2021年中考数学复习练习课件：§5.2　与圆有关的位置关系.pptx

1、 中考数学 5.2 与圆有关的位置关系 考点一 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 1.(2020广东广州,7,3分)如图,RtABC中,C=90,AB=5,cos A=,以点B为圆心,r为半径作B,当r=3时, B与AC的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 4 5 答案答案 B C=90,AB=5,cos A=, AC=AB cos A=5=4, BC=3. r=3,B与AC的位置关系是相切.故选B. AC AB 4 5 4 5 22 -AB AC 22 5 -4 2.(2019广东广州,5,3分)平面内,O的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可作O的切线的条数为

2、( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 答案答案 C 点P到点O的距离为2,O的半径为1,点P到圆心的距离大于半径,点P在O外.过圆 外一点可以作圆的两条切线,过点P可以作O的两条切线.故选C. 考点二 切线的判定与性质 1.(2020重庆A卷,5,4分)如图,AB是O的切线,A为切点,连接OA,OB,若B=20,则AOB的度数为( ) A.40 B.50 C.60 D.70 答案答案 D AB是O的切线,OAB=90, 又B=20,AOB=90-20=70,故选D. 2.(2019重庆A卷,4,4分)如图,AB是O的直径,AC是O的切线,A为切点,BC与O交于点D,连接OD.若 C

3、=50,则AOD的度数为( ) A.40 B.50 C.80 D.100 答案答案 C AC是O的切线,AB是O的直径, ABAC,CAB=90. C=50,B=180-90-50=40. AOD=2B=240=80,故选C. 3.(2020山西,18,7分)如图,四边形OABC是平行四边形,以点O为圆心,OC为半径的O与AB相切于点B,与 AO相交于点D,AO的延长线交O于点E,连接EB交OC于点F.求C和E的度数. 解析解析 连接OB.(1分) AB与O相切于点B,OBAB.OBA=90.(2分) 四边形OABC是平行四边形,ABOC. BOC=OBA=90.(3分) OB=OC,C=OB

4、C=(180-BOC)=(180-90)=45.(4分) 四边形OABC是平行四边形,A=C=45.(5分) AOB=180-A-OBA=180-45-90=45.(6分) E=DOB=AOB=45=22.5.(7分) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析 连接OB,由切线的性质可得OBAB,再由四边形OABC是平行四边形可得BOC=OBA=9 0,然后根据OB=OC可求C,根据圆周角定理可求E. 4.(2020陕西,23,8分)如图,ABC是O的内接三角形,BAC=75,ABC=45.连接AO并延长,交O于 点D,连接BD.过点C作O的切线,与BA的延长线相交于点E. (

5、1)求证:ADEC; (2)若AB=12,求线段EC的长. 解析解析 (1)证明:如图,连接OC. CE与O相切于点C,OCE=90.(1分) 又ABC=45,AOC=90. ADEC.(3分) (2)如图,过点A作AFEC,垂足为F. OA=OC,四边形AOCF为正方形. ABC=45,BAC=75, ACB=60.D=60. AD是直径, ABD=90,BAD=30. 在RtABD中,AD=8.(6分) AF=CF=OA=4. ADEC,E=BAD=30. 在RtAEF中,EF=12. EC=EF+FC=12+4.(8分) cos30? AB 3 3 tan30? AF 3 5.(2020

6、宁夏,23,8分)如图,在ABC中,B=90,点D为AC上一点,以CD为直径的O交AB于点E,连接CE, 且CE平分ACB. (1)求证:AE是O的切线; (2)连接DE,若A=30,求. BE DE 解析解析 (1)证明:连接OE.CE平分ACB,ACE=BCE. 又OE=OC,ACE=OEC, BCE=OEC,OEBC,(2分) AEO=B. 又B=90,AEO=90,OEAE, OE是O的半径,AE是O的切线.(4分) (2)解法一:CD是O的直径,DEC=90. 又DCE=ECB,DCEECB. =.(6分) BE DE CE CD A=30,B=90,ACB=60, DCE=ACB=

