2021年中考数学复习练习课件：§3.5　二次函数的综合应用.pptx

1、 中考数学 3.5 二次函数的综合应用 考点一 抛物线与线段长、面积、角度 1.(2020新疆,23,13分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(1,3),将 OA绕点O顺时针旋转90后得到OB,点B恰好在抛物线上,OB与抛物线的对称轴交于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)P是线段AC上一动点,且不与点A,C重合,过点P作平行于x轴的直线,与OAB的边分别交于M,N两点, 将AMN以直线MN为对称轴翻折,得到AMN.设点P的纵坐标为m. 当AMN在OAB内部时,求m的取值范围; 是否存在点P,使SAMN=SOAB?若存在,求出满足条件的m的值;

2、若不存在,请说明理由. 5 6 解析解析 (1)过点A作ADy轴,垂足为点D,过点B作BEx轴,垂足为点E.则ODA=OEB=90, 由旋转的性质可得OA=OB,AOB=90, AOD+AOE=BOE+AOE=90, AOD=BOE, 在AOD和BOE中, AODBOE(AAS), OD=OE,AD=BE, , , , ODAOEB AODBOE OAOB A(1,3),BE=AD=1,OD=OE=3, 点B的坐标为(3,-1), 抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(1,3), y=a(x-1)2+3, 把B(3,-1)代入,解得a=-1,y=-(x-1)2+3, y=-x2+2x+2. (

3、2)抛物线的对称轴为x=1,A(1,3),P(1,m),根据翻折可知AP=AP,则A(1,2m-3), 由B(3,-1)可求得直线OB的解析式为y=-x,则C, -2m-33,解得m3. 存在. 由A(1,3)和B(3,-1)可求得直线OA和AB的解析式分别为y=3x和y=-2x+5. 情况一:当m3时,如图所示. 1 3 1 1,- 3 1 3 4 3 4 3 M,N,MN=-=. SAMN=SAMN= MN AP= (3-m)=. C,AC=2m-, SOAB=SOAC+SBAC= AC xC+ AC (xB-xC)=AC3=3=3m-4. SAMN=SOAB,=, , 3 m m 5-

4、, 2 m m 5- 2 m 3 m15-5 6 m5(3- ) 6 m 1 2 1 2 5(3- ) 6 m 2 5(3- ) 12 m 1 1,- 3 8 3 1 2 1 2 1 2 1 2 8 2 - 3 m 5 6 2 5(3- ) 12 m5(3 -4) 6 m m1=6+(舍去),m2=6-, m=6-. 情况二:当0m时,如图所示. 由情况一得SAMN=. C,AC=-2m, SOAB=SOAC+SBAC=AC3=3=4-3m. 1919 19 4 3 2 5(3- ) 12 m 1 1,- 3 8 3 1 2 1 2 8 -2 3 m SAMN=SOAB,=, m2+1=0,无

5、解. 情况三:当-m0),则PD=2t, 因为点P是抛物线上的动点且位于y轴左侧,当点P在x轴上时,点P与A重合,不合题意,故舍去,因此分为以 下两种情况讨论: i.如图1,当点P在第三象限时,点P的坐标为(-t,-2t), 则t2-t-6=-2t,即t2+t-6=0,(6分) 解得t1=2,t2=-3(舍去), PE=2.(7分) 9-30, 420. bc bc 1, -6, b c ii.如图2,当点P在第二象限时,点P的坐标为(-t,2t),则t2-t-6=2t,即t2-3t-6=0,(8分) 解得t1=,t2=(舍去), PE=.(9分) 333 2 3- 33 2 333 2 综上

6、所述,PE的长为2或.(10分) 存在点P,使得ACP=OCB. 当x=0时,y=-6, C(0,-6),OC=6. 在RtAOC中,AC=3, 过点A作AHAC,交直线CP于点H, 则CAH=COB, 又ACP=OCB,CAHCOB, =,(11分) 过点H作HMx轴于点M,则HMA=AOC, MAH+OAC=90,OAC+OCA=90, MAH=OCA,HMAAOC, 333 2 22 OAOC 22 365 AH AC OB OC 2 6 1 3 =,即=, MH=1,MA=2.(12分) i.如图3,当点P在第三象限时,点H的坐标为(-5,-1), 图3 由H(-5,-1)和C(0,-

