2021年河南中考数学复习练习课件：§4.3　等腰三角形与直角三角形.pptx

1、 中考数学 （河南专用） 第四章 图形的认识 4.3 等腰三角形与直角三角形 考点一 等腰三角形 1.(2020河南,10,3分)如图,在ABC中,AB=BC=,BAC=30,分别以点A,C为圆心,AC的长为半径作弧, 两弧交于点D,连接DA,DC,则四边形ABCD的面积为 ( ) A.6 B.9 C.6 D.3 3 33 答案答案 D 根据作图可知ACD为等边三角形.在ABC中,作BEAC于点E,在RtAEB中,AE=AB cos 3 0=,BE=AB=,AB=BC,AC=2AE=3,S四边形ABCD=SACD+SABC=AC2+AC BE=3.故选D. 3 2 1 2 3 2 3 4 1

2、2 3 思路分析思路分析 根据作图知ACD为等边三角形,依据ABC中的条件求得AC的长及AC边上的高,进而求 得四边形ABCD的面积. 2.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该 结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是( ) A.作APB的平分线PC交AB于点C B.过点P作PCAB于点C且AC=BC C.取AB中点C,连接PC D.过点P作PCAB,垂足为C 答案答案 B 无论作APB的平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PCAB,垂足为C, 都可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,

3、D的作法正确.故选B. 3.(2016湖北武汉,10,3分)平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0),若在坐标轴上取点C,使ABC为等腰三 角形,则满足条件的点C的个数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案答案 A 如图,当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除外),即O(0, 0),C0(0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;当AB=BC时,以点B为圆心,AB长为半径作圆,与坐标 轴有两个交点,均符合题意;当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标轴有两个交点,均符合题意.所以满 足条件的点C有5个,故选A. 4.(2017河南,

4、14,3分)如图1,点P从ABC的顶点B出发,沿BCA匀速运动到点A.图2是点P运动时,线段 BP的长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则ABC的面积是 . 答案答案 12 解析解析 观察题图可知BC=BA=5.当BPAC时,BP=4, 此时AP=CP=3,所以AC=6, 所以SABC=64=12. 22 -BC BP 1 2 5.(2019四川成都,12,4分)如图,在ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,BAD=CAE,若BD=9,则CE的长 为 . 答案答案 9 解析解析 AB=AC,B=C. 又BAD=CAE,BADCAE(ASA),CE=BD=9. 6.(2

5、019黑龙江齐齐哈尔,16,3分)等腰ABC中,BDAC,垂足为点D,且BD=AC,则等腰ABC底角的度 数为 . 1 2 答案答案 15或45或75 解析解析 如图,当BA=BC时, BDAC, AD=CD=AC, BD=AC, AD=BD=CD, 1 2 1 2 A=C=(180-90)=45. 如图,当AB=AC且A为锐角时, BD=AC=AB, A=30, ABC=ACB=75. 如图,当AB=AC且BAC为钝角时, 1 2 1 2 1 2 BD=AC=AB,BAD=30,ABC=ACB=30=15. 同理,当BC=AC时,可求得CBA=CAB=75或15. 故答案为15或45或75.

6、 1 2 1 2 1 2 方法点拨方法点拨 等腰三角形中没有指明顶角、底角或者没有指明底边、腰的都需要分类讨论. 7.(2020广东,20,6分)如图,在ABC中,点D,E分别是AB、AC边上的点,BD=CE,ABE=ACD,BE与CD相 交于点F.求证:ABC是等腰三角形. 证明证明 BD=CE,ABE=ACD,DFB=EFC, DFBEFC.(3分) FB=FC.FBC=FCB. FBC+ABE=FCB+ACD,即ABC=ACB. ABC是等腰三角形.(6分) 思路分析思路分析 首先证明DFBEFC,得到FB=FC,进而证得FBC=FCB,推理得到ABC=ACB,根 据等腰三角形的判定得证

