2021年浙江中考数学复习练习课件：§4.6　解直角三角形.pptx

1、 中考数学 （浙江专用） 4.6 解直角三角形 A组 20162020年浙江中考题组 考点一 锐角三角函数 1.(2020杭州,4,3分)如图,在ABC中,C=90,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,则( ) A.c=bsin B B.b=csin B C.a=btan B D.b=ctan B 答案答案 B RtABC中,C=90,A、B、C所对的边分别为a、b、c,sin B=,即b=csin B,故A 选项不成立,B选项成立;tan B=,即b=atan B,故C选项不成立,D选项不成立.故选B. b c b a 2.(2018金华,8,3分)如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,

2、量得ABC=,ADC=,则竹竿AB与AD的长 度之比为( ) A. B. C. D. tan tan sin sin sin sin cos cos 答案答案 B AB=,AD=,=. sin AC sin AC AB AD sin sin 3.(2017温州,7,4分)如图,一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13米,已知cos =,则小车上升的高度 是( ) A.5米 B.6米 C.6.5米 D.12米 12 13 答案答案 A 因为cos =,且小车沿斜坡向上行驶13米,所以小车水平向前移动了13=12米,由勾股定 理得小车上升的高度是5米.故选A. 12 13 12 13 4.(2019温

3、州,8,4分)某简易房示意图如图所示,它是一个轴对称图形,则坡屋顶上弦杆AB的长为( ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9 5sin 9 5cos 5 9sin 5 9cos 答案答案 B 由题意可得BC=3+0.32=3.6 m,作ADBC交BC于D,该图形为轴对称图形,AB=AC,在 RtABD中,BD=BC=1.8 m,AB=(m).故选B. 1 2 cos BD 1.8 cos 9 5cos 5.(2016绍兴,8,4分)如图,在RtABC中,B=90,A=30.以点A为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D,分 别以点A,D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接AE,则E

4、AD的余弦值是( ) A. B. C. D. 3 12 3 6 3 3 3 2 答案答案 B 如图,过点E作EMAD,垂足为M,由题意知ME垂直平分AD,AM=AD=BC,在RtABC中, 易知AB=BC,AE=AB=BC,cosEAD=,故选B. 1 2 1 2 33 AM AE 1 2 3 BC BC 3 6 6.(2019舟山,15,4分)如图,在ABC中,若A=45,AC2-BC2=AB2,则tan C= . 5 5 答案答案 5 解析解析 过点B作BDAC交AC于点D, 设BD=x,DC=y, A=45,BDA=90, AD=x,AB=x,AC=x+y, BDC=90,BC2=BD2

5、+DC2=x2+y2, 2 AC2-BC2=AB2,(x+y)2-(x2+y2)= 2x2,解得y=x, tan C=. 5 5 5 5 5 5 BD CD x y 5 7.(2020台州,19,8分)人字折叠梯完全打开后如图1所示,B,C是折叠梯的两个着地点,D是折叠梯最高级踏 板的固定点.图2是它的示意图,AB=AC,BD=140 cm,BAC=40,求点D离地面的高度DE.(结果精确到0.1 cm; 参考数据:sin 700.94,cos 700.34,sin 200.34,cos 200.94) 解析解析 过点A作AFBC于点F,则AFDE, BDE=BAF, AB=AC,BAC=40

6、, BDE=BAF=20, DE=BDcos 201400.94=131.6(cm). 故点D离地面的高度DE约为131.6 cm. 思路分析思路分析 过点A作AFBC于点F,根据等腰三角形的三线合一的性质得BAF的度数,进而得BDE 的度数,再解直角三角形得结果. 8.(2020宁波,19,8分)图1是一种三角车位锁,其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小 挂锁打开时,钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下),此时汽车可以进入车位;当车位锁上锁后,钢条按图 1的方式立在地面上,以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位,图2是其示意图,经测量,钢条AB= AC=50 cm,ABC=

