2021年河北中考数学复习练习课件：§5.3 全等三角形.pptx

1、 中考数学 （河北专用） 5.3 全等三角形 考点一 全等三角形的性质 1.(2018山东临沂,11,3分)如图,ACB=90,AC=BC,ADCE,BECE,垂足分别是点D,E,AD=3,BE=1,则 DE的长是( ) A. B.2 C.2 D. 3 2 210 答案答案 B ADCE,BECE,ADC=CEB=90,DAC+DCA=90,ACB=90,ECB+ DCA=90,DAC=ECB,AC=CB,ACDCBE,AD=CE=3,CD=BE=1,DE=CE-CD=3-1=2. 2.(2016福建厦门,3,3分)如图,点E,F在线段BC上,ABF与DCE全等,点A与点D、点B与点C是对应顶

2、 点,AF与DE交于点M,则DCE=( ) A.B B.A C.EMF D.AFB 答案答案 A ABF与DCE全等,点A与点D、点B与点C是对应顶点,DCE=B,故选A. 3.(2020江西,11,3分)如图,CA平分DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若EAC=49,则BAE的度 数为 . 答案答案 82 解析解析 EAC=49,DAC=180-EAC=131.CA平分DCB,DCA=BCA,又CB=CD,CA= CA,DCABCA,DAC=BAC=131,BAE=131-EAC=82. 4.(2019四川成都,12,4分)如图,在ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,BA

3、D=CAE,若BD=9,则CE的长 为 . 答案答案 9 解析解析 AB=AC,B=C. 又BAD=CAE,BADCAE(ASA),CE=BD=9. 5.(2016河北,21,9分)如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC= DF,BF=EC. (1)求证:ABCDEF; (2)指出图中所有平行的线段,并说明理由. 解析解析 (1)证明:BF=EC, BF+FC=EC+CF,即BC=EF.(3分) 又AB=DE,AC=DF, ABCDEF.(5分) (2)ABDE,ACDF.(7分) 理由:ABCDEF, ABC=DEF,ACB=DFE

4、. ABDE,ACDF.(9分) 思路分析思路分析 (1)先证明BC=EF,再根据SSS进行证明. (2)结论ABDE,ACDF,根据全等三角形的性质即可证明. 解题关键解题关键 本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识,解题的关键是正确寻找全等三 角形的条件,记住平行线的判定方法. 评析评析 本题考查全等三角形的判定与性质,根据条件用“SSS”判定三角形全等,再由全等三角形的性 质得到对应角相等,然后由角相等得到边之间的位置关系. 考点二 全等三角形的判定 1.(2018贵州,7,4分)下列各图中a、b、c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧ABC全等的 是( ) A.甲和

5、乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.只有丙 答案答案 B 在ABC和图乙的三角形中,满足三角形全等的判定方法:SAS;在ABC和图丙的三角形中, 满足三角形全等的判定方法:AAS.故选B. 2.(2020北京,14,2分)如图,在ABC中,AB=AC,点D在BC上(不与点B,C重合).只需添加一个条件即可证明 ABDACD,这个条件可以是 (写出一个即可). 答案答案 答案不唯一,如:D是BC的中点 解析解析 根据题意可知AB=AC,B=C,若根据“边角边”判定ABDACD,可以添加BD=CD(D是 BC的中点);若根据“角边角”判定ABDACD,可以添加BAD=CAD(AD平分BAC);若根据

6、“角角边”判定ABDACD,可以添加BDA=CDA(ADBC或ADC=90),答案不唯一. 3.(2019黑龙江齐齐哈尔,12,3分)如图,已知在ABC和DEF中,B=E,BF=CE,点B、F、C、E在同一 条直线上,若使ABCDEF,则还需添加的一个条件是 (只填一个即可). 答案答案 AB=DE(或A=D或ACB=DFE或ACDF) 解析解析 由BF=CE可得BC=EF, 又B=E, 可选择的判定方法有“SAS”“AAS”或“ASA”. (1)根据“SAS”,可添加AB=DE. (2)根据“AAS”,可添加A=D. (3)根据“ASA”,可添加ACB=DFE或ACDF. 4.(2018广东

7、,22,7分)如图,矩形ABCD中,ABAD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE 交CD于点F,连接DE. (1)求证:ADECED; (2)求证:DEF是等腰三角形. 证明证明 (1)ACE是由ACB折叠得到的, AD=BC=EC,AE=AB=DC, DE=ED, ADECED. (2)由ADECED得AED=CDE, 即FED=FDE, FE=FD, DEF是等腰三角形. 5.(2017黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,连接AE、 BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N. (1)如图1,求证:AE=BD

