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类型高三二轮复习专题之平面向量.doc

  • 上传人(卖家):青草浅笑
  • 文档编号:777218
  • 上传时间:2020-10-06
  • 格式:DOC
  • 页数:14
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    关 键  词:
    二轮 复习 专题 平面 向量
    资源描述:

    1、 平面向量平面向量 【课堂导入】 如图,在正方形 ABCD 中,E 为 AB 的中点,P 为以 A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意 一点,设向量APDEAC=,则的最小值为 解答:以 A 为原点,以 AB 所在的为 x 轴,建立坐标系,设正方形 ABCD 的边长为 1, 则 E(,0),C(1,1),D(0,1),A(0,0) 设 P(cos,sin),AC=(1,1) 再由向量AC=DE+AP=( 2 1 ,1)+(cos,sin)=( 2 +cos,+sin), 1sin 1cos 2 , sincos2 3 sincos2 cos2sin2 , += sincos2 sin33 1

    2、sincos2 cos2sin23 由题意得 0 2 ,0cos1,0sin1 求得 )(= 0 )sincos2( cos3sin66 )sincos2( )cossin2)(3sin3()sincos2(cos3 22 , 故 + 在0,2 上是增函数, 故当 =0 时, 即cos=1, 这时 + 取最小值为 02 203 = 2 1 , 故答案为: 2 1 考点:平面向量的基本定理及其意义 【知识讲解】 1、平面向量的线性运算: 2、平面向量的坐标运算: 2、平面向量的数量积: 【典例分析】 【例 1】如图,在 ABC 中,BO 为边 AC 上的中线,BG=2GO,设CDAG,若 AD=

    3、AB 5 1 +AC(R),则 的值为 解答:如图,延长 AG 交 BC 于点 F, BO 为边 AC 上的中线,BG=2GO, AF 为边 BC 上的中线, AF=AB 2 1 +AC 2 1 , 又CD=ACAD=AB 5 1 +AC) 1( , 且CDAG, 5 1 :(1)= 2 1 : 2 1 , = 6 5 , 考点:平面向量的基本定理及其意义 【变式 1-1】已知1|OA,2|OB,AOB= 3 2 ,OC=OA 2 1 +OB 4 1 ,则OA与OC的 夹角大小为 解答:由题意得 |OC|=|OA 2 1 +OB 4 1 |= 2 ) 4 1 2 1 (OBOA=OAOBOBO

    4、A 4 1 ) 4 1 () 2 1 ( 22 = 4 1 4 1 4 1 = 2 1 OCOA 2 1 =OAOBOAOA 4 1 2 1 = 4 1 cos= |OAOC OAOC = 2 1 则OA与OC的夹角大小为 60 , 故答案为:60 考点:数量积表示两个向量的夹角, 平面向量的基本定理及其意义 【变式 1-2】 在 ABC 中, a, b, c 分别是角 A B C 所对的边, 且 3aBC+4bCA+5cAB=0, 则 a:b:c= 解答:已知三角形 ABC 中,BC+CA+AB=0, 又因为且 3aBC+4bCA+5cAB=0,根据平面向量基本定理得: 3a:4b:5c=1

    5、:1:1, a:b:c=20:15:12 考点:向量在几何中的应用 【变式 1-3】 已知点 P 在 ABC 所在平面内, 若 2PA+3PB+4PC=3AB, 则 PAB 与 PBC 的面积的比值为 解答:2PA+3PB+4PC=3(PBPA) 5PA=4PC P 点在 AC 上,且|PA|= 5 4 |PC| PAB 与 PBC 分别可看做以 PA,PC 为底时,高相同 PAB 与 PBC 的面积的比值为|PA|:|PC|= 5 4 故答案为: 5 4 考点:向量在几何中的应用 【变式 1-4】已知向量OA=(3,4) ,OB=(5,3),OC=(4m,m+2) ,若点 A,B,C 能构成