7、. 解题关键解题关键 解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定. 1.(2020陕西,6,3分)如图,在33的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上.若BD是ABC 的高,则BD的长为( ) A. B. C. D. 10 13 13 9 13 13 8 13 13 7 13 13 考点二 直角三角形 答案答案 D 由题图可知SABC=33-12-23-31=9-1-3-=,AC=.SABC= AC BD,BD=,故选D. 1 2 1 2 1 2 3 2 7 2 22 2313 1 2 2 ABC S AC 7 13 7 13 13 2.(2016河南,6,3

8、分)如图,在ABC中,ACB=90,AC=8,AB=10.DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案答案 D 在ABC中,ACB=90,DE垂直平分AC,AD=DC,DEBC,E为AB的中点,DE=BC, BC=6,DE=BC=3.故选D. 1 2 22 -AB AC 1 2 3.(2018陕西,6,3分)如图,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为D,ABC的平分线交 AD于点E,则AE的长为( ) A.2 B.3 C. D. 22 4 3 2 8 3 2 答案答案 D AC=8,C=45,ADBC,AD=AC sin 4

9、5=4,过点E作EFAB于点F,BE是ABC的 平分线,DE=EF,ABC=60,ADBC,BAE=30,在RtAEF中,EF=AE,又AD=4,DE=EF, AE=AD= ,故选D. 2 1 2 2 2 3 8 3 2 思路分析思路分析 首先利用AC的长及C的正弦求出AD的长,进而通过角平分线的性质、含30角的直角三角 形的性质确定EF和AE的数量关系,最后求出AE的长. 4.(2017河南,15,3分)如图,在RtABC中,A=90,AB=AC,BC=+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿 MN所在的直线折叠B,使点B的对应点B落在边AC上.若MBC为直角三角形,则BM的长为 . 2

10、 始终 答案答案 或1 21 2 解析解析 在RtABC中,A=90,AB=AC,B=C=45. (1)当MBC=90时,BMC=C=45.设BM=x,则BM=BC=x,在RtMBC中,由勾股定理得MC=x, x+x=+1,解得x=1,BM=1. 2 22 (2)如图,当BMC=90时,点B与点A重合, 此时BM=BM=BC=. 综上所述,BM的长为或1. 1 2 21 2 21 2 5.(2018河南,15,3分)如图,MAN=90,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,ABC与 ABC关于BC所在直线对称.点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交AB所在直线于点

11、F,连接AE.当 AEF为直角三角形时,AB的长为 . 答案答案 4或4 3 解析解析 (1)当点A在直线DE下方时,如图1,CAF=90,EAFCAF,AEF为钝角三角形,不符 合;(2)当点A在直线DE上方时,如图2.当AFE=90时,DEAB,EDA=90,ABAC.由对称知 四边形ABAC为正方形,AB=AC=4;当点A在直线DE上方时,如图3.当AEF=90时,AEAC,A EC=ACE=ACE,AC=AE.AE=EC,ACE为等边三角形,ACB=ACB=60,在RtACB 中,AB=AC tan 60=4;当点A在直线DE上方时,EAFCAB,不可能为90. 综上所述,当AEF为直

12、角三角形时,AB的长为4或4. 图1 图2 图3 3 3 方法总结方法总结 解对称(折叠)型问题,当对称轴过定点时,一般要找出对称中的定长线段,以定点为圆心,定长 为半径作辅助圆来确定对称点的轨迹是较为有效的方法.再根据题目中所要求的条件,结合全等、相似 或勾股定理等计算得出结果. 思路分析思路分析 由题意知,点B为边AN上的动点,A点的对称点A可以在直线DE的下方或上方.分类讨论,当点 A在DE的下方时,AEF不可能为直角三角形,当点A在直线DE上方时,AEF或AFE为90时分别计 算AB的长,显然EAF90,可以排除. 6.(2020江苏苏州,26,10分)问题1:如图,在四边形ABCD中