7、6)得直线CP的解析式为y=-x-6, 于是有x2+x-6=-x-6,即x2+2x=0, 解得x1=-2,x2=0(舍去), MH OA MA OC AH AC3 MH 6 MA1 3 点P的坐标为(-2,-4).(13分) ii.如图4,当点P在第二象限时,点H的坐标为(-1,1), 图4 由H(-1,1)和C(0,-6)得直线CP的解析式为y=-7x-6,于是有x2+x-6=-7x-6,即x2+8x=0, 解得x1=-8,x2=0(舍去), 点P的坐标为(-8,50).(14分) 综上所述,点P的坐标为(-2,-4)或(-8,50).(15分) 解后反思解后反思 对于(2)中的,由点A,B

8、,C的坐标易得OBOC=13及AC的长.过点A作AHAC,过点H作 HMx轴于点M,分点P在第二象限和第三象限两种情况,易得HMAAOC,进而求出点H的坐标,这 样便可得到直线CP的解析式,联立直线的解析式和抛物线的解析式求出点P的坐标即可. 4.(2019湖北武汉,24,12分)已知抛物线C1:y=(x-1)2-4和C2:y=x2. (1)如何将抛物线C1平移得到抛物线C2? (2)如图1,抛物线C1与x轴正半轴交于点A,直线y=-x+b经过点A,交抛物线C1于另一点B,请你在线段AB上 取点P,过点P作直线PQy轴交抛物线C1于点Q,连接AQ. 若AP=AQ,求点P的横坐标; 若PA=PQ

9、,直接写出点P的横坐标; (3)如图2,MNE的顶点M,N在抛物线C2上,点M在点N右边,两条直线ME,NE与抛物线C2均有唯一公共点, ME,NE均与y轴不平行.若MNE的面积为2,设M,N两点的横坐标分别为m,n,求m与n的数量关系. 4 3 解析 (1)将C1先向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度得到C2. 或将C1先向上平移4个单位长度,再向左平移1个单位长度得到C2. (2)如图,设直线AB与y轴交于点D,延长AQ交y轴于点D, C1:y=(x-1)2-4,A(3,0), 直线y=-x+b经过A(3,0),b=4,D(0,4), 则易知D(0,-4), 直线AD的解析式为y=

10、x-4, 由得x1=3,x2=, xQ=,xP=xQ=,点P的横坐标为. 4 3 4 3 2 ( -1) -4, 4 -4 3 yx yx 1 3 1 3 1 3 1 3 点P的横坐标为-. 详解:由得x1=-,x2=3, 故B. 设点P的横坐标为a, 2 3 2 ( -1) -4, 4 -4 3 yx yx 7 3 7 64 -, 3 9 7 -3 3 a 点P在线段AB上, 点P的坐标为, 点Q在抛物线C1上, 点Q的坐标为(a,a2-2a-3). PQ2=, 又PA=PQ,PA2=(a-3)2+=, (a-3)2=(a-3)(a+1)(a-3), 又a3,(a+1)=1,(a+4)=0,

11、 a1=-,a2=-4(舍),点P的横坐标为-. 4 ,-4 3 aa 2 2 2 -7 3 aa 2 4 -4 3 a 2 2 2 -7 3 aa 11 3 a 11 3 a 2 3 a 2 3 2 3 (3)C2:y=x2,M(m,m2),N(n,n2), 设直线ME的解析式为y=kx+t, M(m,m2),t=m2-km, 由得x2-kx+km-m2=0, 依题意有=k2-4(km-m2)=0,k=2m, 直线ME的解析式为y=2mx-m2, 同理,直线NE的解析式为y=2nx-n2, 由得E, M(m,m2),N(n,n2), 直线MN的解析式为y=(m+n)x-mn, 过E作EFy轴

