导数与零点专题.doc

1、 1 专题：导数与零点专题：导数与零点 一导言一导言 导数与零点专题是高考考察的重点内容，下表列举了从导数与零点专题是高考考察的重点内容，下表列举了从 16 年起全国卷对这个点的考年起全国卷对这个点的考 察：察： 2020 年年 2019 年年 2018 年年 2017 年年 2016 年年 全国一卷全国一卷 20 题：证明题：证明 零点个数零点个数 21 题： 已知零题： 已知零 点个数求参数点个数求参数 21 题： 已知零题： 已知零 点 个 数 求 参点 个 数 求 参 数，零点偏移数，零点偏移 全国二卷全国二卷 20 题： 证明零题： 证明零 点个数，公切点个数，公切 线线. 21 题

2、： 已知零题： 已知零 点个数求参数点个数求参数 全国三卷全国三卷 21 题： 零点分题： 零点分 布布 如上表所示，导数与零点是高考导数大题部分的重要命题方向之一，结如上表所示，导数与零点是高考导数大题部分的重要命题方向之一，结合近五年全国合近五年全国 主要地方的模拟考试题来看，该专题大致可以分为四个具体的命题方向：主要地方的模拟考试题来看，该专题大致可以分为四个具体的命题方向： 1.1.判断或证明零点个数判断或证明零点个数. . 此题型以此题型以 20192019 年全国一卷年全国一卷 2020 题为典型例子，是一类较新的题为典型例子，是一类较新的 题型题型. . 重点考察学生利用函数单调

3、性与值域，零点存在性定理准确的找到零点的存在性，重点考察学生利用函数单调性与值域，零点存在性定理准确的找到零点的存在性， 突出考察学生的逻辑推理与数学运算素养，具有较高的综合性突出考察学生的逻辑推理与数学运算素养，具有较高的综合性. . 2.2.已知零点个数求参数范围已知零点个数求参数范围. . 此题型在此题型在 1616- -1818 年连续三年均有考察，处理此类问题有年连续三年均有考察，处理此类问题有 两种常见的方法：含参数讨论及分离参数，重点考察学生利用函数单调性分析值域，数形两种常见的方法：含参数讨论及分离参数，重点考察学生利用函数单调性分析值域，数形 结合解决问题结合解决问题. .此

4、题型还可衍生到对过点求切线个此题型还可衍生到对过点求切线个数，公切线个数的考察上数，公切线个数的考察上. . 3.3.讨论或者证明零点所满足的分布特征讨论或者证明零点所满足的分布特征. .此题型以此题型以 20202020 年全国三卷年全国三卷 2121 题为典型例子，题为典型例子， 需要在找到零点的基础上进一步分析出零点所满足的分布，对学生的逻辑推理，严谨表达需要在找到零点的基础上进一步分析出零点所满足的分布，对学生的逻辑推理，严谨表达 均有较高的要求均有较高的要求. . 4.4.零点偏移或者双零点，极值点问题零点偏移或者双零点，极值点问题. .主要考察变量替换与构造函数解决问题的基本方主要

5、考察变量替换与构造函数解决问题的基本方 法，此类问题处理方法较多，有偏移法处理，变量代换，对数均值不等式等均可完成，在法，此类问题处理方法较多，有偏移法处理，变量代换，对数均值不等式等均可完成，在 各地的模拟题中属于常见的类型各地的模拟题中属于常见的类型. . 下面，将通过一些高考题目和典型的模拟题具体展开这四类题型的研究和讨论，找到下面，将通过一些高考题目和典型的模拟题具体展开这四类题型的研究和讨论，找到 破解零点问题的常见思路与方法，提升逻辑推理，数破解零点问题的常见思路与方法，提升逻辑推理，数学运算，直观想象的核心素养，让学学运算，直观想象的核心素养，让学 生在研究问题的过程中获得成就感

6、生在研究问题的过程中获得成就感. . 2 二题型二题型 1 1：判断或证明零点个数：判断或证明零点个数 1 1已知函数已知函数( )sinln(1)f xxx，( ) fx为为 ( )f x的导数证明： 的导数证明： （1 1）( ) fx在区间在区间( 1,) 2 存在唯一极大值点；存在唯一极大值点； （2 2） ( )f x有且仅有 有且仅有 2 2 个零点个零点 2 2已知函数已知函数 1 1 ln x f xx x . . （1 1）讨论讨论)(xf的单调性，并证明的单调性，并证明)(xf有且仅有两个零点；有且仅有两个零点； （2 2）设设 0 x是是)(xf的一个零点，证明：曲线的一

