2021年山东中考数学复习练习课件：§4.3　等腰三角形及直角三角形.pptx

1、 中考数学 （山东专用） 第四章 图形的认识 4.3 等腰三角形及直角三角形 A组 20162020年山东中考题组 考点一 等腰三角形 1.(2020临沂,5,3分)如图,在ABC中,AB=AC,A=40,CDAB,则BCD=( ) A.40 B.50 C.60 D.70 答案答案 D 由等腰三角形的性质及A=40,易知ACB=70, CDAB,ACD=180-A=140, BCD=ACD-ACB=70. 2.(2020枣庄,6,3分)如图,在ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若BC=6,AC=5,则 ACE的周长为( ) A.8 B.11 C.16 D.17 答

2、案答案 B 由DE垂直平分AB,得AE=BE, 则ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=11. 3.(2020滨州,14,5分)在等腰ABC中,AB=AC,B=50,则A的大小为 . 答案答案 80 解析解析 由AB=AC,B=50,得C=B=50, A=180-250=80. 4.(2019东营,14,3分)已知等腰三角形的底角是30,腰长为2,则它的周长是 . 3 答案答案 6+4 3 解析解析 等腰三角形ABC如图,作ADBC于D, AB=AC,BD=DC. 在RtABD中,B=30, AD=AB=, 由勾股定理得,BD=3, BC=2BD=6,ABC的周长为6+

3、2+2=6+4. 1 2 3 22 -AB AD 333 思路分析思路分析 作ADBC于D,根据直角三角形的性质求出AD,根据勾股定理求出BD,根据三角形的周长定义 计算即可. 5.(2017淄博,16,4分)在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DEAB,DF AC,垂足分别为E,F,则DE+DF= . 答案答案 2 3 解析解析 连接AD,过点C作CGAB,垂足为G,则AG=BG=2. CG=2. SABD+SACD=SABC, AB DE+AC DF=AB CG, 4 DE+4 DF=4 CG, DE+DF=CG=2. 22 -AC AG 22 4 -23

4、1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 6.(2020泰安,23,12分)若ABC和AED均为等腰三角形,且BAC=EAD=90. (1)如图1,点B是DE的中点,判断四边形BEAC的形状,并说明理由; (2)如图2,若点G是EC的中点,连接GB并延长至点F,使CF=CD. 求证:EB=DC; EBG=BFC. 解析解析 (1)四边形BEAC是平行四边形. 理由如下: AED为等腰三角形,EAD=90,B是DE的中点, ABE=90,E=BAE=45, ABC是等腰三角形,BAC=90, ABC=ACB=BAE=45,ABE=BAC=90, BCAE,ACBE, 四边形BEAC是平

5、行四边形. (2)证明:ABC和AED均为等腰三角形,BAC=EAD=90, AE=AD,AB=AC,BAE=CAD, AEBADC(SAS), BE=CD. 延长FG至点H,使GH=FG,连接EH, G是EC的中点, EG=CG, 又EGH=FGC,GH=GF, EGHCGF(SAS), BFC=H,CF=EH, CF=CD,CD=BE, EH=BE, H=EBG, EBG=BFC. 思路分析思路分析 (1)易知ABC和AED均为等腰直角三角形,ABE=90,E=BAE=45,ABC=BAE= 45,ABE=BAC=90,可证BCAE,ACBE,即可得四边形BEAC是平行四边形. (2)由“

6、SAS”可证AEBADC,可得BE=CD; 延长FG至点H,使GH=FG,连接EH,由“SAS”可证EGHCGF,可得BFC=H,CF=EH,故EH=BE, 由等腰三角形的性质可得结论. 考点二 直角三角形 1.(2020威海,9,3分)七巧板是大家熟悉的一种益智玩具,用七巧板能拼出许多有趣的图案.小李将一块等腰 直角三角形硬纸板(如图)切割七块,正好制成一副七巧板(如图).已知AB=40 cm,则图中阴影部分的面 积为( ) A.25 cm2 B. cm2 C.50 cm2 D.75 cm2 100 3 答案答案 C 如图,设OF=EF=FG=x cm, OE=OH=2x cm, 在RtEO

