2021年山东中考数学复习练习课件：§4.2　三角形及其全等.pptx

1、 中考数学 （山东专用） 第四章 图形的认识 4.2 三角形及其全等 A组 20162020年山东中考题组 考点一 三角形的相关概念及边角性质 1.(2019枣庄,3,3分)将一副直角三角板按如图所示的位置放置,使含30角的三角板的一条直角边和含45 角的三角板的一条直角边放在同一条直线上,则的度数是( ) A.45 B.60 C.75 D.85 答案答案 C 如图, ACD=90,F=45, CGF=DGB=45, =D+DGB=30+45=75. 2.(2018聊城,10,3分)如图,将一张三角形纸片ABC的一角折叠,使点A落在ABC外的A处,折痕为DE.如 果A=,CEA=,BDA=,那

2、么下列式子中正确的是( ) A.=2+ B.=+2 C.=+ D.=180- 答案答案 A 设DA交AC于点F,经过折叠,A=A=,由三角形外角的性质,AFC=CEA+A=+, BDF=A+AFD=+,即=2+,故选A. 审题技巧审题技巧 在求与三角形有关的角度问题时,常常要用到三角形的内角和等于180,或三角形的外角等 于与它不相邻的两个内角的和. 3.(2016淄博,7,4分)如图,ABC的面积为16,点D是BC边上一点,且BD=BC,点G是AB上一点,点H在 ABC内部,且四边形BDHG是平行四边形,则图中阴影的面积是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 1 4 答案答案 B 设ABC

3、底边BC上的高为h,AGH底边GH上的高为h1,CGH底边GH上的高为h2,则有h=h1 +h2, 由题知SABC=BC h=16, S阴影=SAGH+SCGH=GH h1+GH h2=GH (h1+h2)=GH h. 四边形BDHG是平行四边形,且BD=BC, GH=BD=BC, S阴影=SABC=4. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 2 1 4 BC h 1 4 1 2 BC h 1 4 解后反思解后反思 本题考查三角形的面积的计算,平行四边形的性质,及整体思想,解题关键是利用整体求解. 易知两阴影部分以公共边GH为底,则高的和等于ABC中BC边上的高. 4.(

4、2020济宁,12,3分)已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是 (写出一 个即可). 答案答案 5(答案不唯一) 解析解析 根据三角形的三边关系,得第三边长应大于6-3=3,小于6+3=9,故这个三角形的第三边长可以是5. 思路分析思路分析 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,求得第三 边长的取值范围,即可得出结果. 考点二 全等三角形 1.(2019临沂,6,3分)如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FCAB,若AB=4,CF=3,则BD的长是( ) A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 答案答案 B CFAB,

5、A=FCE,ADE=F, 在ADE和CFE中, ADECFE(AAS), AD=CF=3, AB=4, DB=AB-AD=4-3=1. , , , AFCE ADEF DEFE 思路分析思路分析 根据平行线的性质,得出A=FCE,ADE=F,根据全等三角形的判定,得出ADE CFE,根据全等三角形的性质,得出AD=CF,根据AB=4,CF=3,即可求DB的长. 2.(2019滨州,11,3分)如图,在OAB和OCD中,OA=OB,OC=OD,OAOC,AOB=COD=40,连接AC, BD交于点M,连接OM.下列结论:AC=BD;AMB=40;OM平分BOC;MO平分BMC.其中正确 的个数为

6、( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案答案 B AOB=COD=40, AOB+AOD=COD+AOD, 即AOC=BOD, 在AOC和BOD中, AOCBOD(SAS), OAC=OBD,OCA=ODB,AC=BD,正确; 由三角形外角的性质得AMB+OAC=AOB+OBD, AMB=AOB=40,正确; 作OGMC于G,OHMB于H,如图所示, , , , OAOB AOCBOD OCOD 则OGC=OHD=90, 在OCG和ODH中, OCGODH(AAS), , , , OCGODH OGCOHD OCOD OG=OH, MO平分BMC,正确; 由条件推不出OM平分BOC, 错误