7、个零点，证明：曲线xyln在点在点)ln,( 00 xxA处的切线也是曲线处的切线也是曲线 x ey 的切线的切线. . 3 3 3. .已知函数已知函数 lnf xmx， 1 0 x g xx x . （1 1）讨论函数）讨论函数 F xf xg x在在0,上的单调性；上的单调性； （2 2）判断当）判断当me时，时， yf x与与 yg x的图象公切线的条数，并说明理由的图象公切线的条数，并说明理由. 4 4已知函数已知函数 ln2sinf xxxx , , fx 为为 f x的导函数的导函数. . (1)(1)求证求证: : fx 在在0，上存在唯一零点上存在唯一零点; ; (2)(2)

8、求证求证: : f x有且仅有两个不同的零点有且仅有两个不同的零点. . 4 题型题型 2 2：已知零点个数求参数范围已知零点个数求参数范围 5 5已知函数已知函数 2x exf xa （1 1）若）若1a ，证明：当，证明：当0 x时，时， 1f x ； （2 2）若）若 f x在在只有一个零点，求只有一个零点，求a的值的值. . 6 6已知函数已知函数 2 ( )(2) xx f xaeaex （1 1）讨论讨论( )f x的单调性；的单调性； （2 2）若若( )f x有两个零点，求有两个零点，求a的取值范围的取值范围 : 5 7 7已知函数已知函数 2 1 ( )sincos 2 f

9、xxxxax，, x （1）当）当0a时，求时，求 ( )f x的单调区间； 的单调区间； （2）当）当0a，讨论，讨论 ( )f x的零点个数 的零点个数. . 8已知函数已知函数 1 x f xxe， lng xx，其中，其中e是自然对数的底数是自然对数的底数. . （1）求曲线）求曲线 yf x在在1x 处的切线方程；处的切线方程； （2） 设函数） 设函数 h xbf xg x， 若函数， 若函数 h x恰好有恰好有 2 个零点， 求实数个零点， 求实数b的取值范围的取值范围.(.(取取 ln3.5 1.25，ln41.40) ) 6 题型题型 3 3：零点的分布特征零点的分布特征 9

10、 9设函数设函数 3 ( )f xxbxc，曲线，曲线 ( )yf x在点在点( ( 1 2 ，f f( ( 1 2 )处的切线与处的切线与y y轴垂直轴垂直 （1 1）求）求b b （2 2）若）若 ( )f x有一个绝对值不大于 有一个绝对值不大于 1 1 的零点，证明：的零点，证明： ( )f x所有零点的绝对值都 所有零点的绝对值都不大于不大于 1 1 1010已知函数已知函数 2 1 1 2 x f xexkxkR. . （1 1）当）当1k 时，讨论时，讨论 f x极值点的个数；极值点的个数； （2 2）若）若分别为分别为 f x的最大零点和最小零点，当的最大零点和最小零点，当8a

11、 b 时，证明：时，证明：2k . . 7 11.11.已知函数已知函数 x exf)(. . （1 1）若曲线）若曲线)(xfy 在点在点)(,( 00 xfx处的切线为处的切线为bkxy，求，求bk 的最小值；的最小值； （2 2）当常数）当常数), 2( m时，若函数时，若函数2)() 1()( 2 mxxfxxg在在), 0 上有两个零点上有两个零点 2121 ,xxxx，证明：，证明：mx e x 21 4 ln. . 1212已知函数已知函数 (1)(2) 1,2 ( )(0) (2) 1,2 x xxx f xa a xx 和函数和函数( )(1) 1g xk x. . （1 1

12、）求函数）求函数 ( )f x的单调区间； 的单调区间； （2 2）若）若2ak，1()0,k ，且函数，且函数( )( )yf xg x有三个零点有三个零点 1 x、 2 x、 3 x，求，求 123 ( )()()f xf xf x 的取值范围的取值范围. . 8 题型题型 4 4：零点（极值点）偏移，双零点（极值点）问题：零点（极值点）偏移，双零点（极值点）问题 13.13.已知函数已知函数Raaxxxf,ln)(，若，若0)()( 21 xfxf，证明：，证明： 2 21 exx. . 1414设函数设函数 22 ( )ln()f xaxxax aR . . （1 1）试讨论函数）试讨

13、论函数 ( )f x的单调性； 的单调性； （2 2）如果）如果0a且关于且关于x的方程的方程 ( )f xm 有两解有两解 1 x， 212 ()xxx ，证明，证明 12 2xxa. . 9 15.15.已知已知Raaxxaxxxf, 2ln 2 1 )( 2 有两个不同的极值点有两个不同的极值点 21 xx . . （1 1）求实数）求实数a的取值范围；的取值范围； （2 2）求证：）求证： 2 21 axx. . 16.16.已知函数已知函数 2 ) 1()2()(xaexxf x 有两个零点有两个零点. . （1 1）求求a的取值范围；的取值范围； （2 2）设设 21,x x是是)