7、H中,EH=2x cm, 由题意得EH=20 cm, 20=2x, x=5, 阴影部分的面积=(5)2=50 cm2. 22 OHOE2 2 2 2 2.(2018滨州,1,3分)在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案答案 A 根据勾股定理直接求得弦为=5. 22 34 3.(2019东营,7,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,分别以点B和点C为圆心,大于BC的长为半径作弧,两 弧相交于D、E两点,作直线DE交AB于点F,交BC于点G,连接CF.若AC=3,CG=2,则CF的长为( ) A. B.3 C.2 D. 1 2 5 2 7 2

8、答案答案 A 由已知得GF垂直平分BC, FB=FC,CG=BG=2,FGBC, ACB=90, FGAC, BF=AF, CF为斜边AB上的中线, AB=5, CF=AB=. 22 34 1 2 5 2 思路分析思路分析 利用线段垂直平分线的性质得到FB=FC,CG=BG=2,FGBC,同时得到BF=AF,则CF为斜边AB 上的中线,根据勾股定理计算出AB的长,然后利用斜边上的中线等于斜边的一半得到CF的长. 4.(2019滨州,10,3分)满足下列条件时,ABC不是直角三角形的为( ) A.AB=,BC=4,AC=5 B.ABBCAC=345 C.ABC=345 D.+=0 41 1 co

9、s - 2 A 2 3 tan- 3 B 答案答案 C A.52+42=25+16=41=()2,ABC是直角三角形; B.由题意设AB=3x,BC=4x,AC=5x,(3x)2+(4x)2=9x2+16x2=25x2=(5x)2,ABC是直角三角形; C.ABC=345,C=180=7590,ABC不是直角三角形; D.+=0,cos A=,tan B=,A=60,B=30,C=90,ABC是直角三角形. 故选C. 41 5 345 1 cos - 2 A 2 3 tan- 3 B 1 2 3 3 5.(2020菏泽,14,3分)如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上

10、,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的 延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为 . 答案答案 3 17 解析解析 在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,BAD=BCD=90,BD=13, BP=BA=5, PD=BD-BP=8,BAP=BPA=DPQ, ABCD, BAP=DQP, DPQ=DQP, DQ=DP=8, CQ=DQ-CD=DQ-AB=8-5=3, 在RtBCQ中,根据勾股定理,得BQ=3. 22 ABAD 22 BCCQ15317 6.(2019枣庄,17,4分)把两个同样大小含45角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶 点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且

11、另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=2,则CD= . 答案答案 - 62 解析解析 如图,过点A作AFBC于F, 在RtABC中,B=45, BC=AB=2,BF=AF=AB=, AD=BC=2, 在RtADF中,根据勾股定理得,DF=, CD=BF+DF-BC=+-2=-. 22 2 2 2 2 22 -AD AF6 26262 7.(2019聊城,16,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,B=60,DE为ABC的中位线,延长BC至F,使CF= BC,连接FE并延长交AB于点M.若BC=a,则FMB的周长为 . 1 2 答案答案 a 9 2 解析解析 在RtABC中,B=6

12、0, A=30,AB=2a,AC=a. DE是中位线,CE=a, 又CF=BC=, FE=a,FEC=30, A=AEM=30, EM=AM, FMB周长=BF+FE+EM+BM=BF+FE+AM+MB=BF+FE+AB=a. 3 3 2 1 22 a 22 CECF 9 2 8.(2017青岛,13,3分)如图,在四边形ABCD中,ABC=ADC=90,E为对角线AC的中点,连接BE,ED,BD,若 BAD=58,则EBD为 度. 答案答案 32 解析解析 ABC=ADC=90,E为AC的中点, AE=BE=DE,BAE=ABE,DAE=ADE. BED=BAE+ABE+DAE+ADE=2B

13、AD=116. BE=DE, EBD=(180-BED)=(180-116)=32. 1 2 1 2 思路分析思路分析 先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得AE=BE=DE,再根据等腰三角形的性质得 BAE=ABE,DAE=ADE,再利用三角形外角的性质求得BED的度数,进而求得等腰三角形BED的 底角EBD的度数. 方法规律方法规律 由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,所以若问题中出现直角三角形斜边中点时,通 常从斜边上的中线把直角三角形分成的两个等腰三角形入手进行解答. B组 20162020年全国中考题组 考点一 等腰三角形 1.(2020福建,5,4分)如图,AD是等腰