12、交MN于点F,则F, 2 2 , - yx ykxm km 2 2 2-, 2- ymx m ynx n , 2 mn mn 22 , 22 mn mn EF=-mn=(m-n)2, SMNE=(m-n)(m-n)2=(m-n)3=2, m-n=2. m与n的数量关系为m-n=2. 22 2 mn 1 2 1 2 1 2 1 4 5.(2019吉林,26,10分)如图,抛物线y=(x-1)2+k与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C(0,- 3),P为抛物线上一点,横坐标为m,且m0. (1)求此抛物线的解析式; (2)当点P位于x轴下方时,求ABP面积的最大值; (3)

13、设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h. 求h关于m的函数解析式,并写出自变量m的取值范围; 当h=9时,直接写出BCP的面积. 解析解析 (1)把(0,-3)代入y=(x-1)2+k,得 -3=(0-1)2+k, 解得k=-4. 所以此抛物线的解析式为y=(x-1)2-4, 即y=x2-2x-3. (2)令y=0,得(x-1)2-4=0, 解得x1=-1,x2=3. 所以A(-1,0),B(3,0), 所以AB=4. 解法一:由(1)知,抛物线顶点坐标为(1,-4). 由题意知,当点P位于抛物线顶点时,ABP的面积取得最大值, 最大值为44=8. 解法二

14、:由题意,得P(m,m2-2m-3), 1 2 所以SABP=4(-m2+2m+3) =-2m2+4m+6 =-2(m-1)2+8. 所以当m=1时,SABP有最大值8. (3)当0m1时,h=-3-(m2-2m-3)=-m2+2m; 当12时,h=m2-2m-3-(-4)=m2-2m+1. BCP的面积为6. 提示:当h=9时,即m2-2m+1=9, 解得m1=4,m2=-2(舍). 所以点P的坐标为(4,5),可求得BCP的面积为6. 1 2 6.(2019贵州贵阳,24,12分)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且关于直线 x=1对称,点A的坐标

15、为(-1,0). (1)求二次函数的表达式; (2)连接BC,若点P在y轴上时,BP和BC的夹角为15,求线段CP的长度; (3)当axa+1时,二次函数y=x2+bx+c的最小值为2a,求a的值. (备用图) 解析解析 (1)二次函数图象的对称轴是直线x=1, -=1,b=-2, 将(-1,0)代入y=x2-2x+c中,解得c=-3. 二次函数的表达式为y=x2-2x-3. (2)A(-1,0),抛物线的对称轴是直线x=1, B(3,0), 又当x=0时,y=-3,C(0,-3), OB=OC,OBC=45. 当点P在点C上方P1的位置时,如图, P1BC=15,P1BO=30, 在RtP1

16、BO中,OP1=OBtan 30=, CP1=3-. 当点P在点C下方P2的位置时,如图, 2 1 b 3 3 P2BC=15,P2BO=60, 在RtP2BO中,OP2=OBtan 60=3, CP2=3-3. 综上所述,CP的长为3-或3-3. (3)当a+11,即a0时,y随x增大而减小, 当x=a+1时,y=x2-2x-3取最小值2a, 2a=(a+1)2-2(a+1)-3, 3 3 33 解得a1=1+,a2=1-, a1时,y随x增大而增大, 当x=a时,y=x2-2x-3取最小值2a, 2a=a2-2a-3, 解得a1=2+,a2=2-, a1,a=2+. 综上,a=1-或a=2

17、+. 55 5 77 7 57 思路分析思路分析 (1)先根据对称轴方程得出b的值,然后代入点A的坐标,求出c的值,即得二次函数解析式; (2)分点P在点C上方和下方两种情况,先求出OBP的度数,再利用三角函数求出OP的长,从而得出CP的 长度; (3)分a+11三种情况讨论,结合二次函数的性质求解可得. 解题关键解题关键 本题是二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运 用、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用. 考点二 抛物线与特殊三角形、特殊四边形 1.(2020湖北武汉,24,12分)将抛物线C:y=(x-2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1,再将

