2021年河南中考数学复习练习课件:§8.5 二次函数与几何图形的综合题型.pptx
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1、 中考数学 (河南专用) 第八章 综合专题 8.5 二次函数与几何图形的综合题型 1.(2020陕西,24,10分)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点(3,12)和(-2,-3),与两坐标轴的交点分别为A,B,C,它的 对称轴为直线l. (1)求该抛物线的表达式; (2)P是该抛物线上的点,过点P作l的垂线,垂足为D,E是l上的点.要使以P、D、E为顶点的三角形与 AOC全等,求满足条件的点P,点E的坐标. 解析解析 (1)由题意,得解之,得 y=x2+2x-3.(3分) (2)由(1)可得,对称轴l为直线x=-1. 令y=0,则x2+2x-3=0. 解之,得x1=-3,x2=1.A(-3,
2、0),B(1,0). 令x=0,则y=-3.C(0,-3).OA=OC=3.(6分) PDE=AOC=90, 当PD=DE=3时,PDE与AOC全等. 设P(m,n),当点P在l右侧时,m-(-1)=3. m=2.n=22+22-3=5.P(2,5). E(-1,2)或E(-1,8).(9分) 当点P在l左侧时,由抛物线的对称性可知,P(-4,5)也满足条件. 相应的点E的坐标同上. 1293, -34-2, bc bc 2, -3. b c 满足条件的点P,点E的坐标为P(2,5)或P(-4,5),E(-1,2)或E(-1,8).(10分) 疑难突破疑难突破 (1)求抛物线的表达式,可利用待
3、定系数法列方程组解答.(2)由题意及图象可知AOC为直角 三角形,通过计算得知OA=OC=3,因此AOC为等腰直角三角形,所以以P、D、E为顶点的三角形与 AOC全等,即PD=DE=3时满足条件,所以对P点位置进行分类讨论(点P在l右侧和左侧),可以结合抛物线 的对称性进行说明. 2.(2020吉林,26,10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+与x轴正半轴交于点A,且点A的坐 标为(3,0),过点A作垂直于x轴的直线l.P是该抛物线上的任意一点,其横坐标为m,过点P作PQl于点Q;M 是直线l上的一点,其纵坐标为-m+.以PQ,QM为边作矩形PQMN. (1)求b的值; (
4、2)当点Q与点M重合时,求m的值; (3)当矩形PQMN是正方形,且抛物线的顶点在该正方形内部时,求m的值; (4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时,直接写出m的取值范围. 1 2 3 2 3 2 解析解析 (1)根据题意,得-32+3b+=0. 解得b=1.(2分) (2)根据题意,得点P的坐标为. PQl,点Q的坐标为. 点Q与点M重合,且点M的坐标为, -m2+m+=-m+.(3分) 解得m1=0,m2=4.(4分) (3)将y=-x2+x+配方,得y=-(x-1)2+2, 抛物线顶点的坐标为(1,2).(5分) 1 2 3 2 2 13 ,- 22 mm
5、m 2 13 3,- 22 mm 3 3,- 2 m 1 2 3 2 3 2 1 2 3 2 1 2 根据题意,得点N的坐标为. 如图. 图 顶点(1,2)在正方形PQMN的内部, -m+2, m-. 3 ,- 2 m m 3 2 1 2 PN=-m+-=m2-2m,PQ=3-m. 四边形PQMN是正方形, PN=PQ, m2-2m=3-m,(6分) m1=1+(舍去),m2=1-. m的值为1-.(7分) (4)当0m4时,抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小.(10分) 提示:如图、图. 3 2 2 13 - 22 mm 1 2 1 2 77 7 图 图 思路分析思
