2021年山东中考数学复习练习课件:§8.4 二次函数综合问题.pptx
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1、 中考数学 (山东专用) 第八章 专题拓展 8.4 二次函数综合问题 1.(2020济宁,21,9分)我们把方程(x-m)2+(y-n)2=r2(r0)称为圆心为(m,n)、半径长为r的圆的标准方程.例如,圆 心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准方程是(x-1)2+(y+2)2=9.在平面直角坐标系中,C与x轴交于点A,B,且点B 的坐标为(8,0),与y轴相切于点D(0,4),过点A,B,D的抛物线的顶点为E. (1)求C的标准方程; (2)试判断直线AE与C的位置关系,并说明理由. 解析解析 (1)如图,连接CD,CB,过点C作CMAB于M.设C的半径为r. C与y轴相切于点D(0,4)
2、, CDOD, CDO=CMO=DOM=90, 四边形ODCM是矩形, CM=OD=4,CD=OM=r, B(8,0), OB=8, BM=8-r, 在RtCMB中,BC2=CM2+BM2, r2=(8-r)2+42,解得r=5, C(5,4), C的标准方程为(x-5)2+(y-4)2=25. (2)AE是C的切线. 理由:连接AC,CE. 由(1)知AM=BM=3, A(2,0),B(8,0), 设抛物线的解析式为y=a(x-2)(x-8), 把D(0,4)代入y=a(x-2)(x-8),可得a=, 抛物线的解析式为y=(x-2)(x-8)=x2-x+4=(x-5)2-, 1 4 1 4
3、1 4 5 2 1 4 9 4 抛物线的顶点E, AE=,CE=4+=,AC=5, EC2=AC2+AE2, CAE=90, CAAE, AE是C的切线. 9 5,- 4 2 2 9 3 4 15 4 9 4 25 4 2.(2019枣庄,25,10分)已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3,与x轴相交于A,B两点(点B在点A右侧),与 y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标; (2)如图1,若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合),是否存在点P,使四边形PBOC的面 积最大?若存在,求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值;若不存在,请说明理由;
4、 (3)如图2,若点M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MN=3时,求点M的坐标. 3 2 解析解析 (1)抛物线的对称轴是直线x=3, -=3,解得a=-, 抛物线的解析式为y=-x2+x+4. 当y=0时,-x2+x+4=0,解得x1=-2,x2=8, 点B在点A右侧, 点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(8,0). (2)当x=0时,y=-x2+x+4=4, 点C的坐标为(0,4). 3 2 2a 1 4 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 设直线BC的解析式为y=kx+b(k0),将(8,0),(0,4)代入y=kx+b得解得 直线BC的解析
5、式为y=-x+4. 假设存在点P,使四边形PBOC的面积最大, 设点P的坐标为(0x8),如图所示,过点P作PDy轴,交直线BC于点D,则点D的坐标为 , 则PD=-x2+x+4-=-x2+2x, =SBOC+SPBC 80, 4, kb b 1 -, 2 4. k b 1 2 2 13 ,-4 42 xxx 1 ,-4 2 xx 1 4 3 2 1 -4 2 x 1 4 PBOC S四边形 =84+PD OB =16+8 =-x2+8x+16 =-(x-4)2+32. 0x8, 当x=4时,四边形PBOC的面积最大,最大值是32. 存在点P(4,6),使得四边形PBOC的面积最大, 四边形P
6、BOC面积的最大值为32. 1 2 1 2 1 2 2 1 -2 4 xx (3)设点M的坐标为,则点N的坐标为, MN=, 又MN=3, =3, 2 13 ,-4 42 mmm 1 ,-4 2 mm 2 131 -4- -4 422 mmm 2 1 -2 4 mm 2 1 -2 4 mm 当0m8时,-m2+2m-3=0, 解得m1=2,m2=6, 点M的坐标为(2,6)或(6,4); 当m8时,-m2+2m+3=0,解得m3=4-2,m4=4+2, 点M的坐标为(4-2,-1)或(4+2,-1). 综上,点M的坐标为(2,6)或(6,4)或(4-2,-1)或(4+2,-1). 1 4 1