7、,正确的个数为3. 故选B. 3.(2019威海,15,3分)如图,在四边形ABCD中,ABDC,过点C作CEBC,交AD于点E,连接BE,BEC= DEC,若AB=6,则CD= . 答案答案 3 解析解析 如图,延长BC、AD交于F,BEC=DEC ,CEBC,EC=EC,ECFECB,FC=BC,又AB DC,根据平行线分线段成比例可得FD=DA,DC是FAB的中位线,由三角形中位线定理可得DC= AB=6=3. 1 2 1 2 4.(2019临沂,19,3分)如图,在ABC中,ACB=120,BC=4,D为AB的中点,DCBC,则ABC的面积是 . 答案答案 8 3 解析解析 DCBC,

8、BCD=90, ACB=120,ACD=30, 延长CD到H使DH=CD,连接AH, D为AB的中点,AD=BD, 在ADH与BDC中, ADHBDC(SAS), AH=BC=4,H=BCD=90, ACH=30, CH=AH=4, , , , CDHD ADHBDC ADBD 33 CD=2, SABC=2SBCD=242=8. 3 1 2 33 5.(2020菏泽,17,6分)如图,在ABC中,ACB=90,点E在AC的延长线上,EDAB于点D,若BC=ED,求证: CE=DB. 证明证明 EDAB, ADE=ACB=90,又A=A,BC=ED, ABCAED(AAS), AE=AB,AC

9、=AD, AE-AC=AB-AD,即CE=BD. 6.(2019淄博,19,5分)已知,在如图所示的“风筝”图案中,AB=AD,AC=AE,BAE=DAC.求证:E=C. 证明证明 BAE=DAC, BAE+CAE=DAC+CAE. CAB=EAD,且AB=AD,AC=AE. ABCADE(SAS). C=E. B组 20162020年全国中考题组 考点一 三角形的相关概念及边角性质 1.(2020吉林,5,2分)将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则的大小为( ) A.85 B.75 C.65 D.60 答案答案 B 如图,是ABC的外角,所以=ABC+A=45+30=75,故选B. 2.(2

10、020陕西,6,3分)如图,在33的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上.若BD是ABC 的高,则BD的长为( ) A. B. C. D. 10 13 13 9 13 13 8 13 13 7 13 13 答案答案 D 由题图可知SABC=33-12-23-31=9-1-3-=,AC=.SABC= AC BD,BD=,故选D. 1 2 1 2 1 2 3 2 7 2 22 2313 1 2 2 ABC S AC 7 13 7 13 13 3.(2018浙江杭州,5,3分)若线段AM,AN分别是ABC的BC边上的高线和中线,则( ) A.AMAN B.AMAN C.AMAN

11、D.AMAN 答案答案 D AM和AN可以看成是直线外一定点与直线上两定点的距离,由垂线段最短,知AMAN(当AB= AC时,AM=AN). 4.(2019江苏扬州,7,3分)已知n是正整数,若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n,则满足条件的n的 值有( ) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 283 , 83 , nnn nn 10, 4, n n 238, 38, nnn nn 2, 4, n n 答案答案 D 若n+2n+83n,则 解得即4n10, 正整数n有6个:4,5,6,7,8,9; 若n+23nn+8,则 解得即2AC,点D在边AB上,且BD=CA,过点D作DEA

12、C,并截取DE=AB, 且点C,E在AB同侧,连接BE.求证:DEBABC. 证明证明 DEAC, EDB=BAC. (2分) 又BD=CA,DE=AB, (4分) DEBABC. (5分) 6.(2019广西桂林,23,8分)如图,AB=AD,BC=DC,点E在AC上. (1)求证:AC平分BAD; (2)求证:BE=DE. 证明证明 (1)如图,在ABC和ADC中, ABCADC.(3分) 1=2,AC平分BAD.(4分) (2)在ABE和ADE中, ABEADE.(7分) BE=DE.(8分) , , , ABAD BCDC ACAC , 12, , ABAD AEAE 方法规律方法规律