14、三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于( ) A.10 B.5 C.4 D.3 答案答案 B 根据等腰三角形“三线合一”可得AD是BC的中线,所以CD=BD=5.故选B. 2.(2019湖南郴州,7, 3分)如图,分别以线段AB的两端点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,在线段AB的两侧 分别交于点E,F,作直线EF交AB于点O.在直线EF上任取一点P(不与O重合),连接PA,PB,则下列结论不一定 成立的是( ) A.PA=PB B.OA=OB C.OP=OF D.POAB 1 2 答案答案 C 由作图可知,EF垂直平分线段AB,则PA=PB,故A选项成立;OA=OB,故B选项成立;

15、OE=OF,故C选 项不一定成立;POAB,故D选项成立.故选C. 解题关键解题关键 本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质,解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法,利用 线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题. 3.(2019广西贵港,10,3分)将一条宽度为2 cm的彩带按如图所示的方法折叠,折痕为AB,重叠部分为ABC (图中阴影部分),若ACB=45,则重叠部分的面积为( ) A.2 cm2 B.2 cm2 C.4 cm2 D.4 cm2 23 2 答案答案 A 如图所示,过A、B分别作ADBC于D,BEAC于E, 则AD=BE=2 cm,且BCE和ACD均为等腰直角三角形.

16、在RtBCE中,sin 45=, BC=2(cm). SABC=BC AD=22=2(cm2). 故选A. BE BC 2 2 2 2 1 2 1 2 22 4.(2020海南,15,4分)如图,在ABC中,BC=9,AC=4,分别以点A、B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相 交于点M,N,作直线MN,交BC边于点D,连接AD,则ACD的周长为 . 1 2 答案答案 13 解析解析 根据作图可知MN垂直平分线段AB,AD=BD, BC=BD+DC=9,AD+DC=9. AC=4,ACD的周长为AC+AD+DC=4+9=13. 思路分析思路分析 首先根据尺规作图可得MN垂直平分线段AB,即可

17、得AD=BD,又由BC的长求得AD+DC的长,则 可求得ACD的周长. 5.(2020辽宁营口,17,3分)如图,ABC为等边三角形,边长为6,ADBC,垂足为点D,点E和点F分别是线段AD 和AB上的两个动点,连接CE,EF,则CE+EF的最小值为 . 答案答案 3 3 解析解析 过C作CFAB于点F,交AD于E,此时CE+EF的值最小,且CE+EF的最小值为CF的长. ABC为等边三角形,边长为6,BF=AB=6=3, CF=3,CE+EF的最小值为3. 1 2 1 2 22 -BC BF 22 6 -333 解题关键解题关键 解决本题的关键是将CE+EF的最小值转化为点C到直线AB的距离

18、,进而借助勾股定理求出线 段CF的长. 6.(2019甘肃兰州,14,4分)在ABC中,AB=AC,A=40,则B= . 答案答案 70 解析解析 B=70. 7.(2019北京,12,2分)如图所示的网格是正方形网格,则PAB+PBA= (点A,B,P是网格线交点). 答案答案 45 解析解析 如图,延长AP到C,连接BC.易证PBC是等腰直角三角形.CPB=45.PAB+PBA=45. 8.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的中 点,连接DG,则DG的长为 . 答案答案 19 2 解析解析 连接DE,在等边AB

19、C中, D、E分别是AB、BC的中点, DEAC,DE=EC=AC=2, DEB=C=60. EFAC,EFC=90, FEC=30,EF=, 1 2 3 DEG=180-60-30=90. G是EF的中点,EG=. 在RtDEG中,DG=. 3 2 22 DEEG 2 2 3 2 2 19 2 思路分析思路分析 连接DE,根据题意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度数,判断出DEG是直角三角形, 再根据勾股定理即可求解DG的长. 疑难突破疑难突破 本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段DG的长,DG 与图中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造

20、直角三角形,运用勾股定理求出DG的长. 9.(2020广东,20,6分)如图,在ABC中,点D,E分别是AB、AC边上的点,BD=CE,ABE=ACD,BE与CD相交 于点F.求证:ABC是等腰三角形. 证明证明 BD=CE,ABE=ACD,DFB=EFC, DFBEFC.(3分) FB=FC. FBC=FCB. FBC+ABE=FCB+ACD, 即ABC=ACB. ABC是等腰三角形.(6分) 思路分析思路分析 首先证明DFBEFC,得到FB=FC,进而证得FBC=FCB,推理得到ABC=ACB,根据 等腰三角形的判定得证. 解题关键解题关键 解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质以及等腰三

