2021年湖南中考数学复习练习课件:§4.3 等腰三角形与直角三角形.pptx
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1、 中考数学 (湖南专用) 4.3 等腰三角形与直角三角形 A组 20162020年湖南中考题组 考点一 等腰三角形 1.(2020湖南湘西,6,3分)已知AOB,作AOB的平分线OM,在射线OM上截取线段OC,分别以O、C为圆 心,大于OC的长为半径画弧,两弧相交于E,F,作直线EF,分别交OA于D,交OB于G,那么,ODG一定是 ( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 1 2 答案答案 C 如图,分别以O、C为圆心,大于OC的长为半径画弧,两弧相交于E,F,EF垂直平分线段 OC, 设EF交OC于点N,ONE=ONF=90, OM平分AOB,NOD=NOG,
2、又ON=ON,ONDONG,OD=OG,ODG是等腰三角形,故选C. 1 2 思路分析思路分析 根据题意知EF垂直平分线段OC,又知OM为AOB的平分线,由此证明ONDONG,即 可得到OD=OG,从而得到答案. 2.(2019湖南长沙,9,3分)如图,RtABC中,C=90,B=30,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半 径作弧,两弧相交于M、N两点,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则CAD的度数是( ) A.20 B.30 C.45 D.60 1 2 答案答案 B 在RtABC中,B=30,C=90,BAC=180-B-C=60,由作图可知MN为线段AB的 垂直平分线,DA=DB,
3、DAB=B=30,CAD=BAC-DAB=30,故选B. 3.(2019湖南郴州,7, 3分)如图,分别以线段AB的两端点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,在线段AB的两 侧分别交于点E,F,作直线EF交AB于点O.在直线EF上任取一点P(不与O重合),连接PA,PB,则下列结论不 一定成立的是( ) A.PA=PB B.OA=OB C.OP=OF D.POAB 1 2 答案答案 C 由作图可知,EF垂直平分线段AB,则PA=PB,故A选项结论成立;OA=OB,故B选项结论成立;OE =OF,故C选项结论不成立;POAB,故D选项结论成立. 故选C. 解题关键解题关键 本题考查基本作图、线段
4、垂直平分线的性质,解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法,利 用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题. 4.(2018湖南邵阳,17,3分)如图所示,在等腰ABC中,AB=AC,A=36,将ABC中的A沿DE向下翻折, 使点A落在点C处.若AE=,则BC的长是 . 3 解析解析 AB=AC,A=36, B=ACB= =72, 将ABC中的A沿DE向下翻折,使点A落在点C处, AE=CE,A=ECA=36, CEB=72,BCE是等腰三角形, BC=CE=AE=. 3 答案答案 3 思路分析思路分析 由折叠的性质可知AE=CE,再证明BCE是等腰三角形即可得到BC=CE,问题得解. 解
5、题关键解题关键 本题考查了等腰三角形的判定和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理,证明BCE是 等腰三角形是解题的关键. 5.(2017湖南株洲,22,8分)如图所示,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上,EF与BC相 交于点G,连接CF. 求证:DAEDCF. 证明证明 四边形ABCD是正方形,EDF是等腰直角三角形,ADC=EDF=90,AD=CD,DE=DF, ADE+ADF=ADF+CDF, ADE=CDF, 在DAE和DCF中, , , , DEDF ADECDF DADC DAEDCF. 考点二 直角三角形 1.(2019湖南长沙,12,3分)如图,ABC中,A
6、B=AC=10,tan A=2,BEAC于点E,D是线段BE上的一个动点,则 CD+BD的最小值是( ) A.2 B.4 C.5 D.10 5 5 553 答案答案 B 如图,作DHAB于H,CMAB于M. BEAC, AEB=90, tan A=2, 可设AE=a(a0),BE=2a, 则有100=a2+4a2, BE AE a=2, BE=2a=4. AB=AC,BEAC,CMAB,A=A, AMCAEB, CM=BE=4. sinDBH=, DH=BD, CD+BD=CD+DH, CD+DHCM, CD+BD4, 5 5 5 DH BD AE AB 5 5 5 5 5 5 5 5 5 C
7、D+BD的最小值为4.故选B. 5 5 5 解后反思解后反思 本题考查解直角三角形、全等三角形的判定,垂线段最短等知识,学生要会添加常用辅助线, 用转化的思想思考问题. 2.(2017湖南益阳,10,3分)如图,ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,CD是AB边上的中线,则CD= . 答案答案 6.5 解析解析 在ABC中,AC=5,BC=12,AB=13, AC2+BC2=52+122=132=AB2, ABC为直角三角形,且ACB=90, CD是AB边上的中线, CD=AB=13=6.5. 1 2 1 2 3.(2020湖南岳阳,12,3分)如图,在RtABC中,CD是斜边AB上的中
8、线,若A=20,则BDC= . 答案答案 40 解析解析 在RtABC中,CD是斜边AB上的中线, CD=AD=AB. A=20, DCA=A=20,BDC=DCA+A=40. 故答案为40. 1 2 思路分析思路分析 先根据直角三角形斜边中线的性质得出CD=AD=AB,则有DCA=A=20,最后利用三角 形外角的性质即可得出答案. 1 2 B组 20162020年全国中考题组 考点一 等腰三角形 1.(2020福建,5,4分)如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于( ) A.10 B.5 C.4 D.3 答案答案 B 根据等腰三角形“三线合一”可得AD是BC边上的中线
9、,所以CD=BD=5.故选B. 2.(2019内蒙古包头,10,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2- 12x+m+2=0的两根,则m的值是( ) A.34 B.30 C.30或34 D.30或36 答案答案 A 由根与系数的关系可得当a=4时,b=8;当b=4时,a=8. 这两种情况都不能构成三角形, a=b=6, m=34,故选A. 12, 2, ab abm 易错警示易错警示 本题易错选C,原因是未考虑到a=4,b=8或b=4,a=8的情况下不能构成三角形. 3.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一个底角为50,则它的顶角的度数为 .