13、,B=C=90,P是BC上一点,PA=PD,APD= 90.求证:AB+CD=BC. 问题2:如图,在四边形ABCD中,B=C=45,P是BC上一点,PA=PD,APD=90.求的值. ABCD BC 解析解析 问题1:证法一:B=90, APB+BAP=90. APD=90, APB+CPD=90. BAP=CPD. 在APB和PDC中, APBPDC(AAS). AB=PC,BP=CD,AB+CD=PC+PB=BC. 证法二:同证法一,可得BAP=CPD,设BAP=CPD=. 在RtABP中,BP=PA sin ,AB=PA cos , 在RtPCD中,CD=PD sin ,PC=PD c

14、os , 又PA=PD,AB=PC,BP=CD, AB+CD=PC+BP=BC. , , , BC BAPCPD PADP 问题2:如图,分别过点A、D作BC的垂线,垂足为E、F. 由问题1可知AE+DF=EF, 在RtABE和RtDFC中,B=C=45, AE=BE,DF=CF,AB=AE,CD=DF. BC=BE+EF+CF=2(AE+DF),AB+CD=(AE+DF). sin45? AE 2 sin45? DF 2 2 =. ABCD BC 2() 2() AEDF AEDF 2 2 解题关键解题关键 本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形边与角之间的关系,通过作辅助线 构造

15、“K”字型全等三角形是解决本题的关键. 7.(2018安徽,23,14分)如图1,RtABC中,ACB=90.点D为边AC上一点,DEAB于点E.点M为BD的中点, CM的延长线交AB于点F. (1)求证:CM=EM; (2)若BAC=50,求EMF的大小; (3)如图2,若DAECEM,点N为CM的中点.求证:ANEM. 图1 图2 解析解析 (1)证明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M为斜边BD的中点, CM=BD. 又DEAB,同理,EM=BD, CM=EM.(4分) (2)由已知得,CBA=90-50=40. 又由(1)知CM=BM=EM, CME=CMD+DME=2(CBM+

16、EBM) =2CBA=240=80, EMF=180-CME=100.(9分) (3)证明:DAECEM, CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM. 又CM=DM=EM, DM=DE=EM, 1 2 1 2 DEM是等边三角形, MEF=DEF-DEM=30. 证法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30, =, 又NM=CM=EM=AE, FN=FM+NM=EF+AE=(AE+EF)=AF. =. 又AFN=EFM, AFNEFM,NAF=MEF, ANEM.(14分) 证法二:连接AM,则EAM=EMA=MEF=15, MF EF 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2

17、1 2 1 2 MF EF FN AF 1 2 1 2 AMC=EMC-EMA=75, 又CMD=EMC-EMD=30,且MC=MD, ACM=(180-30)=75. 由可知AC=AM, 又N为CM的中点, ANCM, 1 2 又EMCF,ANEM.(14分) 思路分析思路分析 (1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证;(2)由直角三角形中两锐角互余求出 CBA,由等腰三角形的性质可得MEB=MBE,MCB=MBC,从而可得CME=DME+CMD=2 (CBM+EBM),最后由邻补角性质求出EMF;(3)由DAECEM可推出DEM为等边三角形,从 而可得MEF=30,下面证ANEM

18、有两个思路:一是根据直角三角形30角所对直角边等于斜边的一半 可得=,又点N是CM的中点,可推出=,从而可证AFNEFM,进一步即可证明ANEM;二 是连接AM,计算可得AMC=ACM,而N是CM的中点,从而ANCM,进一步即可证明ANEM. MF EF 1 2 NF AF 1 2 1.(2020四川南充,6,4分)如图,在等腰ABC中,BD为ABC的平分线,A=36,AB=AC=a,BC=b,则CD= ( ) A. B. C.a-b D.b-a 2 ab- 2 a b 考点一 等腰三角形 教师专用题组 答案答案 C AB=AC,A=36, ABC=C=72, BD为ABC的平分线, ABD=