21、角形的判定. 10.(2019江苏扬州,28,12分)如图,已知等边ABC的边长为8,点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合). 直线l是经过点P的一条直线,把ABC沿直线l折叠,点B的对应点是点B. (1)如图1,当PB=4时,若点B恰好在AC边上,则AB的长度为 ; (2)如图2,当PB=5时,若直线lAC,则BB的长度为 ; (3)如图3,点P在AB边上的运动过程中,若直线l始终垂直于AC,ACB的面积是否变化?若变化,说明理由;若 不变化,求出面积; (4)当PB=6时,在直线l变化过程中,求ACB面积的最大值. 解析解析 (1)如图, ABC是等边三角形, A=60,AB=BC=

22、AC=8, PB=4,PB=PB=PA=4, A=60,APB是等边三角形, AB=AP=4. (2)如图,设直线l交BC于点E,BB交PE于O. PEAC,BPE=A=60,BEP=C=60, PEB是等边三角形, PB=5,B,B关于直线l对称, BBPE,BB=2OB. 在RtPOB中,OB=PB sin 60=, BB=5. 5 3 2 3 (3)结论:面积不变. 连接BB.B,B关于直线l对称,BB直线l,如图,直线lAC,ACBB, SACB=SACB=84=16. (4)如图,连接BP,并延长交AC于点E.当BPAC时,ACB的面积最大, 1 2 33 在RtAPE中,PA=2,

23、PAE=60, PE=PA sin 60=, BE=6+, SACB的最大值=8(6+)=4+24. 3 3 1 2 33 考点二 直角三角形 1.(2018江苏扬州,7,3分)在RtABC中,ACB=90,CDAB于D,CE平分ACD交AB于E,则下列结论一定 成立的是( ) A.BC=EC B.EC=BE C.BC=BE D.AE=EC 答案答案 C ACB=90,CDAB, ACD+BCD=90,ACD+A=90, BCD=A. CE平分ACD,ACE=DCE. 又BEC=A+ACE,BCE=BCD+DCE, BEC=BCE,BC=BE.故选C. 思路分析思路分析 根据同角的余角相等可得

24、出BCD=A,根据角平分线的定义可得出ACE=DCE,再结合 BEC=A+ACE、BCE=BCD+DCE即可得出BEC=BCE,利用等角对等边即可得出BC=BE, 此题得解. 2.(2020广西北部湾经济区,11,3分)九章算术是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去阃(读kn, 门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何?题目大意是:如图1、2(图2为图1的平面示意图),推开双门,双门间 隙CD的距离为2寸,点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸),则AB的长是( ) 图1 图2 A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸 答案答案 C 如图,过O作OECD于E,易知四边形E

25、DFO为矩形,O为AB的中点,E为DC的中点,故FO=DE= DC=1寸. 设AO=AD=BC=OB=x寸, 则AF=(x-1)寸, 在RtADF中,AD2=AF2+DF2,即x2=(x-1)2+102, 解得x=,故AB=2x=101寸,故选C. 1 2 101 2 3.(2020宁夏,16,3分)2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股 圆方图,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1),且大正方形的面 积是15,小正方形的面积是3,直角三角形的较短直角边长为a,较长直角边长为b.如果将四个全等的直角三 角形按图2的形式摆放,

26、那么图2中的大正方形的面积为 . 答案答案 27 解析解析 由题图1可得直角三角形的面积为=3,大正方形的边长为,题图2中的大正方形的面积为3 4+()2=27. 15-3 4 15 15 思路分析思路分析 先根据题图1求出直角三角形的面积和大正方形的边长,然后求出题图2中的大正方形的面积. 4.(2019江苏南京,12,2分)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内, 木筷露在杯子外面的部分至少有 cm. 答案答案 5 解析解析 由题意可得,杯子内的木筷长度最多有=15 cm,则木筷露在杯子外面的部分至少有20-15=5 cm. 22 129 5.(2019

27、西藏,15,3分)若实数m、n满足|m-3|+=0,且m、n恰好是直角三角形的两条边的长,则该直角三角 形的斜边长为 . -4n 答案答案 5或4 解析解析 |m-3|+=0, m=3,n=4. 当m,n是两条直角边的长时,直角三角形的斜边长=5; 当n是斜边的长时,直角三角形的斜边长为4. -4n 22 34 6.(2020江西,23,12分)某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后,针对图1中所示的“由直角三角形三边 向外侧作多边形,它们的面积S1,S2,S3之间的关系问题”进行了以下探究: 类比探究 (1)如图2,在RtABC中,BC为斜边,分别以AB,AC,BC为斜边向外侧作RtABD,