8、; (2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形. 图1 图2 解析解析 (1)证明:ACB和DCE都是等腰直角三角形, ACB=DCE=90,AC=BC,DC=EC, ACB+ACD=DCE+ACD, 即BCD=ACE, ACEBCD, AE=BD. (2)ACBDCE,AONDOM, AOBDOE,NCBMCE. 1.(2020贵州贵阳,9,3分)如图,RtABC中,C=90,利用尺规在BC,BA上分别截取BE,BD,使BE=BD;分别 以D,E为圆心、大于DE的长为半径作弧,两弧在CBA内交于点F;作射线BF交AC于点G.若CG=1,P为

9、AB上一动点,则GP的最小值为( ) A.无法确定 B. C.1 D.2 1 2 1 2 教师专用题组 考点一 全等三角形的性质 答案答案 C 如图,过点G作GHAB交AB于点H.根据垂线段最短可知,GH的长是GP的最小值. 由作图可知,BG平分ABC, GHAB,GCBC, GH=GC=1,GP的最小值为1, 故选C. 2.(2018江苏南京,5,2分)如图,ABCD,且AB=CD,E、F是AD上两点,CEAD,BFAD.若CE=a,BF=b,EF= c,则AD的长为( ) A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c 答案答案 D ABCD,CEAD,BFAD, AFB=CED=

10、90,A+D=90,C+D=90, A=C,又AB=CD, ABFCDE,AF=CE=a,BF=DE=b. EF=c,AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c, 故选D. 3.(2016江苏南京,14,2分)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,ABOADO.下列结论: ACBD;CB=CD;ABCADC;DA=DC.其中所有正确结论的序号是 . 答案答案 解析解析 ABOADO,BAC=DAC,AOB=AOD,AB=AD.AOB+AOD=180,AOB =90,ACBD,正确;AB=AD,BAC=DAC,AC=AC,ABCADC,正确;ABC ADC,CB=CD,正确; DA

11、与DC不一定相等,不正确. 4.(2017陕西,14,3分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BAD=BCD=90,连接AC,若AC=6,则四边形 ABCD的面积为 . 答案答案 18 解析解析 过点A作AEAC交CD的延长线于点E,易知EAD=CAB.BAD=BCD=90,ADC+ ABC=180.又ADE+ADC=180,EDA=CBA,又AD=AB,AEDACB,AE=AC=6,四边 形ABCD的面积等于ACE的面积,故S四边形ABCD=AC AE=66=18. 1 2 1 2 一题多解一题多解 本题也可以用旋转的方法作图.以点A为旋转中心,把ACB逆时针旋转90至AED的位置, 则

12、AEDACB,EDA=B,AE=AC,根据DAB=DCB=90,得到ADC+B=180,即EDA+ ADC=180,故E,D,C三点在同一条直线上,故ACE是等腰直角三角形,接下来同上. 5.(2019浙江温州,18,8分)如图,在ABC中,AD是BC边上的中线,E是AB边上一点,过点C作CFAB交ED 的延长线于点F. (1)求证:BDECDF; (2)当ADBC,AE=1,CF=2时,求AC的长. 解析解析 (1)证明:CFAB, B=FCD,BED=F. AD是BC边上的中线,BD=CD, BDECDF. (2)BDECDF,BE=CF=2, AB=AE+BE=1+2=3. ADBC,B

13、D=CD,AC=AB=3. 6.(2016内蒙古呼和浩特,21,7分)已知,如图,ACB和ECD都是等腰直角三角形,ACB=ECD=90,D 为AB边上一点. (1)求证:ACEBCD; (2)求证:2CD2=AD2+DB2. 证明证明 (1)ACB和ECD都是等腰直角三角形, CD=CE,AC=BC,ECD=ACB=90, ECD-ACD=ACB-ACD, 即ECA=DCB.(1分) 在ACE与BCD中, (3分) ACEBCD.(4分) (2)ACEBCD, AE=BD.(5分) EAC=BAC=45,EAD=90. 在RtEAD中,ED2=AD2+AE2,ED2=AD2+BD2.(6分)