13、 找相等的边的方法 (1)角平分线上的点到角两边的距离相等; (2)有公共边的,公共边常是对应边,若某一对应边仅有一部分公共边,可以利用线段的和或差得到边相 等; (3)特殊几何图形中隐含的条件(如等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形); (4)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等; (5)利用中点、中位线得到相等的线段. 7.(2019甘肃兰州,20,6分)如图,AB=DE,BF=EC,B=E.求证:ACDF. 证明证明 BF=EC, BF+CF=EC+CF, BC=EF, 在ABC与DEF中, ABCDEF(SAS), ACB=EFD, ACDF. , , , AB

14、DE BE BCEF C组 教师专用题组 考点一 三角形的相关概念及边角性质 1. (2018广西柳州,6,3分)如图,图中直角三角形共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案答案 C 图中的3个三角形都含有一个直角内角,故图中有3个直角三角形. 2.(2018贵州毕节,5,3分)已知一个三角形的两边长分别为8和2,则这个三角形的第三边长可能是( ) A.4 B.6 C.8 D.10 答案答案 C 设这个三角形的第三边长为a,由“两边之差第三边两边之和”可得8-2a8+2,即6a10, 故选C. 3.(2018贵州贵阳,2,3分)如图,在ABC中有四条线段DE,BE,EF,FG,

15、其中有一条线段是ABC的中线,则 该线段是( ) A.线段DE B.线段BE C.线段EF D.线段FG 答案答案 B 连接三角形一个顶点和它对边中点,所得的线段叫做三角形这条边上的中线,从图形中看出, 线段DE、EF、FG都不经过ABC的顶点,仅有线段BE经过ABC的顶点B,所以线段BE是ABC的中 线,故选B. 4.(2018河北,1,3分)下列图形具有稳定性的是( ) 答案答案 A 三角形具有稳定性.故选A. 5.(2020广东,6,3分)已知ABC的周长为16,点D,E,F分别为ABC三条边的中点,则DEF的周长为( ) A.8 B.2 C.16 D.4 2 答案答案 A 如图,D,E

16、,F分别为ABC三条边的中点, DF=BC,DE=AC,EF=AB. ABC的周长=BC+AC+AB=16, DEF的周长=DF+DE+EF=(BC+AC+AB)=16=8,故选A. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 6.(2019北京,10,2分)如图,已知ABC,通过测量、计算得ABC的面积约为 cm2.(结果保留一位 小数) 答案答案 2.6 解析解析 过点C作CD垂直AB于D,经过测量可知AB2.6 cm,CD2 cm,所以可求得ABC的面积约为2.6 cm2. 考点二 全等三角形 1.(2018贵州安顺,5,3分)如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知

17、AB=AC,现添加以下的 哪个条件仍不能判定ABEACD( ) A.B=C B.AD=AE C.BD=CE D.BE=CD 答案答案 D 由题可知,AB=AC,A为公共角, 选项A,添加B=C,利用ASA即可证明ABEACD; 选项B,添加AD=AE,利用SAS即可证明ABEACD; 选项C,添加BD=CE,易得AD=AE,利用SAS即可证明ABEACD; 选项D,添加BE=CD,因为SSA不能证明两三角形全等,故此选项不能作为添加的条件.故选D. 易错警示易错警示 开放性的题目因不能正确地确定判定方法及找出合适的对应边(角)而出错.常常误认为 “SSA”也是一个判定定理. 2.(2020福建

18、,3,4分)如图,面积为1的等边三角形ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则DEF的面积是 ( ) A.1 B. C. D. 1 2 1 3 1 4 答案答案 D 由中位线的定义及性质可得DF=BC,DFBC,所以DF=BE,EDF=DEB.又DE=DE,所 以DEFEDB;同理,可证DEFCFE,DEFFAD.所以四个三角形互相全等.所以SDE= SABC=.故选D. 1 2 1 4 1 4 3.(2019辽宁大连,19,9分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C.求证:AF=DE. 证明证明 BE=CF, BE+EF=CF+EF, BF=CE. 在ABF和D

19、CE中, ABFDCE(SAS), AF=DE. , , , ABDC BC BFCE 4.(2020云南,16,6分)如图,已知AD=BC,BD=AC. 求证:ADB=BCA. 证明证明 在ABD和BAC中, ABDBAC(SSS).(4分) ADB=BCA.(6分) , , , ADBC BDAC ABBA 5.(2020云南昆明,16,6分)如图,AC是BAE的平分线,点D是线段AC上的一点,C=E,AB=AD.求证:BC= DE. 证明证明 AC是BAE的平分线, BAC=DAE,(1分) 在ABC和ADE中,(3分) ABCADE(AAS).(5分) BC=DE.(6分) , , ,

