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类型2020年全国高中数学联赛加试参考答案及评分标准(A卷).pdf

  • 上传人(卖家):青草浅笑
  • 文档编号:777185
  • 上传时间:2020-10-06
  • 格式:PDF
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    资源描述:

    1、1 2020 年年全国高中数学联合竞赛加试(全国高中数学联合竞赛加试(A A 卷)卷) 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明:说明: 1 评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分 2 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分,参考本评分标准适当划分档次评分, 10 分为一个档次, 不得增加其他中间档次分为一个档次, 不得增加其他中间档次 一一(本题满分(本题满分 40 分)分)如图,在等腰ABC中,ABBC,I为内

    2、心,M 为BI的中点,P为边AC上一点,满足3APPC,PI延长线上一点H满足 MHPH,Q为ABC的外接圆上劣弧AB的中点证明:BHQH 证明证明: 取AC的中点N 由3APPC, 可知P为NC的中点 易知, ,B I N共 线,90INC 由I为ABC的内心,可知CI经过点Q,且 QIBIBCICBABIACQABIABQQBI, 又M为BI的中点,所以QMBI进而|QMCN 10 分 考虑HMQ与HIB由于MHPH,故90HMQHMIHIB 又90IHMINP,故 HMNP HINI ,于是 11 22 HMNPNCMQMQ HININIMIIB 所以HMQHIB,得HQMHBI 30

    3、分 从而,H M B Q四点共圆于是有90BHQBMQ,即BHQH 40 分 H P M I Q A BC H P N M I Q A BC 2 二二(本题满分(本题满分 40 分)分)给定整数3n设 122122 , nn a aab bb是4n个 非负实数,满足 122122 0 nn aaabbb, 且对任意1, 2, 2in, 有 21iiii aabb(这里 211222211 , nnn aa aa bb) 求 122n aaa的最小值 解解:记 122122nn Saaabbb 不失一般性,设 1321 2 n S Taaa 当3n时,因为 3 2 2121 1 3 kk k T

    4、aa 222 133551 1 ()()()0 2 aaaaaa, 故结合条件可知 233 2 2121212 11 33()3 4 kkkk kk S TaabbS 又0S,所以12S 当2(16) ii abi时,S取到最小值 12 10 分 当4n时,一方面有 2121212 11 () nn kkkk kk aabbS 另一方面,若n为偶数,则 2 212115233721 1 ()() 4 n kknn k T aaaaaaaa, 其中第一个不等式是因为 15233721 ()() nn aaaaaa展开后每一项 均非负,且包含 2121(1 ) kk aakn这些项,第二个不等式利

    5、用了基本不等式 20 分 若n为奇数,不妨设 13 aa,则 1 21212121213 11 nn kkkkn kk aaaaaa 2 15213723 ()() 4 nn T aaaaaa 从而总有 22 2121 1 416 n kk k TS Saa又0S,所以16S 30 分 当 123412 4,0(52 ),0,16,0(32 ) ii aaaaain bbbin时, S取到最小值 16 综上,当3n时,S的最小值为 12;当4n时,S的最小值为 16 40 分 3 三三 (本题满分(本题满分 50 分)分)设 1212 1,2,2,3, 4, nnn aaaaan证明: 对整数

    6、5n, n a必有一个模 4 余 1 的素因子 证明证明:记12,12,则易求得 nn n a 记 2 nn n b,则数列 n b满足 12 2(3) nnn bbbn 因 12 1,3bb均为整数,故由及数学归纳法,可知 n b每项均为整数 10 分 由 22 2 () 22 nnnn n,可知 22 2( 1) (1) n nn ban 20 分 当1n为奇数时, 由于 1 a为奇数, 故由 n a的递推式及数学归纳法, 可知 n a 为大于 1 的奇数,所以 n a有奇素因子p由得 2 1(mod ) n bp,故 1 1 2 ( 1)(mod ) p p n bp 又上式表明( ,)

    7、1 n p b,故由费马小定理得 1 1(mod ) p n bp,从而 1 2 ( 1)1(mod ) p p 因2p,故必须 1 2 ( 1)1 p ,因此1(mod4)p 30 分 另一方面,对正整数,m n,若|m n,设nkm,则 (1)(2)(2)(1) () nnmm kmkmmmkmkm n a 1 (21 2 )(21 2 ) 0 1 (22 )(22 ) 0 () (),2 , () ()(),21. l imli mli m m i l imli mli mlm m i akl akl 因2 ss s b为整数(对正整数s),1为整数,故由上式知 n a等于 m a 与一

    8、个整数的乘积,从而| mn aa 因此,若n有大于1的奇因子m,则由前面已证得的结论知 m a有素因子 1(mod4)p,而| mn aa,故| n p a,即 n a也有模 4 余 1 的素因子 40 分 最后,若n没有大于1的奇因子,则n是2的方幂设2 (3) l nl,因 8 40824 17a有模 4 余 1 的素因子 17,对于4l,由8|2l知 8 2 | l aa,从而 2l a 也有素因子 17证毕 50 分 4 四四 (本题满分(本题满分 50 分)分)给定凸 20 边形P用P的 17 条在内部不相交的对角 线将P分割成 18 个三角形,所得图形称为P的一个三角剖分图对P的任