14、 又ED2=EC2+CD2=2CD2,2CD2=AD2+DB2.(7分) , , , ECDC ACEBCD ACBC 考点二 全等三角形的判定 1.(2020黑龙江齐齐哈尔,13,3分)如图,已知在ABD和ABC中,DAB=CAB,点A、B、E在同一条直 线上,若使ABDABC,则还需添加的一个条件是 .(只填一个即可) 答案答案 AD=AC(D=C或ABD=ABC或DBE=CBE) 解析解析 在ABD和ABC中,已知DAB=CAB,AB为公共边,因此可以有以下几种方法: 添加“AD=AC”,利用SAS判定全等; 添加“ABD=ABC”,利用ASA判定全等; 添加“D=C”,利用AAS判定全

15、等; 添加“DBE=CBE”,从而证得ABD=ABC或D=C,再利用ASA或AAS判定全等. 2.(2019内蒙古呼和浩特,12,3分)下面三个命题:底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;两边及 其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全 等.其中正确的命题的序号为 . 答案答案 解析解析 等腰三角形的顶角相等,则它们的底角也相等,又因为底边对应相等,所以由AAS或ASA判定两等 腰三角形全等,命题正确;先由SSS证明两三角形中线同侧的三角形全等,得两边的夹角对应相等,再由 SAS证得原两三角形全等,命题正确;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,

16、所以仅有斜边相等不 能证得两个直角三角形全等,命题错误.故正确的命题是. 3.(2018山东济宁,13,3分)在ABC中,点E,F分别是边AB,AC的中点,点D在BC边上,连接DE,DF,EF,请你添 加一个条件 ,使BED与FDE全等. 答案答案 答案不唯一,如:D是BC的中点 解析解析 E,F分别是边AB,AC的中点,EFBC, F,D分别是边AC,BC的中点,FDAB, 四边形BEFD是平行四边形,BEDFDE. 4.(2016山东济宁,12,3分)如图,ABC中,ADBC,CEAB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,请你添加 一个适当的条件: ,使AEHCEB. 答案答案 AH=C

17、B(只要符合要求即可) 解析解析 ADBC,CEAB,垂足分别为D、E, BEC=AEC=90,ADB=ADC=90, EAH=90-AHE,CHD=AHE,DCH=90-CHD, EAH=DCH, 根据AAS添加AH=CB或EH=EB,根据ASA添加AE=CE, 可证AEHCEB. 5.(2020浙江温州,18,8分)如图,在ABC和DCE中,AC=DE,B=DCE=90,点A,C,D依次在同一直线 上,且ABDE. (1)求证:ABCDCE; (2)连接AE,当BC=5,AC=12时,求AE的长. 解析解析 (1)证明:ABDE, BAC=D. 又B=DCE=90,AC=DE, ABCDC

18、E(AAS). (2)ABCDCE, CE=BC=5. AC=12,ACE=90, AE=13. 22 512 6.(2018江苏镇江,22,6分)如图,ABC中,AB=AC,点E,F在边BC上,BE=CF,点D在AF的延长线上,AD=AC. (1)求证:ABEACF; (2)若BAE=30,则ADC= . 解析解析 (1)证明:AB=AC,B=ACF, 在ABE和ACF中, ABEACF(SAS). (2)ABEACF,BAE=30,BAE=CAF=30, AD=AC,ADC=ACD, ADC=75. , , , ABAC BACF BECF 7.(2017江苏苏州,24,8分)如图,A=B

19、,AE=BE,点D在AC边上,1=2,AE和BD相交于点O. (1)求证:AECBED; (2)若1=42,求BDE的度数. 解析解析 (1)证明:AE和BD相交于点O,AOD=BOE. 在AOD和BOE中,A=B,BEO=2. 又1=2,1=BEO,AEC=BED. 在AEC和BED中, AECBED(ASA). (2)AECBED,EC=ED,C=BDE. 在EDC中,EC=ED,1=42, C=EDC=69, BDE=C=69. , , , AB AEBE AECBED 一、选择题(每小题3分,共12分) A组 20182020年模拟基础题组 时间:35分钟 分值:41分 1.(2020

20、保定清苑线上模拟,11)如图,ABCEBD,E=50,D=62,则ABC的度数是( ) A.68 B.62 C.60 D.50 答案答案 A 在EBD中,E=50,D=62, EBD=180-50-62=68, ABCEBD,ABC=EBD=68,故选A. 2.(2020沧州青县一模,6)如图,图中直线表示三条相互交叉的路,现要建一个货运中转站,要求它到三条公 路的距离相等,则可选择的地址有( ) A.4处 B.3处 C.2处 D.1处 答案答案 A ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等,ABC内角平分线的交点满足条 件; 如图,点P是ABC两条外角平分线的交点,过点P作PEAB,PD