20、 CE BACDAE ABAD 6.(2019江苏泰州,26,12分)如图,线段AB=8,射线BGAB,P为射线BG上一点,以AP为边作正方形APCD,且 点C、D与点B在AP两侧,在线段DP上取一点E,使EAP=BAP,直线CE与线段AB相交于点F(点F与 点A、B不重合). (1)求证:AEPCEP; (2)判断CF与AB的位置关系,并说明理由; (3)求AEF的周长. 解析解析 (1)证明:四边形APCD为正方形, PD平分APC,APC=90,PC=PA, APD=CPD=45, 在AEP和CEP中, AEPCEP(SAS). (2)CFAB.理由如下: AEPCEP,EAP=ECP,

21、 EAP=BAP,BAP=FCP, , , , EPEP EPCEPA PCPA FCP+CMP=90,AMF=CMP, AMF+PAB=90,AFM=90,CFAB. (3)过点C作CNBG,垂足为N. CFAB,BGAB,四边形BFCN为矩形,FCBN, CPN=PCF=EAP=PAB, 又AP=CP,ABP=CNP=90, PCNAPB(AAS), CN=PB=BF,PN=AB, AEPCEP,AE=CE, AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF =PN+PB+AF=AB+BF+AF=2AB=16. 7.(2018河北,23,9分)如图,A=B=50,P为AB中点,点M为射线AC

22、上(不与点A重合)的任意一点,连接 MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设BPN=. (1)求证:APMBPN; (2)当MN=2BN时,求的度数; (3)若BPN的外心在该三角形的内部,直接写出的取值范围. 解析解析 (1)证明:P为AB中点,PA=PB. 又A=B,MPA=NPB, APMBPN. (2)由(1)得PM=PN,MN=2PN, MN=2BN,PN=BN, =B=50. (3)4090. 详解:BPN的外心在该三角形的内部,BPN是锐角三角形, BPN和BNP都为锐角,又B=50, 40BPN90,即4090. 思路分析思路分析 (1)根据ASA可证明APMBPN; (2)

23、根据APMBPN得MN=2PN,结合MN=2BN得出PN=BN,由等边对等角可得结果; (3)只有锐角三角形的外心在三角形的内部,根据BPN和BNP都为锐角及B=50可得的取值范围. 方法归纳方法归纳 证明三角形全等的一般思路: 1.如果已知两边:(1)找夹角,利用SAS求解;(2)找直角,利用HL或SAS求解;(3)找另一条边,利用SSS求解. 2.已知一边和一角:(1)边为角的对边,则找任一角,利用AAS求解;(2)边为角的一条邻边:找角的另一条 邻边,利用SAS求解,找边的另一邻角,利用ASA求解,找边的对角,利用AAS求解. 3.已知两角:(1)找夹边,利用ASA求解;(2)找两角中任

24、意一角的对边,利用AAS求解. 8.(2017临沂,25,11分)数学课上,张老师出示了问题:如图1,AC、BD是四边形ABCD的对角线,若ACB= ACD=ABD=ADB=60,则线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系? 经过思考,小明展示了一种正确的思路:如图2,延长CB到E,使BE=CD,连接AE,证得ABEADC,从而 容易证明ACE是等边三角形,故AC=CE,所以AC=BC+CD. 小亮展示了另一种正确的思路:如图3,将ABC绕着点A逆时针旋转60,使AB与AD重合,从而容易证明 ACF是等边三角形,故AC=CF,所以AC=BC+CD. 在此基础上,同学们作了进一步的研究: (1)

25、小颖提出:如图4,如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为“ACB=ACD=ABD= ADB=45”,其他条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?针对小颖提出的问题,请你写出 结论,并给出证明; (2)小华提出:如图5,如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60”改为“ACB=ACD=ABD= ADB=”,其他条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?针对小华提出的问题,请你写出结 论,不用证明. 解析解析 (1)BC+CD=AC. 证明:如图,延长CB到E,使BE=CD,连接AE. ACB=ACD=ABD=ADB=45, BAD=90,BCD=90,