    9、意一 个三角剖分图T,P的 20 条边以及添加的 17 条对角线均称为T的边T的任意 10条两两无公共端点的边的集合称为T的一个完美匹配 当T取遍P的所有三角 剖分图时,求T的完美匹配个数的最大值 解解:将 20 边形换成2n边形,考虑一般的问题 对凸2n边形P的一条对角线,若其两侧各有奇数个P的顶点,称其为奇弦, 否则称为偶弦首先注意下述基本事实: 对P的任意三角剖分图T,T的完美匹配不含奇弦 (*) 如果完美匹配中有一条奇弦 1 e, 因为T的一个完美匹配给出了P的顶点集的一个 配对划分,而 1 e两侧各有奇数个顶点,故该完美匹配中必有T的另一条边 2 e,端 点分别在 1 e的两侧,又P

    10、是凸多边形,故 1 e与 2 e在P的内部相交,这与T是三角 剖分图矛盾 10 分 记( )f T为T的完美匹配的个数 设 1 1F =, 2 2F =, 对2k , 21kkk FFF + =+, 是 Fibonacci 数列 下面对n归纳证明: 若T是凸2n边形的任意一个三角剖分图,则( ) n f TF 设 122n PA AA=是凸2n边形从P的2n条边中选n条边构成完美匹配,恰 有两种方法, 1234212 , nn A A A AAA 或 2345222121 , nnn A A A AAAA A 当2n =时,凸四边形P的三角剖分图T没有偶弦,因此T的完美匹配只能用 P的边,故

    11、2 ( )2f TF= 当3n =时,凸六边形P的三角剖分图T至多有一条偶弦若T没有偶弦,同 上可知( )2f T = 若T含有偶弦, 不妨设是 14 A A, 选用 14 A A的完美匹配是唯一的, 另两条边只能是 2356 ,A A A A,此时( )3f T =总之 3 ( )3f TF= 结论在2,3n =时成立 假设4n, 且结论在小于n时均成立 考虑凸2n边形 122n PA AA=的一个三角剖分图T若T没有偶弦,则同上可知( )2f T = 对于偶弦e,记e两侧中P的顶点个数的较小值为( )w e若T含有偶弦,取 其中一条偶弦e使( )w e达到最小设( )2w ek=,不妨设e

    12、为 221nk A A + ,则每个 (1, 2, 2 ) i A ik=不能引出偶弦 事实上,假设 ij AA是偶弦,若22, 23, 21jkkn+,则 ij AA与e在P 的内部相交,矛盾若1, 2, 21, 2 jkn+,则()2 ij w AAk,与( )w e的最小性 矛盾 又由(*)知完美匹配中没有奇弦,故 122 , k A AA只能与其相邻顶点配对, 特别地, 1 A只能与 2 A或 2n A配对下面分两种情况 情形 1:选用边 12 A A则必须选用边 34212 , kk A AAA 注意到 221nk A A + 的两侧 分别有2 , 222knk个顶点, 221 22

    13、2()2 nk nkw A Ak + =,而4n,因此 5 226nk 在凸22nk边形 121222kkn PAAA + =上,T的边给出了 1 P的三角剖分 图 1 T,在T中再选取nk条边 12 , n k e ee ,与 1234212 , kk A A A AAA 一起构成T 的完美匹配, 当且仅当 12 , n k e ee 是 1 T的完美匹配 故情形 1 中的T的完美匹配 个数等于 1 ( )f T 20 分 情形 2:选用边 12n A A则必须选用边 23221 , kk A AA A + 在凸222nk边形 2222321kkn PAAA + = 中构造如下的三角剖分图

    14、2 T:对2221kijn+ ,若 线段 ij AA是T的边,则也将其作为 2 T的边,由于这些边在内部互不相交,因此可 再适当地添加一些 2 P的对角线, 得到一个 2 P的三角剖分图 2 T, 它包含了T的所有 在顶点 222321 , kkn AAA + 之间的边因此每个包含边 2123221 , nkk A A A AA A + 的T 的完美匹配, 其余的边必定是 2 T的完美匹配 故情形 2 中的T的完美匹配个数不 超过 2 ()f T 由归纳假设得 1 ( ) n k f TF , 21 () n k f TF ,结合上面两种情形以及1k ,有 1211 ( )( )() n kn

    15、 kn kn f Tf Tf TFFFF + += 40 分 下面说明等号可以成立 考虑凸2n边形 122n A AA的三角剖分图 n : 添加对 角线 222332121442232 , nnnnnnnnn A AA A A AAA A AAA A A + 重复前面的论证过程, 2 ()2f =, 3 ()3f =对 n ,4n,考虑偶弦 3n A A情形 1,用 12 A A,由于在 凸22n边形 342n A AA中的三角剖分图恰是 1n ,此时有 1 () n f 个T的完美匹 配情形 2,用 12n A A,由于在凸24n边形 4521n A AA 中T的边恰构成三角剖分 图 2n , 不用添加任何对角线, 故这一情形下T的完美匹配个数恰为 2 () n f 从 而对4n,有 12 ()()() nnn fff =+ 由数学归纳法即得() nn fF=结论得证 因此,对凸 20 边形P,( )f T的最大值等于 10 89F = 50 分

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