7、4 77 7777 7777 3.(2020泰安新泰期末,25,13分)如图,抛物线y=-x2+x+2与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,点D与点C关于 x轴对称,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q. (1)求点A、点B、点C的坐标; (2)当点P在线段OB上运动时,直线l交直线BD于点M,试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形; (3)点P在线段AB上运动过程中,是否存在点Q,使得以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似?若存在, 求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 1 2 3 2 解析解析 (1)抛物线y=-x2+x+2,当x=
8、0时,y=2, C(0,2), 当y=0时,即-x2+x+2=0,解得x1=4,x2=-1, A(-1,0),B(4,0), A(-1,0),B(4,0),C(0,2). (2)点D与点C关于x轴对称, D(0,-2),CD=4, 设直线BD的关系式为y=kx+b,把D(0,-2),B(4,0)代入得,解得k=,b=-2, 直线BD的关系式为y=x-2. 1 2 3 2 1 2 3 2 -2, 40, b kb 1 2 1 2 由点P的坐标为(m,0),得M,Q, QM=-m2+m+2-m+2=-m2+m+4, 当QM=CD时,四边形CQMD是平行四边形, -m2+m+4=4, 解得m1=0(
9、舍去),m2=2, 当m=2时,四边形CQMD是平行四边形. (3)在RtBOD中,OD=2,OB=4,OB=2OD. 若MBQ=90,如图1所示, 由QBMBOD,得QP=2PB, 1 ,-2 2 mm 2 13 ,-2 22 mmm 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 设点P的横坐标为x,则QP=-x2+x+2,PB=4-x, -x2+x+2=2(4-x), 解得x1=3,x2=4(舍去), 当x=3时,PB=4-3=1, PQ=2PB=2, 点Q的坐标为(3,2). 若MQB=90,如图2所示,此时点P、Q与点A重合, Q(-1,0). 点M在直线BD上,QMB90,这种情况不存在.
10、 综上所述,点P在线段AB上运动过程中,存在点Q,使得以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似,点Q的 1 2 3 2 1 2 3 2 坐标为(3,2)或(-1,0). 4.(2020临沂兰山期末,26,13分)如图,抛物线y=ax2+bx-3经过点A(2,-3),与x轴负半轴交于点B,与y轴交于点C, 且OC=3OB. (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴上有一点P,使PB+PC的值最小,求点P的坐标; (3)点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,是否存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存 在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由. 解析解析 (
11、1)令x=0,则y=-3,OC=3, OC=3OB,OB=1,B(-1,0), A(2,-3),B(-1,0)在抛物线y=ax2+bx-3上, 抛物线的解析式为y=x2-2x-3. (2)由(1)知,抛物线的解析式为y=x2-2x-3, 抛物线的对称轴为直线x=1, 由(1)知,C(0,-3),A(2,-3), 点A,C关于直线x=1对称, 直线AB与直线x=1的交点为点P, 42 -3-3, - -30, ab a b 1, -2, a b 设直线AB的解析式为y=kx+c, 点A(2,-3),B(-1,0)在直线AB上, 直线AB的解析式为y=-x-1. 令x=1,则y=-2,P(1,-2
12、). (3)设点N(1,n),M(m,m2-2m-3), A(2,-3),B(-1,0), 当AB与MN为对角线时,AB与MN互相平分, (2-1)=(m+1),m=0,M(0,-3); -0, 2-3, kc kc -1, -1, k c 1 2 1 2 当AN与BM为对角线时,AN与BM互相平分, (1+2)=(m-1),m=4,M(4,5); 当AM与BN为对角线时,AM与BN互相平分, (m+2)=(1-1),m=-2,M(-2,5). 故满足条件的点M的坐标为(0,-3)或(4,5)或(-2,5). 1 2 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析 (1)易知点B坐标,将点A,B坐标
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