7、60=30. =cosDCE=cos 30=. =.(8分) 解法二:设OD=OC=r,在RtAOE中,A=30,OE=r,AO=2r, 即D为AO的中点,DE=AO=r.(6分) 在RtABC中,AC=3r,A=30,BC=r. 在RtBCE中,BC=r,BCE=30, BE=BC tan 30=r=r, 1 2 1 2 CE CD 3 2 BE DE 3 2 1 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 2 =.(8分) BE DE 3 2 思路分析思路分析 (1)连接OE,根据OE=OC及CE平分ACB可证OEBC,又B=90,从而可证OEAE,问题解 决.(2)解法一:先证DCEECB,

8、可得=,由A=30求出DCE的度数,再由cosDCE=求 出的值;解法二:设OD=OC=r,在RtAOE中求出OA、DE的长,在RtABC中求出BC的长,在RtBCE 中求出BE的长,从而求出的值. BE DE CE CD CE CD BE DE BE DE 6.(2019新疆,22,10分)如图,AB是O的直径,CD与O相切于点C,与AB的延长线交于点D,CEAB于点E. (1)求证:BCE=BCD; (2)若AD=10,CE=2BE,求O的半径. 解析解析 (1)证明:连接OC,AC, AB是直径,ACB=90, ACO+OCB=90, 又CD是O的切线,OCD=90, OCB+BCD=9

9、0. ACO=BCD.(2分) CEAB,CEB=90, BCE+ABC=90, A+ABC=90,BCE=A. OA=OC,A=ACO=BCD. BCE=BCD.(5分) (2)作BFCD于点F,得BFDCED, 由(1)得BF=BE. CE=2BE,=, 即CD=2BD.(7分) BCD=A,CDB=ADC,CBDACD, =. AD=10,BD=,AB=,OA=. O的半径为.(10分) BD CD BF CE BE CE 1 2 BD CD CD AD 5 2 15 2 15 4 15 4 7.(2019辽宁大连,23,10分)如图1,四边形ABCD内接于O,AC是O的直径,过点A的切

10、线与CD的延长线 相交于点P,且APC=BCP. (1)求证:BAC=2ACD; (2)过图1中的点D作DEAC,垂足为E(如图2).当BC=6,AE=2时,求O的半径. 解析解析 (1)证明:AC是O的直径,ABC=90, PA是O的切线, PAAC, PAC=90, APC=90-ACD, BCD=APC, BCD=90-ACD, ACB=BCD-ACD=90-2ACD, BAC=90-ACB=90-(90-2ACD)=2ACD. (2)连接DO并延长,与BC交于点F,如图. AOD=2ACD,BAC=2ACD, AOD=BAC, DFAB, DFC=ABC=90,DFBC, BF=FC=

11、3, DEAC, DEO=DFC=90, DOE=COF,OD=OC, DOECOF, DE=FC=3, 在RtDOE中,OD2=DE2+OE2,即OD2=32+(OD-2)2, 解得OD=,即O的半径为. 13 4 13 4 8.(2018天津,21,10分)已知AB是O的直径,弦CD与AB相交,BAC=38. (1)如图,若D为的中点,求ABC和ABD的大小; (2)如图,过点D作O的切线,与AB的延长线交于点P,若DPAC,求OCD的大小. AB 解析解析 (1)AB是O的直径, ACB=90. BAC+ABC=90. 又BAC=38, ABC=90-38=52. 由D为的中点,得=.

12、ACD=BCD=ACB=45. ABD=ACD=45. (2)如图,连接OD. AB AD BD 1 2 DP切O于点D, ODDP,即ODP=90. DPAC,BAC=38, P=BAC=38. AOD是ODP的外角, AOD=ODP+P=128. ACD=AOD=64. 又OA=OC,得ACO=BAC=38. 1 2 OCD=ACD-ACO=64-38=26. 考点三 三角形的内切圆 1.(2019云南,13,4分)如图,ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=5,BC=13, CA=12,则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( ) A.4 B.6.25 C.7

