2021年河北中考数学复习练习课件：§6.3 图形的变换.pptx

1、 中考数学 （河北专用） 6.3 图形的变换 考点一 图形的轴对称 1.(2020山西,2,3分)自新冠肺炎疫情发生以来,全国人民共同抗疫,各地积极普及科学防控知识.下面是科 学防控知识的图片,图片上有图案和文字说明,其中的图案是轴对称图形的是( ) 答案答案 D 根据轴对称图形的定义知只有D选项正确,故选D. 2.(2018河北,3,3分)图中由“”和“”组成轴对称图形,该图形的对称轴是直线( ) A.l1 B.l2 C.l3 D.l4 答案答案 C 如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,这个图形叫做轴对称图形,由 此知该图形的对称轴是直线l3,故选C. 3.(2019河北

2、,9,3分)如图,在小正三角形组成的网格中,已有6个小正三角形涂黑,还需涂黑n个小正三角形, 使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴,则n的最小值为( ) A.10 B.6 C.3 D.2 答案答案 C 正三角形恰有三条对称轴,所以联想把图中的三个小正三角形涂黑,而当n=1或2时,不能出现 符合题意的新图案,所以n的最小值为3,故选C. 4.(2016河北,13,2分)如图,将ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B处.若1=2=44,则B为 ( ) A.66 B.104 C.114 D.124 1 2 答案答案 C 设AB与CD相交于点P,由折叠知CAB=CAB,由ABCD,

3、得1=BAB, CAB=CAB=1=22.在ABC中,CAB=22,2=44,B=180-22-44=114. 评析评析 折叠问题是中考中的常见题目,在解决这类问题时,要抓住折叠前后图形的变化特征,从某种意义 上说,折叠问题其实就是轴对称问题. 5.(2018重庆,16,4分)如图,把三角形纸片折叠,使点B、点C都与点A重合,折痕分别为DE,FG,得到AGE= 30,若AE=EG=2 厘米,则ABC的边BC的长为 厘米. 3 答案答案 (6+4) 3 解析解析 过E作EHAG于H. AGE=30,AE=EG=2, EH=,GH=EGcos 30=3,AG=6, GC=AG=6,易知BE=AE=

4、EG=2, BC=BE+EG+GC=(6+4)厘米. 3 3 3 3 6.(2019河南,15,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE=a.连接AE,将ABE沿AE折 叠,若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上,则a的值为 . 3 5 答案答案 或 5 3 5 3 解析解析 在矩形ABCD中,AB=CD=1,AD=BC=a,B=C=D=90,由折叠得BE=BE=a,ABE=90. 当点B落在边AD上时,如图.易证四边形ABEB是正方形,BE=AB,即a=1,a=; 当点B落在边CD上时,如图. 3 5 3 5 5 3 1+2=2+3=90, 1=3,又D=C=

5、90, BCEADB,=. 在RtADB中,由勾股定理得BD=,=,a=. 综上所述,满足条件的a的值为或. EC EB BD AB 22 -BA AD 2 1-a 2 3 2 1-a 5 3 5 3 5 3 解题关键解题关键 本题是以矩形为背景的折叠型题目,由于未指明折叠后点B的具体位置,所以分情况讨论是 解决本题的关键.根据题意得,当点B在矩形边上时,有两种可能:当点B在AD上时,由四边形ABEB是正 方形可求a的值;当点B在边CD上时,由“K字模型”中的相似三角形性质结合勾股定理可求a的值. 7.(2020四川成都,27,10分)在矩形ABCD的CD边上取一点E,将BCE沿BE翻折,使点

6、C恰好落在AD边上 点F处. (1)如图1,若BC=2BA,求CBE的度数; (2)如图2,当AB=5,且AF FD=10时,求BC的长; (3)如图3,延长EF,与ABF的角平分线交于点M,BM交AD于点N,当NF=AN+FD时,求的值. AB BC 解析解析 (1)由翻折可知BC=BF,EBC=EBF, BC=2BA,BF=2AB,又A=90, AFB=30, ADBC, FBC=AFB=30, CBE=FBC=15. (2)由翻折可知BC=BF,BFE=C=90, 易知ABFDFE,=, AF DF=AB DE. AF DF=10,AB=5, DE=2,FE=CE=3, DF=, AF=