18、抛物线C1向左平 移2个单位长度得到抛物线C2. (1)直接写出抛物线C1,C2的解析式; (2)如图1,点A在抛物线C1(对称轴l右侧)上,点B在对称轴l上,OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形,求 点A的坐标; (3)如图2,直线y=kx(k0,k为常数)与抛物线C2交于E,F两点,M为线段EF的中点;直线y=-x与抛物线C2交 于G,H两点,N为线段GH的中点.求证:直线MN经过一个定点. 4 k 解析解析 (1)抛物线C1:y=(x-2)2-6,抛物线C2:y=x2-6. (2)如图1,设点A(m,n),则n=m2-4m-2. 当点A在x轴上方时, 过点A作APx轴,过点B作BQAP,

19、垂足分别为P,Q. OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形, ABQOAP.BQ=AP=n,AQ=OP=m,m=n+2. 联立解得或(不合题意,舍去). A(5,3). 如图,当点A在x轴下方时,同理求得A(4,-2). 综上,点A的坐标是(5,3)或(4,-2). 2 2, -4 -2, mn nmm 5, 3 m n 0, -2 m n (3)证明:由消去y,得x2-kx-6=0, xE+xF=k. M为线段EF的中点, 将EM沿EF方向平移与MF重合, xM-xE=xF-xM,xM=(xE+xF)=. 点M的坐标是. 2 , -6 ykx yx 1 22 k 2 , 22 k k 同理得点

20、N的坐标是. 设MN的解析式为y=ax+b,则 解得 MN的解析式为y=x+2. 当x=0,k为任意不等于0的实数时,总有y=2,即直线MN过定点(0,2). 2 2 8 -, k k 2 2 , 22 82 -, kk ab ab kk 2-4 , 2. k a k b 2-4 k k 思路分析思路分析 (1)根据平移的规律可求C1,C2的解析式.(2)先设A(m,n),再分两种情况:点A在x轴上方时,过 点A作APx轴,过点B作BQAP,垂足分别为P,Q,先利用OAB是等腰直角三角形证明ABQOAP, 由此推出m=n+2,与n=m2-4m-2联立,解出m,n,即得A点坐标;点A在x轴下方时

21、,同可求出另一个A点坐 标.(3)根据直线y=kx(k0,k为常数)与抛物线C2交于E,F两点,联立两个解析式,得到关于x的一元二次方 程,根据根与系数的关系求出点M的横坐标,进而求出纵坐标,同理求出点N的坐标,再用待定系数法求出 直线MN的解析式,从而证明直线MN过定点即可. 解题关键解题关键 抓住OAB是等腰直角三角形证明ABQOAP,并由此推出m、n之间的关系是求出点A 的关键. 易错警示易错警示 只考虑点A在x轴的上方而忽略点A在x轴的下方这种情况是解答本题易犯的错误. 2.(2020黑龙江齐齐哈尔,24,14分)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点A(-4,0),点M为

22、抛物线 的顶点,点B在y轴上,且OA=OB,直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6),如图. (1)求抛物线的解析式; (2)直线AB的函数解析式为 ,点M的坐标为 ,cosABO= ;连接OC,若过点O的 直线交线段AC于点P,将AOC的面积分成12的两部分,则点P的坐标为 ; (3)在y轴上找一点Q,使得AMQ的周长最小.具体作法如图,作点A关于y轴的对称点A,连接MA交y轴 于点Q,连接AM、AQ,此时AMQ的周长最小.请求出点Q的坐标; (4)在坐标平面内是否存在点N,使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出 点N的坐标;若不存在,请说明理由. 1 2 解

23、析解析 (1)由已知,得 b=2,c=0. y=x2+2x. (2)OA=OB,OB=4,则B(0,4), 设直线AB的解析式为y=kx+m(k0), 把A(-4,0),B(0,4)代入可得 解得 直线AB的解析式为y=x+4. 1 16-40, 2 1 426, 2 bc bc 1 2 -40, 4, km m 1, 4, k m 由(1)可知y=x2+2x,则y=(x+2)2-2, M的坐标为(-2,-2), OA=OB=4,AOB=90,ABO=45, cosABO=cos 45=. OP将AOC的面积分成12两部分, SAPOSACO=13或SAPOSACO=23, APO与ACO有公