13、.5 D.9 答案答案 A AB=5,BC=13,AC=12,AB2+AC2=52+122=132=BC2, ABC为直角三角形,且A=90. AB,AC分别与O相切于点F,E, OFAB,OEAC, A=AEO=AFO=90, 又OE=OF, 四边形AEOF是正方形. 设OE=r,则AE=AF=r, 又ABC的内切圆O与BC,AC,AB分别相切于点D,E,F, BD=BF=5-r,CD=CE=12-r, BD+CD=BC,5-r+12-r=13,解得r=2, S阴影=22=4.故选A. 2.(2019内蒙古呼和浩特,24,9分)如图,以RtABC的直角边AB为直径的O交斜边AC于点D,过点D

14、作 O的切线与BC交于点E,弦DM与AB垂直,垂足为H. (1)求证:E为BC的中点; (2)若O的面积为12,AHD和BMH的外接圆面积之比为3,求DEC的内切圆面积S1和四边形 OBED的外接圆面积S2的比. 解析解析 (1)证明:连接OE, 在ODE和OBE中, ODEOBE, DOE=BOE=DOB, , , , ODOB OEOE EDEB 1 2 又DAB=DOB, DAB=BOE,OEAC, 又O是AB的中点, E为BC的中点. (2)AHD与MHB都是直角三角形,且DAH=HMB,AHDMHB, 其外接圆面积的比=3,=, 易得AHDMHB,=, 又DH=HM,=, BMH=3

15、0=DAH,C=60, 又易知O的半径为2,AB=4, 在RtABC中,可求得BC=4,AC=8, 1 2 2 AD BM AD BM 3 AD BM DH HB 3 HM HB 3 33 连接BD,由题意知BDC是直角三角形, 由(1)知E是斜边BC的中点,而C=60, CDE是等边三角形,且边长为2, CDE的内切圆的半径r1=, 又四边形ODEB的外接圆直径为OE,OE=AC=4, 四边形ODEB的外接圆的半径r2=2, =. 3 3 1 2 1 2 S S 1 12 考点一 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 教师专用题组 1.(2020广东,17,4分)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正

16、在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠, 等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图, ABC=90,点M,N分别在射线BA,BC上,MN的长度始终保持不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA,BC的距 离分别为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为 . 答案答案 2-2 5 解析解析 连接BE,在此滑动过程中,MN的长度始终保持不变,ABC=90,BE=MN,长度也始终保持不 变.显然点E在以点B为圆心,MN的长为半径的圆弧上.如图,当B、D、E三点共线时,DE有最小值. ABC=90,MN=4,E为MN的中点,BE=2. 点D

17、到BA,BC的距离分别为4和2, BD=2, DE最小值=BD-BE=2-2. 1 2 1 2 22 425 5 解题关键解题关键 确定猫与老鼠的距离DE的最小值需判断点E的运动轨迹,利用直角三角形斜边的中线等于 斜边的一半确定点E在以点B为圆心,MN的长为半径的圆弧上是解题的关键. 1 2 2.(2019河北,25,10分)如图1和图2,ABCD中,AB=3,BC=15,tanDAB=.点P为AB延长线上一点,过点A 作O切CP于点P,设BP=x. (1)如图1,x为何值时,圆心O落在AP上?若此时O交AD于点E,直接指出PE与BC的位置关系; (2)当x=4时,如图2,O与AC交于点Q,求

18、CAP的度数,并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小; (3)当O与线段AD只有一个公共点时,直接写出x的取值范围. 图1 图2 4 3 PQ 解析解析 (1)O切CP于点P, OPPC,即CPB=90. 由四边形ABCD是平行四边形得ADBC, tanCBP=tanDAB=, 设PC=4k,BP=3k,则BC=5k, 5k=15,即k=3.PC=12,BP=9.x=9.(2分) PE与BC垂直.(3分) 4 3 22 PCBP (2)如图,连接OP,OQ,作CKAB于点K,OHAP于点H, 同(1)得CK=12,BK=9. AK=AB+BK=12,CK=AK. CAP=ACK=45.(4分)