21、BC,PFAC, PE=PF,PF=PD,PE=PF=PD,点P到ABC的三边的距离相等, ABC两条外角平分线的交点到三角形三边的距离也相等,满足这个条件的点有3个. 可选择的地址有4处.故选A. 3.(2018石家庄质检,11)如图,已知直线l及直线外一点P,观察图中的尺规作图痕迹,则下列结论不一定成 立的是( ) A.PQ为直线l的垂线 B.CA=CB C.PO=QO D.APO=BPO 答案答案 C 由尺规作图可知PA=PB,AQ=BQ, PQ=PQ,PAQPBQ, APO=BPO,选项D正确; PA=PB,APO=BPO, OPAB,选项A正确; PA=PB,APO=BPO,PC=P

22、C, APCBPC,CA=CB,选项B正确; PA与AQ不一定相等, PO不一定与QO相等,选项C不正确.故选C. 4.(2018石家庄裕华一模,13)如图,有一张三角形纸片ABC,已知B=C=x,按下列方案用剪刀沿着箭头 方向剪开,可能得不到全等三角形纸片的是( ) 答案答案 C 利用边角边可以判定选项A,选项B正确;利用角角边可判定选项D正确;选项C中存在两组角 相等,但长为3的两条边所对的角不一定相等,所以可能得不到全等三角形,故选C. 二、填空题(每小题3分,共9分) 5.(2020沧州青县模拟改编)如图,ACB=90,AC=BC.ADCE,BECE,垂足分别是点D、E,AD=3,BE

23、=1, 则DE的长是 . 答案答案 2 解析解析 BECE,ADCE,E=ADC=90, EBC+BCE=90. ACB=90,BCE+ACD=90, EBC=DCA. 在CEB和ADC中, CEBADC(AAS),BE=DC=1,CE=AD=3. DE=EC-CD=3-1=2. , , , EADC EBCDCA BCCA 评析评析 本题考查全等三角形的判定和性质,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键,学会 正确寻找全等三角形,属于中考常考题型. 6.(2019石家庄十八县一模,18)如图,在ABC中,CE是AB边上的高,BD平分ABC交CE于点D.若DE=2, BC=5,则SBD

24、C= . 答案答案 5 解析解析 过点D作DFBC,如图,BD平分ABC,DEBE,DE=DF=2, SBDC=BC DF=52=5. 1 2 1 2 7.(2019保定高阳一模,18)如图,在ABC中,B=2C,有如下操作: 以A为圆心,AB长为半径画弧,交AC于点F; 以A为圆心,任意长为半径画弧,交AB、AC于M、N两点,分别以M、N为圆心,以大于MN为半径画弧, 两弧交于一点P,作射线AP,交BC于点E; 作直线EF. 依据尺规作图的方法,若AB=3.3,BE=1.8,则AC的长为 . 1 2 答案答案 5.1 解析解析 由题意可得AB=AF=3.3,AE平分BAC,BAE=EAC,A

25、BEAFE,BE=EF=1.8,B= AFE,B=2C,AFE=2C,CEF=C,CF=EF=1.8,AC=AF+CF=3.3+1.8=5.1.故AC的长 为5.1. 三、解答题(共20分) 8.(2020衡水模拟改编)阅读下面材料: 在数学课上,老师提出如下问题: 已知:ABC,尺规作图:求作APC=ABC. 小明同学的主要作法如下: 如图,作CAD=ACB,且点D与点B在AC的异侧; 在射线AD上截取AP=CB,连接CP,所以APC=ABC. 问题:小明的作法正确吗?请你帮助小明写出证明过程. 解析解析 正确. 证明:在APC和CBA中, APCCBA(SAS), APC=ABC. , ,

26、 , APCB CAPACB ACCA 9.(2018保定一模,21)已知:如图,ABC和ADE都是等腰直角三角形,BAC=DAE=90,点E在BC边 上. (1)求证:ACDABE; (2)若CDE=60,求AEB的度数. 解析解析 (1)证明:BAC=DAE=90, BAC-CAE=DAE-CAE,即DAC=EAB. 在ACD和ABE中, ACDABE(SAS). (2)ACDABE,ADC=AEB, AEB=ADE+CDE=45+60=105. , , , ADAE DACEAB ACAB 一、选择题(每小题3分,共6分) B组 20182020年模拟提升题组 时间:40分钟 分值:45