7、2. 1 2 AF DE AB DF 22 3 -25 5 BC=AD=AF+DF=3. (3)过点N作NGBF于点G, BN平分ABF,NABA,AN=NG. NGF=A=90,AFB=GFN, NFGBFA,NF=AN+FD,NF=AD=BC=BF, =,NG=AN=AB, 在RtABF中,AB2+AF2=BF2, AB2+=BC2,化简得5AB2+2AB BC-3BC2=0,解得=. 5 1 2 1 2 1 2 NG AB FG FA NF BF 1 2 1 2 2 11 22 ABBC AB BC 3 5 -1 AB BC 舍去 方法总结方法总结 解决矩形的折叠问题,要注意折叠前后图形

8、间的全等关系及平行线间的内错角相等.求 长度或比值问题,要注意寻找与所求线段或已知线段有关的相似三角形.几何证明题中要先注意 “K”“X”“A”型的相似三角形的相似比,再进行线段的等量代换. 考点二 图形的平移 1.(2019甘肃兰州,10,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,将四边形ABCD先向下平移,再向右平移得到四 边形A1B1C1D1,已知A(-3,5),B(-4,3),A1(3,3),则点B1坐标为( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(1,4) D.(4,1) 答案答案 B 3=-3+6,3=5-2,四边形ABCD先向下平移2个单位长度,再向右平移6个单位长度,B1的坐 标

9、是(2,1),故选B. 2.(2018江西,5,3分)小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作,他发现平移前后的两个图形所组成 的图形可以是轴对称图形.如图所示,现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作,平移后 的正方形的顶点也在格点上,则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.无数个 答案答案 C 如图所示,正方形ABCD可以向上、向下、向右以及沿射线AC或BD方向平移,平移后的两个 正方形组成轴对称图形.故选C. 3.(2017山东东营,9,3分)如图,把ABC沿着BC的方向平移到DEF的位置,它们重叠部分的面积是 ABC面积的

10、一半,若BC=,则ABC移动的距离是( ) A. B. C. D.- 3 3 2 3 3 6 2 3 6 2 答案答案 D ABC沿BC的方向平移到DEF的位置, ABDE,ABCHEC, =,ECBC=1, BC=,EC=, BE=BC-EC=-.故选D. 2 EC BC 1 2 2 3 6 2 3 6 2 4.(2018吉林长春,13,3分)如图,在ABCD中,AD=7,AB=2,B=60.E是边BC上任意一点,沿AE剪开,将 ABE沿BC方向平移到DCF的位置,得到四边形AEFD,则四边形AEFD周长的最小值为 . 3 答案答案 20 解析解析 当AEBC时,四边形AEFD的周长最小,

11、AEBC,AB=2,B=60,AE=3, ABE沿BC方向平移到DCF的位置, EF=BC=AD=7, 四边形AEFD周长的最小值为(7+3)2=20. 3 考点三 图形的旋转 1.(2020天津,11,3分)如图,在ABC中,ACB=90,将ABC绕点C顺时针旋转得到DEC,使点B的对应 点E恰好落在边AC上,点A的对应点为D,延长DE交AB于点F,则下列结论一定正确的是( ) A.AC=DE B.BC=EF C.AEF=D D.ABDF 答案答案 D 由旋转的性质得ACD=ACB=90,A=D,AC=DC,BC=CE,故A,B,C中结论不正确.Rt ABC中,A+B=90,又A=D,B+D

12、=90,BDF为直角三角形,BFD=90,ABDF,故 选D. 2.(2020黑龙江齐齐哈尔,9,3分)有两个直角三角形纸板,一个含45角,另一个含30角,如图所示叠放,先 将含30角的纸板固定不动,再将含45角的纸板绕顶点A顺时针旋转,使BCDE,如图所示,则旋转角 BAD的度数为( ) A.15 B.30 C.45 D.60 答案答案 B 如图所示,由题意得B=60,D=90,由BCDE可得D=CFA=90,所以BAD=CFA- B=90-60=30.故选B. 3.(2017河北,5,3分)图1和图2中所有的小正方形都全等.将图1的正方形放在图2中的某一位置, 使它与原来7个小正方形组成的