7、47. (1)求车位锁的底盒长BC; (2)若一辆汽车的底盘高度为30 cm,当车位锁上锁时,问这辆汽车能否进入该车位? (参考数据:sin 470.73,cos 470.68,tan 471.07) 解析解析 (1)过点A作AHBC于点H, AB=AC, BH=HC, 在RtABH中,B=47,AB=50, BH=ABcos B=50cos 47500.68=34, BC=2BH=68 cm. (2)在RtABH中, AH=AB sin B=50sin 47500.73=36.5(cm), 36.530, 当车位锁上锁时,这辆汽车不能进入该车位. 考点二 解直角三角形 1.(2020温州,8

8、,4分)如图,在离铁塔150米的A处,用测倾仪测得塔顶的仰角为,测倾仪高AD为1.5米,则铁 塔的高BC为( ) A.(1.5+150tan )米 B.米 C.(1.5+150sin )米 D.米 150 1.5 tan 150 1.5 sin 答案答案 A 如图,过点A作AEBC,交BC于点E,则四边形ADCE为矩形,AE=CD=150米,CE=AD=1.5米. 在AEB中,tan =, BE=150tan 米, BC=CE+BE=(1.5+150tan )米.故选A. BE AE150 BE 思路分析思路分析 过点A作AEBC于点E.易证四边形ADCE是矩形,可得AE的长度,再解直角三角形

9、求出BE的 长度,然后根据BC=CE+BE代入计算即可. 解题关键解题关键 解决本题的关键是作辅助线构造矩形和直角三角形,求线段CE和BE的长度. 2.(2017绍兴,6,4分)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为 0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米.则小巷 的宽度为( ) A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米 答案答案 C 设梯子斜靠在右墙时,底端到右墙角的距离为x米, 由勾股定理可得0.72+2.42=x2+22, 可解得x=1.5(负值舍去), 则小巷的宽度为0.7+1.

10、5=2.2(米). 故选C. 思路分析思路分析 当梯子斜靠在右墙时,梯子的长度并不改变,而且墙与地面是垂直的,则可先运用勾股定理构 造方程解出梯子底端到右墙角的距离,再求小巷的宽度. 3.(2019杭州,9,3分)如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OCOB,点A,B,C,D,O在同一平面内).已知AB= a,AD=b,BCO=x,则点A到OC的距离等于( ) A.asin x+bsin x B.acos x+bcos x C.asin x+bcos x D.acos x+bsin x 答案答案 D 过点A作AHOC于点H,过点B作BEAH于点E. 四边形ABCD为矩形,AB=CD=a,AD

11、=BC=b. OBOC,BCO=x,BO=bsin x. BEAH,OCAH,BEOC,EBC=BCO. ABE+EBC=90,BAH+ABE=90, BAH=EBC=BCO=x,AE=acos x. BEAH,AHOC,OBOC, 四边形BOHE为矩形,BO=EH. AH=AE+EH=AE+BO=acos x+bsin x,故选D. 4.(2020丽水,15,4分)如图是小明画的卡通图形,每个正六边形的边长都相等,相邻两个正六边形的边重 合,点A,B,C均为正六边形的顶点,AB与地面BC所成的锐角为,则tan 的值是 . 答案答案 19 15 3 解析解析 如图,作ATBC,过点B作BHAT

12、于H,设正六边形的边长为a,则正六边形的半径为a,边心距为a, 观察图形可知, BH=9a+a sin 30=9a+a=a, AH=5a cos 30=a, 3 2 1 2 19 2 5 3 2 所以tan =. BH AH 19 2 5 3 2 a a 19 15 3 5.(2019湖州,14,4分)有一种落地晾衣架如图1所示,其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾 衣竿的高度.图2是支撑杆的平面示意图,AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆,夹角BOD=.若AO= 85 cm,BO=DO=65 cm.当=74时,较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为 cm.(参考数据:sin 37 0.