27、分 1.(2019廊坊广阳一模,16)如图,已知ABC中,AB=AC,BAC=90,EPF=90,EPF的顶点P是BC的中 点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,当EPF在ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合),给出 以下五个结论:AE=CF;APE=CPF;EFP是等腰直角三角形;EF=AP;S四边形AEPF=SABC.其 中正确结论的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 1 2 答案答案 C AB=AC,点P是BC的中点, APBC,APF+CPF=90, EPF是直角,APF+APE=90, APE=CPF,故正确; AB=AC,BAC=90,点P是BC的中点,AP

28、=PC,EAP=C=45, 在APE和CPF中, APECPF(ASA),AE=CF,PE=PF,又EPF是直角,EFP是等腰直角三角形,故正确; 根据EFP是等腰直角三角形,可得EF=PE, EF随着点E的变化而变化,只有当点E为AB的中点时,EF=PE=AP,在其他位置时,EFAP,故错误; APECPF,SAPE=SCPF, S四边形AEPF=SAPF+SAPE=SAPF+SCPF=SAPC=SABC,故正确. , , , APECPF APCP EAPC 2 2 1 2 综上所述,正确的结论有,共4个.故选C. 解题关键解题关键 根据同角的余角相等求出APE=CPF,从而得到APE和C

29、PF全等是解题的关键,也是 本题的突破点. 2.(2018唐山路北一模,15)如图,在ABC,ADE中,C,E两点分别在AD,AB上,且BC与DE相交于F点,若 A=90,B=D=30,AC=AE=1,则四边形AEFC的周长为( ) A.2 B.2 C.2+ D.2+ 2323 答案答案 B A=A,B=D,AC=AE, ABCADE,AB=AD,ACB=AED=60, AED=B+BFE,B=30,BFE=30, BE=EF,同理CF=CD, 四边形AEFC的周长=AB+AD=2AB. AC=1,B=30,AB=AC=, 四边形AEFC的周长为2,故选B. 33 3 二、填空题(每小题3分,

30、共9分) 3.(2020廊坊广阳一模改编)如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=3.点E从D向C以每秒1个单位的速度运动,以AE 为一边在AE的右下方作正方形AEFG.同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动, 当经过 秒时,直线MN和正方形AEFG开始有公共点. 答案答案 5 3 解析解析 过点F作FQCD于点Q, 在正方形AEFG中,AEF=90,AE=EF, 1+2=90,在矩形ABCD中,D=90,DAE+1=90,DAE=2, 在ADE和EQF中, ADEEQF(AAS),AD=EQ=3, 当直线MN和正方形AEFG开始有公共点时,直线MN经过点F,点M与点Q重合.

31、设运动时间为t秒,则DE=t, , 2, , DEQF DAE AEEF CQ=CM=2t,t+3+2t=8,解得t=, 当经过秒时,直线MN和正方形AEFG开始有公共点. 5 3 5 3 解题关键解题关键 根据全等三角形的判定与性质得出DQ+CM=8是解题关键. 4.(2020唐山滦州一模改编)如图,在ABC中,ACB=90,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连 接CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE.当AD=BF时, BEF的度数为 . 答案答案 67.5 解析解析 由旋转可知CD=CE,DCE=90,ACB=90,ACB

32、=DCE,ACB-DCB=DCE- DCB, ACD=BCE, 在ACD与BCE中, ACDBCE(SAS), A=CBE,AD=BE, ACB=90,AC=BC,A=45, A=CBE=45, AD=BF,BE=BF,BEF=BFE=67.5. , , , ACBC ACDBCE CDCE 解题关键解题关键 解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质. 5.(2020邢台一模,19)如图,在四边形ABCD中,D=90,BC=6,AC=10,B=BAD,延长BC到E,若CD平分 ACE,则AD= ,D到BC的距离是 . 答案答案 8; 24 5 解析解析 如图,延长AD和BE交于

33、点F,过点D作DGBC,DG的长即为点D到BC的距离. CD平分ACE,ADC=90,ACDFCD(ASA),AC=CF=10,AD=DF. BC=6,BF=10+6=16.B=BAD,AF=BF=16.AD=DF=8. 在RtCDF中,根据勾股定理得CD=6. SCDF=CF DG=CD DF,10DG=68,解得DG=. 22 10 -8 1 2 1 2 1 2 1 2 24 5 解后反思解后反思 作辅助线是学生解决问题的难点,本题已知CD平分ACE,D=90,容易联想构造全等三角 形,即ACDFCD,从而把AC的长转化为CF的长,求出FB的长,又由B=BAD,得出FA=FB=16,进 而

