2020年全国高中数学联赛加试参考答案及评分标准(A卷).pdf
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1、1 2020 年年全国高中数学联合竞赛加试(全国高中数学联合竞赛加试(A A 卷)卷) 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明:说明: 1 评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分 2 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分,参考本评分标准适当划分档次评分, 10 分为一个档次, 不得增加其他中间档次分为一个档次, 不得增加其他中间档次 一一(本题满分(本题满分 40 分)分)如图,在等腰ABC中,ABBC,I为内
2、心,M 为BI的中点,P为边AC上一点,满足3APPC,PI延长线上一点H满足 MHPH,Q为ABC的外接圆上劣弧AB的中点证明:BHQH 证明证明: 取AC的中点N 由3APPC, 可知P为NC的中点 易知, ,B I N共 线,90INC 由I为ABC的内心,可知CI经过点Q,且 QIBIBCICBABIACQABIABQQBI, 又M为BI的中点,所以QMBI进而|QMCN 10 分 考虑HMQ与HIB由于MHPH,故90HMQHMIHIB 又90IHMINP,故 HMNP HINI ,于是 11 22 HMNPNCMQMQ HININIMIIB 所以HMQHIB,得HQMHBI 30
3、分 从而,H M B Q四点共圆于是有90BHQBMQ,即BHQH 40 分 H P M I Q A BC H P N M I Q A BC 2 二二(本题满分(本题满分 40 分)分)给定整数3n设 122122 , nn a aab bb是4n个 非负实数,满足 122122 0 nn aaabbb, 且对任意1, 2, 2in, 有 21iiii aabb(这里 211222211 , nnn aa aa bb) 求 122n aaa的最小值 解解:记 122122nn Saaabbb 不失一般性,设 1321 2 n S Taaa 当3n时,因为 3 2 2121 1 3 kk k T
4、aa 222 133551 1 ()()()0 2 aaaaaa, 故结合条件可知 233 2 2121212 11 33()3 4 kkkk kk S TaabbS 又0S,所以12S 当2(16) ii abi时,S取到最小值 12 10 分 当4n时,一方面有 2121212 11 () nn kkkk kk aabbS 另一方面,若n为偶数,则 2 212115233721 1 ()() 4 n kknn k T aaaaaaaa, 其中第一个不等式是因为 15233721 ()() nn aaaaaa展开后每一项 均非负,且包含 2121(1 ) kk aakn这些项,第二个不等式利
5、用了基本不等式 20 分 若n为奇数,不妨设 13 aa,则 1 21212121213 11 nn kkkkn kk aaaaaa 2 15213723 ()() 4 nn T aaaaaa 从而总有 22 2121 1 416 n kk k TS Saa又0S,所以16S 30 分 当 123412 4,0(52 ),0,16,0(32 ) ii aaaaain bbbin时, S取到最小值 16 综上,当3n时,S的最小值为 12;当4n时,S的最小值为 16 40 分 3 三三 (本题满分(本题满分 50 分)分)设 1212 1,2,2,3, 4, nnn aaaaan证明: 对整数
6、5n, n a必有一个模 4 余 1 的素因子 证明证明:记12,12,则易求得 nn n a 记 2 nn n b,则数列 n b满足 12 2(3) nnn bbbn 因 12 1,3bb均为整数,故由及数学归纳法,可知 n b每项均为整数 10 分 由 22 2 () 22 nnnn n,可知 22 2( 1) (1) n nn ban 20 分 当1n为奇数时, 由于 1 a为奇数, 故由 n a的递推式及数学归纳法, 可知 n a 为大于 1 的奇数,所以 n a有奇素因子p由得 2 1(mod ) n bp,故 1 1 2 ( 1)(mod ) p p n bp 又上式表明( ,)
7、1 n p b,故由费马小定理得 1 1(mod ) p n bp,从而 1 2 ( 1)1(mod ) p p 因2p,故必须 1 2 ( 1)1 p ,因此1(mod4)p 30 分 另一方面,对正整数,m n,若|m n,设nkm,则 (1)(2)(2)(1) () nnmm kmkmmmkmkm n a 1 (21 2 )(21 2 ) 0 1 (22 )(22 ) 0 () (),2 , () ()(),21. l imli mli m m i l imli mli mlm m i akl akl 因2 ss s b为整数(对正整数s),1为整数,故由上式知 n a等于 m a 与一
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