高三二轮复习专题之直线与圆的方程.doc

1、直线与圆的方程直线与圆的方程 【课堂导入】 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 已知以 M 为圆心的圆 M： 22 1214600 xyxy及 其上一点 A(2，4) （1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上，求圆 N 的标准方程； （2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两点，且 BCOA，求直线 l 的方程； （3）设点 T（t，0）满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得TATPTQ，求实数 t 的取 值范围 解答： （1）圆 M 的标准方程为 22 (6)(7)25xy，所以圆心半径为 5，所以圆心 (6,7)M， 所以 0

2、07y，于是圆 N 的半径为 0 y，从而 00 75yy，解得 0 1y 因此，圆 N 的标准方程为 22 (6)(1)1xy （2）因为直线 lOA，所以直线 l 的斜率为 40 2 20 ，设直线 l 的方程为2yxm，即 20 xym， 则圆心 M 到直线 l 的距离为 |2 67|5| 55 mm d ，因为 BCOA 22 242 5，而 222 () 2 BC MCd，所以 2 (5) 255 5 m ，解得5m或15m， 故直线 l 的方程为250 xy或2150 xy （3） 设 11 ( ,)P x y， 22 (,)Q xy，因为(2,4)A，( ,0)T t，TATPT

3、Q，所以 21 21 2 4 xxt yy 因为点 Q 在圆 M 上，所以 22 22 (6)(7)25xy 将代入可得， 22 11 (4)(3)25xty 于是点 P 既在圆 M 上，又在圆 22 11 (4)(3)25xty 上， 从而两圆由公共点，所以 22 55(4)6(37)55t，解得 22 2122 21t ， 因此，实数t的取值范围是22 21,22 21 考点：直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算 【知识讲解】 1、直线方程的五种形式及适用条件： 2、圆的标准方程和一般方程： 3、直线与圆的位置关系及条件： 4、圆与圆的位置关系及条件：

4、 【典例分析】 【例 1】已知点(2, 3)M，( 3, 2)N ，直线01ayax与线段 MN 相交，则实数a的 取值范围是 解答：点(2, 3)M，( 3, 2)N ，直线01ayax与线段 MN 相交， 点(2, 3)M，( 3, 2)N 在直线01ayax的异侧或在直线上， 则()(23 11)320aaaa ，即4 43()()0aa，解得 3 4 a 或4a， 所以a的取值范围是 3 (,4,) 4 考点：直线与线段的位置关系 【变式 1-1】已知直线 l 经过点(3, 2)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线 l 的方程 为 解答：根据题意，分两种情况讨论： 当直线 l 在两坐标轴

5、上的截距都等于 0 时，直线过点(3, 2)，则其斜率 202 3 03 k ， 则直线的方程为 2 3 yx ，即230 xy； 当直线 l 在两坐标轴上的截距不等于 0 时，设该直线的方程为1 y x aa ， 直线过点(3, 2)，将其代入直线方程可得 32 1 aa ，解可得1a ， 则直线方程为10 xy ； 综合可得：过点(3, 2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为230 xy或 10 xy 考点：截距，直线的方程 【变式 1-2】已知直线 l 过第一象限内定点 P(4，3)，与 x 轴正方向交于点 A，与 y 轴正方向 交于点 B， （1）当 AOB 面积最小时，求 AOB

6、面积的最小值； （2）当 PA PB 取得最小值时，求直线 l 的方程 解答： （1）设直线 l 的方程为1(0,0) y x ab ab ，则点( ,0)A a，(0, )Bb 点 P(4，3)在直线 l 上， 33412 124 ababab ，解得48ab 当且仅当 34 ab ，即6a，8b时等号成立， min 1 4824 2 AOB S 此时直线 l 的方程为1 68 y x ，即43240 xy （2）设直线 l 的倾斜角为() 2 ，则 33 sin()sin PA ， 33 cos()cos PB 则 3318 cossinsin2 PA PB ， 2 ， 3 = 4 时，P

7、A PB有最小值 18， 此时直线 l 的方程为70 xy 考点：直线的方程 【例 2】当02a时，直线 l1：224axya和 l2： 22 224xa ya与坐标轴围成 一个四边形，则使四边形的面积最小时的 a 值为 解答：如图，直线 l1：22()()20a xy过定点 B(2，2) 直线 l2： 2 ()(20)24xay，由24 0 x 和2 0y ，得 l2也过定点2(2)B, l1与 y 轴交于点2(0)Aa,，l2与 x 轴交于点 2 ()2,0C a S四边形OABCS AOBS BOC 2215111 (2) 2(2) 24() 2224 aaaaa 当 a1 2时，S 取