19、BP=4,AP=7, HP=AP=. 又PK=BK-BP=5,PC=13. HOP=90-OPH=CPK, RtHOPRtKPC. =,即=,OP=.(6分) POQ=2PAQ=90,l=.(8分) l.(9分) (3)x18.(10分) 详解:由(1)和(2)可知,满足(3)的点O在AP下方.如图, 1 2 7 2 OP PC PH CK13 OP 7 2 12 91 24 PQ 91 48 91 48 PQ 当O与AD切于点A时,两者只有一个公共点A,则OAD=OPC=90.由OA=OP得OAP=OPA, DAP=CBP=CPA, BC=PC.作CKAP于K,则BK=PK. 由(1)知,B

20、P=2BK=18,即x=18. 当x18时,趋势上点O越来越向右下,与线段AD只有一个公共点A,符合题意.x的取值范围是x18. 考点二 切线的判定与性质 1.(2019福建,9,4分)如图,PA,PB是O的两条切线,A,B为切点,点C在O上,且ACB=55,则APB等于 ( ) A.55 B.70 C.110 D.125 答案答案 B 连接OA,OB. PA,PB是O的两条切线,OAAP,OBPB. OAP=OBP=90. AOB=2ACB=255=110, APB=360-OAP-OBP-AOB =360-90-90-110=70.故选B. 2.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABO

21、C的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则DOE= . 答案答案 60 解析解析 AB,AC分别与圆O相切于点D,E,ODAB,OEAC.在菱形ABOC中,AB=BO,点D是AB的中 点,BD=AB=BO,BOD=30,B=60,又OBAC,A=120,在四边形ADOE中,DOE =360-90-90-120=60. 1 2 1 2 3.(2020内蒙古呼和浩特,16,3分)已知AB为O的直径且长为2r,C为O上异于A,B的点,若AD与过点C的 O的切线互相垂直,垂足为D.若等腰三角形AOC的顶角为120度,则CD=r;若AOC为正三角形, 则CD=r;若等腰三角形AOC的

22、对称轴经过点D,则CD=r;无论点C在何处,将ADC沿AC折叠,点D 一定落在直径AB上,其中正确结论的序号为 . 1 2 3 2 答案答案 解析解析 AOC=120,AO=OC, OCA=(180-120)=30, CD为O的切线, DCO=90, DCA=DCO-OCA=60, CA=2CD. 在RtACB中,CAB=30,ACB=90, CA=AB, CD=AB=r,故错. AOC为正三角形, ACO=60, ACD=DCO-ACO=30, 1 2 3 2 3 4 3 2 CD=CA=AO=r,故对. 当AOC的对称轴经过点D时,AD=CD, 四边形ADCO为正方形, CD=CO=r,故

23、对. ADC=DCO=90, ADCO, DAC=ACO, CAO=ACO, DAC=CAO, 将ADC沿AC折叠,点D一定落在AB上,故对. 故答案为. 3 2 3 2 3 2 方法指导方法指导 解决动态几何问题时,要学会化动为静,在有关圆的问题中,要精准把握圆的性质,寻找圆中的 等量关系,要注意利用数形结合的思想来解决问题. 4.(2020四川成都,20,10分)如图,在ABC的边BC上取一点O,以O为圆心,OC为半径画O,O与边AB相 切于点D,AC=AD,连接OA交O于点E,连接CE,并延长交线段AB于点F. (1)求证:AC是O的切线; (2)若AB=10,tan B=,求O的半径;

24、 (3)若F是AB的中点,试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由. 4 3 解析解析 (1)证明:连接OD, O与边AB相切于D,ADO=90, OC=OD,AC=AD,AO=AO,ACOADO(SSS), ACO=ADO=90,OCAC, 又C为O上一点,AC是O的切线. (2)AB=10,tan B=,BCA=90, AC=8,BC=6,sin B=, 设CO=r,则DO=r, ODB=90,sin B=,OB=r, BC=OB+CO=r+r=6, r=.即O的半径为. 4 3 AC AB 4 5 4 5sin OD B 5 4 5 4 8 3 8 3 (3)BD+CE=AF. 证明:

25、连接ED,由(1)得CAE=DAE, 又AC=AD,AE=AE, ACEADE,CE=DE. F为AB的中点,ACB=90, AF=CF=BF. CAF=ACF, CFD=CAF+ACF=2ACF. ACB=90,BCF=90-ACF. OC=OE,BCF=OEC=90-ACF. ACEADE, AEC=AED,OEC=OED=90-ACF, DEF=180-OEC-OED =180-(90-ACF)-(90-ACF) =2ACF, CFD=DEF,DE=DF, BD+CE=BD+DF=BF, BD+CE=AF. 5.(2020新疆,22,11分)如图,在O中,AB为O的直径,C为O上一点,P