13、6,cos 370.8,sin 530.8,cos 530.6) 解析解析 如图,过O作OEBD,过A作AFBD,垂足分别为E,F,可得OEAF, BO=DO,OE平分BOD, BOE=BOD=74=37, FAB=BOE=37, 在RtABF中,AB=85+65=150 cm, h=AF=AB cosFAB1500.8=120 cm. 1 2 1 2 答案答案 120 6.(2019宁波,16,4分)如图,某海防哨所O发现在它的西北方向,距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向 航行,航行一段时间后到达哨所北偏东60方向的B处,则此时这艘船与哨所的距离OB约为 米.(精 确到1米,参考数据:

14、1.414,1.732) 23 解析解析 如图,在直角OAC中,COA=CAO=45, OA=400米,OC=OA cos 45=400=200(米), 在RtOBC中,COB=60,OC=200 米, OB=400566(米). 2 2 2 2 cos60 OC 200 2 1 2 2 答案答案 566 7.(2018宁波,16,4分)如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得A, B两点的俯角分别为45和30,若飞机离地面的高度CH为1 200米,且点H,A,B在同一水平直线上,则这条 江的宽度AB为 米(结果保留根号). 答案答案 (1 200-1 200

15、) 3 解析解析 ABCD, DCA=CAH=45,DCB=CBH=30, AH=1 200(米), BH=1 200(米), AB=BH-AH=(1 200-1 200)米. tan CH CAH 1 200 1 tan CH CBH 1 200 3 3 3 3 8.(2018宁波,18,4分)如图,在菱形ABCD中,AB=2,B是锐角,AEBC于点E,M是AB的中点,连接MD,ME. 若EMD=90,则cos B的值为 . 答案答案 31 2 解析解析 延长DM交CB的延长线于点H,连接DE. 四边形ABCD是菱形,AB=BC=AD=2,ADCH,ADM=H,AM=BM,AMD=HMB,A

16、DM BHM,AD=HB=2,HM=MD,EMDH,EH=ED,设BE=x,AEBC,AEAD,AEB=EAD =90,AE2=AB2-BE2=DE2-AD2,22-x2=(2+x)2-22,x=-1或-1(舍去),cosABC=,故答 案为. 33 BE AB 31 2 31 2 9.(2020衢州,16,4分)图1是由七根连杆链接而成的机械装置,图2是其示意图.已知O,P两点固定,连杆PA= PC=140 cm,AB=BC=CQ=QA=60 cm,OQ=50 cm,O,P两点间的距离与OQ长度相等.当OQ绕点O转动时,点 A,B,C的位置随之改变,点B恰好在线段MN上来回运动.当点B运动至

17、点M或N时,点A,C重合,点P,Q,A,B在 同一直线上(如图3). (1)点P到MN的距离为 cm; (2)当点P,O,A在同一直线上时,点Q到MN的距离为 cm. 答案答案 (1)160 (2) 640 9 解析解析 (1)如图,连接PO并延长交MN于T,过点O作OHPQ于H. 由题意知OP=OQ=50 cm,PQ=PA-AQ=140-60=80(cm),PM=PA+BA=140+60=200(cm),PTMN, OHPQ,PH=HQ=40(cm), cosP=, =, PT=160(cm), 点P到MN的距离为160 cm,故答案为160. (2)如图,当P,O,A共线时,过Q作QHPT

18、于H.设HA=x cm. PH OP PT PM 40 50200 PT 由题意知AT=PT-PA=160-140=20(cm),OA=PA-OP=140-50=90(cm), QHOA,QH2=AQ2-AH2=OQ2-OH2, 又OQ=50 cm,AQ=60 cm, 602-x2=502-(90-x)2,解得x=, HT=AH+AT=(cm), 点Q到MN的距离为cm. 460 9 640 9 640 9 故答案为. 640 9 10.(2019台州,20,8分)图1是一辆在平地上滑行的滑板车,图2是其示意图,已知车杆AB长92 cm,车杆与脚 踏板所成的角ABC=70,前后轮子的半径均为6