    6、三角形,则实数 m 应满足条件 解答:若点 A、B、 C 不能构成三角形,则只能三点共线 AB=OBOA=(5,3)(3,4)=(2,1); AC=OCOA=(4m,m+2)(3,4)=(1m,m+6) 假设 A B C 三点共线, 则 2 (m+6)1(1m)=0,即 3 11 m 若 A B C 三点能构成三角形,则 m 3 11 考点:向量的加法及其几何意义 【例 2】若向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且|a+b|2ab,则 )cos(= 解答:a=(cos,sin),b=(cos,sin), a+b=(coscos,sinsin), ab=coscos+sinsin

    7、=)cos( |a+b|=)cos(22, |a+b|2ab, )cos(222)cos(, 设 t=2)cos(,则 0t2, 2+tt2, 解得,t2,或 t1, t=2, 2=2)cos(, 即)cos(=1 故答案为:1 考点:平面向量数量积的运算,两角和与差的余弦函数 【变式 2-1】 如图, 在平行四边形 ABCD 中, E 为 DC 的中点, AE 与 BD 交于点 E, AB=2, AD=1,且MAMB= 6 1 ,则ABAD= 解答:A,M,E 三点共线,存在实数 使得: AM=AE=(AD+DE)=AD+ 2 1 AB B,M,D 三点共线,存在实数 使得: BM=BD;

    8、AMAB=(ADAB); AM=AD+(1)AB; 所以根据平面向量基本定理得 1 2 1; = 3 2 ; MA= 3 2 AD 3 1 AB,MB= 3 2 BD= 3 2 AD+ 3 2 AB; MAMB= 6 1 ; ( 3 2 AD 3 1 AB) ( 3 2 AD+ 3 2 AB)=- 9 2 ABAD; ABAD= 4 3 故答案为: 4 3 考点:平面向量数量积的运算 【变式 2-2】如图,在等腰三角形 ABC 中,底边 BC=2,AD=DC,AD= 2 1 EB,若 BDAC= 2 1 ,则CEAB= 解答:AD=DCD 是 AC 的中点BD= 2 1 (BA+BC) BDA

    9、C= 2 1 2 1 (BA+BC) (BCBA)= 2 1 2 BC 2 BA=1 2 BA=5|BA|=5 5 1 cosB CEAB=(BEBC)AB=BCBA- 3 2 2 BA= 3 4 考点:向量在几何中的应用, 平面向量数量积的运算 【变式 2-3】如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若ABAF=2,则AEBF的值是 解答:AF=AD+DF, ABAF=AB (AD+DF)=ABAD+ABDF=ABDF=2|DF|=2 |DF|=1,|CF|=21, AEBF=(AB+BE)(BC+CF)=ABCF+BEBC=2(21

    10、)+1 2=2, 故答案为:2 考点:平面向量数量积的运算 【例 3】已知向量a=(1,1),b=(1,1),设向量c满足(2ac) (3bc)=0,则|c|的最大 值为 解答:设c=(x,y), 向量a=(1,1),b=(1,1), 2ac=(2x,2y), 3bc=(3x,3y), 向量c满足(2ac) (3bc)=0, (2x,2y) (3x,3y)=0, (2x)(3x)+(2y)(3y)=0, 化为(x+ 2 1 )2+(y 2 5 )2= 4 26 由于此圆经过原点,|c|的最大值为圆的直径=26 故答案为:26 考点:平面向量数量积的运算 【变式 3】已知向量a,b满足|a|=1

    11、,(a+b) (a2b)=0,则|b|的最小值 为 解答:由条件得 2 aab2 2 b=0,记=,|b|=t, 则 2t2+tcos1=0,即cos= t t221 , 从而| t t221 |1,4t45t2+10, 4 1 t21, 故 min t= 2 1 ,即|b|的最小值为 2 1 故答案为: 2 1 考点:平面向量数量积的运算 【例 4】在平行四边形 ABCD 中,ACAD=ACBD=3,则线段 AC 的长 为 解答: 考点:平面向量数量积的运算 【变式 4】在 ABC 中,若ABAC=ABCB=2,则边 AB 的长等于 解答:ABAC+ABCB=AB (AC+CB)= 2 AB