26、是的中点,过点P作AC的垂线, 交AC的延长线于点D. (1)求证:DP是O的切线; (2)若AC=5,sinAPC=,求AP的长. BC 5 13 解析解析 (1)证明:连接OP. P是的中点,=, DAP=BAP, 又OA=OP,BAP=APO, DAP=APO, OPAD,D+OPD=180, 又PDAD,D=90,OPD=90, 又OP为O的半径, DP是O的切线. BC CP BP (2)连接PB,过点P作PHAB,垂足为点H, 过点C作CGAP,垂足为点G. 在CGP中,sinAPC=, 设CG=5x,则CP=13x, DAP=PAB,PDAD,PHAB, PH=PD,D=PHB=

27、90, P是的中点,CP=BP, CG CP 5 13 BC 在RtPDC和RtPHB中, RtPDCRtPHB(HL),DPC=HPB, AC=5,CG=5x, sinDAP=x, DAP=PAB, sinPAB=x, AB=13,OP=, DPO=APB=90, DPC+APC+APO=BPH+OPH+APO, 又DPC=BPH,OPH=APC, sinOPH=sinAPC=,OH=,PH=6,AH=9, , , CPBP PDPH CG AC 5 5 x PB AB 13x AB 13 2 5 13 5 2 根据勾股定理得,AP=3. 22 PHAH 13 6.(2020云南,20,8分

28、)如图,AB为O的直径,C为O上一点,ADCE,垂足为D,AC平分DAB. (1)求证:CE是O的切线; (2)若AD=4,cosCAB=,求AB的长. 4 5 解析解析 (1)证明:连接OC.(1分) AC平分DAB, DAC=CAB. OA、OC是O的半径, OA=OC, OAC=OCA, DAC=OCA, ADCO.(2分) ADC=OCE. ADCD,ADC=90, OCE=90.(3分) OCCE, OC是O的半径, CE是O的切线.(4分) (2)连接BC.(5分) DAC=CAB,cosCAB=,cosDAC=.(6分) 在RtADC中,ADC=90,AD=4, AC=5.(7分

29、) AB为O的直径,ACB=90. 4 5 4 5 cos AD DAC 4 4 5 AB=.(8分) cos AC CAB 5 4 5 25 4 思路分析思路分析 (1)连接OC,根据题中条件判定OCDE即可;(2)连接BC,构造RtABC,根据cosCAB=cos CAD=,解直角三角形CAD和直角三角形CAB,可得结果. 4 5 7.(2020广西北部湾经济区,25,10分)如图,在ACE中,以AC为直径的O交CE于点D,连接AD,且DAE= ACE,连接OD并延长交AE的延长线于点P,PB与O相切于点B. (1)求证:AP是O的切线; (2)连接AB交OP于点F,求证:FADDAE;

30、(3)若tanOAF=,求的值. 1 2 AE AP 解析解析 (1)证明:AC为直径, ADC=90, ACE+CAD=90, 又DAE=ACE,DAE+DAC=90, OAAP, AP为圆O的切线. (2)证明:连接OB, PA,PB为圆O的切线,PA=PB, 又OB=OA,OP=OP, OBPOAP(SSS),BOD=DOA, =,FAD=ACE, 在AOB中,AOF=BOF,OA=OB,OFAB, AFD=ADE=90, 又ACE=DAE, FAD=DAE, FADDAE. (3)在RtOFA中,tanOAF=, 设OF=x,则AF=2x,OA=x,DF=OD-OF=OA-OF=(-1