13、图形是中心对称图形,这个位置是( ) 图1 图2 A. B. C. D. 答案答案 C 根据中心对称图形的定义知当正方形放在的位置时,可使它与原来的7个小正方形组成的 图形是中心对称图形.故选C. 4.(2016河北,3,3分)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) 答案答案 A 选项B只是轴对称图形,选项C和D只是中心对称图形,只有选项A既是轴对称图形,又是中心 对称图形. 5.(2019天津,11,3分)如图,将ABC绕点C顺时针旋转得到DEC,使点A的对应点D恰好落在边AB上,点B 的对应点为E,连接BE,下列结论一定正确的是( ) A.AC=AD B.ABEB C.BC

14、=DE D.A=EBC 答案答案 D 由旋转的性质可知,AC=CD,但AC不一定等于AD,选项A不符合题意.由旋转的性质可知,BC =EC,但BC不一定等于DE,选项C不符合题意.根据旋转的性质可得,ACD=ECB,AC=CD,BC=CE, A=CDA=(180-ACD),EBC=CEB=(180-ECB),A=EBC,选项D符合题意.根据题意 无法得到ABE=90,B选项不符合题意.故选D. 1 2 1 2 6.(2019哈尔滨,16,3分)如图,将ABC绕点C逆时针旋转得到ABC,其中点A与A是对应点,点B与B是对 应点,点B落在边AC上,连接AB,若ACB=45,AC=3,BC=2,则A

15、B的长为 . 答案答案 13 解析解析 将ABC绕点C逆时针旋转得到ABC, AC=AC=3,ACB=ACA=45,ACB=90, AB=. 22 BCAC13 7.(2018江西,10,3分)如图,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的 对应点E落在CD上,且DE=EF,则AB的长为 . 答案答案 3 2 解析解析 根据旋转的性质,得BC=EF,AB=AE, 又四边形ABCD为矩形,DE=EF, AD=DE=3,D=90, 即ADE为等腰直角三角形, 根据勾股定理得AE=3,所以AB=AE=3. 22 3322 解题关键解题关键 熟练掌握旋转的性

16、质是解决本题的关键. 8.(2019浙江绍兴,23,12分)图1是实验室中的一种摆动装置,BC在地面上,支架ABC是底边为BC的等腰直 角三角形,摆动臂AD可绕点A旋转,摆动臂DM可绕点D旋转,AD=30,DM=10. (1)在旋转过程中, 当A,D,M三点在同一直线上时,求AM的长; 当A,D,M三点为同一直角三角形的顶点时,求AM的长; (2)若摆动臂AD顺时针旋转90,点D的位置由ABC外的点D1转到其内的点D2处,连接D1D2,如图2,此时 AD2C=135,CD2=60,求BD2的长. 解析解析 (1)AM=AD+DM=40或AM=AD-DM=20. 显然MAD不能为直角. 当AMD

17、为直角时,AM2=AD2-DM2=302-102=800, AM=20(-20舍弃). 当ADM为直角时,AM2=AD2+DM2=302+102=1 000, AM=10(-10舍弃). 综上所述,满足条件的AM的值为20或10. (2)如图,连接CD1. 22 1010 210 由题意知D1AD2=90,AD1=AD2=30, AD2D1=45,D1D2=30, AD2C=135,CD2D1=90, CD1=30, BAC=D1AD2=90, BAC-CAD2=D2AD1-CAD2, BAD2=CAD1, 2 22 212 CDD D6 又AB=AC,AD2=AD1,BAD2CAD1(SAS

18、), BD2=CD1=30. 6 9.(2020重庆A卷,26,8分)如图1,在RtABC中,BAC=90,AB=AC,点D是BC边上一动点,连接AD,把AD绕 点A逆时针旋转90,得到AE,连接CE,DE.点F是DE的中点,连接CF. (1)求证:CF=AD; (2)如图2所示,在点D运动的过程中,当BD=2CD时,分别延长CF,BA,相交于点G,猜想AG与BC存在的数量 关系,并证明你猜想的结论; (3)在点D运动的过程中,在线段AD上存在一点P,使PA+PB+PC的值最小.当PA+PB+PC的值取得最小值 时,AP的长为m,请直接用含m的式子表示CE的长. 2 2 解析解析 (1)证明:

19、BAC=DAE=90, BAD=CAE. 在ABD和ACE中, ABDACE, ABD=ACE. AB=AC,BAC=90, ABD=ACB=45, ECD=ACB+ACE=90. F是DE的中点, CF=DE. AD=AE,DAE=90, , , , ABAC BADCAE ADAE 1 2 DE=AD. CF=AD.(3分) 2 2 2 图1 (2)=3.理由如下: 2 BC AG 如图1所示,连接AF,DG,DG交AC于点M. 由(1)知,AF=CF=DF=DE. FAC=FCA. GAC=90,FAG=FGA. AF=GF.GF=DF=CF. FGD=FDG,FDC=FCD. FDG+

20、FDC=90.GDC=90. B=45,ACD=45, BD=GD,CD=MD,AMG=45. CAG=90.MG=AG. BD=2CD,BD=DG=2CD=2MG. BC=3MG=3AG. 即=3.(6分) 1 2 2 2 BC AG 2 (3)当ADBC时,在AD上存在点P,满足条件.此时,CE的长为m.(8分) 详解:如图2,将BPC绕点B顺时针旋转60得到BNM,连接PN, 图2 BP=BN,PC=NM,PBN=60, BPN是等边三角形,BP=PN, PA+PB+PC=AP+PN+MN, 33 2 当点A,P,N,M共线时,PA+PB+PC的值最小,如图3,连接MC, 图3 将BPC

21、绕点B顺时针旋转60得到BNM, BP=BN,BC=BM,PBN=60=CBM, BPN是等边三角形,CBM是等边三角形, BPN=BNP=60,BM=CM. 又AB=AC,AM垂直平分BC. ADBC,BPD=60,BD=PD, AB=AC,BAC=90,AD=BD, PD=PD+AP,PD=m, BD=PD=m, 由(1)可知CE=BD=m. 3 3 31 2 3 33 2 33 2 1.(2020山东青岛,7,3分)如图,将矩形ABCD折叠,使点C和点A重合,折痕为EF,EF与AC交于点O.若AE=5, BF=3,则AO的长为( ) A. B. C.2 D.4 5 3 2 555 教师专

22、用题组 考点一 图形的轴对称 答案答案 C 由折叠的性质知EF垂直平分AC,四边形ABCD是矩形,AEFC,EAO=FCO,易证 OAEOCF,AE=CF,则DE=DE=BF=3,AD=8,CD=AD=4. 又D=90,AC=4, AO=AC=4=2. 22 - AE DE 22 5 -3 22 ADCD 22 845 1 2 1 2 55 2.(2019天津,4,3分)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作轴对称图形的是 ( ) 答案答案 A 根据轴对称图形的概念可得选项B、C、D都不是轴对称图形,“美”可以看作轴对称图形. 故选A. 3.(2018新疆,7,5分)如

23、图,矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm.现将其沿AE对折,使得点B落在边AD上的 点B1处,折痕与边BC交于点E,则CE的长为( ) A.6 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm 答案答案 D 由题意可知,BE=AB=6 cm,CE=BC-BE=8-6=2 cm.故选D. 4.(2020山东潍坊,17,3分)如图,矩形ABCD中,点G,E分别在边BC,DC上,连接AG,EG,AE.将ABG和ECG 分别沿AG,EG折叠,使点B,C恰好落在AE上的同一点,记为点F.若CE=3,CG=4,则sinDAE= . 答案答案 7 25 解析解析 由折叠知ABGAFG,CEGFE

24、G, AGB=AGF,FGE=CGE, EGC+AGB=AGF+FGE=90. 又BAG+BGA=90, EGC=BAG.又B=C=90, CGEBAG,=. CE=3,CG=4,可设GB=3k,AB=4k. 则AG=5k,AF=4k,AE=AF+EF=4k+3. 在RtAEG中,AE2=AG2+EG2,则(4k+3)2=(5k)2+52. 解得k1=k2=. AE=4k+3=,DE=CD-CE=4k-3=. CE CG GB BA 4 3 25 3 7 3 在RtADE中,sinDAE=. DE AE 7 3 25 3 7 25 思路分析思路分析 根据折叠的性质求出AGE=90,进而判断出B