28、RtACE,RtBCF,若1= 2=3,则面积S1,S2,S3之间的关系式为 ; 推广验证 (2)如图3,在RtABC中,BC为斜边,分别以AB,AC,BC为边向外侧作任意ABD,ACE,BCF,满足1=2 =3,D=E=F,则(1)中所得关系式是否仍然成立?若成立,请证明你的结论;若不成立,请说明理由; 拓展应用 (3)如图4,在五边形ABCDE中,A=E=C=105,ABC=90,AB=2,DE=2,点P在AE上,ABP=30,PE= ,求五边形ABCDE的面积. 3 2 图4 解析解析 (1)S1+S2=S3. 详解:ABC是直角三角形,AB2+AC2=BC2. ABD、ACE、BCF均

29、为直角三角形,且1=2=3, RtABDRtACERtBCF,=,=, +=+=1. S1+S2=S3. (2)成立.证明如下: 1=2=3,D=E=F, ABDCAEBCF. 1 3 S S 2 2 AB BC 2 3 S S 2 2 AC BC 1 3 S S 2 3 S S 12 3 SS S 2 2 AB BC 2 2 AC BC 22 2 ABAC BC 2 2 BC BC =,=. =. ABC为直角三角形, AB2+AC2=BC2. =1. S1+S2=S3. (3)过点A作AHBP于点H. 1 3 S S 2 2 AB BC 2 3 S S 2 2 AC BC 12 3 SS

30、S 22 2 ABAC BC 12 3 SS S ABH=30,AB=2, AH=,BH=3,BAH=60. BAP=105, HAP=45. PH=AH=. AP=,BP=BH+PH=3+. 3 3 3 63 SABP=. 连接PD. PE=,ED=2, =,=. =. 又E=BAP=105, ABPEDP. EPD=APB=45,=. 2 BP AH(33)3 2 3 33 2 2 PE AP 2 6 3 3 ED AB 2 2 3 3 3 PE AP ED AB PD BP PE AP 3 3 BPD=90,PD=1+. SPED=SABP=. 连接BD. SPBD=2+3. tanPB

31、D=,PBD=30. ABC=90,ABP=30, DBC=30. C=105, ABPEDPCBD. 3 2 3 3 3 33 2 1 3 31 2 2 PB PD( 33)(13) 2 3 PD BP 3 3 SBCD=SABP+SEDP=+=2+2. S五边形ABCDE=SABP+SEDP+SBCD+SBPD =+(2+2)+(2+3) =6+7. 3 33 2 31 2 3 3 33 2 31 2 33 3 C组 教师专用题组 考点一 等腰三角形 1.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结 论时,需添加辅助线

32、,则作法不正确的是( ) A.作APB的平分线PC交AB于点C B.过点P作PCAB于点C且AC=BC C.取AB中点C,连接PC D.过点P作PCAB,垂足为C 答案答案 B 无论作APB的平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PCAB,垂足为C,都 可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B. 2.(2019贵州贵阳,9,3分)如图,在ABC中,AB=AC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交AB于点B和点D,再分别 以点B,D为圆心,大于BD长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线CM交AB于点E,若AE=2,BE=1,则EC的长 度是( ) A

33、.2 B.3 C. D. 1 2 35 答案答案 D 由作图叙述可知CEAB,AE=2,BE=1,AB=AC=3,在RtACE中,CE=,故选D. 22 3 -25 3.(2018黑龙江绥化,18,3分)已知等腰三角形的一个外角为130,则它的顶角的度数为 . 答案答案 50或80 解析解析 当等腰三角形顶角的外角为130时,顶角为180-130=50; 当等腰三角形底角的外角为130时,顶角为180-2(180-130)=80. 故答案为50或80. 4.(2019辽宁大连,13,3分)如图,ABC是等边三角形,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD.AB=2,则AD的长为 . 答案答案 2

34、 3 解析解析 ABC是等边三角形,AB=2, BC=CA=AB=2,ABC=BCA=BAC=60. CA=CD=2, CAD=D,BD=CB+CD=4, ACB=CAD+D, 2D=ACB=60, D=60=30, BAD=180-B-D=180-60-30=90. 在RtABD中, AD=2, 1 2 22 -BD AB 22 4 -23 故答案为2. 3 5.(2020吉林,25,10分)如图,ABC是等边三角形,AB=4 cm.动点P从点A出发,以2 cm/s的速度沿AB向点B匀 速运动,过点P作PQAB,交折线AC-CB于点Q,以PQ为边作等边三角形PQD,使点A,D在PQ异侧.设点