31、)x, 易知APO=OAF,AP=2OA=2x, 由(2)知FAD=ACE, tanACE=tanFAD, AD DB 1 2 55 5 即=,又AC=2OA=2x, AE=(5-)x, =. AE AC DF AF ( 5-1) 2 x x 5 5 AE AP (5- 5) 2 5 x x 5-1 2 思路分析思路分析 (1)证明OAAP即可得到结论,属于“连半径证垂直”的切线证明类型; (2)连接OB,由切线长定理可得PA=PB,根据SSS即可证明OBPOAP,进一步得到FAD=DAE, AFD=ADE=90,从而可证明FADDAE; (3)由tanOAF=可设OF=x,得到AF=2x,O

32、A=x,AP=2x,由(2)知FAD=ACE,进而可得tanACE =tanFAD,列式=,最后进行求解即可. 1 2 55 AE AC DF AF ( 5-1) 2 x x 8.(2020湖北武汉,21,8分)如图,在RtABC中,ABC=90,以AB为直径的O交AC于点D,AE与过点D的 切线互相垂直,垂足为E. (1)求证:AD平分BAE; (2)若CD=DE,求sinBAC的值. 解析解析 (1)证明:如图1,连接OD,OA=OD, OAD=ODA. DE是O的切线,ODDE. AEDE,AED+EDO=180,AEOD, EAD=ODA,EAD=OAD,AD平分EAB. (2)解法一

33、:如图1,连接BD. 设CD=a,BC=b. 图1 AB为O的直径,AEDE,BDC=E=90. ABC=90,AD平分EAB, CBD=BAD=DAE. 又CD=DE,CDBDEA,AD=BC=b. CDB=CBA=90,C=C, CDBCBA, CB2=CD CA,即b2=a(a+b). +-1=0,=或(舍去负值). sinBAC=sinCBD=. 解法二:如图1,设CD=DE=a,AD=b. AB为O的直径,AEDE, CDB=CBA=E=90. ABC=90,AD平分EAB, CBD=BAD=DAE. 2 a b a b a b -15 2 -1-5 2 a b 5-1 2 CDBC

34、BADEA. BC2=CD CA=a2+ab. 由CBADEA,得=, =,即=. 解得=或(舍去负值). sinBAC=sinEAD=. (注:如图2,过点D作DFAB于点F,连接BD,则DF=DE=DC.可以由ADFACB,CDBCBA或 CDBDEA,其中,两个组合列方程求解.) AD ED AC CB 2 AD ED 2 AC CB 2 b a ab a b a 15 2 1- 5 2 a b 5-1 2 图2 思路分析思路分析 (1)连接OD,由ED是O的切线和AEED可推AEOD,由OA=OD可证EAD=OAD,问题 解决;(2)思路一:连接BD,设CD=a,BC=b,由AB是直径

35、可推ADB=BDC=90,再由ABC=90,AD平分 EAB,CD=DE证明CDBDEA,进一步证明CDBCBA,由此列方程求出=的值,问题解 决;思路二:设CD=DE=a,AD=b,由AB是直径可推出ADB=BDC=90,再由ABC=90,AD平分EAB, 可证CDBCBADEA,得到BC2=CD CA和=,由此列方程求出=的值,问题解决. a b CD BC AD ED AC CB a b ED AD 9.(2020四川南充,22,10分)如图,点A,B,C是半径为2的O上三个点,AB为直径,BAC的平分线交圆于点 D,过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E,延长ED交AB的延长线于点F.

36、 (1)判断直线EF与O的位置关系,并证明; (2)若DF=4,求tanEAD的值. 2 解析解析 (1)直线EF与O相切.(1分) 理由如下:连接OD.(2分) AD平分BAC,EAD=OAD. OA=OD,ODA=OAD=EAD,(3分) ODAE.(4分) 由AEEF,得ODEF. 又点D在O上,EF是O的切线.(5分) (2)在RtODF中,OD=2,DF=4, 由勾股定理得OF=6.(6分) ODAE,=,(7分) 即=,得AE=,ED=.(9分) 在RtAED中,tanEAD=.(10分) 2 OD AE OF AF DF EF 2 AE 6 8 4 2 4 2ED 8 3 4 2