25、AGCGE.引入参数“k”表示AB、 BG、AG、AE,利用勾股定理建立关于k的方程,即可求出k.在RtADE中可求sinDAE. 5.(2016江苏淮安,18,3分)如图,在RtABC中,C=90,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC 上的动点,将CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是 . 答案答案 1.2 解析解析 如图,延长FP交AB于M,当FPAB时,点P到AB的距离最小. A=A,AMF=C=90,AFMABC, =, CF=2,AC=6,BC=8,AF=4,AB=10, =,FM=3.2, PF=CF=2,PM=1.2, AF

26、AB FM BC 22 ACBC 4 108 FM 点P到边AB距离的最小值是1.2. 6.(2017天津,24,10分)将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中,点A(,0),点B(0,1),点O(0, 0),P是边AB上的一点(点P不与点A,B重合),沿着OP折叠该纸片,得点A的对应点A. (1)如图,当点A在第一象限,且满足ABOB时,求点A的坐标; (2)如图,当P为AB中点时,求AB的长; (3)当BPA=30时,求点P的坐标(直接写出结果即可). 3 解析解析 (1)点A(,0),点B(0,1), OA=,OB=1, 根据题意,由折叠可知AOPAOP, OA=OA=, 由A

27、BOB,得ABO=90, 在RtAOB中,AB=, 点A的坐标为(,1). (2)在RtABO中,OA=,OB=1, AB=2, P是AB的中点, AP=BP=1,OP=AB=1, OB=OP=BP, BOP是等边三角形, 3 3 3 22 -OAOB2 2 3 22 OAOB 1 2 BOP=BPO=60, OPA=180-BPO=120, 由(1)知,AOPAOP, OPA=OPA=120,PA=PA=1, BOP+OPA=180, OBPA. 又OB=PA=PA=1, 四边形OPAB是平行四边形, AB=OP=1. (3)点P的坐标为或. 详解:BPA=30,OPA不是直角, 设OPA=

28、t. 当t90时, 3- 3 3- 3 , 22 2 3-33 , 22 由折叠可得OPA=OPA=t, OPAOPB, OPA=OPB+BPA, 即t=180-t+30, 解得t=105, POA=180-105-30=45, 这时点A在y轴上. 设直线AB的解析式为y=kx+b(k0), 把点A(,0),点B(0,1)代入得 解得 3 30, 1, kb b 3 -, 3 1, k b 直线AB的解析式为y=-x+1, 点P在直线y=x上, 令x=-x+1,解得x=,P. 当t90时, OPA90时,先求OPA,再求POA,得出点A的位置,再 由待定系数法求出直线AB的解析式为y=-x+1

29、,即可得到点P的坐标;tAB)折叠,使点C刚好落在线段AD上,且折痕分别与 边BC,AD相交,设折叠后点C,D的对应点分别为点G,H,折痕分别与边BC,AD相交于点E,F. (1)判断四边形CEGF的形状,并证明你的结论; (2)若AB=3,BC=9,求线段CE的取值范围. 解析解析 (1)四边形CEGF为菱形. 证明:四边形ABCD是矩形, ADBC,GFE=FEC, 图形翻折后点C的对应点为点G,EF为折线, GEF=FEC, GFE=FEG,GF=GE, 图形翻折后EC的对应边为GE, GE=EC,GF=EC, 四边形CEGF为平行四边形, 又GE=EC, 四边形CEGF为菱形. (2)

30、如图1,当F与D重合时,CE取最小值, 由折叠的性质得CD=DG,CDE=GDE=45, ECD=90,DEC=45=CDE, CE=CD=DG,DGCE, 四边形CEGD是正方形, CE=CD=AB=3. 图1 如图2,当G与A重合时,CE取最大值, 由折叠的性质得AE=CE,B=90, AE2=AB2+BE2,即CE2=32+(9-CE)2,CE=5, 线段CE的取值范围为3CE5. 图2 考点二 图形的平移 1.(2016山东济宁,7,3分)如图,将ABE向右平移2 cm得到DCF,如果ABE的周长是16 cm,那么四边形 ABFD的周长是( ) A.16 cm B.18 cm C.20