10、 答案答案 80 解析解析 等腰三角形的两底角相等, 180-502=80, 顶角为80. 4.(2020黑龙江齐齐哈尔,15,3分)等腰三角形的两条边长分别为3和4,则这个等腰三角形的周长是 . 答案答案 10或11 解析解析 等腰三角形的两条边长分别为3和4,计算周长分两种情况讨论: 若3为腰长,则4为底边长,此时周长为3+3+4=10; 若4为腰长,则3为底边长,此时周长为4+4+3=11. 故其周长为10或11. 5.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的 中点,连接DG,则DG的长为 . 答案答案 19 2
11、 解析解析 连接DE, 在等边ABC中,D、E分别是AB、BC的中点, DEAC,DE=AC=2=EC, DEF=EFC. EFAC, EFC=90, EF=,DEF=90. G是EF的中点, 1 2 3 EG=, 在RtDEG中,DG=. 3 2 22 DEEG 2 2 3 2 2 19 2 疑难突破疑难突破 本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质求线段DG的长,DG与 图中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股定理求出DG的长. 6.(2017黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,连接AE
12、、 BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N. (1)如图1,求证:AE=BD; (2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形. 图1 图2 解析解析 (1)证明:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90, AC=BC,EC=DC,ACB+ACD=DCE+ACD,即ACE=BCD, ACEBCD, AE=BD. (2)ACBDCE,AONDOM, AOBDOE,NCBMCE. 7.(2020吉林,25,10分)如图,ABC是等边三角形,AB=4 cm.动点P从点A出发,以2 cm/s的速度沿AB向点B 匀速运动,过点P作
13、PQAB,交折线AC-CB于点Q,以PQ为边作等边三角形PQD,使点A,D在PQ异侧.设点P 的运动时间为x(s)(0x2),PQD与ABC重叠部分图形的面积为y(cm2). (1)AP的长为 cm(用含x的代数式表示); (2)当点D落在边BC上时,求x的值; (3)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围. 解析解析 (1)2x.(2分) 详解:根据“路程=速度时间”可得AP=2x(cm). (2)如图,根据题意,得4x+2x=4,解得x=. 图 当点D落在边BC上时,x=.(4分) (3)如图,当0x时,y=(2x)2=3x2. 2 3 2 3 2 3 3 4 33 y=3x2.
14、(6分) 图 图 3 图 如图,当x1时,y=3x2-(3x-2)2 =- x2+18x-6. y=- x2+18x-6.(8分) 如图,当1x2时,y=(4-2x)2 2 3 3 3 3 2 21 2 333 21 2 333 1 2 3 3 4 =(x-2)2. y=(x-2)2.(10分) 3 3 2 3 3 2 2 3 3 -6 36 3 2 yxx 或 难点突破难点突破 对于第(3)问,先利用第(2)问所求x的值及点Q与点C重合时x的值,分0x、x1和1x0,x0)的图象经过点B,则k的值为( ) A. B.9 C. D. k x 9 2 27 8 27 4 答案答案 D 过点B作B
15、Dx轴于点D,易得AOCCDB. AC=2BC,相似比为21,于是可得BD=CD=. OD=3+=, B, k=. 3 2 3 2 9 2 9 3 , 2 2 9 2 3 2 27 4 思路分析思路分析 过点B作x轴的垂线,构造两个相似的三角形,利用相似比求出边长,进而求出点B的坐标,最后 可得k的值. 解后反思解后反思 等腰直角三角形的性质和判定、相似比以及反比例函数图象上点的坐标特征是解决问题的 必备知识,恰当地将线段的长与坐标互相转化,使问题得以解决. 2.(2018陕西,6,3分)如图,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为D,ABC的平分线交 AD于点E,则A
16、E的长为( ) A.2 B.3 C. D. 22 4 3 2 8 3 2 答案答案 D AC=8,C=45,ADBC,AD=ACsin 45=4,过点E作EFAB于点F,BE是ABC的平 分线,DE=EF,ABC=60,ADBC,BAE=30,在RtAEF中,EF=AE,又AD=4,DE=EF, AE=AD= ,故选D. 2 1 2 2 2 3 8 3 2 思路分析思路分析 首先利用AC的长及C的正弦求出AD的长,进而通过角平分线的性质及含30度角的直角三 角形的性质确定DE和AE的数量关系,最后求出AE的长. 3.(2017辽宁大连,8,3分)如图,在ABC中,ACB=90,CDAB,垂足为