8、最小值 15 4 即四边形 OABC 的面积最小时，a 的值为1 2 考点：两直线的位置关系 【变式 2】在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：20kxy与直线 l2：20 xky相 交于点P， 则当实数k变化时， 点P到直线40 xy的距离的最大值为 解答：直线 l1：20kxy与直线 l2：20 xky的斜率乘积 1 ()1k k ， (0k 时，两条直线也相互垂直)，并且两条直线分别经过定点：M(0，2)，N(2，0) 两条直线的交点在以 MN 为直径的圆上 并且1 MN k ， 可得 MN 与直线40 xy垂 直 点 M 到直线40 xy的距离 |024| 3 2 2 d 为最大值

9、 考点：点到直线的距离公式 【例 3】如图，圆C与x轴相切于点(1, 0)T，与y轴正半轴交于两点,A B（B在A的上方） ， 且2AB （）圆C的标准 方程为 ； （）过点A任作一条直线与圆 22 :1O xy相交于,M N两点，下列三个结论： NAMA NBMB ； 2 NBMA NAMB ； 2 2 NBMA NAMB 其中正确结论的序号 是 （写出所有正确结论的序号） 解答： （）依题意，设), 1 ( rC（r为圆的半径） ，因为2|AB，所以211 22 r， 所以圆心)2, 1 (C，故圆的标准方程为2)2() 1( 22 yx （）联立方程组 2)2() 1( 0 22 yx

10、x ，解得 12 0 y x 或 12 0 y x ，因为 B 在 A 的上方，所以) 12, 0(A，) 12, 0(B，令直线MN的方程为0 x，此时) 1, 0( M， ) 1 , 0(N，所以2|MA，22|MB，22|NA，2|NB，因为 2 2 1 2 22 | | NB NA ，12 22 2 | | MB MA ，所以 NAMA NBMB 所以 22 21( 21)2 2222 NBMA NAMB 22 21212 2 2222 NBMA NAMB ，正确结论的序号是 考点：圆的标准方程，两点间的距离公式 【变式 3-1】 若圆 C： 22 2430 xyxy关于直线260ax

11、by对称， 则由点( , )a b 向圆所作的切线长的最小值是 解答： 由题意知圆 C 的圆心( 1,2)C ， 半径为2， 圆 C 关于直线260axby对称， 点 C 在260axby上 ， 即2260ab，3ab， 故 切 线 长 为 22 (1)(2)2ab 222 (3 1)(2)2(1)16bbb ，故1b时，切线有最小值 4 考点：圆的对称性，二次函数的最值 【变式 3-2】已知点 A（0，1） ，B（1，0） ，C（t，0） ，点 D 是直线 AC 上的动点，若 AD 2BD 恒成立，则 的最小正整数t的值为 解答：直线 AC 方程为1 x y t ，即0 xtyt ，设 D（

12、x，y） ， AD2BD 即 AD2 4BD2 2222 (1)4(1)xyxy， 22841 ()() 339 xy表示圆外区域及圆上的点， 直线0 xtyt 与圆 22841 ()() 339 xy相离， 2 41 | 2 233 3 1 tt t ，化简得 2 410tt ，解得23t 或23t 所以最小正整数t的值为 4 考点：圆的方程的应用 【例 4】 已知点 P 在圆 M： 22 ()(2) 1xaya上， A， B 为圆 C： 22 ( 4)4xy 上两动点，且 AB 2 3，则 PA PB的最小值是 解答：取 AB 中点为 N， 22 ()()()()PA PBPNNA PNN

13、BPNNA PNNAPNNA 因为圆 M 与圆 C 的圆心距为 222 (0)(24)2(3)183 2aaa， min 3 22PN， 22 min(3 22)( 3)19 12 2PA PB 考点：直线与圆的位置关系 【变式 4-1】在平面直角坐标系 xOy 中，圆 22 :1O xy，圆 2 2 :44Cxy若存在过 点0P m，的直线 l，l 被两圆截得的弦长相等，则实数 m 的取值范围是 解答：设直线 l 的方程为xnym，则 2 2 2 2 22 | 1 1 |4| 2 1 (4) 14 11 m n m n m m nn ，由 2 2 22 (4) 14 11 m m nn 可得

14、 213 8 3 m n ，代入 2 | 1 1 m n 化简可得， 2 38160mm，解得 4 4 3 m 代入 2 |4| 2 1 m n 化简可得 2 38160mm，解得 4 4 3 m 所以实数 m 的取值范围是 4 ( 4, ) 3 考点：直线与圆的位置关系 【变式 4-2】已知圆 O： 22 1xy，圆 M： 22 ()(2)2xay若圆 M 上存在点 P， 过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A，B，使得 PAPB，则实数 a 的取值范围 为 解答：依题意，圆 O： 22 1xy圆心是(0,0)O，半径1r ， 圆 M： 22 ()(2)2xay，圆心是( ,2)M a，