24、共底边AO,且点C的坐标为(2,6), =或=. yP=2或yP=4. 点P在直线AB上, x=-2或x=0. 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 P C yOA yOA 1 3 1 2 1 2 P C yOA yOA 2 3 点P的坐标为(-2,2)或(0,4). (3)设直线MA的解析式为y=k1x+b1(k10), 将A(4,0)和M(-2,-2)代入,得 k1=,b1=-.y=x-. 把x=0代入,得y=-.Q. (4)存在,N1(-2,6),N2(6,6),N3(-6,-6). 详解:由平行四边形的对边平行且相等的性质,可通过平移已知顶点来找到点N. A到C的平移变换与O到N的平

25、移变换是一致的,即先向上平移6个单位,再向右平移6个单位,因此点O 平移后得到N(6,6); C到A的平移变换与O到N的平移变换是一致的,即先向下平移6个单位,再向左平移6个单位,因此点O 平移后得到N(-6,-6); O到A的平移变换与C到N的平移变换是一致的,即向左平移4个单位,因此C(2,6)平移后得到N(-2,6). 11 11 40, -2-2, kb kb 1 3 4 3 1 3 4 3 4 3 4 0,- 3 3.(2020重庆A卷,25,10分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB相交于A,B两点,其 中A(-3,-4),B(0,-1). (1)求该

26、抛物线的函数表达式; (2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点,连接PA,PB,求PAB面积的最大值; (3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1(a10),平移后的抛物线与原抛物线相交 于点C,点D为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点E,使以点B,C,D,E为顶点的四 边形为菱形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由. 备用图 解析解析 (1)抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,-4),点B(0,-1), 解这个方程组,得 该抛物线的函数表达式为y=x2+4x-1.(3分) (2)设直线AB的函数表达式为y=kx+m(k0)

27、. 将点A(-3,-4),点B(0,-1)代入函数表达式, 得解这个方程组,得 直线AB的函数表达式为y=x-1. 如图1所示,过点P作PQx轴交AB于点Q. 设P(t,t2+4t-1)(-3t0),则Q(t,t-1). PQ=(t-1)-(t2+4t-1)=-t2-3t. SPAB=PQ |xA-xB|=(-t2-3t)3=-t2-t. 9-3-4, -1. bc c 4, -1. b c -3-4, -1. km m 1, -1. k m 1 2 1 2 3 2 9 2 -=-,-3-0, 当t=-时,SPAB有最大值, 最大值为SPAB=. PAB面积的最大值为.(6分) 9 - 2 3

28、 2- 2 3 2 3 2 3 2 2 39 4-0- - 22 3 4- 2 27 8 27 8 图1 图2 (3)如图2所示,满足条件的点E的坐标为(1,-3),(-3,-4+),(-3,-4-),(-1,2).(10分) 详解:由(1)可知原抛物线解析式为y=x2+4x-1=(x+2)2-5. 将抛物线向右平移2个单位长度后的抛物线的解析式为y=x2-5. 联立解得 点C(-1,-4). 66 2 2 -5, 4 -1, yx yxx -1, -4. x y 点D是原抛物线对称轴上一点,E是平面直角坐标系内一点, 设D(-2,m),E(s,t). 当BC为菱形的边时,将点C向右平移1个单

29、位长度,再向上平移3个单位长度可得点B,同样点D(或E)向右 平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度可得点E(或D). 或 当点D在点E下方时,则BE=BC, 即s2+(t+1)2=12+32. -21, 3 s mt 1-2, 3. s tm 联立可得s=-1,t=2或-4(舍去). 点E(-1,2). 当点D在点E上方时,则BD=BC, 即(-2)2+(m+1)2=12+32. 联立得s=-3,t=-4. 点E(-3,-4+)或E(-3,-4-). 当BC是菱形的对角线时,则 BD=BE,22+(m+1)2=s2+(t+1)2. 联立得s=1,t=-3.点E(1,-3). 综上,点E的坐