19、DBC=ABC=36, BDC=72=C,ABD=A, BD=BC,BD=AD, AD=BC=b, CD=AC-AD=a-b. 故选C. 1 2 2.(2018内蒙古包头,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC,ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且DAE=90,AD =AE.若C+BAC=145,则EDC的度数为( ) A.17.5 B.12.5 C.12 D.10 答案答案 D AB=AC,B=C.B=180-(C+BAC)=35,C=35.DAE=90,AD=AE, AED=ADE=45,EDC=AED-C=45-35=10.故选D. 3.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在ABC中

20、,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,B=60 ,C=25,则BAD为( ) A.50 B.70 C.75 D.80 答案答案 B 因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以DAC=C=25,所以ADC=180-(25+ 25)=130.因为ADC=B+BAD,所以BAD=ADC-B=130-60=70,故选B. 4.(2018福建,5,4分)如图,等边三角形ABC中,ADBC,垂足为D,点E在线段AD上,EBC=45,则ACE等 于( ) A.15 B.30 C.45 D.60 答案答案 A 由三角形ABC是等边三角形,ADBC,垂足为点D,可得ACB=60,

21、且点D是BC的中点,所以 AD垂直平分BC,所以EC=EB,根据等边对等角,得到ECB=EBC=45,故ACE=ACB-ECB=60-45 =15. 5.(2017内蒙古包头,6,3分)若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形的底边长为 ( ) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 答案答案 A 当腰长为2 cm时,底边长为6 cm,但是2+2=46,即两边之和小于第三边,不合题意;当底边长为 2 cm时,腰长为4 cm,符合题意,故选A. 6.(2017湖北武汉,10,3分)如图,在RtABC中,C=90,以ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的

22、第三 个顶点在ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案答案 D 如图1,以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则BCD就是等腰三角形; 如图2,以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,则ACE就是等腰三角形; 如图3,以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于M,交AC于点F,则BCM、BCF是等腰三角形; 如图4,作AC的垂直平分线交AB于点H,则ACH就是等腰三角形; 如图5,作AB的垂直平分线交AC于点G,则AGB就是等腰三角形; 如图6,作BC的垂直平分线交AB于I,则BCI就是等腰三角形. 故选D. 7.(2020海

23、南,15,4分)如图,在ABC中,BC=9,AC=4,分别以点A、B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧 相交于点M,N,作直线MN,交BC边于点D,连接AD,则ACD的周长为 . 1 2 答案答案 13 解析解析 根据作图可知MN垂直平分线段AB, AD=BD, BC=BD+DC=9, AD+DC=9. AC=4,ACD的周长为AC+AD+DC=4+9=13. 思路分析思路分析 首先根据尺规作图可得MN垂直平分线段AB,即可得AD=BD,又由BC的长求得AD+DC的长, 则可求得ACD的周长. 8.(2020辽宁营口,17,3分)如图,ABC为等边三角形,边长为6,ADBC,垂足为点D,点E

24、和点F分别是线段 AD和AB上的两个动点,连接CE,EF,则CE+EF的最小值为 . 答案答案 3 3 解析解析 过C作CFAB于点F,交AD于E,此时CE+EF的值最小,且CE+EF的最小值为CF的长. ABC为等边三角形,边长为6, BF=AB=6=3, CF=3, CE+EF的最小值为3. 1 2 1 2 22 -BC BF 22 6 -33 3 解题关键解题关键 解决本题的关键是将CE+EF的最小值转化为点C到直线AB的距离,进而借助勾股定理求出 线段CF的长. 9.(2020吉林,25,10分)如图,ABC是等边三角形,AB=4 cm.动点P从点A出发,以2 cm/s的速度沿AB向点