37、 3 DE AE 2 2 10.(2020云南昆明,20,8分)如图,点P是O的直径AB延长线上的一点(PBOB),点E是线段OP的中点. (1)尺规作图:在直径AB上方的圆上作一点C,使得EC=EP,连接EC,PC(保留清晰作图痕迹,不要求写作法), 并证明PC是O的切线; (2)在(1)的条件下,若BP=4,EB=1,求PC的长. 解析解析 (1)作图如图所示(正确作出EC,PC得1分,有作图痕迹得1分).(2分) 证法一:连接OC, EC=EP, ECP=P, 点E是线段OP的中点, EO=EP, EO=EC, EOC=ECO,(3分) 在OPC中,POC+PCO+P=180, 即EOC

38、+ECO+ECP+P=180, 2ECO+2ECP=180, ECO+ECP=90, OCPC,(4分) OC是O的半径, PC是O的切线.(5分) 证法二:连接OC, 点O,C,P三点在以点E为圆心,EO为半径的圆上,(3分) OP是E的直径, OCP=90, 即OCPC,(4分) OC是O的半径, PC是O的切线.(5分) (2)BP=4,EB=1, EO=EP=BP+EB=5, OP=2EO=10, OC=OB=EO+EB=6, 在RtOPC中,OCP=90,由勾股定理得: PC=8.(8分) (其他解法参照此标准给分) 22 -OP OC 22 10 -6 点E是线段OP的中点, OE

39、=PE, CE=PE, OE=CE=PE, 11.(2020贵州贵阳,23,10分)如图,AB为O的直径,四边形ABCD内接于O,对角线AC,BD交于点E,O的 切线AF交BD的延长线于点F,切点为A,且CAD=ABD. (1)求证:AD=CD; (2)若AB=4,BF=5,求sinBDC的值. 解析解析 (1)证明:在O中,ABD与ACD都是所对的圆周角,ABD=ACD. CAD=ABD,ACD=CAD.AD=CD. (2)AF是O的切线,AB是O的直径, FAB=ACB=ADB=ADF=90. FAD+BAD=90,ABD+BAD=90, FAD=ABD. 又ABD=CAD,CAD=FAD

40、. AD=AD,ADEADF(ASA), AE=AF,ED=FD. 在RtBAF中,AB=4,BF=5,AF=3,即AE=3. AB AF=BF AD,AD=. 在RtADF中,FD=, AD 1 2 1 2 12 5 22 -AFAD 9 5 BE=5-2=. BEC=AED,且ECB=EDA, BECAED,=,BC=. BDC与BAC都是所对的圆周角, BDC=BAC. 在RtACB中,ACB=90, sinBAC=,即sinBDC=. 9 5 7 5 BE AE BC AD 28 25 BC BC AB 7 25 7 25 思路分析思路分析 (1)由圆周角定理的推论得ABD=ACD,进

41、而得ACD=CAD,所以AD=CD. (2)证明ADEADF,得AE=AF,DE=DF,由AF的长和ABF的面积求得AD的长,进而求得DF,BE的长, 继而证明BECAED,得BC的长,求得sinBAC即可. 12.(2020内蒙古包头,24,10分)如图,AB是O的直径,半径OCAB,垂足为O,直线l为O的切线,A是切点, D是OA上一点,CD的延长线交直线l于点E,F是OB上一点,CF的延长线交O于点G,连接AC,AG,已知O 的半径为3,CE=,5BF-5AD=4. (1)求AE的长; (2)求cosCAG的值及CG的长. 34 解析解析 (1)过点C作CHl于点H,AHC=90. 直线

42、l为O的切线,A是切点,OCAB, AOC=OAH=90,四边形AOCH是矩形. OA=OC,四边形AOCH是正方形, AH=CH=OC=3. 在RtEHC中,EH2+HC2=CE2,CE=, EH=5,AE=EH-AH=2.(3分) (2)OCAB,AOC=BOC=90, AGC=CAB=45, 34 GCA=ACF,GCAACF, CAG=CFA. 在RtEAD和RtEHC中,tanAED=tanHEC, =,AD=2=. 5BF-5AD=4,BF=2,OB=3,FO=1. 在RtCOF中,CF=, cosCAG=cosCFA=.(8分) GCAACF,=. 在RtAOC中,AC=3,CG