30、标为(-1,2)或(-3,-4+)或(-3,-4-)或(1,-3). 0-1-2 , 22 -1-4 . 22 s mt 66 6 66 解题关键解题关键 此题第(2)问关键在于利用P点坐标中的参量t表示出三角形PAB的面积,再用二次函数求最 值的方法求最大值即可. 4.(2019甘肃兰州,28,12分)二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于A(-1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,动点M从 点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动,过点M作MNx轴交直线BC于点N,交抛物线于点D, 连接AC.设运动的时间为t秒. (1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式; (2)连接B

31、D,当t=时,求DNB的面积; (3)在直线MN上存在一点P,当PBC是以BPC为直角的等腰直角三角形时,求此时点D的坐标; (4)当t=时,在直线MN上存在一点Q,使得AQC+OAC=90,求点Q的坐标. 3 2 5 4 解析 (1)将A(-1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+2中, 得解得 二次函数的表达式为y=-x2+x+2. (2)t=,AM=3, 又OA=1,OM=2, 设直线BC的解析式为y=kx+n(k0),将C,B点的坐标代入,得解得 直线BC的解析式为y=-x+2. -20, 16420, a b ab 1 -, 2 3 , 2 a b 1 2 3 2 3 2 2,

32、40, n kn 1 -, 2 2. k n 1 2 将x=2分别代入y=-x2+x+2和y=-x+2中,得D(2,3),N(2,1),DN=2. SDNB=22=2. (3)由题意得BM=5-2t,M(2t-1,0), 设P(2t-1,m), 1 2 3 2 1 2 1 2 则PC2=(2t-1)2+(m-2)2,PB2=(2t-5)2+m2, PB=PC,(2t-5)2+m2=(2t-1)2+(m-2)2, m=4t-5,P(2t-1,4t-5), PCPB,=-1,t=1或t=2, 经检验t=1或t=2为上述方程的解. M(1,0)或M(3,0), D(1,3)或D(3,2). (4)当

33、t=时,AM=2=,M,由(1)知抛物线的对称轴方程是x=,如图所示,在RtOAC中,AC= =,在RtOBC中,BC=,又AB=5,AC2+BC2=AB2,ACB=90,又AOC=90, ACO=ABC,要使AQC+OAC=90,只需AQC=ABC,则点Q在以AB为直径的圆上,且在直线MN 上,又点M为圆心,MQ=,Q或Q. 4 -7 2 -1 t t 4 -5 2 -5 t t 5 4 5 4 5 2 3 ,0 2 3 2 22 125 22 4220 5 2 3 5 , 2 2 35 ,- 22 5.(2019山西,23,13分)如图,抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-2,0),B(

34、4,0)两点,与y轴交于点C.点D是抛物线上一 个动点,设点D的横坐标为m(1m4).连接AC,BC,DB,DC. (1)求抛物线的函数表达式; (2)当BCD的面积等于AOC的面积的时,求m的值; (3)在(2)的条件下,若点M是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B, D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 3 4 解析解析 (1)抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-2,0),B(4,0), (1分) 解得(2分) 抛物线的函数表达式为y=-x2+x+6.(3分) (2)作直线DEx轴于点E,交BC于点

35、G.作CFDE,垂足为点F. 4 -260, 16460, ab ab 3 -, 4 3 . 2 a b 3 4 3 2 点A的坐标为(-2,0),OA=2. 由x=0,得y=6.点C的坐标为(0,6),OC=6. SAOC=OA OC=26=6.(4分) SBCD=SAOC,SBCD=6=. 设直线BC的函数表达式为y=kx+n(k0). 1 2 1 2 3 4 3 4 9 2 由B,C两点的坐标得 解得 直线BC的函数表达式为y=-x+6.(5分) 点G的坐标为. DG=-m2+m+6-=-m2+3m.(6分) 点B的坐标为(4,0),OB=4. SBCD=SCDG+SBDG=DG CF+

