM1=0.001,再将线段OM1分成100等份, 则ON1=0.000 01,再将线段ON1分成100等份, 则OP1=0.000 000 1. 所以OP37=0.000 000 137=0.000 003 7, 则点P37所表示的数用科学记数法可表示为3.710-6. 0.

13、1 100 0.001 100 0.000 01 100 评析评析 科学记数法是将一个数写成a10n的形式,其中1|a|10,n为整数. 六、归纳应用类六、归纳应用类 (2018湖北随州,9,3分)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1,3,6,10, )和“正方形数”(如1,4,9,16,),在小于200的数中,设最大的“三角形数”为m,最大的“正方形数” 为n,则m+n的值为( ) A.33 B.301 C.386 D.571 答案答案 C 由图形知第n个三角形数为1+2+3+n=,第n个正方形数为n2, 当n=19时,=190200,所以最大的三角形数m=190

14、; 当n=14时,n2=196200, 所以最大的正方形数n=196,则m+n=386,故选C. (1) 2 n n (1) 2 n n(1) 2 n n 一、数字类一、数字类 教师专用题组 1.(2016湖南邵阳,10,3分)如图所示,下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律,根据此规律,最后 一个三角形中y与n之间的关系是( ) A.y=2n+1 B.y=2n+n C.y=2n+1+n D.y=2n+n+1 答案答案 B 根据3=1+21,6=2+22,11=3+23,总结规律为y=n+2n,故选B. 2.(2018广西桂林,18,3分)将从1开始的连续自然数按如表规律排列:规定位于第m

15、行,第n列的自然数记为 (m,n).如:自然数8记为(2,1),自然数10记为(3,2),自然数15记为(4,2),按此规律,自然数2 018记为 . 列 行 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 1 2 3 4 第2行 8 7 6 5 第3行 9 10 11 12 第4行 16 15 14 13 第n行 答案答案 (505,2) 解析解析 由题意可得,每一行有4个数,其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列,偶数行的数字从左往 右是由大到小排列. 2 0184=5042,504+1=505,2 018在第505行, 奇数行的数字从左往右是由小到大排列, 自然数2018记为(505,2). 二

16、、算式类二、算式类 1.(2019湖南益阳,18,4分)观察下列等式: 3-2=(-1)2, 5-2=(-)2, 7-2=(-)2, 请你根据以上规律,写出第个等式: . 22 632 1243 答案答案 13-2=(-)2 4276 解析解析 3-2=2-2+1=(-1)2, 5-2=3-2+2=(-)2, 7-2=4-2+3=(-)2, 所以第个等式为13-2=7-2+6=(-)2. 222 63 232 124 343 427676 2.(2018山东滨州,20,5分)观察下列各式: =1+,=1+,=1+, 请利用你所发现的规律,计算+,其结果为 . 22 11 1 12 1 1 2

17、22 11 1 23 1 2 3 22 11 1 34 1 3 4 22 11 1 12 22 11 1 23 22 11 1 34 22 11 1 910 答案答案 9 9 10 解析解析 由题意可得 + =1+1+1+1+ =9+ =9+ =9. 22 11 1 12 22 11 1 23 22 11 1 34 22 11 1 910 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 9 10 9 10 9 10 3.(2019安徽,18,8分)观察以下等式: 第1个等式:=+, 第2个等式:=+, 第3个等式:=+, 第4个等式:=+, 第5个等式:=+, 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出

18、第6个等式: ; (2)写出你猜想的第n个等式: (用含n的等式表示),并证明. 2 1 1 1 1 1 2 3 1 2 1 6 2 5 1 3 1 15 2 7 1 4 1 28 2 9 1 5 1 45 解析解析 (1)=+.(2分) (2)=+.(5分) 证明:右边=+=+=左边, 所以猜想正确.(8分) 2 11 1 6 1 66 2 2 -1n 1 n 1 (2 -1)nn 1 n 1 (2 -1)nn 2 -1 (2 -1) n nn 1 (2 -1)nn 2 (2 -1) n nn 2 2 -1n 思路分析思路分析 观察各式子发现:等号左边式子分母的值从1开始后一项的值比前一项的