25、B 匀速运动,过点P作PQAB,交折线AC-CB于点Q,以PQ为边作等边三角形PQD,使点A,D在PQ异侧.设点P 的运动时间为x(s)(0x2),PQD与ABC重叠部分图形的面积为y(cm2). (1)AP的长为 cm(用含x的代数式表示); (2)当点D落在边BC上时,求x的值; (3)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围. 解析析 (1)2x.(2分) 详解:根据“路程=速度时间”可得AP=2x(cm). (2)如图,根据题意,得4x+2x=4,解得x=. 图 当点D落在边BC上时,x=.(4分) (3)如图,当0x时,y=(2x)2=3x2. y=3x2.(6分) 2 3

26、2 3 2 3 3 4 33 3 图 图 图 如图,当x1时,y=3x2-(3x-2)2 =- x2+18x-6. y=- x2+18x-6.(8分) 如图,当1x2时,y=(4-2x)2 =(x-2)2. y=(x-2)2.(10分) 2 3 3 3 3 2 21 2 333 21 2 333 1 2 3 3 4 3 3 2 3 3 2 2 3 3 -6 36 3 2 yxx 或 难点突破难点突破 对于第(3)问,先利用第(2)问所求x的值及点Q与点C重合时x的值,分0x、x1和1x0), 则FG=x,BF=4-x. 又BG=AB-AG=5-3=2, 在RtBFG中,由BF2=FG2+BG2

27、,得(4-x)2=x2+22, 解得x=, CE=CF=.选A. 3 2 3 2 4.(2016安徽,10,4分)如图,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4.P是ABC内部的一个动点,且满足PAB= PBC.则线段CP长的最小值为( ) A. B.2 C. D. 3 2 8 13 13 12 13 13 答案答案 B PAB=PBC,PBC+ABP=90,PAB+ABP=90,P=90.设AB的中点为O,则P 在以AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,OB=AB=3,BC=4,OC=5,又OP =AB=3,线段CP长的最小值为5-3=2,故选B. 1 2 22 34

28、1 2 5.(2020广东,17,4分)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠, 等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图, ABC=90,点M,N分别在射线BA,BC上,MN的长度始终保持不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA,BC的距 离分别为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为 . 答案答案 2-2 5 解析解析 连接BE,在此滑动过程中,MN的长度始终保持不变,ABC=90,BE=MN,长度也始终保持不 变.显然点E在以点B为圆心,MN的长为半径的圆弧上.如图,当B、D、E三点共线时,D

29、E有最小值. ABC=90,MN=4,E为MN的中点,BE=2. 点D到BA,BC的距离分别为4和2, BD=2, DE最小值=BD-BE=2-2. 1 2 1 2 22 425 5 解题关键解题关键 确定猫与老鼠的距离DE的最小值需判断点E的运动轨迹,利用直角三角形斜边的中线等于 斜边的一半确定点E在以点B为圆心,MN的长为半径的圆弧上是解题的关键. 1 2 6.(2019内蒙古呼和浩特,12,3分)下面三个命题:底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;两边及 其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全 等.其中正确的命题的序号为 . 答案答案 解

30、析解析 等腰三角形的顶角相等,则它们的底角也相等,又因为底边对应相等,所以由AAS或ASA判定两等 腰三角形全等,命题正确;先由SSS证明两三角形中线同侧的三角形全等,得两边的夹角对应相等,再由 SAS证得原两三角形全等,命题正确;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,所以仅有斜边相等不 能证得两个直角三角形全等,命题错误.故正确的命题是. 7.(2018福建,13,4分)如图,RtABC中,ACB=90,AB=6,D是AB的中点,则CD= . 答案答案 3 解析解析 依题意可知CD是直角三角形ABC斜边上的中线,由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半”可得CD=AB=3. 1 2 8.(