36、DG BE=DG (CF+BE)=DG BO=4=-m2+6m.(7分) -m2+6m=.(8分) 40, 6, kn n 3 -, 2 6. k n 3 2 3 ,-6 2 mm 3 4 3 2 3 -6 2 m 3 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 -3 4 mm 3 2 3 2 9 2 解得m1=1(舍去),m2=3,m的值是3.(9分) (3)存在,M1(8,0),M2(0,0),M3(,0),M4(-,0).(13分) 提示:以BD为边时,有3种情况,由点D的坐标可得N点的纵坐标为,令二次函数的值等于或-,分别 求出N2,N3,N4的坐标,进而求出M2,M3,M4的

37、坐标,以BD为对角线时,有1种情况,采用中点坐标公式求得M1的 坐标. 1414 15 4 15 4 15 4 考点三 抛物线与全等三角形、相似三角形 1.(2020陕西,24,10分)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点(3,12)和(-2,-3),与两坐标轴的交点分别为A,B,C,它的 对称轴为直线l. (1)求该抛物线的表达式; (2)P是该抛物线上的点,过点P作l的垂线,垂足为D,E是l上的点.要使以P、D、E为顶点的三角形与 AOC全等,求满足条件的点P,点E的坐标. 解析解析 (1)由题意,得解之,得 y=x2+2x-3.(3分) (2)由(1)可得,对称轴l为直线x=-1. 令y

38、=0,则x2+2x-3=0.解之,得x1=-3,x2=1. A(-3,0),B(1,0). 令x=0,则y=-3.C(0,-3).OA=OC=3.(6分) PDE=AOC=90, 当PD=DE=3时,PDE与AOC全等. 设P(m,n),当点P在l右侧时,m-(-1)=3. m=2.n=22+22-3=5.P(2,5). E(-1,2)或E(-1,8).(9分) 当点P在l左侧时,由抛物线的对称性可知,P(-4,5)也满足条件. 相应的点E的坐标同上. 1293, -34-2, bc bc 2, -3. b c 满足条件的点P,点E的坐标为P(2,5)或P(-4,5),E(-1,2)或E(-1

39、,8).(10分) 疑难突破疑难突破 (1)求抛物线的表达式,可利用待定系数法列方程组解答.(2)由题意及图象可知AOC为直角 三角形,通过计算得知OA=OC=3,因此AOC为等腰直角三角形,所以以P、D、E为顶点的三角形与 AOC全等,即PD=DE=3时满足条件,所以对P点位置进行分类讨论(点P在l右侧和左侧),可以结合抛物线 的对称性进行说明. 2.(2020四川成都,28,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点, 与y轴交于点C(0,-2). (1)求抛物线的函数表达式; (2)如图1,点D为第四象限抛物线上一点,连接A

40、D,BC交于点E,连接BD,记BDE的面积为S1,ABE的面积 为S2,求的最大值; (3)如图2,连接AC,BC,过点O作直线lBC,点P,Q分别为直线l和抛物线上的点.试探究:在第一象限是否存 在这样的点P,Q,使PQBCAB.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 1 2 S S 图1 图2 解析解析 (1)解法一:将(4,0),(0,-2),(-1,0)分别代入y=ax2+bx+c,得解得 抛物线的函数表达式为y=x2-x-2. 解法二:A(-1,0),B(4,0)在抛物线上, -=.b=-3a. C(0,-2)在抛物线上,c=-2,y=ax2-3ax-2, 将

41、(-1,0)代入y=ax2-3ax-2,得a=, 抛物线的函数表达式为y=x2-x-2. 1640, -2, -0, abc c a bc 1 , 2 3 -, 2 -2. a b c 1 2 3 2 2 b a -14 2 3 2 1 2 1 2 3 2 (2)过点B作AD边上的高BH,过点D作DGx轴于点G, 交BC于点F,过点A作AKx轴,交BC的延长线于点K, =. B(4,0),C(0,-2), 直线BC的表达式为y=x-2, 1 2 S S 1 2 1 2 DE BH AE BH DE AE DF AK 1 2 当x=-1时,y=-,AK=. 设D(0m4),F, DF=-m2+2