31、 cm D.21 cm 答案答案 C ABE向右平移2 cm得到DCF, EF=AD=2 cm,AE=DF, ABE的周长为16 cm, AB+BE+AE=16 cm, 四边形ABFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD=AB+BE+AE+EF+AD=16+2+2=20(cm).故选C. 2.(2018四川宜宾,7,3分)如图,将ABC沿BC边上的中线AD平移到ABC的位置,已知ABC的面积为 9,阴影部分三角形的面积为4.若AA=1,则AD等于( ) A.2 B.3 C. D. 2 3 3 2 答案答案 A 如图,将ABC沿BC边上的中线AD平移得到ABC,D为EF的中点,AEAB,DAE

32、DAB,则=.又SABC=9,SAEF=4,SADE=SAEF=2,SABD=SABC=, =, 解得AD=2或AD=-(舍),故选A. 2 AD AD 1 2 1 2 9 2 2 1 AD AD 4 9 2 5 3.(2020广东广州,14,3分)如图,点A的坐标为(1,3),点B在x轴上,把OAB沿x轴向右平移到ECD,若四边 形ABDC的面积为9,则点C的坐标为 . 答案答案 (4,3) 解析解析 CED由AOB向右平移所得,点A的坐标为(1,3), 点C的纵坐标为3. 易知四边形ABDC为平行四边形,S四边形ABDC=3BD=9, BD=3,AC=BD=3. 点C的坐标为(4,3).

33、解题关键解题关键 能根据已知条件求出AC的长度是解题的关键. 4.(2016广东广州,13,3分)如图,ABC中,AB=AC,BC=12 cm,点D在AC上,DC=4 cm.将线段DC沿着CB的方 向平移7 cm得到线段EF,点E,F分别落在边AB,BC上,则EBF的周长为 cm. 答案答案 13 解析解析 将线段DC沿着CB的方向平移7 cm得到线段EF, EF=DC=4 cm,FC=7 cm, AB=AC,BC=12 cm,B=C,BF=5 cm, B=BFE,BE=EF=4 cm, EBF的周长为4+4+5=13(cm). 5.(2019四川成都,24,4分)如图,在边长为1的菱形ABC

34、D中,ABC=60.将ABD沿射线BD的方向平移得 到ABD,分别连接AC,AD,BC,则AC+BC的最小值为 . 答案答案 3 解析解析 作直线AA,并作点C关于直线AA的对称点E,连接EA,AC,AE. 四边形ABCD为菱形,ABC=60,AB=1, AC=1,ACBD,由平移得BCBDAD,AABD,AD=BC.又EA=AC, AC+BC=EA+AD, 当E,A,D三点共线时,EA+AD的值最小. AC=AE=AD=1,DAC=DCA=60, E=DAC=30, EDC=180-E-ACD=90, ED=EC cos E=2=,即AC+BC的最小值为. 1 2 3 2 33 方法总结方法

35、总结 求不在同一条直线上的两条线段长的和的最小值,一般是通过轴对称转化为求一条直线上 的两条线段的长度和. 6.(2019安徽,16,8分)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的1212网格中,给出了以格点(网格线 的交点)为端点的线段AB. (1)将线段AB向右平移5个单位,再向上平移3个单位得到线段CD,请画出线段CD; (2)以线段CD为一边,作一个菱形CDEF,且点E,F也为格点.(作出一个菱形即可) 解析解析 (1)如图,线段CD即为所求作的图形.(4分) (2)如图,菱形CDEF即为所求作的图形(答案不唯一).(8分) 考点三 图形的旋转 1.(2020江苏苏州,9,3分)如图

36、,在ABC中,BAC=108,将ABC绕点A按逆时针方向旋转得到ABC.若 点B恰好落在BC边上,且AB=CB,则C的度数为( ) A.18 B.20 C.24 D.28 答案答案 C 设C=x, 根据旋转的性质,得C=C=x,AC=AC,AB=AB, ABB=B, AB=CB,C=CAB=x, ABB=C+CAB=2x,B=2x, C+B+CAB=180,BAC=108, x+2x+108=180,解得x=24, C的度数为24,故选C. 2.(2018山西,8,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,A=60,AC=6,将ABC绕点C按逆时针方向旋转得 到ABC,此时点A恰好在AB边上,