35、P的运 动时间为x(s)(0x2),PQD与ABC重叠部分图形的面积为y(cm2). (1)AP的长为 cm(用含x的代数式表示); (2)当点D落在边BC上时,求x的值; (3)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围. 解析解析 (1)2x.(2分) 详解:根据“路程=速度时间”可得AP=2x(cm). (2)如图,根据题意,得4x+2x=4,解得x=. 图 当点D落在边BC上时,x=.(4分) 2 3 2 3 (3)如图,当0x时,y=(2x)2=3x2. y=3x2.(6分) 图 图 2 3 3 4 33 3 如图,当x1时,y=3x2-(3x-2)2 =- x2+18x-6.

36、 y=- x2+18x-6.(8分) 2 3 3 3 3 2 21 2 333 21 2 333 如图,当1x2时,y=(4-2x)2 =(x-2)2. y=(x-2)2.(10分) 图 1 2 3 3 4 3 3 2 3 3 2 2 3 3 -6 36 3 2 yxx 或 难点突破难点突破 对于第(3)问,先利用第(2)问所求x的值及点Q与点C重合时x的值,分0x、x1和1x2 三种情况讨论,然后分别利用等边三角形的性质、锐角三角函数正确表达PQD与ABC重叠部分图形 的面积y即可. 2 3 2 3 方法总结方法总结 对于几何动态探究题,通常有以下解题思路:一是弄清在运动过程中,存在哪些不变

37、量及不变的 关系,有哪些几何量是变化的,以及它们之间的关系;二是根据变量和不变量之间的几何关系建立方程模 型,求出动点在特殊位置的未知量的值;或根据变量和变量之间的几何关系建立函数模型,探究特殊情况下 未知量的值,进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示. 6.(2018浙江义乌,22,12分)数学课上,张老师举了下面的例题: 例1 等腰三角形ABC中,A=110,求B的度数.(答案:35) 例2 等腰三角形ABC中,A=40,求B的度数.(答案:40或70或100) 张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题: 变式 等腰三角形ABC中,A=80,求B的度数. (1)请你解答以上的变式题.

38、(2)解(1)后,小敏发现,A的度数不同,得到B的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,设A= x,当B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围. 解析解析 (1)若A为顶角,则B=(180-A)2=50; 若A为底角,B为顶角,则B=180-280=20; 若A为底角,B为底角,则B=80. 故B=50或20或80. (2)分两种情况: 当90 x180时,A只能为顶角, B的度数只有一个; 当0x90时, 若A为顶角,则B=; 若A为底角,B为顶角,则B=(180-2x); 180- 2 x 若A为底角,B为底角,则B=x. 当180-2x且180-2xx且x, 即x60时,B有

39、三个不同的度数. 综上所述,可知当0x90且x60时,B有三个不同的度数. 180- 2 x180- 2 x 思路分析思路分析 (1)由于等腰三角形的顶角和底角没有明确,因此要分类讨论;(2)分两种情况:90 x180;0 x0), 由题意得BE=BD=4,CE=CF=6, BC=BE+CE=10, 在RtABC中,AC2+AB2=BC2, 即(6+x)2+(x+4)2=102, 整理得,x2+10 x-24=0, 解得x=2或x=-12(舍去), x=2,即正方形ADOF的边长是2. 思路分析思路分析 设正方形ADOF的边长为x,在直角三角形ABC中,利用勾股定理可建立关于x的方程,解方程即

40、 可. 4.(2019济南章丘期末,2)以下列各组数为边长,不能构成直角三角形的是( ) A.3,4,5 B.1,1, C.8,12,13 D., 2 235 答案答案 C 根据勾股定理的逆定理,82+122132,不能构成直角三角形. 方法规律方法规律 在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大边后,再验证两条较小 边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断. 5.(2019济宁梁山一模,6)如图,在ABC中,CE平分ACB,CF平分ACD,且EFBC交AC于M,若CM=5,则 CE2+CF2等于( ) A.75 B.100 C.120 D.125 答案答案 B