    12、 ABAC=ABCB=2 2+2= 2 AB,|AB|=2 边 AB 的长等于 2 故答案为:2 考点:向量在几何中的应用 【例 5】设a,b,c是单位向量,ab,则(a+b+2c)c的最大值是 解答:由题意,分别以向量a,b作为 x、y 轴的单位向量建立直角坐标系, 则可得a=(1,0),b=(0,1),并设c=(cos,sin), 则可得a+b+2c=(1+2cos,1+2sin), (a+b+2c)c=(1+2cos)cos+(1+2sin)sin=cos+2 2 cos+sin+2 2 sin= cos+sin+2=) 4 sin(2 +2, 由三角函数的知识可知,当 = 4 时,上式

    13、取最大值2+2 故答案为:2+2 考点:平面向量数量积的运算 【变式 5】 设a,b,c是单位向量, 且a=b+c, 则向量a,b的夹角等于 解答:a,b,c是单位向量,且a=b+c, ab=c 两边平方可得:1+12cos=1 cos= 2 1 0, =60 故答案为:60 考点:平面向量数量积的运算 【巩固运用】 1、如图,在平面四边形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,E 为线段 AO 的中点,若 BE=BA+BD(,R),则 += 解答: BD=2BO,BE=BA+BD, BE=BA+2BO, E 为线段 AO 的中点, BE= 2 1 (BA+BO), = 2 1 ,2= 2

    14、1 , 解得 = 4 1 , += 4 3 故答案为: 4 3 考点:平面向量的基本定理及其意义 2、设 D,E 分别是 ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= 2 1 AB,BE= 3 2 BC,若 DE=1AB+2AC(1,2 为实数),则 1+2 的值为 解答:由题意结合向量的运算可得 DE=DB+BE= 2 1 AB+ 3 2 BC= 2 1 AB+ 3 2 (BA+AC)= 2 1 AB 3 2 AB+ 3 2 AC= 6 1 AB + 3 2 AC 又由题意可知若DE=1AB+2AC, 故可得 1= 6 1 ,2= 3 2 ,所以 1+2= 2 1 故答案为: 2 1 考点:平面

    15、向量的基本定理及其意义 3、如图,在 ABC 中,D,E 分别为边 BC,AC 的中点F 为边 AB 上的点,且AB=3AF, 若AD=xAF+yAE,则 x+y 的值为 解答:AD= 2 1 AB+ 2 1 AC= 2 3 AF+AE AD=xAF+yAE 根据平面向量基本定理,得 x= 2 3 ,y=1,因此 x+y 的值为 2 5 故答案为: 2 5 考点:平面向量的基本定理及其意义 4、在 ABC 中,BD=2DC,若AD=1AB+2AC,则 12 的值为 解答:如图所示, BD=2DC,BC=ACAB AD=AB+BD=AB+ 3 2 BC=AB+ 3 2 (ACAB)= 3 1 A

    16、B+ 3 2 AC, 而AD=1AB+2AC, 1= 3 1 ,2= 3 2 12= 3 1 3 2 = 9 2 故答案为: 9 2 考点:向量加减混合运算及其几何意义 5、已知非零向量,b满足|a|=|a+b|=1,a与b夹角为 120 ,则向量b的模 为 解答:由题意可得,|a+b|2= 2 a+2ab+ 2 b=1, 即 1+2 1 |b|cos120 +|b|2=1,故|b|2|b|=0 解得|b|=1 或|b|=0 (舍去,因为a,b为非零向量) 故答案为:1 考点:平面向量数量积的性质及其运算律,平面向量数量积的含义与物理意义 6、在菱形 ABCD 中,AB=32,B= 3 2 ,

    17、BC=3BE,DA=3DF,则 EFAC= 解答:在菱形 ABCD 中,AB=32,B= 3 2 ,BC=3BE,DA=3DF, 则EF=EB+BA+AF=AD3AB 且AC=AB+AD,BAD= 3 故EFAC= (AD3AB) (AB+AD )= 3 2 ABAD+ 3 1 2 AD 2 AB= 3 2 3232 3 cos + 3 1 1212=4+412=12, 故答案为12 考点:平面向量数量积的运算 7、 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 已知 AB=8, AD=5,CP=3PD,APBP=2, 则ABAD 的值是 解答:AP=AD+ 4 1 AB,BP=AD 4 3 AB,