26、AD=AB. ABC+ADC=180.又ABE+ABC=180, ADC=ABE.ADCABE. AC=AE,CAD=EAB.EAC=BAD=90. 2 CE=AC,BC+CD=AC. (2)BC+CD=2ACcos . (证明:如图,延长CB到E,使BE=CD,连接AE. ACB=ACD=ABD=ADB=, BAD=180-2,BCD=2,AD=AB. BAD+BCD=180,ABC+ADC=180. 又ABE+ABC=180, 22 ADC=ABE,ADCABE,AC=AE. 过点A作AFCE,则EC=2CF. 在RtACF中,CF=ACcos . EC=2ACcos ,BC+CD=2AC

27、cos ) 一题多解一题多解 (1)BC+CD=AC. 证明:ACB=ACD=ABD=ADB=45, BAD=90,BCD=90. ABC+ADC=180. 将ABC绕着点A逆时针旋转90至ADF, 使AB与AD重合. DF=BC,F=ACB=45,CAF=90,ADF=ABC. ADF+ADC=180. C、D、F三点在同一条直线上. CF=AC.BC+CD=AC. 2 22 A组 20182020年模拟基础题组 时间:30分钟 分值:30分 一、选择题(每小题3分,共9分) 1.(2020德州成武一模,5)如图,在ABC中,点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,已知ADE=65,则 C

28、FE的度数为( ) A. 60 B. 65 C. 70 D. 75 答案答案 B 点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点, DEBC,EFAB, ADE=B,B=CFE, ADE=65,CFE=ADE=65. 2.(2020日照期末,7)如图,ABC的面积为1 cm2,AP垂直ABC的平分线BP于P,则PBC的面积为( ) A.0.4 cm2 B.0.5 cm2 C.0.6 cm2 D.0.7 cm2 答案答案 B 延长AP交BC于E, AP垂直ABC的平分线BP于P, ABP=EBP,APB=EPB=90, 在APB和EPB中, APBEPB(ASA), SAPB=SEPB,AP=PE,

29、APC和CPE等底同高, SAPC=SPCE, SPBC=SPBE+SPCE=SABC=0.5 cm2. , , , APBEPB BPBP ABPEBP 1 2 3.(2020临沂蒙阴一模,7)在ABC中,若一个内角等于另外两个内角的差,则( ) A.必有一个内角等于30 B.必有一个内角等于45 C.必有一个内角等于60 D.必有一个内角等于90 答案答案 D 不妨设A=B-C,则B=A+C,又因为A+B+C=180,所以B=90,所以ABC 必有一个内角等于90. 二、填空题(每小题3分,共6分) 4.(2020潍坊市区一模,14)已知:如图,ACB=DBC,要使ABCDCB,只需增加的

30、一个条件是 (只需填写一个你认为适合的条件). 答案答案 A=D(或ABC=DCB或BD=AC) 解析解析 已知一边和这边邻角分别对应相等,根据“角边角”或“角角边”或“边角边”定理,再补充一 个合适的条件即可. 易错警示易错警示 AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一 角对应相等,则角必须是两边的夹角. 5.(2019枣庄一模,15)如图,直线AB,CD分别经过线段MN两端点,BMN=100,MNC=70,则AB,CD相交 所成的锐角大小是 . 答案答案 30 解析解析 延长BA,DC交于F, BMN=100,MNC=70, F=100-70=

31、30. 三、解答题(共15分) 6.(2020济南高新区一模,21)如图,ABCF,E为DF的中点,若AB=7,CF=5,求BD的长度. 解析解析 ABFC, ADE=F,A=ECF. E是DF的中点, DE=EF. ADECFE(AAS). AD=CF=5. BD=AB-AD=7-5=2. 7.(2019菏泽曹县一模,17)如图,A=B,AE=BE,点D在AC边上,1=2. 求证:EDC=C. 证明证明 ADE=1+DCE=2+BDE,且1=2,DCE=BDE,又A=B,AE=BE, BDEACE(AAS), DE=EC, EDC=C. 思路分析思路分析 由三角形外角的性质可得DCE=BDE