19、 cm,求把手A离地面的高度.(结果保留小数点后一位:参 考数据:sin 700.94,cos 700.34,tan 702.75) 解析解析 过A点作ADBC于D,则sinABC=sin 70=0.94,AD=86.48 cm. 把手A离地面的距离为86.48+692.5 cm. AD AB92 AD 11.(2020嘉兴,22,10分) 为了测量一条两岸平行的河流宽度,三个数学研究小组设计了不同的方案,他们在河南岸的点A处测得 河北岸的树H恰好在A的正北方向.测量方案与数据如下表: 课题 测量河流宽度 测量工具 测量角度的仪器,皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 示意

20、图 说明 点B,C在点A的正东方向 点B,D在点A的正东方向 点B在点A的正东方向,点C在点A的正西 方向 测量数据 BC=60 m,ABH=70, ACH=35 BD=20 m,ABH=70, BCD=35 BC=101 m,ABH=70,ACH=35 (1)哪个小组的数据无法计算出河宽? (2)请选择其中一个方案及其数据求出河宽(精确到0.1 m).(参考数据:sin 700.94,sin 350.57,tan 70 2.75,tan 350.70) 解析解析 (1)第二小组的数据无法计算出河宽. (2)若选第一小组的方案及数据, ABH=70,ACH=35, BHC=ACH=35, BH

21、=BC=60 m. 在RtABH中,AH=BHsin 70600.94=56.4(m). 若选第三小组的方案及数据, 在RtABH中,AB=, 在RtACH,AC=, AB+AC=BC,+=BC, AH56.4 m. tan70 AH tan35 AH tan70 AH tan35 AH 12.(2019绍兴,20,8分)如图1为放置在水平桌面l上的台灯,底座的高AB为5 cm,长度均为20 cm的连杆BC, CD与AB始终在同一平面上. (1)转动连杆BC,CD,使BCD成平角,ABC=150,如图2,求连杆端点D离桌面l的高度DE; (2)将(1)中的连杆CD再绕点C逆时针旋转,使BCD=

22、165,如图3,问此时连杆端点D离桌面l的高度是增 加还是减少?增加或减少了多少?(精确到0.1 cm,参考数据:1.41,1.73) 23 解析解析 (1)作BODE于O. OEA=BOE=BAE=90, 四边形ABOE是矩形, OBA=90, DBO=150-90=60, OD=BD sin 60=20 cm, DE=OD+OE=OD+AB=20+539.6 cm. (2)作DFl于F,CPDF于P,BGDF于G,CHBG于H. 3 3 则四边形PCHG是矩形, CBH=60,CHB=90, BCH=30, BCD=165, DCP=45, CH=BCsin 60=10 cm,DP=CDs

23、in 45=10 cm, DF=DP+PG+GF=DP+CH+AB=(10+10+5)cm, 20+5-10-10-5=10-103.2 cm. 故连杆端点D离桌面l的高度减少了,减少了3.2 cm. 32 23 32332 B组 20162020年全国中考题组 考点一 锐角三角函数 1.(2019天津,2,3分)2sin 60的值等于( ) A.1 B. C. D.2 23 答案答案 C 根据特殊角的三角函数值,可得sin 60=,则2sin 60=2=,故选C. 3 2 3 2 3 2.(2018贵州贵阳,7,3分)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长都为1,则tanBA

24、C的值为 ( ) A. B.1 C. D. 1 2 3 3 3 答案答案 B 如图,连接BC. 在ABD和BCE中, ABDBCE(SAS),AB=BC,ABD=BCE. BCE+CBE=90,ABD+CBE=90,即ABC=90, tanBAC=1,故选B. , 90 , , ADBE ADBBEC BDCE BC AB 3.(2020内蒙古包头,8,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,D是AB的中点,BECD,交CD的延长线于点E. 若AC=2,BC=2,则BE的长为( ) A. B. C. D. 2 2 6 3 6 2 32 答案答案 A 在RtABC中,AB=2, sinABC=