14、(xf的两个零点，证明：的两个零点，证明：2 21 xx. . 10 练习题练习题 1 1已知函数已知函数 1 ,0 ( ) ln ,0 x x f x x x x ，若函数，若函数 ( )( )F xf xkx 在在R上有上有 3 3 个零点，则实数个零点，则实数k的的 取值范围为（取值范围为（ ） A A 1 (0, ) e B B 1 (0,) 2e C C 1 (,) 2e D D 1 1 (, ) 2e e 2 2已知方程已知方程 2mx ex在在 0,8上有两个不等的上有两个不等的实数根，则实数实数根，则实数m的取值范围为（的取值范围为（ ） A A 1 ln2 , 84 B B

15、1ln2 , 164 C C 3ln2 2 , 4e D D 1 2 2 , 4 n e 3.3. 已知函数已知函数( )ln x f xxxae（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范的取值范 围是（围是（ ） A A 1 (0, ) e B B(0, )e C C 1 (, ) e D D 1 ( , ) e e 4 4若二次函数若二次函数 2 ( )1f xx的图象与曲线的图象与曲线: ( )1(0) x C g xaea存在公共切线，则实数存在公共切线，则实数 a的取值范围为 的取值范围为 A A(0， 2 4 e B B(0， 2 8

16、 e C C 2 4 e，) D D 2 8 e，) 5函数函数 2 21 x f xea x=-（ ）（）有且只有一个零点，则实数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是（的取值范围是（ ） A ,1 4 e B1,2 e C 3 0, 2 e D 3 , 2 e 6已知函数已知函数 3 1f xxa ， 1 ,xe e 与与 3ln g xx 的图象上存在关于的图象上存在关于x轴对称的轴对称的 点，则实数点，则实数a的取值范围是的取值范围是( ) A 3 0,4e B 3 1 0,2 e C 3 3 1 2,4e e D 3 4,e 7已知函数已知函数 3 ( )ln 2 x f xxe与函

17、数与函数 2 ( ) x g xeax 的图象上存在两对关于的图象上存在两对关于y轴对称轴对称 的点，则实数的点，则实数a的取值范围为（的取值范围为（ ） 11 A 2 , 3 e B 2 , 2 e C 2 0, 3 e D 2 0, 2 e 8已知函数已知函数 2ln ( )2 x f xax x 与函数与函数 2 ( )3g xxex的图象上存在两对关于直线的图象上存在两对关于直线 1y 对称的点，则实数对称的点，则实数a的取值范围为（的取值范围为（ ） A( , ) e B 2 2 , e e C 2 2 0, e e D(0, ) e 9已知函数已知函数 1 ( ) x f xxe

18、，若对于任意的，若对于任意的 2 0 0,x e ，函数 ，函数 2 0 ( )ln1g xxxaxf x在在 2 0,e 内都有两个不同的零点， 则实数 内都有两个不同的零点， 则实数a的取值范围为的取值范围为 （ ） ） A 2 2 3 1,e e B 2 2 3 ,e e C 22 ,ee ee D 2 1,e e 10已知函数已知函数 2 ( )35f xxx，( )lng xaxx，若对，若对 (0, )xe ， 12 ,(0, )x xe且且 12 xx，使得，使得( )( )(1,2) i f xg xi，则实数，则实数a的取值范围是（的取值范围是（ ） A 1 6 , e e

19、B 7 4 1 ,e e C 7 4 16 0,e ee D 7 4 6 ,e e 11已知函数已知函数 ( ) x x f x e ，关于，关于 x的方程的方程 1 ( ) ( ) f xm f x 有三个不等实根，则实数有三个不等实根，则实数 m的取的取 值范围是（值范围是（ ） A 1 (,)e e B 1 (,)e e C 1 (,)e e D 1 (,) e e 12已知函数已知函数 ln x f x x ，若关于，若关于 x的方程的方程 2 2210f xmf xm 恰有恰有 3 个不个不 同的实数解，则实数同的实数解，则实数m的取值范围是（的取值范围是（ ） A,1 1, B 1

20、1 , 22 e e C 111 , 222e D 1 , 2 e 12 13若关于若关于 x 的方程的方程0 x xx xe m exe 有三个不相等的实数解有三个不相等的实数解 123 ,x x x，且，且 123 0 xxx，其中，其中 mR，e 为自然对数的底数，则为自然对数的底数，则 312 2 312 111 xxx xxx eee 的值的值 为（为（ ） A1+m Be Cm-1 D1 14 若关于若关于x的方程的方程 1 0 x xx xe m exe 有三个不等的实数解有三个不等的实数解 123 ,x x x, ,且且 123 0 xxx, , 其中其中mR, ,2.7182