32、,由“AAS”可证BDEACE,可得DE=EC,由等 腰三角形的性质可得结论. B组 20182020年模拟提升题组 时间:30分钟 分值:30分 一、选择题(每小题3分,共9分) 1.(2020淄博周村一模,7)下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是( ) A.2,3,4 B.2,3,5 C.3,4,4 D.3,4,5 答案答案 C 通过计算可知C正确. 方法规律方法规律 设三角形三边长大小关系为abc2,则 三角形是锐角三角形,若满足a2+b2c2,则三角形是钝角三角形. 2.(2020济宁金乡期末,8)如图,ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,将A沿着DE所在直线折叠,A与A重合,

33、若1+2=140,则A的度数是( ) A.70 B.75 C.80 D.85 答案答案 A 连接AA,如图所示. 1是AAE的外角, 1=EAA+EAA, 同理可得,2=DAA+DAA, 由折叠可得,EAD=EAD, 1+2=EAA+EAA+DAA+DAA=2EAD=140,EAD=70. 3.(2018泰安新泰一模,11)如图,已知在ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分ABC,交CD于点E,BC=5,DE =2,则BCE的面积等于( ) A.10 B.7 C.5 D.4 答案答案 C 如图,过点E作EFBC于F,BE平分ABC,EDAB,EF=DE=2,SBCE=BC EF=52=5.

34、1 2 1 2 思路分析思路分析 作EFBC于F,根据角平分线的性质求得EF=DE=2,然后根据三角形面积公式即可求解. 二、填空题(每小题3分,共6分) 4.(2020威海乳山期末,13)如图,AB=AC,要使ABEACD,依据ASA,应添加的一个条件是 . 答案答案 C=B(答案不唯一) 解析解析 添加C=B. 在ACD和ABE中, ABEACD(ASA). , , , AA ACAB CB 5.(2020德州德城期末,18)如图,已知AB=A1B,A1B1=A1A2,A2B2=A2A3,A3B3=A3A4,若A=70,则An-1AnBn-1的度 数为 .(用含n的代数式表示) 答案答案

35、解析解析 在ABA1中,A=70,AB=A1B,BA1A=70, A1A2=A1B1,BA1A是A1A2B1的外角, B1A2A1=. 同理可得,B2A3A2=,B3A4A3=, An-1AnBn-1=. 1 2 BA A 121 2 B A A 232 2 B A A 思路分析思路分析 根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出B1A2A1,B2A3A2及B3A4A3的度数,找 出规律即可得到An-1AnBn-1的度数. 三、解答题(共15分) 6.(2020青岛胶州期中,22)如图,ABC中,DEBC于点E,交BAC的平分线AD于点D,过点D作DMAB于 点M,作DNAC交AC的延长线

36、于点N,且BM=CN. 求证:点E是BC的中点. 证明证明 连接BD,CD, DMAB,DNAC,AD平分BAC, DM=DN,DMB=DNC=90, 又BM=CN, BMDCND(SAS), BD=CD, DEBC, E是 BC的中点. 7.(2018泰安中考样题,22)如图,已知ABC中,AB=AC,把ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到ADE,连接 BD,CE,且BD,CE交于点F. (1)求证:AECADB; (2)若AB=2,BAC=45,当四边形ADFC是菱形时,求BF的长. 解析解析 (1)证明:由旋转的性质得ABCADE,AB=AD,AC=AE,BAC=DAE, BAC+BAE=DAE+BAE,即CAE=BAD. 又AB=AC,AE=AD=AC=AB, 在AEC和ADB中, AECADB(SAS). (2)四边形ADFC是菱形, DF=AC=AB=2,ACDF. 又BAC=45, , , , AEAD CAEBAD ACAB DBA=BAC=45. 由(1)可知AB=AD, DBA=BDA=45, ABD是直角边长为2的等腰直角三角形, BD2=2AB2=8,BD=2, BF=BD-DF=2-2. 2 2 解题关键解题关键 此题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,以及菱形的性质,熟练掌握旋转的性质是求 解本题的关键.