25、, D是AB的中点,CD=BD, DCB=ABC, 在RtBCE中,sinECB=, =, 解得BE=. 22 ACBC 22 2(2 2) 3 AC AB 2 2 3 3 3 BE BC2 2 BE 2 2 BE3 3 2 6 3 4.(2020四川南充,8,4分)如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sinBAC=( ) A. B. C. D. 2 6 26 26 26 13 13 13 答案答案 B 如图,作BDAC于D, 设正方形网格中每个小正方形的边长为1, AB=, 又BD=, sinBAC=. 故选B. 22 3213 22 11 2 2 2 BD AB 2 2 13 26

26、26 5.(2020湖北武汉,16,3分)如图,折叠矩形纸片ABCD,使点D落在AB边的点M处,EF为折痕,AB=1,AD=2.设 AM的长为t,用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是 . 答案答案 t2-t+1 1 4 1 4 解析解析 如图,设MN与BC的交点为P,AE=x,由折叠性质可得CF=FN,CD=MN=1,EMN=90,DE=EM=2-x, 再由矩形ABCD可得AME=MPB,AM=t,MB=1-t,在RtAEM中,AE2+AM2=EM2,即x2+t2=(2-x)2,解得 x=,则DE=2-x=,sinAME=,tanAME=,在RtMPB中,MP= =,NP=1-MP=,FP

27、N=MPB,MPB=AME,FN=NPtanAME= ,CF=, 四边形CDEF的面积为CD=+=t2-t+1. 2 4 4 t 2 4 4 t 2 x x 2 2 4 4 t t x t 2 4 4 t t sin MB MPB sin MB AME 2 2 (1)(4) 4 tt t 32 2 24 4 ttt t 2 24 4 tt 2 24 4 tt 2 CFDE1 2 2 24 4 tt 2 4 4 t1 4 1 4 难点突破难点突破 设MN与BC的交点为P,求出AE,并利用AME=MPB=FPN及锐角三角函数求出NF是解 答本题的突破口. 考点二 解直角三角形 1.(2020江苏苏

28、州,7,3分)如图,小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度,他作了如下操作:(1)在点C处放置 测角仪,测得旗杆顶的仰角ACE=;(2)量得测角仪的高度CD=a;(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB =b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识,旗杆的高度可表示为( ) A.a+btan B.a+bsin C.a+ D.a+ tan b sin b 答案答案 A 延长CE交AB于F, 由题意得,四边形CDBF为矩形, CF=DB=b,FB=CD=a, 在RtACF中,ACF=,CF=b, tanACF=, AF=CF tanACF=btan , AB=AF+BF=a+btan , 故选A. AF C

29、F 解题关键解题关键 本题主要考查了解直角三角形,解题关键是通过构造直角三角形,将实际问题转化为数学问题. 2.(2018广西南宁,12,3分)如图,矩形纸片ABCD,AB=4,BC=3,点P在BC边上,将CDP沿DP折叠,点C落在 点E处,PE、DE分别交AB于点O、F,且OP=OF,则cosADF的值为( ) A. B. C. D. 11 13 13 15 15 17 17 19 答案答案 C 由题意得RtDCPRtDEP,所以DC=DE=4,CP=EP, 在RtOEF和RtOBP中,BOP=EOF,B=E,OP=OF, 所以RtOEFRtOBP(AAS), 所以OE=OB,EF=BP,

30、设EF=x,则BP=x,DF=DE-EF=4-x, 又因为BF=OF+OB=OP+OE=PE=PC,PC=BC-BP=3-x, 所以AF=AB-BF=4-(3-x)=1+x, 在RtDAF中,AF2+AD2=DF2, 即(1+x)2+32=(4-x)2, 解得x=,所以EF=,DF=4-=, 在RtDAF中,cosADF=. 3 5 3 5 3 5 17 5 15 17 难点突破难点突破 折叠问题的核心结论是折叠前后不改变图形的形状和大小,因此题干中隐含了很多相等关 系,突破口在于利用折叠的性质将有关联的线段长用未知数表示,利用勾股定理得到关于所求线段或相 关线段的方程,难度适中. 3.(20