34、问题得以解决. 三、解答题(共30分) 6.(2020石家庄新华模拟,23)如图,在ABC中,BAC=90,B=60,AB=2.ADBC于D.E为边BC上(不 与B、C重合)的一个点,作AEEF于E,EAF=B. (1)填空:AC= ,F= ; (2)当BD=DE时,证明:ABCEAF; (3)EAF面积的最小值是 ; (4)当EAF的内心在ABC的外部时,直接写出AE的范围. 解析解析 (1)2;30. 在ABC中,BAC=90,B=60,AB=2,AC=AB tan B=2tan 60=2. AEEF,AEF=90,EAF=B=60,F=90-EAF=90-60=30. (2)证明:ADB

35、C,BD=DE,AB=AE, 在ABC与EAF中, ABCEAF(ASA). (3).AEF=90,EAF=60,EF=AE tan EAF=AE tan 60=AE, SEAF=AE EF=AEAE=AE2, 当AEBC时,AE最短,即SEAF最小,此时AE=AB sin B=2sin 60=2=, 3 3 , , , BACAEF ABEA BEAF 3 3 2 3 1 2 1 2 3 3 2 3 2 3 SEAF=AE2=3=,EAF面积的最小值是. (4)2AE2. 提示:当EAF的内心恰好落在AC上时,AC平分EAF,EAC=EAF=60=30, BAC=90,BAE=BAC-EAC

36、=90-30=60, 又B=60,ABE是等边三角形,AE=AB=2, E为边BC上的一点,且不与B、C重合,由(1)可知AC=2, 当EAF的内心在ABC的外部时,2AE2. 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 1 2 1 2 3 3 解题关键解题关键 明确当AEBC时,AE最短,SEAF最小是解决第(3)问的关键;当EAF的内心恰好落在AC上 时,求AE的长是解决第(4)问的关键. 7.(2019保定高阳模拟,21)如图,点D是等边ABC的边AB上一动点,以CD为一边向上作等边EDC,连接 AE. (1)求证:BCDACE; (2)在点D的运动过程中,你认为DAE的大小是否会变化?

37、若变化,说明理由;若不变,求DAE的值. 解析解析 (1)证明:ABC和EDC是等边三角形, BC=AC,B=ACB=BAC=DCE=60,CD=CE, BCD=ACE, 在BCD和ACE中, BCDACE(SAS). (2)不发生变化,DAE=120.理由如下: 由(1)知BCDACE, DBC=EAC=60, DAE=BAC+CAE=120. , , , BCAC BCDACE CDCE 思路分析思路分析 (1)根据等边三角形的性质得出BC=AC,CD=CE,ACB=DCE=60,从而得出BCD=ACE, 利用SAS判定BCDACE.(2)根据全等三角形的对应角相等得到DBC=EAC=60

38、,即可得出 DAE=BAC+CAE=120. 8.(2019张家口桥东一模改编)如图,在ABC中,AB=CB,ABC=90,D为AB延长线上一点,点E在BC边上, 且BE=BD,连接AE,DE,DC. (1)求证:ABECBD; (2)若CAE=30,求BDC的度数; (3)若点E在BC边所在射线上,且BE=BD=2AB,求AE与CD所在直线的夹角;若ABC的面积是1,连接DE, 求ADE的面积. 解析解析 (1)证明:在ABE与CBD中, ABECBD. (2)AB=CB,ABC=90,ACB=45,而EAC=30, AEB=45+30=75. ABECBD,BDC=AEB=75. (3)如

39、图,类似(1)中的方法,可证ABECBD, BDC=BEA. BEA+BAE=90,BDC+BAE=90, AFD=90, 即AE与CD所在直线的夹角为90. AB BC=1,AB=BC, , , , ABCB ABECBD BEBD 1 2 AB=,BE=BD=2, SADE=SABE+SBDE=2+22=2+4=6. 22 1 2 22 1 2 22 思路分析思路分析 (1)直接运用SAS即可证明ABECBD.(2)首先根据三角形的外角知识求出AEB=75, 进而证明BDC=AEB,即可求出BDC的度数.(3)类似(1)中的方法,可证ABECBD,推出BDC =BEA,进一步得出AFD=90.由面积公式求出AB的长度,进而得出BE=BD=2,最后计算ADE的 面积. 2