31、2017吉林,11,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩 形ABCD.若点B的对应点B落在边CD上,则BC的长为 . 答案答案 1 解析解析 由题意可知,AB=AB=5,在RtADB中,利用勾股定理可得DB=4,所以BC=1. 思路分析思路分析 在RtABD中,利用勾股定理求出BD的长,即可求出BC的长. 9.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的 中点,连接DG,则DG的长为 . 答案答案 19 2 解析解析 连接DE,在等边ABC中, D、E分别是AB、B

32、C的中点, DEAC,DE=EC=AC=2.DEB=C=60. EFAC,EFC=90.FEC=30,EF=. DEG=180-60-30=90. G是EF的中点,EG=. 1 2 3 3 2 在RtDEG中,DG=. 22 DEEG 2 2 3 2 2 19 2 疑难突破疑难突破 本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段DG的长, DG与图中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股定理求出DG的长. 思路分析思路分析 连接DE,根据题意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度数,判断出DEG是直角三角 形,再根据勾股定理即可求解DG

33、的长. 10.(2018云南,6,3分)在ABC中,AB=,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为 . 34 答案答案 1或9 解析解析 分两种情况讨论: BC边上的高在ABC内时,如图,过A作ADBC于点D. 在RtABD中,AB=,AD=3,BD=5. 在RtACD中,AC=5,AD=3,CD=4.BC=BD+CD=9. BC边上的高位于ABC外时,如图,同可求得BD=5,CD=4,BC=1. 综上,BC的长为1或9. 34 22 -AB AD 22 -AC AD 易错警示易错警示 本题容易只考虑BC边上的高在ABC内的情况而导致漏解. 思路分析思路分析 根据题意画图,要考虑全面,

34、利用勾股定理解直角三角形即可. 11.(2017山西,15,3分)一副三角板按如图方式摆放,得到ABD和BCD,其中ADB=BCD=90,A=6 0,CBD=45.E为AB的中点,过点E作EFCD于点F.若AD=4 cm,则EF的长为 cm. 答案答案 (+) 26 解析解析 如图,连接DE,过点E作EMBD于点M,设EF交BD于点N,AD=4 cm,A=60,AB=8 cm,DB=4 cm,点E为AB的中点,EMBD,DE=AB=4 cm,EM=AD=2 cm,由等腰直角三角形的性质可知 ENM=FND=45,在RtENM中,EN=EM=2 cm,MN=EM=2 cm,DN=DM-MN=DB

35、-MN=(2- 2)cm,在RtDFN中,FN=DN=(-)cm,EF=EN+FN=2+-=(+)cm. 3 1 2 1 2 22 1 2 3 2 2 6226226 一题多解一题多解 过点A作AGCD的延长线于点G,CDB=CBD=45,ADB=90,ADG=45,AG= =2 cm,ABD=30,BD=AD=4 cm,CBD=45,BC=2 cm,AGCG,EF CG,CBCG,AGEFBC,E是AB的中点,点F为CG的中点,EF=(AG+BC)=(2+2)=( +)cm. 2 AD 233 2 BD 6 1 2 1 2 262 6 12.(2016宁夏,14,3分)如图,RtAOB中,A

36、OB=90,OA在x轴上,OB在y轴上,点A,B的坐标分别为(,0), (0,1).把RtAOB沿着AB对折得到AOB,则点O的坐标为 . 3 答案答案 3 3 , 22 解析解析 如图,作OCOA,垂足为C,在RtAOB中,OA=,OB=1,AOB=90,tanBAO=,BAO= 30,由题意可得AO=AO=,OAB=OAB=30,OAO=60.在RtOAC中,AC=AO cos 60=,O C=AO sin 60=,OC=AO-AC=,O. 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 , 22 13.(2020山西,20,8分)阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记,请仔细阅读,并完成相