31、18宁夏,15,3分)一艘货轮以18 km/h的速度在海面上沿正东方向航行,当行驶至A处时,发现它的 东南方向有一灯塔B,货轮继续向东航行30分钟后到达C处,发现灯塔B在它的南偏东15方向,则此时货 轮与灯塔B的距离是 km. 2 答案答案 18 解析解析 作CEAB于E,AC=180.5=9 km, CAB=45,CE=AC sin 45=9 km, 货轮到达C处时,灯塔B在它的南偏东15方向, NCB=75, 又CAB=45,B=30, BC=18 km,故答案为18. 22 sin CE B 9 1 2 4.(2020山东潍坊,20,7分)某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一

32、座桥的长度.如图,桥 AB是水平并且笔直的,测量过程中,小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停,此时测得 桥两端A,B两点的俯角分别为60和45,求桥AB的长度. 解析解析 如图所示,过C点作CDAB交AB于D点. 在RtACD中,AD=CD tanACD=120=40(米). 在RtBCD中,BD=CD tanBCD=1201=120(米). AB=AD+BD=(40+120)米. 答:桥AB的长度是(120+40)米. 3 3 3 3 3 5.(2020天津,22,10分)如图,A,B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连接AC,BC.测得BC=221 m,ACB=45, A

33、BC=58.根据测得的数据,求AB的长(结果取整数). 参考数据:sin 580.85,cos 580.53,tan 581.60. 解析解析 如图,过点A作AHCB,垂足为H. 根据题意,ACB=45,ABC=58,BC=221. 在RtCAH中,tanACH=,CH=AH. 在RtBAH中,tanABH=,sinABH=, BH=,AB=. AH CHtan45 AH AH BH AH AB tan58 AH sin58 AH 又CB=CH+BH,221=AH+,可得AH=. AB=160. 答:AB的长约为160 m. tan58 AH 221 tan58 1tan58 221 tan5

34、8 (1tan58 ) sin58 221 1.60 (1 1.60)0.85 思路分析思路分析 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是从实际问题中构造出直角三角形,本题已知B、 C的度数和BC的长,因此,过A点作BC的垂线AH构造直角三角形,用AH分别表示出BH、CH和AB, 进而求得AB的长. 6.(2019吉林,21,7分)墙壁及淋浴花洒截面如图所示.已知花洒底座A与地面的距离AB为170 cm,花洒AC 的长为30 cm,与墙壁的夹角CAD为43,求花洒顶端C到地面的距离CE(结果精确到1 cm). (参考数据:sin 43=0.68,cos 43=0.73,tan 43=0.93)

35、 解析解析 如图,过点C作CFAB于点F,则AFC=90.(1分) 在RtACF中,AC=30 cm,CAF=43, cosCAF=, AF=AC cosCAF =30cos 43 =300.73=21.9(cm).(5分) CE=BF=AB+AF =170+21.9=191.9192(cm). 因此,花洒顶端C到地面的距离CE约为192 cm.(7分) 评分说明:(1)计算过程与结果中,写“=”或“”均不扣分;(2)计算过程不加单位不扣分. AF AC C组 教师专用题组 考点一 锐角三角函数 1.(2016广东,8,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cos 的值是

36、( ) A. B. C. D. 3 4 4 3 3 5 4 5 答案答案 D 过点A作AB垂直x轴于B, 则AB=3,OB=4. 由勾股定理得OA=5. cos =.故选D. OB OA 4 5 2.(2019上海,17,4分)如图,在正方形ABCD中,E是边AD的中点,将ABE沿直线BE翻折,点A落在点F处,连 接DF,那么EDF的正切值是 . 答案答案 2 解析解析 如图所示,由折叠可得AE=FE,AEB=FEB= AEF. 在正方形ABCD中,E是AD的中点, AE=DE= AD= AB, DE=FE,EDF=EFD, 又AEF是DEF的外角, AEF=EDF+EFD, 1 2 1 2