19、值大2,分子不变.等 号右边式子的分子不变,第一个式子的分母等序增加,第二个式子的分母的值依次为1,6,15,28,45,根据顺 序关系可以记第n个等式等号右边第二个式子的分母为n(2n-1). 三、图形排列类三、图形排列类 1.(2020重庆A卷,4,4分)把黑色三角形按如图所示的规律拼图案,其中第个图案中有1个黑色三角形,第 个图案中有3个黑色三角形,第个图案中有6个黑色三角形,按此规律排列下去,则第个图案中 黑色三角形的个数为( ) A.10 B.15 C.18 D.21 答案答案 B 根据规律可知,第个图案中有1个黑色三角形,第个图案中有1+2=3个黑色三角形,第个 图案中有1+2+3

20、=6个黑色三角形,第个图案中有1+2+3+4=10个黑色三角形,第个图案中有1+2+3+4+ 5=15个黑色三角形,故选B. 2.(2018重庆,4,4分)把三角形按如图所示的规律拼图案,其中第个图案中有4个三角形,第个图案中有 6个三角形,第个图案中有8个三角形,按此规律排列下去,则第个图案中三角形的个数为 ( ) A.12 B.14 C.16 D.18 答案答案 C 第个图案中,三角形的个数为2+2=22=4;第个图案中,三角形的个数为2+2+2=23=6;第 个图案中,三角形的个数为2+2+2+2=24=8;,以此类推,第个图案中,三角形的个数为2+2+2+2+2 +2+2+2=28=1

21、6.故选C. 3.(2019石家庄新华一模,19)如图,在RtABC中,ACB=90,BAC=30,AB=4,以AC为斜边作RtACC1, 使CAC1=30,RtACC1的面积记为S1,则S1= ;再以AC1为斜边作RtAC1C2,使C1AC2=30, RtAC1C2的面积记为S2,以此类推,则Sn= .(用含n的式子表示) 答案答案 ; 3 3 2 2 -1 33 2 n n 解析解析 ACB=90,BAC=30,AB=4,BC=AB=2, AC=BC=2,SABC= BC AC=2. 在ACC1中,AC1C=90,CAC1=30,CC1=AC=, BAC=CAC1,ACB=AC1C=90,

22、 ACBAC1C, =, S1= SABC=,同理可得S2= S1= SABC,S3= SABC, 根据此规律可得Sn= SABC=. 1 2 33 1 2 3 1 2 3 2 1 CC CB 2 3 2 3 4 3 4 3 3 2 3 4 2 3 4 3 3 4 3 4 n 2 -1 33 2 n n 四、数形结合类四、数形结合类 1.(2018广东广州,10,3分)在平面直角坐标系中,一个智能机器人接到如下指令:从原点O出发,按向右,向 上,向右,向下的方向依次不断移动,每次移动1 m.其行走路线如图所示,第1次移动到A1,第2次移动到A2, ,第n次移动到An,则OA2A2 018的面积

23、是( ) A.504 m2 B. m2 C. m2 D.1 009 m2 1 009 2 1 011 2 答案答案 A 根据题图可知4个点为一个循环组,2 0184=5042,A2 018与A2的纵坐标相等,且在循环节里 的位置相同,所以线段A2A2 018=2=1 008,则=1 0081=504(m2),故选A. 2 018-2 4 1 2 2.(2020辽宁营口,18,3分)如图,MON=60,点A1在射线ON上,且OA1=1,过点A1作A1B1ON交射线OM于点 B1,在射线ON上截取A1A2,使得A1A2=A1B1;过点A2作A2B2ON交射线OM于点B2,在射线ON上截取A2A3,