37、应的任务. 年月日 星期日 没有直角尺也能作出直角 今天,我在书店一本书上看到下面材料:木工师傅有一块如图所示的四边形木板,他已经在木板上画出 一条裁割线AB,现根据木板的情况,要过AB上的一点C,作出AB的垂线,用锯子进行裁割,然而手头没有直 角尺,怎么办呢? 办法一:如图,可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30 cm,然后分别以D,C为圆心,以50 cm与40 cm为半径画圆弧,两弧相交于点E,作直线CE,则DCE必为90. 办法二:如图,可以取一根笔直的木棒,用铅笔在木棒上点出M,N两点,然后把木棒斜放在木板上,使点M 与点C重合,用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q,保持点N

38、不动,将木棒绕点N旋转,使点M落在 AB上,在木板上将点M对应的位置标记为点R.然后将RQ延长,在延长线上截取线段QS=MN,得到点S,作直 线SC,则RCS=90. 我有如下思考:以上两种办法依据的是什么数学原理呢?我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢? 任务: (1)填空:“办法一”依据的一个数学定理是 ; (2)根据“办法二”的操作过程,证明RCS=90; (3)尺规作图:请在图的木板上,过点C作出AB的垂线(在木板上保留作图痕迹,不写作法); 图 说明你的作法所依据的数学定理或基本事实(写出一个即可). 解析解析 (1)勾股定理的逆定理(或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么

39、这个三角形是直角三 角形).(2分) (2)证明:由作图方法可知QR=QC,QS=QC, QCR=QRC,QCS=QSC.(4分) 又SRC+RCS+RSC=180, QCR+QCS+QRC+QSC=180,(5分) 2(QCR+QCS)=180. QCR+QCS=90.即RCS=90.(6分) (3)如图,直线CP即为所求.(7分) 答案不唯一,如:三边分别相等的两个三角形全等(或SSS);等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、 底边上的中线重合(或等腰三角形“三线合一”);到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂 直平分线上等.(8分) 解题关键解题关键 抓住作图方法及SRC+RCS+

40、RSC=180是证明RCS为直角的关键. 14.(2020北京,27,7分)在ABC中,C=90,ACBC,D是AB的中点.E为直线AC上一动点,连接DE,过点D 作DFDE,交直线BC于点F,连接EF. (1)如图1,当E是线段AC的中点时,设AE=a,BF=b,求EF的长(用含a,b的式子表示); (2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系,并证明. 解析解析 (1)D,E分别是AB,AC的中点, DEBC, DEDF, EDF=90, DFB=90. C=90, DFAC. BD=DA, =1. BF=FC, AE=a,BF=b, 在

41、RtECF中,EF=.(2分) BF FC BD DA 22 CECF 22 AEBF 22 ab (2)依题意补全图形,如图. 线段AE,EF,BF之间的数量关系:AE2+BF2=EF2. 证明:延长ED至点G,使得DG=DE,连接BG,FG. DEDF, FE=FG. D为AB的中点, AD=BD, ADE=BDG, ADEBDG, AED=BGD,AE=BG. CEBG, GBF=ACB=90. 在RtGBF中,BG2+BF2=GF2, AE2+BF2=EF2.(7分) 一题多解一题多解 (2)过点D作BC的垂线,垂足为H,可知H为BC的中点,过点D作AC的垂线,垂足为G,可知G为AC

42、的中点, 可得EF2=DE2+DF2=DG2+EG2+DH2+FH2 =+ =BC2+AC2+AE AC-BF BC+AE2+BF2, EF2=EC2+CF2=(AE+AC)2+(BF-BC)2=AC2+2AE AC+BC2-2BF BC+AE2+BF2, 2-可得EF2=AE2+BF2. 2 1 2 BC 2 1 2 AEAC 2 1 2 AC 2 1 - 2 BFBC 1 2 1 2 1.(2020焦作一模,9)如图,在ABC中,AB=AC,尺规作图: (1)分别以B,C为圆心,BC长为半径作弧,两弧交于点D; (2)作射线AD,连接BD,CD. 则下列结论中错误的是( ) A.BAD=C

