辽宁师大附中2019—2020学年度下学期期末考试高二数学.docx

1、辽宁师大附中 高二数学 第 1 页 共 11 页 辽宁师大附中 20192020 学年度下学期期末考试 高二数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题一、选择题：本题共：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题分。在每小题给出给出的四个选项中，的四个选项中，只有只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1、不等式0 2 xx的解集为M，函数)1ln()(xxf的定义域为N，则NM 为 （ ） A、0 , 1 B、1 , 0 C、 1 , 0 D、1 , 0 2、设 是虚数单位，复数1 2 ai i 为纯虚数，则实数 a 为（ ） A、

2、2 B、-2 C、 D、 3、2018 年 3 月 7 日科学网刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最 新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象皮毛上白色 的斑块以及短鼻子为了观察野生小鼠的这种表征，从有 2 对不同表征的小鼠（白色斑 块和短鼻子野生小鼠各一对）的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出 2 只，则拿出的 野生小鼠不是同一表征的概率为（ ） A、 1 4 B、 1 3 C、 2 3 D、 3 4 4、在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m2m1= 5 2 lg 2 1 E E ，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek

3、（k=1，2）。已知太阳的星等是26.7， 天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A、1010.1 B、10.1 C、lg10.1 D、1010.1 5、某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表： 广告费用 x（万元） 4 2 3 5 销售额 y（万元） 49 26 39 54 i 1 2 1 2 辽宁师大附中 高二数学 第 2 页 共 11 页 根据上表可得回归方程axby 中的b 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售 额为（ ） A、63.6 万元 B、65.5 万元 C、67.7 万元 D、72.0 万元 6、已知函数)(xf在 R 上可导

4、，且)2(2)( 2 f xxxf，则) 1(f与) 1 (f的大小关系 为（ ） A、 ) 1 () 1(ff B、) 1 () 1(ff C、 ) 1 () 1(ff D、不确定 7、 在复平面内， 复数 = + ( , )对应向量 （为坐标原点） ， 设| | = ， 以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则 = (cos + sin)，法国数学家棣 莫弗发现棣莫弗定理：1= 1(cos1+ sin1)，2= 2(cos2+ sin2)，则12= 12cos(1+ 2) + sin(1+ 2)，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：= (cos + sin)= (cos + sin)，则(1

5、+ 3)10 =（ ） A、1024 10243 B、1024 + 10243 C、512 5123 D、512 + 5123 8、已知 a0，则 x0满足关于 x 的方程 ax=b 的充要条件是（ ） A、 , 1 2 2 1 2 0 2 0 B、 , 1 2 2 1 2 0 2 0 C、 , 1 2 2 1 2 0 2 0 D、 , 1 2 2 1 2 0 2 0 二二、选择题、选择题：本题共：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题分。在每小题给出给出的选项中，有多项符的选项中，有多项符 合题目合题目要求。要求。全部选对的得全部选对的得 5 5 分，有选

6、错的得分，有选错的得 0 0 分，部分选对分，部分选对的的得得 3 3 分。分。 9、已知 11 0 ab ，则下列结论正确的是（ ） 辽宁师大附中 高二数学 第 3 页 共 11 页 A、 22 ba B、2 ba ab C、 2 bab D、 2 lglgaab 10、为满足人民对美好生活的 向往，环保部门要求相关企业 加强污水治理，排放未达标的 企业要限期整改、设企业的污 水排放量 W 与时间 t 的关系为 ( )Wf t，用 ( )( )f bf a ba 的大小评价在 , a b这段时间内企业污水治理能力的强弱， 已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示。给出下列

7、四个结 论，其中正确结论为（ ） A、在 12 ,t t这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； B、在 2 t时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； C、在 3 t时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； D、甲企业在 11223 0,tt tt t这三段时间中，在 1 0,t的污水治理能力最强 11、函数( )f x定义在R上的奇函数，当0, ( )(1) x xf xex ，下列结论正确的为 （ ） A、当0, ( )(1) x xf xex B、函数( )f x有五个零点 C、若( )f xm有解，则( 2)(2)fmf D、 1221 ,|()( )| 2xxRf xf x恒成立