21、8eLL为自然对数的底数为自然对数的底数, ,则则 312 2 312 xxx xxx mmm eee 的值的值 为（为（ ） Ae B 2 e C 4 2mm D 4 1mm 15已知已知 ( )(ln1)(ln1)f xaxxxx 与与 2 ( )g xx的图像至少有三个不同的公共点，的图像至少有三个不同的公共点， 则实数则实数 a的取值范围是（的取值范围是（ ） A 12 , 22 B 1 ,1 2 C 2 ,1 2 D(1,2) 16.16.已知函数已知函数4)(,cossin)( 2 xxgxxxxf. . （1 1）讨论函数讨论函数)(xf在在,上单调性；上单调性； （2 2）设设

22、)(4)()(xfxgxh，试证明，试证明)(xh在在R上有且仅有三个零点上有且仅有三个零点. . 13 1717. .设函数设函数 ln m fxx x ，mR. . （1 1）当）当me（e为自然对数的底数）时，求为自然对数的底数）时，求 f x的极小值；的极小值； （2 2）讨论函数）讨论函数 3 x g xfx 零点的个数零点的个数. . 1818设函数设函数 2 1 1 ln 2 f xxaxax. . （1 1）讨论函数）讨论函数 f x的单调性：的单调性： （2 2）若函数）若函数 f x有两个零点，求实数有两个零点，求实数a的取值范围的取值范围. . 14 19已知函数已知函数

23、 3 3f xxx （1）求）求 f x在区间在区间0,0m m上的最大值和最小值；上的最大值和最小值； （2）在曲线）在曲线 2 yx=上是否存在点上是否存在点 P，使得过点，使得过点 P可作三条直线与曲线可作三条直线与曲线 yf x相切？若相切？若 存在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由存在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由 20.20.已知函数已知函数Rxxaxexxf x , 2 1 3 1 ) 1()( 23 . . （1 1）0a时，求时，求)1 (, 1 (f处的切线方程；处的切线方程； （2 2）0 x时，时，)(xf是否存在两个极值点，若存在，求实数是

24、否存在两个极值点，若存在，求实数a的最小整数解，若不存在，的最小整数解，若不存在， 说明理由说明理由. . 15 21.21.已知函数已知函数0, 1ln)1 ()(kRkkxkxkxf. . （1 1）讨论函数）讨论函数)(xf的单调性；的单调性； （2 2）设函数）设函数)(xf的导函数为的导函数为)(xg，若函数，若函数)(xf恰有恰有2个零点个零点 2121 ,xxxx，证明：，证明： 0) 3 2 ( 21 xx g. . 22.22.已知函数已知函数 cos x f xaex aR . （1）若函数）若函数 f x在在 ,0 2 上是单调函数，求实数上是单调函数，求实数a的取值范围

25、；的取值范围； （2） 当） 当1a时，时， 0 x为函数为函数 f x在在0,上的零点， 求证：上的零点， 求证： 0 0 00 1 2sincos x x exx . 16 23.23.已知函数已知函数 2 1 ( )ln1, 2 f xxxmxxmR. . （1 1）若）若 ( )f x有两个极值点，求实数 有两个极值点，求实数m的取值范围；的取值范围； （2 2）若函数）若函数 2 ( )lnlng xxxmxexemx有且只有三个不同的零点，分别记为有且只有三个不同的零点，分别记为 123 ,x x x，且，且 3 1 x x 的最大值为的最大值为 2 e，求 ，求 13 x x的最

26、大值的最大值. . 24.24.已知函数已知函数0, 2 1 ln)(axxaxxf. . （1 1）讨论函数）讨论函数)(xf的单调性；的单调性； （2 2）设）设0a，函数，函数)(xf恰有恰有 2 2 个零点个零点 21 xx ，证明：，证明： 2121 77xaxxx. . 17 25.25.已知函数已知函数Raxax x xf,ln2 2 )( 2 在在2x处取得极值处取得极值. . （1 1）求实数）求实数a的值及函数的值及函数 ( )f x的单调区间； 的单调区间； （2 2）方程）方程 ( )f xm 有三个实根有三个实根 123123 ,(),x x x xxx求证：求证：

27、32 2.xx 2626设函数设函数 32 11 2 32 x f xexkxkx. . (1)(1)若若1k ，求，求 f x的单调区间；的单调区间； (2)(2)若若 f x存在三个极值点存在三个极值点 123 ,x x x，且，且 123 xxx，求，求k的取值范围，并证的取值范围，并证 明明: : 13 2 2x xx+. . 18 2727已知函数已知函数 2 ( )lnf xxax，且，且 1f x . . （1 1）求）求a的值；的值； （2 2）在函数）在函数 f x的图象上任意取定两点的图象上任意取定两点 11 (,()A xf x， 2212 (,()()B xf xxx，记直线，记直线AB 的斜率为的斜率为k，求证：存在唯一，求证：存在唯一 012 ( ,)xx x，使得，使得 0 ()fxk成立成立. .