43、AD B.BCD是等边三角形 C.AD垂直平分BC D.S四边形ABDC=AD BC A组 20182020年模拟基础题组 时间:35分钟 分值:45分 一、选择题(每小题3分,共21分) 答案答案 D 由题意知,AD垂直平分BC,DB=DC=BC,BCD是等边三角形,易证BADCAD, BAD=CAD,故选项A,B,C正确,S四边形ABDC=AD BC,选项D错误.故选D. 1 2 2.(2020开封一模,8)如图,RtABC中,C=90,AC=6,BC=8,以点A为圆心,BC的长为半径作弧交AB于点D, 再分别以点A,D为圆心,以AB,AC的长为半径作弧交于点E,连接AE,DE,若点F为A

44、E的中点,则DF的长为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.8 答案答案 B 由作图可知ADEBCA,ADE=C=90,AE=AB.又AC=6,BC=8,C=90,AB=10, 点F为AE的中点,DF=AE=AB=5.故选B. 1 2 1 2 3.(2020安阳一模,8)如图,CD是ABC的边AB上的中线,将线段AD绕点D顺时针旋转90后,点A的对应点 E恰好落在AC边上.若AD=,BC=,则AC的长为( ) A. B.3 C.2 D.4 25 73 答案答案 B 连接BE,由旋转得DE=AD=,ADE=90,又BD=AD=,易得AEB=90,AE=BE=2,在Rt BEC中,CE=1,AC=

45、AE+EC=3.故选B. 22 22 -BC BE5-4 4.(2020郑州二模,9)如图,在RtABC中,BAC=90,AB=AC,点D为BC中点,E为边AB上一动点(不与A,B点 重合),以点D为直角顶点,以射线DE为一边作MDN=90,另一条边DN与边AC交于点F.下列结论中正确 的是( ) BE=AF;DEF是等腰直角三角形;无论点E,F的位置如何变化,总有EF=DF+CF成立;四边形 AEDF的面积随着点E,F的位置不同发生变化. A. B. C. D. 答案答案 C AB=AC,D是BC的中点, B=C,BD=CD,ADCD, ADC=90,ADN+CDF=90, MDN=90,E

46、DA+ADN=90, EDA=CDF,BED=AFD, BDE=ADF,又BD=AD, BEDAFD, BE=AF,DE=DF, DEF是等腰直角三角形,无法判断EF=DF+CF成立, 无论点E,F的位置如何变化,S四边形AEDF=SABC. 综上,正确,错误.故选C. 1 2 5.(2019信阳二模,6)如图,已知DEBC,AB=AC,1=135,则C的度数是( ) A.55 B.45 C.35 D.65 答案答案 B DEBC,1+B=180,1=135,B=180-135=45,AB=AC,C=B=45, 故选B. 6.(2019郑州一模,5)如图,在ABC中,B=50,C=30,分别以

47、点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画 弧,两弧相交于点M,N,作直线MN交BC于点D,连接AD,则BAD的度数为( ) A.50 B.60 C.70 D.80 1 2 答案答案 C 在ABC中,B=50,C=30,BAC=180-B-C=100.由作图可知MN为AC的中垂 线,DA=DC,DAC=C=30.BAD=BAC-DAC=70.故选C. 7.(2018郑州一模,5)如图,已知ABC(AC3,不符合题意,舍去,所以t=3.故选B. 1 2 1 4- 2 t 1 2 15 4 1 2 1 4- 2 t 15 4 二、填空题(每小题3分,共15分) 4.(2020开封一模,15)RtABC中,C=90,A=30,AB=8,点D,E分别为AC,BC的中点,点F为AB边上一动 点,将A沿着DF折叠,点A的对应点为点G,且点G始终在直线DE的下方,连接GE,当GDE为直角三角 形时,线段AF的长为 . 答案答案 2或3 解析解析 C=90,A=30,AB=8,AC=4.点D,E分别为AC,BC的中点,AD=CD=2,DEAB, CDE=A=30.(i)当GDE=90时(如图1)