37、则点B与点B之间的距离为( ) A.12 B.6 C.6 D.6 23 答案答案 D 如图,连接BB,由旋转可知AC=AC,BC=BC,A=60, ACA为等边三角形, ACA=60,BCB=ACA=60, BCB为等边三角形, 在RtABC中,A=60,AC=6,则BC=6. BB=BC=6,故选D. 3 3 3.(2018山东潍坊,16,3分)如图,正方形ABCD的边长为1,点A与原点重合,点B在y轴的正半轴上,点D在x轴 的负半轴上,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30至正方形ABCD的位置,BC与CD相交于点M,则点M 的坐标为 . 答案答案 3 -1, 3 解析解析 连接AM, 在R

38、tABM和RtADM中, RtABMRtADM. DAM=BAM= =30. , , AMAM ABAD 在RtADM中,tan 30=, DM=ADtan 30=1=. M. DM AD 3 3 3 3 3 -1, 3 4.(2019新疆,14,5分)如图,在ABC中,AB=AC=4,将ABC绕点A顺时针旋转30,得到ACD,延长AD交 BC的延长线于点E,则DE的长为 . 答案答案 2-2 3 解析解析 由旋转得,CAD=CAB=30,AD=AC=4, BCA=ACD=ADC=75. ECD=180-275=30. E=75-30=45. 过点C作CHAE于H点, 在RtACH中,CH=A

39、C=2,AH=2. HD=AD-AH=4-2. 在RtCHE中,E=45, EH=CH=2. DE=EH-HD=2-(4-2)=2-2. 1 2 3 3 33 思路分析思路分析 根据旋转的性质可知CAD=CAB=30,AD=AC=4.从而得到DCE=30,E=45.过点C作 CHAE于H点,在RtACH中,求出CH和AH的长,在RtCHE中可求EH的长,利用DE=EH-(AD-AH)即可 求解. 5.(2017湖北黄冈,14,3分)已知:如图,在AOB中,AOB=90,AO=3 cm,BO=4 cm,将AOB绕顶点O按顺 时针方向旋转到A1OB1处,此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点

40、,则线段B1D= cm. 答案答案 1.5 解析解析 在AOB中,AOB=90,AO=3 cm,BO=4 cm, AB=5 cm, 点D为AB的中点, OD=AB=2.5 cm. 将AOB绕顶点O按顺时针方向旋转到A1OB1处, OB1=OB=4 cm, B1D=OB1-OD=1.5 cm. 故答案为1.5. 22 OAOB 1 2 思路分析思路分析 先在直角AOB中利用勾股定理求出AB的长,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半得出OD=AB.根据旋转的性质得到OB1=OB,由B1D=OB1-OD求得结果. 1 2 解题关键解题关键 本题考查了旋转的性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边

41、的一半以及勾股定理,熟练掌握 这些知识点是解题的关键. 6.(2020山东潍坊,24,12分)如图1,在ABC中,A=90,AB=AC=+1,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE =1,连接DE.现将ADE绕点A顺时针方向旋转,旋转角为(0360),如图2,连接CE,BD,CD. (1)当0180时,求证:CE=BD; (2)如图3,当=90时,延长CE交BD于点F,求证:CF垂直平分BD; (3)在旋转过程中,求BCD的面积的最大值,并写出此时旋转角的度数. 2 解析解析 (1)证明:由旋转知CAE=BAD=. 在ACE和ABD中, ACEABD(SAS), CE=BD. (2)证明:

42、由(1)知ACEABD,ACE=ABD. ACE+AEC=90,且AEC=FEB, ABD+FEB=90,EFB=90,CFBD. AB=AC=+1,AD=AE=1,CAB=EAD=90, BC=AB=+2,CD=AC+AD=+2,BC=CD. CFBD,CF垂直平分BD. (3)在BCD中,边BC的长是定值,则BC边上的高取最大值时BCD的面积有最大值. 点D的轨迹是以点A为圆心,AD长为半径的圆, , , , ACAB CAEBAD AEAD 2 222 当点D在线段BC的垂直平分线AG(D在A的左侧)上时,BCD的面积取得最大值,如图: AB=AC=+1,AD=AE=1,CAB=EAD=