6、路分析 (1)将A点坐标代入函数解析式即可求得b的值; (2)分别表示出点Q、M的坐标,根据点Q、M的纵坐标相同列出方程求解即可; (3)根据抛物线顶点在正方形内部,得M点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标,即-m+2,得m的取值范 围,分别表示出PQ和PN的长度,根据矩形PQMN是正方形时PN=PQ,即可求得m的值; (4)根据函数图象对点P的位置进行分类讨论,结合点Q在点M的上方或在点M的下方分析即可. 3 2 解后反思解后反思 针对二次函数与几何综合的题目,首先要考虑的是代数与几何知识之间的相互关联,找出其 中的内在联系.尤其对于线段间的数量关系问题,常用解决方法为:利用函数解析式,用同一参
7、数分别 表示出两端点的坐标;根据所求线段的特点进行计算(平行于x轴的,其长度等于右端点的横坐标减去 左端点的横坐标;平行于y轴的,其长度等于上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标). 3.(2020海南,22,15分)抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,0)和点B(2,0),与y轴交于点C. (1)求该抛物线的函数表达式; (2)点P是该抛物线上的动点,且位于y轴的左侧. 如图1,过点P作PDx轴于点D,作PEy轴于点E,当PD=2PE时,求PE的长; 如图2,该抛物线上是否存在点P,使得ACP=OCB?若存在,请求出所有点P的坐标;若不存在,请说明 理由. 解析解析 (1)抛物线y=x2+bx
8、+c经过点A(-3,0)、B(2,0),(2分) 解得(4分) 抛物线的函数表达式为y=x2+x-6.(5分) (2)设PE=t(t0),则PD=2t, 因为点P是抛物线上的动点且位于y轴左侧,当点P在x轴上时,点P与A重合,不合题意,故舍去,因此分为以 下两种情况讨论: i.如图1,当点P在第三象限时,点P的坐标为(-t,-2t),则t2-t-6=-2t,即t2+t-6=0,(6分) 解得t1=2,t2=-3(舍去),PE=2.(7分) ii.如图2,当点P在第二象限时,点P的坐标为(-t,2t), 则t2-t-6=2t,即t2-3t-6=0,(8分) 解得t1=,t2=(舍去),PE=.(
9、9分) 9-30, 420. bc bc 1, -6, b c 333 2 3- 33 2 333 2 综上所述,PE的长为2或.(10分) 存在点P,使得ACP=OCB. 当x=0时,y=-6, C(0,-6),OC=6. 333 2 在RtAOC中,AC=3, 过点A作AHAC,交直线CP于点H, 则CAH=COB, 又ACP=OCB,CAHCOB, =,(11分) 过点H作HMx轴于点M,则HMA=AOC, MAH+OAC=90,OAC+OCA=90, MAH=OCA,HMAAOC, =,即=, MH=1,MA=2.(12分) 22 OAOC 22 36 5 AH AC OB OC 2
10、6 1 3 MH OA MA OC AH AC3 MH 6 MA1 3 i.如图3,当点P在第三象限时,点H的坐标为(-5,-1), 图3 由H(-5,-1)和C(0,-6)得直线CP的解析式为y=-x-6, 于是有x2+x-6=-x-6,即x2+2x=0, 解得x1=-2,x2=0(舍去), 点P的坐标为(-2,-4).(13分) ii.如图4,当点P在第二象限时,点H的坐标为(-1,1), 图4 由H(-1,1)和C(0,-6)得直线CP的解析式为y=-7x-6, 于是有x2+x-6=-7x-6,即x2+8x=0, 解得x1=-8,x2=0(舍去), 点P的坐标为(-8,50).(14分)
11、 综上所述,点P的坐标为(-2,-4)或(-8,50).(15分) 解后反思解后反思 对于(2)中的,由点A,B,C的坐标易得OBOC=13及AC的长.过点A作AHAC,过点H作 HMx轴于点M,分点P在第二象限和第三象限两种情况,易得HMAAOC,进而求出点H的坐标,这 样便可得到直线CP的解析式,联立直线的解析式和抛物线的解析式求出点P的坐标即可. 4.(2020广东,25,10分)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,点A,B分别位于原点的左、右两侧, BO=3AO=3,过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C,D,BC=CD. (1)求b,c的值; (2)求直线BD
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