8、12、给出定义：若 11 22 mxm （其中m为整数） ，m叫做实数x最近的整数， 记作 x，即 xm。给出下列关于函数 ( )f xxx的四个命题，其中真命题为 辽宁师大附中 高二数学 第 4 页 共 11 页 （ ） A、函数( )yf x的定义域是R，值域是 1 0, 2 B、函数( )yf x的图像关于直线 2 k x ()kZ对称 C、函数( )yf x是周期函数，最小正周期是 1 D、函数( )yf x在 1 1 , 2 2 上单调递增 三三、填空填空题：本题：本大大题题共共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2020 分分。 13、如果随机变量),( 2 NX

9、,且1)(, 3)(XDXE,且6826. 0)42( XP， 则 )4(XP_ 14、 从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数， 事件 A= “取到的 2 个数之和为偶数” ， 事件 B= “取 到的 2 个数均为偶数” ，则 P(BA)= _ 15、一元二次不等式)02 2 babxax（的解集为 a xx 1 |，则 ba ba 22 的最 小值为_ 16、已知函数( )f x定义在R上的函数，若 2 ( )()0 x f x efx，当0 x时， ( )( )0f xfx，则不等式 21 ( )(1) x f x efx 的解集为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6

10、 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 （10 分）已知 n x x) 2 ( 2 的展开式中第 5 项的系数与第 3 项系数之比为3:56， （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大的项。 18、 （12 分）支付宝和微信支付是目前市场占有率较高的支付方式，某第三方调研机构对 使用这两种支付方式的人数作了对比，从全国随机抽取了 100 个地区作为研究样本，计 算了各个地区样本的使用人数，其频率分布直方图如下， 辽宁师大附中 高二数学 第 5 页 共 11 页 （1）记A表示事件“微信支付人数低

11、于 50 千人”，估计A的概率； （2）填写下面 22 列联表，并根据 22 列联表判断是否有99%的把握认为支付 人数与支付方式有关； 支付人数50千人 支付人数50 千人 总计 微信支付 支付宝支付 总计 附： )( 2 kKP 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 2 2 n a db c K abcdacbd 19、 （12 分）已知定义域为R的函数 1 2 ( ) 2 x x b f x a 是奇函数。 （1）求, a b的值； 辽宁师大附中 高二数学 第 6 页 共 11 页 （2）若对tR，不等式 22 (2 )(2)0f ttftk恒成立

12、，求k的取值范围。 20、 （12 分）已知函数 bx ax xf 2 )(在1x处取得极值为 2 （1）求函数)(xf的解析式； （2）若函数)(xf在区间12 ,mm上为增函数，求实数m的取值范围； （3） 若 00, y xP为函数 bx ax xf 2 )(图像上的任意一点， 直线l与 bx ax xf 2 )( 的图象相切于点 P，求直线l的斜率k的取值范围。 21、 （12 分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球，乙 箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各 随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个

13、，则获奖 （每次游戏结束后将球放回原箱） （1）求在 1 次游戏中， 摸出 3 个白球的概率； 获奖的概率； （2）求在 4 次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望()E X。 22、(12 分)已知函数)0(ln)(axaxbxxf的图象在点) 1 (, 1 f处的切线与直线 xay)1 ( 平行 （1）若函数)(xfy 在e，2e上是减函数，求实数 a 的最小值； （2）设 x xf xg ln )( )(，若存在 1 xe，e2，使 4 1 )( 1 xg成立，求实数 a 的取值范 围 辽宁师大附中 20192020 学年度下学期期末考试 高二数学答案 1.D 2.A 3.C 4.A 5.

14、B 6.B 7.D 8.C 9.ABD 10.ABC 11.AD 辽宁师大附中 高二数学 第 7 页 共 11 页 12.BC 13、0.1587 14、 1 4 15、22 16、 1 | 2 x x 17、 （1） 3 56 2 2 22 44 n n C C 解得10n-2 r r rr r r r r xC x xCT 2 2 10 10 2 10 101 2 2 由02 2 10 r r 得2r-4 常数项为第三项，180 3 T-5 （2）设第1r项系数最大，即 rr C2 10 最大 即 11 1010 11 1010 22 22 rrrr rrrr CC CC 得 3 22 3

15、 19 r 又7,rNr -8 系数最大的项为第 8项， 2 25 8 15360 xT-10 18、 （1）根据题意，由微信支付人数的频率分布直方图可得： 001200140024003400405062P A . -3 （2）根据题意，补全列联表可得： 支付人数50 千人 支付人数50 千人 总计 微信支付 62 38 100 支付宝支付 34 66 100 总计 96 104 200 辽宁师大附中 高二数学 第 8 页 共 11 页 -7 则有 2 2 20062663834 157056635 10010096104 K .， -11 故有 99%的把握认为支付人数与支付方式有关 -1