42、m, =-m2+m=-(m-2)2+, 0m0). 5 2 5 2 2 13 ,-2 22 mmm 1 ,-2 2 mm 1 2 1 2 S S 2 1 -2 2 5 2 mm 1 5 4 5 1 5 4 5 1 2 S S 4 5 1 2 , 2 m m 当点P在直线BQ右侧时,如图,过P作PNx轴,过Q作QMNP交NP的延长线于M, 则QMP=PNB=90,易知QPB=ACB=90, QPM+MQP=90,QPM+BPN=90, MQP=NPB,QPMPBN, =. QP BP MP BN QM NP PQBCAB,=, MP=BN=m-2,MQ=NP=, Q. 将Q的坐标代入y=x2-x

43、-2中,得m=(m=0舍去), P. 当点P在直线BQ左侧时,由的方法同理可得Q,此时P. 综上,在第一象限存在符合条件的点P,Q,所有符合条件的点P的坐标为,. QP BP AC BC 5 2 5 1 2 1 2 1 2 1 24 m 3 , -2 4 m m 1 2 3 2 68 9 68 34 , 99 5 ,2 4 m 62 41 341 , 55 68 34 , 99 62 41 341 , 55 3.(2019陕西,24,10分)在平面直角坐标系中,已知抛物线L:y=ax2+(c-a)x+c经过点A(-3,0)和点B(0,-6),L关于 原点O对称的抛物线为L. (1)求抛物线L的

44、表达式; (2)点P在抛物线L上,且位于第一象限,过点P作PDy轴,垂足为D.若POD与AOB相似,求符合条件的 点P的坐标. 解析解析 (1)由题意,得解之,得 L:y=-x2-5x-6.(2分) (2)点A、B在L上的对应点分别为A(3,0)、B(0,6), 设抛物线L的表达式为y=x2+bx+6. 将A(3,0)代入y=x2+bx+6,得b=-5. 抛物线L的表达式为y=x2-5x+6.(4分) A(-3,0),B(0,-6), AO=3,OB=6. 设P(m,m2-5m+6)(m0). PDy轴,点D的坐标为(0,m2-5m+6). PD=m,OD=m2-5m+6. RtPOD与RtA

45、OB相似, =或=.(6分) 9 -3( - )0, -6. ac ac c -1, -6. a c PD AO OD BO PD BO OD AO 当=,即=时, 解之,得m1=1,m2=6. P1(1,2),P2(6,12). 当=,即=时, 解之,得m3=,m4=4. P3,P4(4,2). P1、P2、P3、P4均在第一象限, 符合条件的点P的坐标为(1,2)或(6,12)或或(4,2).(10分) PD AO OD BO3 m 2-5 6 6 mm PD BO OD AO6 m 2-5 6 3 mm 3 2 3 3 , 2 4 3 3 , 2 4 思路分析思路分析 (1)把点A和点B

46、的坐标代入抛物线解析式,求出a,c的值即可求得抛物线的解析式;(2)首先求 出抛物线L的解析式,设点P的坐标为(m,m2-5m+6)(m0),得点D的坐标为(0,m2-5m+6),根据RtPOD与Rt AOB相似,分两种情况列出比例式,求出m的值,进而得出点P的坐标. 4.(2019新疆,23,13分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0),C(0,4)三点. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标; (2)将(1)中的抛物线向下平移个单位长度,再向左平移h(h0)个单位长度,得到新抛物线.若新抛物线的 顶点D在ABC内,求h的取值范围; (3)点P

47、为线段BC上一动点(点P不与点B,C重合),过点P作x轴的垂线交(1)中的抛物线于点Q,当PQC与 ABC相似时,求PQC的面积. 15 4 解析 (1)把A(-1,0),B(4,0),C(0,4)代入y=ax2+bx+c中,得 解得 抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.(3分) y=-+4=-+, 顶点D的坐标是.(4分) (2)将抛物线y=-+向下平移个单位长度,再向左平移h(h0)个单位长度得抛物线y= +. 新抛物线的顶点D的坐标是.(6分) -0, 1640, 4, a bc abc c -1, 3, 4. a b c 22 2 33 -3- - 22 xx 2 3 - 2 x 25