41、CE平分ACB,CF平分ACD, ACE=ACB,ACF=ACD,即ECF=(ACB+ACD)=90, EFC为直角三角形, 又EFBC,ECB=MEC=ECM,DCF=CFM=MCF, CM=EM=MF=5,EF=10, 由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100. 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析 根据角平分线的定义推出EFC为直角三角形,然后根据勾股定理可得CE2+CF2=EF2,进而可 求出CE2+CF2的值. 点拨点拨 本题考查角平分线的定义,直角三角形的判定以及勾股定理的运用,解题的关键是证明EFC为直 角三角形. 二、填空题(每小题3分,共6分) 6.(2020青岛城阳

42、一模,12)如图,在ABC中,点D,点E分别是AB,AC的中点,点F是DE上一点,AFC=90,BC= 10 cm,AC=6 cm,则DF= cm. 答案答案 2 解析解析 易知DE是ABC的中位线,所以DE=BC=5 cm. 又因为AFC=90,E为AC的中点,所以EF=AC=3 cm, 所以DF=DE-EF=2 cm. 1 2 1 2 7.(2020枣庄市中区模拟,14)如图,ABC中,点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点.若CAE=16,则B 为 度. 答案答案 37 解析解析 AD=AC,点E是CD的中点,AECD, AEC=90,C=90-CAE=74, AD=AC,AD

43、C=C=74, AD=BD,2B=ADC=74, B=37. 思路分析思路分析 先求得AEC=90,再求出ADC=C=74,最后用等腰三角形的性质及三角形外角的性质即 可得出结果. 三、解答题(共14分) 8.(2020德州宁津一模,21)如图,在RtABC中,C=90,A=30. (1)用尺规作ABC的平分线交AC于点D(保留作图痕迹,不写作法); (2)在(1)的前提下,若AD=10,求CD的长度. 解析解析 (1)如图所示,BD即为所求作的图形. (2)如图,作DEAB于点E, C=90,DCBC, BD平分CBA,DC=DE, 在RtADE中,A=30,AD=10,DE=AD=5, C

44、D=5. 1 2 9.(2020济宁曲阜期中,23)在由6个大小相同的小正方形组成的方格中: (1)如图,A、B、C是三个格点(即小正方形的顶点),判断AB与BC的关系,并说明理由; (2)如图,连接三格和两格的对角线,求+的度数(要求:画出示意图并给出证明). 解析解析 (1)ABBC且AB=BC. 理由如下:如图,连接AC,设小正方形的边长为1. 由勾股定理得,AB2=12+22=5,BC2=12+22=5,AC2=12+32=10, AB2+BC2=AC2,AB=BC, ABC是直角三角形,ABC=90,ABBC. AB与BC的关系为ABBC且AB=BC. (2)+=45.理由如下: 设

45、小正方形的边长为1.由勾股定理得,OP2=12+22=5,PQ2=12+22=5,OQ2=12+32=10, OP2+PQ2=OQ2,OPQ是直角三角形, OP=PQ,OPQ是等腰直角三角形,POQ=45,+=45. B组 20182020年模拟提升题组 时间:30分钟 分值:30分 一、选择题(每小题3分,共12分) 1.(2020临沂平邑一模,11)如图,ABC是等边三角形,P是ABC的平分线BD上一点,PEAB于点E,线段BP 的垂直平分线交BC于点F,垂足为点Q.若BF=2,则PE的长为( ) A.2 B.2 C. D.3 33 答案答案 C ABC是等边三角形,BD是ABC的平分线,

46、EBP=QBF=30, QF为线段BP的垂直平分线, FQB=90, BQ=BF cos 30=2=, BP=2BQ=2, 在RtBEP中,EBP=30, PE=BP=. 3 2 3 3 1 2 3 思路分析思路分析 由ABC是等边三角形,BD是ABC的平分线,可知EBP=QBF=30,再根据BF=2,QF为线 段BP的垂直平分线可得出BQ的长,再由BP=2BQ可求出BP的长,在RtBEP中,根据EBP=30即可求出PE 的长. 2.(2020济宁嘉祥一模,6)如图,M是ABC的边BC的中点,AN平分BAC,BNAN于点N,且AB=10,BC=15, MN=3,则AC的长是( ) A.12 B.14 C.16 D.18 答案答案 C 延长BN,交AC于点E, AN平分BAC, BAN=EAN, 在ABN与AEN中, ABNAEN(ASA), AE=AB=10,BN=NE, 又M是ABC的边BC的中点, CE=2MN=23=6, A