16、2 19、解：因为定义域为R的函数 1 2 ( ) 2 x x b f x a 是奇函数( )()f xfx 解得2,1ab或 = 2, = 1 因为xR所以2,1ab -4 （2）证明( )f x为减函数（方法：导数法或定义法）-8 22 (2 )(2)0f ttftk，等价于 22 22ttkt 即 2 32ttk 恒成立 设() = 32 2, ，可得()= 1 3 所以 1 3 k -12 20 、（ 1 ） 22 2 )( )( )( bx bxa xf ， 由 已 知 2) 1 ( 0) 1 ( f f 解 得1, 4ba -4 （2） 22 2 ) 1( ) 1(4 )( x x

17、 xf 令0)( x f解得11x 辽宁师大附中 高二数学 第 9 页 共 11 页 由已知 112 1 12 m m mm 即01m -8 （3） 2 2 0 2 0 0 ) 1( ) 1(4 )( x x xfk= 2 2 0 2 0 ) 1( 8 1 4 xx 令 1 4 2 0 x t，则4 , 0t，且ttk 2 2 1 k的取值范围是 4 , 2 1 -12 21、(1)设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件(0,1,2,3), i A i 21 32 3 22 53 1 (). 5 CC P A CC -2 设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则 23 BAA=， 又 2

18、1121 33222 2 2222 5353 1 (), 2 CC CCC P A CCCC 且 A2，A3互斥， 所以 23 117 ( )()(). 2510 P BP AP A=+=+=-6 （II）由题意可知 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，所以 X 的分布列是 X 0 1 2 3 4 P 81 10000 189 2500 1323 5000 1029 2500 2401 10000 -9 辽宁师大附中 高二数学 第 10 页 共 11 页 XB(4, 7 10) ， 所以 X 的数学期望 E(X)=4 7 10 = 14 5 -12 22、f(x)baaln x，f(1)

19、ba，ba1a，b1则 f(x)xaxln x （1）yf(x)在e，2e上为减函数，f(x)1aaln x0 在e，2e上恒成立， 即 a 1 ln x1在e，2e上恒成立 函数 h(x) 1 ln x1在e，2e上递减， 2 1 )()( max ehxh 2 1 min a -5 （2）解法一：ax x x x xaxx xg lnln ln )( 存在, 2 eex，使 4 1 )(xg成立，即 4 1 ln ax x x 成立 因为0 x，所以等价于存在, 2 eex，使 xx a 4 1 ln 1 成立 设 xx xh 4 1 ln 1 )(，满足 min )(xha 即可 -7

20、2 2 )ln2( 4ln )( xx xx xh 2 exe 2ln1x，4ln1 2 x；4444 2 exe 04ln 2 xx 0)( xh，)(xh在, 2 ee单调递减 2 2 min 4 1 2 1 )()( e ehxh 2 4 1 2 1 e a -12 辽宁师大附中 高二数学 第 11 页 共 11 页 解法二（视解答情况参照给分） g(x)() x ln xax， g(x) ln x1 x 2a 1 ln x 2 1 ln xa 1 ln x 1 2 21 4a， 故当 1 ln x 1 2，即 xe 2时，g(x) max1 4a 若存在 x1e，e2，使 g(x1)1

21、 4成立， 等价于当 xe，e2时，有 g(x)min1 4 当 a1 4时，g(x)在e，e 2上为减函数， g(x)ming(e2)e 2 2ae 21 4，故 a 1 2 1 4e2 当 0a1 4时，由于 g(x) 1 ln x 1 2 21 4a 在e，e 2上为增函数， 故 g(x)的值域为 a，1 4a 由 g(x)的单调性和值域知， 存在唯一 x0(e，e2)，使 g(x)0，且满足： 当 xe，x0)时，g(x)0，g(x)为增函数 所以 g(x)ming(x0) x0 ln x0ax0 1 4，x0(e，e 2) 所以 a 1 ln x0 1 4x0 1 ln e2 1 4e 1 2 1 4 1 4，与 0a 1 4矛盾，不合题意 综上，实数a的取值范围为 1 2 1 4e2， -12