17、D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则 AB的长为( ) A.2a B.2a C.3a D.a 2 4 3 3 答案答案 B CDAB,CD=DE=a,CE=a,在ABC中,ACB=90,点E是AB的中点,AB=2CE= 2a,故选B. 2 2 4.(2020河北,16,2分)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种 正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按图中的方式组成图案,使所围成的三角形 是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是( ) A.1,4,5 B.2,3,5 C.3,4,5 D.2,2,4 答案答案 B
18、围成的三角形的三边长就是正方形纸片的边长,根据勾股定理可知选取的三块纸片的面积的 关系为两个面积较小的正方形纸片的面积和等于最大的正方形纸片的面积,所以选项C不符合题意.其 他三个选项,A选项中,直角三角形的面积为1;B选项中,直角三角形的面积为;D选项中,直角三角形的 面积为1,所以选取的三块纸片的面积分别是2,3,5时,所围成的三角形面积最大,故选B. 6 2 解题关键解题关键 熟练掌握勾股定理在直角三角形中的应用,以及直角三角形面积的计算是解本题的关键. 5.(2019内蒙古呼和浩特,12,3分)下面三个命题:底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;两边及 其中一边上的中线对应相等的两个
19、三角形全等;斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全 等.其中正确的命题的序号为 . 答案答案 解析解析 等腰三角形的顶角相等,则它们的底角也相等,又因为底边对应相等,所以由AAS或ASA判定两等 腰三角形全等,命题正确;先由SSS证明两三角形中线同侧的三角形全等,得两边的夹角对应相等,再由 SAS证得原两三角形全等,命题正确;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,所以仅有斜边相等不 能证得两个直角三角形全等,命题错误.故正确的命题是. 6.(2019贵州贵阳,25,12分) (1)数学理解:如图,ABC是等腰直角三角形,过斜边AB的中点D作正方形DECF,分别交BC,AC于 点E,F,求
20、AB,BE,AF之间的数量关系; (2)问题解决:如图,在任意直角ABC内,找一点D,过点D作正方形DECF,分别交BC,AC于点E,F,若AB= BE+AF,求ADB的度数; (3)联系拓广:如图,在(2)的条件下,分别延长ED,FD,交AB于点M,N,求MN,AM,BN的数量关系. 解析解析 (1)四边形DECF为正方形且D为等腰直角ABC斜边AB的中点, AF=FC=CE=EB=DE=FD, 在RtAFD和RtBED中,AD=AF,BD=BE, AB=AD+BD=(AF+BE). (2)四边形DECF是正方形, DF=DE, 将ADF以点D为旋转中心,逆时针旋转90得到ADE,如图, A
21、D=AD,AF=AE,且ADA=90. 22 2 AB=BE+AF,AB=BE+AE=AB. 在ABD和ABD中, ABDABD,ADB=ADB, ADB= =135. (3)由(2)得,AD,BD分别是CAB和CBA的平分线, MAD=FAD,NBD=EBD, 由题意得EMCA,FNCB, MDA=FAD,NDB=EBD, MDA=MAD,NDB=NBD, AM=MD,ND=BN. 在RtMDN中,MN2=MD2+ND2, MN2=AM2+BN2. , , , ADAD ABAB BDBD 思路分析思路分析 (1)根据题意得出ADF和BDE均为等腰直角三角形,AD=AF,BD=BE,进而得出
22、结 果;(2)将ADF绕点D逆时针旋转90,得到ADE,进一步证明ABD与ABD全等,得出ADB=ADB, 进而求出ADB的度数;(3)由(2)易得AD平分BAC,BD平分ABC,结合EMAC,FNBC,得出AM= DM,DN=BN,最后根据勾股定理得出结论. 22 难点突破难点突破 对于第(3)问,三条线段在同一直线上,利用“角平分线+平行”得出等腰ADM和等腰BDN, 把所求三条线段转化为直角三角形DMN的三边,问题迎刃而解. 7.(2020北京,27,7分)在ABC中,C=90,ACBC,D是AB的中点.E为直线AC上一动点,连接DE,过点D作 DFDE,交直线BC于点F,连接EF. (
23、1)如图1,当E是线段AC的中点时,设AE=a,BF=b,求EF的长(用含a,b的式子表示); (2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系,并证明. 解析解析 (1)D,E分别是AB,AC的中点, DEBC, DEDF, EDF=90, DFB=90. C=90, DFAC. BD=DA, =1. BF=FC, AE=a,BF=b, 在RtECF中,EF=.(2分) (2)依题意补全图形,如图. BF FC BD DA 22 CECF 22 AEBF 22 ab 线段AE,EF,BF之间的数量关系:AE2+BF2=EF2. 证明:延长ED至
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