43、=.(10分) AD AE HC HE 3 5 6 5 22 OCOF10 10 10 AC FC CG CA 22 OAOC2 9 10 5 思路分析思路分析 (1)过点C作直线l的垂线,垂足为H,通过AOC=OAH=CHA=90,OA=OC,判断出四边形 OAHC是正方形,从而得到CH=AH=3.再根据勾股定理,在RtCEH中求出EH=5,最后得到AE的长. (2)通过同弧所对的圆周角是圆心角的一半,得到AGC=CAB=45,再通过GCA=ACF,证得GCA ACF,将CAG转化为CFA.通过(1)中线段的长度和tanAED=tanHEC,求出AD=,再根据5BF- 5AD=4,求出BF=

44、2,OF=1.根据勾股定理,在RtCOF中,得到CF=,求出cosCAG=.由GCA ACF,根据相似比和AC=3,得到CG=. 6 5 10 10 10 2 9 10 5 13.(2020黑龙江齐齐哈尔,20,8分)如图,AB为O的直径,C、D为O上的两个点,=,连接AD, 过点D作DEAC交AC的延长线于点E. (1)求证:DE是O的切线; (2)若直径AB=6,求AD的长. AC CD DB 解析解析 (1)证明:连接OD. =,AOB=180, BOD=180=60. =, EAD=DAB=BOD=30, OA=OD,ADO=DAB=30. DEAC于E,E=90, EAD+EDA=9

45、0,EDA=60, EDO=EDA+ADO=90. ODDE. DE是O的切线. (2)连接BD. AC CD DB 1 3 CD DB 1 2 AB是O的直径,ADB=90. DAB=30,AB=6,BD=AB=3. AD=3. 1 2 22 6 -33 14.(2020天津,21,10分)在O中,弦CD与直径AB相交于点P,ABC=63. (1)如图,若APC=100,求BAD和CDB的大小; (2)如图,若CDAB,过点D作O的切线,与AB的延长线相交于点E,求E的大小. 解析解析 (1)APC是PBC的一个外角,ABC=63,APC=100, C=APC-PBC=37. 在O中,BAD

46、=C,BAD=37. AB为O的直径,ADB=90. 在O中,ADC=ABC=63,CDB=ADB-ADC, CDB=27. (2)如图,连接OD, CDAB,CPB=90, PCB=90-PBC=27. 在O中,BOD=2BCD,BOD=54. DE是O的切线,ODDE,即ODE=90. E=90-EOD.E=36. 解题关键解题关键 (1)应用同圆中同弧所对的圆周角相等,得出BAD=C,ADC=ABC是解题的关键;(2)应 用同圆中同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得出BOD=2BCD,根据切线垂直于过切点的半径作出辅 助线是解题的关键. 15.(2019贵州贵阳,23,10分)如图,已知AB

47、是O的直径,点P是O上一点,连接OP,点A关于OP的对称点C 恰好落在O上. (1)求证:OPBC; (2)过点C作O的切线CD,交AP的延长线于点D,如果D=90,DP=1,求O的直径. 解析解析 (1)证明:点A关于OP的对称点C恰好落在O上,=, AOP=POC,AOP=AOC, 又ABC=AOC,AOP=ABC, OPBC. (2)连接PC, AP PC 1 2 1 2 OCD=90, 又D=90,ADOC, POC=APO. 由(1)知AOP=POC, APO=AOP, 又AO=OP, AOP是等边三角形. 点A,点C关于OP对称,POC是等边三角形, OCP=60,DCP=30. DP=1,D=90,PC=2PD=2, AB=2PC=4,即O的直径为4. CD是O的切线, 16.(2019北京,22,6分)在平面内,给定不在同一条直线上的点A,B,C,如图所示.点O到点A,B,C的距离均等 于a(a为常数),到点O的距离等于a的所有点组成图形G,ABC的平分线交图形G于点D,连接AD,CD. (1)求证:AD=CD; (2)过点D作DEBA,垂足为E,作DFBC,垂足为F,延长DF交图形G于点M,连接CM.若AD=CM,求直线 DE与图形G的公共点个数. 解析解析 (1)证明:由题意,可知图形G是以O为圆心,a为半径的圆,点A,B,C,D在O上. 连接OA,