37、1 2 EDF=AEF, AEB=EDF, tanEDF=tanAEB=2.故答案为2. 1 2 AB AE 3.(2020安徽,14,5分)在数学探究活动中,敏敏进行了如下操作:如图,将四边形纸片ABCD沿过点A的直线 折叠,使得点B落在CD上的点Q处,折痕为AP;再将PCQ,ADQ分别沿PQ,AQ折叠,此时点C,D落在AP 上的同一点R处.请完成下列探究: (1)PAQ的大小为 ; (2)当四边形APCD是平行四边形时,的值为 . AB QR 答案答案 (1)30 (2) 3 解析解析 (1)由折叠性质可得ADQARQ,PCQPRQ,APQAPB,D=ARQ,DAQ= RAQ,DQA=RQ

38、A,C=PRQ,CQP=RQP,B=AQP,QAP=BAP,QAP=BAP= DAQ,又DQA+RQA+CQP+RQP=180,RQA+RQP=90,AQP=90,B=90, ARQ+PRQ=180,C+D=180,ADBC,DAB=90,PAQ=30. (2)当四边形APCD是平行四边形时,由(1)可得四边形ADQR、QRPC是平行四边形,且C=CPQ= QPR=60,QP=CQ,由折叠可知QR=QC=PQ.在RtAQP中,tanQPA=tan 60=,由APQ APB可得AQ=AB,=. AQ PQ 3 AB QR 3 思路分析思路分析 (1)根据折叠性质可得ADQARQ,PCQPRQ,A

39、PQAPB,然后根据全等及平 角性质可证QAP=BAP=DAQ,AQP=90,进一步可证ADBC及DAB=90,问题解决;(2)当四边 形APCD是平行四边形时,画出草图,易推出C=CPQ=QPR=60,由折叠可知QR=QC=PQ,AQ=AB,最 后根据tanQPA=tan 60=即可求出结果. AQ PQ 3 解题关键解题关键 利用(1)的结论及锐角三角函数的知识是解答本题的关键. 4.(2020吉林,25,10分)如图,ABC是等边三角形,AB=4 cm.动点P从点A出发,以2 cm/s的速度沿AB向点B 匀速运动,过点P作PQAB,交折线AC-CB于点Q,以PQ为边作等边三角形PQD,使

40、点A,D在PQ异侧.设点P 的运动时间为x(s)(0x2),PQD与ABC重叠部分图形的面积为y(cm2). (1)AP的长为 cm(用含x的代数式表示); (2)当点D落在边BC上时,求x的值; (3)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围. 解析解析 (1)2x.(2分) 详解:根据“路程=速度时间”可得AP=2x(cm). (2)如图,根据题意,得4x+2x=4,解得x=. 图 当点D落在边BC上时,x=.(4分) (3)如图,当0x时,y=(2x)2=3x2. y=3x2.(6分) 2 3 2 3 2 3 3 4 33 3 图 如图,当x1时,y=3x2-(3x-2)2 =-

41、 x2+18x-6. y=- x2+18x-6.(8分) 如图,当1x2时,y=(4-2x)2 =(x-2)2. 2 3 3 3 3 2 21 2 333 21 2 333 1 2 3 3 4 3 3 2 图 图 y=(x-2)2.(10分) 3 3 2 2 3 3 6 36 3 2 yxx 或 难点突破难点突破 对于第(3)问,先利用第(2)问所求x的值及点Q与点C重合时x的值,分0x、x1和1x0, 由勾股定理得AF=x=, EF=x=. 5 5 5 2 5 5 2 5 5 5 2 5 2 思路分析思路分析 证明ADC为等腰直角三角形,求得AD与CD的长,由同角的余角相等及对顶角相等证得D

42、FC =AFE=B,然后根据tanDFC=2求得DF的长,从而可得AF的长;根据tanAFE=tanB=2,设AE=2x,BF=x, x0,结合勾股定理及AF的长即可求出EF的长. 6.(2019绍兴上虞二模)如图,在RtBAD中,延长斜边BD到点C,使DC=BC,连接AC,若tan B=,则tanCAD 的值为 . 1 3 3 5 答案答案 5 9 解析解析 过点C作CEAD,垂足为E, 由tan B=,即=,可设AD=3x,AB=5x, CDE=BDA,CED=BAD=90,CDEBDA, DC=BC,BD=2DC,=, CE=x,DE=x,AE=x, 3 5 AD AB 3 5 1 3