43、90,DGBC于G, AG=BC=,GAB=45, DG=AG+AD=+1=,DAB=90+45=135, SBCD的最大值为BC DG=(+2)=, 此时旋转角=135. 2 1 2 22 2 22 2 24 2 1 2 1 2 2 24 2 3 25 2 思路分析思路分析 (1)根据旋转的性质,利用“SAS”证得ACEABD即可得到结论; (2)由ACEABD推出ACE=ABD,进而得出CFBD,计算得CD=BC=+2,利用等腰三角形“三 线合一”的性质即可得到结论; (3)首先确定点D的运动轨迹,再通过三角形的面积公式明确当点D在线段BC的垂直平分线上(D在A的左 侧)时,BCD的面积取

44、得最大值,然后利用等腰直角三角形的性质即可求解. 2 7.(2019福建,21,8分)在RtABC中,ABC=90,ACB=30.将ABC绕点C顺时针旋转一个角度得到 DEC,点A,B的对应点分别为D,E. (1)若点E恰好落在边AC上,如图1,求ADE的大小; (2)若=60,F为AC的中点,如图2,求证:四边形BEDF是平行四边形. 解析解析 (1)在RtABC中,ABC=90,ACB=30, BAC=60. 由旋转性质得,DC=AC,DCE=ACB=30. DAC=ADC=(180-DCE)=75, 又EDC=BAC=60, ADE=ADC-EDC=15. (2)证明:在RtABC中,A

45、BC=90,ACB=30, AB=AC. F是AC的中点,BF=FC=AC, FBC=ACB=30,AB=BF. 由旋转性质得AB=DE,DEC=ABC=90,BCE=ACD=60, DE=BF. 1 2 1 2 1 2 延长BF交EC于点G,则BGE=GBC+GCB=90, BGE=DEC,DEBF, 四边形BEDF是平行四边形. 一题多解一题多解 (2)在RtABC中,ABC=90,ACB=30, AB=AC,A=60. F是AC的中点,AF=BF=FC=AC,AB=BF=FC. 由旋转性质得AB=DE,EDC=A=60,ACD=60. DE=BF,DE=FC,EDC=ACD. CD=DC

46、,EDCFCD.CE=DF. 由旋转性质得BEC为等边三角形, CE=BE,DF=BE. 又DE=BF,四边形BEDF是平行四边形. 1 2 1 2 8.(2017山东潍坊,24,12分)边长为6的等边ABC中,点D、E分别在AC、BC边上,DEAB,EC=2. (1)如图1,将DEC沿射线EC方向平移,得到DEC,边DE与AC的交点为M,边CD与ACC的平分线 交于点N.当CC多大时,四边形MCND为菱形?并说明理由; (2)如图2,将DEC绕点C旋转(0360),得到DEC,连接AD、BE.边DE的中点为P. 在旋转过程中,AD和BE有怎样的数量关系?并说明理由; 连接AP,当AP最大时,

47、求AD的值.(结果保留根号) 3 图1 图2 解析解析 (1)当CC=时,四边形MCND为菱形.(1分) 理由:由平移的性质得CDCD,DEDE. ABC为等边三角形,B=ACB=60, ACC=180-60=120. CN为ACC的平分线, NCC=60.(2分) ABDE,DEDE,ABDE, DEC=B=60,(3分) DEC=NCC,DECN, 四边形MCND为平行四边形.(4分) MEC=MCE=60,NCC=NCC=60, MCE和NCC为等边三角形, MC=CE,NC=CC. 又EC=EC=2,CC=,CC=CE. 3 33 MC=CN,四边形MCND为菱形.(5分) (2)AD=BE.(6分) 理由:当180时,由旋转的性质得ACD=BCE. 由题意易知,AC=BC,CD=CE, ACDBCE,AD=BE;(8分) 当=180时,AD=AC+CD,BE=BC+CE, 又AC=BC,CD=CE,AD=BE. 综上可知,AD=BE.(9分) 当A、C、P三点共线时AP最大,如图. 此时,AP=AC+CP.(10分) 在等边DCE中,由P为DE的中点, 得APDE,PD=, CP=3,AP=6+3=9.(11分