    18、又AB=8,AD=5, APBP=(AD+ 4 1 AB) (AD34AB)=|AD|2 2 1 ABAD 16 3 |AB|2=25 2 1 AB AD12=2 故ABAD=22, 故答案为:22 考点:向量在几何中的应用, 平面向量数量积的运算 8、在 ABC 中,AB=1,AC=2,O 为 ABC 外接圆的圆心,则AOBC= 解答:由于BC=ACAB, AOBC=AO (ACAB)=AOACAOAB, 如图,设 AB,AC 的中点分别为 F,E 根据向量数量积的几何意义得: AOACAOAB=|AC|AE|AF|AB|=12 2 1 1= 2 3 故答案为: 2 3 考点:三角形五心,

    19、平面向量数量积的运算 【拓展延伸】 1、 在平面四边形 ABCD 中, 已知 AB=3, DC=2, 点 E, F 分别在边 AD, BC 上, 且AD=3AE, BC=3BF若向量AB与DC的夹角为 60 ,则ABEF的值为 解答:如图所示:设直线 AB 和 DC 相交于点 H, 则由题意可得AHD=60 EF= 3 1 DA+AB+ 3 1 BC , EF= 3 2 AD+DC+ 3 2 CD , 2+可得 3EF=2AB+DC, EF= 3 2 AB+ 3 1 DC ABEF= 3 2 AB 2+ 3 1 ABDC= 3 2 32+ 3 1 |AB| |DC| cosAHD=6+ 3 1

    20、 3 2 2 1 = 7 故答案为:7 考点:平面向量数量积的运算 2、如图,在 ABC 中,已知 AB=4,AC=6,BAC=60,点 D,E 分别在边 AB,AC 上, 且AB=2AD,AC=3AE,点 F 为 DE 中点,则BFDE的值为 解答:由 AB=4,AC=6,BAC=60, 即有ABAC=4 6 cos60=242 1 =12, 则 BFDE=(DFDB) (AEAD)=( 2 1 DE 2 1 AB) ( 3 1 AC 2 1 AB)=( 6 1 AC 4 1 AB 2 1 AB) ( 3 1 AC 2 1 AB)= 18 1 AC 2+ 8 3 AB 2 3 1 ABAC=

    21、 18 1 36+ 8 3 16 3 1 12= 2+64=4, 故答案为:4 考点:平面向量数量积的运算 3、直角三角形 ABC 中,斜边 BC 长为 2,O 是平面 ABC 内一点,点 P 满足 OP=OA+ 2 1 (AB+AC),则|AP|= 解答:动点 P 满足OP=OA+ 2 1 (AB+AC), AP= 2 1 (AB+AC), |AP|2= 4 1 (AB2+AC2+2ABAC)= 4 1 (4+0)=1 故答案为:1 考点:向量在几何中的应用 4、设 1 e, 2 e是夹角为 60的两个单位向量,已知OM= 1 e,ON= 2 e,OP=x 1 e+y 2 e, 若 PMN

    22、是以 M 为直角顶点的三角形,则 xy= 解答:由题意可得 1 e 2 e=1 1 cos60=12,MPMN, MPMN=(OPOM) (ONOM)=(x1) 1 e+y 2 e 1 e+ 2 e=(1x) 1 e 2+(x1y) 1 e 2 e+y 2 e2=1x+ 2 1yx +y= 2 1yx =0, 1x+y=0,xy=1, 故答案为:1 考点:数量积表示两个向量的夹角 5、 在平面直角坐标系中, A(0, 0), B(1, 2)两点绕定点 P 顺时针方向旋转 角后, 分别到 A(4, 4),B(5,2)两点,则cos的值为 解答: 由题意,画出图形,如图所示; AA的中点坐标为(2,2), 它的中垂线方程:y2=(x2), 即 x+y4=0; 同理 BB的中垂线方程为 x=3; 由 3 04 x yx , 解得 3 1 x y ; 点 P(3,1)为固定点 又 kPB= 2 1 ,kPB= 2 1 , tan= 5 3 ; cos= 5 3 考点:简单曲线的极坐标方程

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