43、CE AB DC BD DE AD 1 2 5 2 3 2 9 2 tanCAD=. CE AE 5 2 9 2 x x 5 9 7.(2018杭州滨江一模,14)如图,“人字梯”放在水平地面上,当梯子的一边与地面所夹的锐角为60时, 两梯脚之间的距离BC为 3 m.先使为60,又调整为45,则梯子顶端距地面的高度AD下降了 m (结果保留根号). 答案答案 (-) 3 2 32 解析解析 当为60时,如图,由题意得,BC=3 m,C=60,AB=AC,AC=2DC=23=3 m,AD= m;当 为45时,如图,AC=3 m,AD=CD=AC sin 45=3= m. 梯子顶端距地面的高度AD

44、下降了-=(-)m. 1 2 3 3 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 2 32 三、解答题(共31分) 8.(2020绍兴平水模拟)如图,斜坡AB的长为65米,坡度i=12.4,BCAC. (1)求斜坡的高度BC; (2)现计划在斜坡AB的中点D处挖去部分坡体,修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE, 若斜坡BE的坡角为37,求平台DE的长. 343 :sin37,cos37,tan37 554 参考数据 解析解析 (1)斜坡AB的长为65米,坡度i=12.4, 可设BC=x米,AC=2.4x米,x0, 在RtABC中,BC2+AC2=AB2,即x2+(2.4

45、x)2=652, 解得x=25(舍负), 斜坡的高度BC=25米. (2)延长DE交BC于F, D是AB的中点,DEAC,BF=12.5米, DF=12.52.4=30米, tan 37=,EF=米, DE=DF-EF=米. BF EF 50 3 40 3 9.(2020杭州下城九校联考)如图,某高楼顶部有一信号发射塔,在矩形建筑物ABCD的A,C两点测得该塔 顶端E的仰角分别为=48和=65,矩形建筑的宽度AD=18 m,高度CD=30 m,求信号发射塔顶端到 地面的距离EF.(结果精确到0.1 m) (参考数据:sin 480.7,cos 480.7,tan 481.1,sin 650.9

46、,cos 650.4,tan 652.1) 解析解析 如图,过点A作AGEF,垂足为G. 设EF的长为x m, 由题意可知,四边形CDGF是矩形, 则FG=CD=30,DG=CF, GE=x-30. 在RtAEG中,AGE=90, tan 48=,AG=, EG AGtan48 EG 30 1.1 x 在RtCEF中,CFE=90,ECF=65, tan 65=,CF=, DG=CF, AG=CF+AD, =+18, x=104.58104.6. 答:信号发射塔顶端到地面的距离EF为104.6 m. EF CFtan65 EF 2.1 x 30 1.1 x 2.1 x 思路分析思路分析 过点A

47、作AGEF,垂足为G.设EF的长为x m,由题意可得四边形CDGF是矩形,再根据锐角三 角函数即可求出信号发射塔顶端到地面的距离EF. 10.(2018绍兴二模,19)图1是安装在倾斜屋顶上的热水器,图2是安装热水器的侧面示意图.已知屋面AE的 倾斜角EAD为22,长为2米的真空管AB与水平线AD的夹角为37,安装热水器的铁架竖直管CE的长度 为0.5米. (1)求真空管上端B到水平线AD的距离; (2)求安装热水器的铁架水平横管BC的长度(结果精确到0.1米) 参考数据:sin 37,cos 37,tan 37,sin 22,cos 22,tan 22. 3 5 4 5 3 4 3 8 15 16 2 5 解析解析 (1)过B作BFAD于F. 在RtABF中,sinBAF=, BF=ABsinBAF=2sin 37=1.2. 真空管上端B到AD的距离约为1.2米. (