24、使得 A2A3=A2B2;按照此规律进行下去,则A2 020B2 020的长为 . 答案答案 (1+)2 019 33 解析解析 MON=60,OA1=1,OA1B1=90,A1B1=.由题意可知OA2=1+,A2B2=(1+).同理,OA3 1+(1+)=(1+)2,A3B3=(1+)2,AnBn=(1+)n-1. 故A2 020B2 020=(1+)2 020-1=(1+)2 019. 3333 33 333333 3 333 3.(2018唐山路南一模,19)如图,正ABO的边长为2,O为坐标原点,A在x轴上,B在第二象限,ABO沿x轴 正方向作无滑动的翻滚,经第一次翻滚后得A1B1O,

25、翻滚2次后点B的对应点B2的坐标是 ;翻滚 100次后AB中点M经过的路径长为 . 答案答案 (2,0); 68 3 44 3 解析解析 如图,点B2在x轴上,正ABO的边长为2, 点B2的坐标是(2,0). 由图可知,点M的运动轨迹每三次一个循环,在一个循环内点M的运动路径长为+ 120 3 180 120 1 180 =, 1003=331, 翻滚100次后AB中,点M经过的路径长为33+=. 120 1 180 2 34 3 2 34 3 120 3 180 68 3 44 3 五、阅读理解类五、阅读理解类 (2019保定南市一模,19)我们知道,一元二次方程x2=-1没有实数根,即不存

26、在一个实数的平方等于-1,如果 我们规定一个新数“i”,使它满足i2=-1(即x2=-1有一个根为i),并且进一步规定:一切实数可以与新数 “i”进行四则运算,且原有的运算律和运算法则仍然成立,于是有:i1=i,i2=-1,i3=i2 i=(-1) i=-i,i4=(i2)2=(-1)2= 1,从而对任意正整数n,我们可以得到i4n=(i4)n=1n=1,i4n+1=i4n i=1 i=i,同理可得i4n+2=-1,i4n+3=-i,则i9= ; i2 019= . 答案答案 i;-i 解析解析 因为i1=i,i2=-1,i3=i2 i=(-1) i=-i,i4=(i2)2=(-1)2=1,所

27、以i9=(i4)2 i=12 i=i;i2 019=(i4)504 i3=1 (-i)=-i. 六、归纳应用类六、归纳应用类 发现 如图1,在有一个“凹角A1A2A3”的n边形A1A2A3A4An中(n为大于3的整数),A1A2A3=A1+A3+A4+ A5+A6+An-(n-4)180. 验证 (1)如图2,在有一个“凹角ABC”的四边形ABCD中,证明:ABC=A+C+D; (2)如图3,在有一个“凹角ABC”的六边形ABCDEF中,证明:ABC=A+C+D+E+F-360. 延伸 (3)如图4,在有两个连续“凹角A1A2A3和A2A3A4”的n边形A1A2A3A4An中(n为大于4的整数

28、),A1A2A3 +A2A3A4=A1+A4+A5+A6+An-(n- )180. 图1 图2 图3 图4 解析解析 (1)证明:如图,延长AB交CD于E, 则ABC=BEC+C,BEC=A+D, ABC=A+C+D. (2)证明:如图,延长AB交CD于G,则ABC=BGC+C, BGC=180-BGD,BGD=3180-(A+D+E+F), ABC=A+C+D+E+F-360. (3)如图,延长A2A3交A5A4于C,延长A3A2交A1An于B, 则A1A2A3+A2A3A4=A1+2+A4+4, 1+3=(n-2-2)180-(A5+A6+An), 而2+4=360-(1+3)=360-(n-2-2)180-(A5+A6+An), A1A2A3+A2A3A4=A1+A4+A5+A6+An-(n-6)180. 思路分析思路分析 (1)延长AB交CD于E,根据三角形外角的性质即可得到结论; (2)延长AB交CD于G,则ABC=BGC+C,根据多边形的内角和定理、三角形外角的性质即可得到结 论; (3)延长A2A3交A5A4于C,延长A3A2交A1An于B,根据三角形外角的性质得到A1A2A3+A2A3A4=A1+2+ A4+4,根据多边形的内角和定理得到1+3=(n-2-2)180-(A5+A6+An),于是得到结论.