15、半径2R ， PA，PB 是圆 O 的切线， PAOA，PBOB， 当 PAPB 时，APB90， APO45， 22OPOA ，即当圆 M 上存在点 P 满足|2OP 时即满足题意 2 min |42OPOMRa， 2 max |42OPOMRa 22 42242aa， 2 42 2a ，解得22a 故 a 的取值范围是 2,2 考点：圆的切线 【变式 4-3】如图，AB 为圆 O 的一条直径，点 C 为圆上不与点 A 重合的一个动点，选取 AC 的中点 D，作 DEAB 交圆于 AB 上方一点 E，记,0ABACAE ，若存 在两个不同的正数与唯一的正数对应，则 解答： 1 2 DEAEA

16、DACAE， DEAB， 0DE AB， 即 22 11 ()()()0 222 ACAEACAEACAC AEAE （1） 又 AB 为直径， AEBE，ACBC ()0 ()0 ACACAB AEAEAB ，即 2 2 (1)0 (1)0 ACAC AE AEAC AE （2） 代入（1）化简可得 1 ()0 2 121 AC AE 1 ()0 2 121 ，即 22 220 所以 211 12() 22 2 ，因为存在两个不同的正数与唯一的正数对应 1 2 ， 21 24 ，故 2 | 4 考点：平面向量 【巩固运用】 1、已知点 A(3，3)，B(5，2)到直线 l 的距离相等，且直线

17、 l 经过两直线 l1：3xy10 和 l2：xy30 的交点，则直线 l 的方程为 解答：解方程组 3xy10， xy30， 得交点 P(1，2) 若点 A，B 在直线 l 的同侧，则 lAB，而 kAB32 35 1 2， 由点斜式得直线 l 的方程为 y21 2(x1)，即 x2y50 若点 A，B 分别在直线 l 的异侧，则直线 l 经过线段 AB 的中点(4，5 2)， 由两点式得直线 l 的方程为y2 x1 5 22 41，即 x6y110 综上所述，直线 l 的方程为 x2y50 或 x6y110 考点：直线的方程，两直线的位置关系 2、设点 0 (,1)M x，若在圆 O： 2

18、2 1xy上存在点 N，使得OMN45 ，则 0 x的取值范 围是_ 解答：由题意，直线 MN 与圆 O 有公共点即可，即圆心 O 到直线 MN 的距离小于等于 1 即 可，如图， 过OAMN ， 垂 足 为A ， 在RT OMA中 ， 因 为 OMN 45 ， 所 以 2 | |sin45| 1 2 OAOMOM， 解得|2OM ， 因为点 0 (,1)M x， 所以 2 0 |12OMx ， 解得 0 11x ， 故 0 x的 取值范围是 1,1 考点：直线与圆的位置关系 3、 在平面直角坐标系xOy中，( 12,0)A ，(0,6)B点P在圆 O： 22 50 xy上， 若20PA PB

19、 ， 则点P的横坐 标的取值范围是 解答：设( , )P x y，由20PA PB易得250 xy，由 22 250 50 xy xy ，可得 A： 5 5 x y ，B： 1 7 x y ， 由250 xy得点 P 在圆左边弧 AB 上，结合条件 5 25 2x，可得 P 横坐标的取值范围是 5 2,1 考点：直线与圆，线性规划 4、已知 ABC 的三个顶点 A(1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圆 H （1）求圆 H 的方程； （2）若直线 l 过点 C，且被圆 H 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程； （3）对于线段 BH 上的任意一旦 P，若在以 C 为圆心的圆上都存在不同

20、的两点 M，N，使 得点 M 是线段 PN 的中点，求圆 C 的半径 r 的取值范围 解答： （1）由题意，A(1，0)，B(1，0)，C(3，2)， AB 的垂直平分线是0 x， BC：1yx，BC 中点是(2，1)， BC 的垂直平分线是3yx ， 由 0 3 x yx ，得到圆心是(0，3)，10r ， 圆 H 的方程是 22 (3)10 xy； （2）弦长为 2，圆心到 l 的距离 d3 设 l：(3)2yk x，则 2 | 332| 3 1 k d k ， 4 3 k ， l 的方程 4 2 3 yx； 当直线的斜率不存在时，3x ，也满足题意 综上，直线 l 的方程是3x 或 4

21、2 3 yx； （3）直线 BH 的方程为330 xy，设( , )(01)P m nm，( , )N x y 因为点 M 是点 P，N 的中点，所以(,) 22 ny mx M ， 又 M，N 都在半径为 r 的圆 C 上，所以 222 222 (3)(2) (3)(3) 22 xyr ny mx r ， 即 222 222 (3)(2) (6)(6)4 xyr mxnyr ，因为该关于 x，y 的方程组有解， 即以(3，2)为圆心，r 为半径的圆与以(6,4)mn为圆心，2r 为半径的圆相交， 所以 2222 (2)(3 6)(24)(2 )rrmnrr ，又330mn ， 所以 22 2

22、1012109rmmr对任意0,1m成立 而 2 ( )101210f mmm在0,1上的值域为 32 ,10 5 ， 又线段 BH 与圆 C 无公共点，所以 222 (3)(3 32)mmr对任意0,1m成立，即 232 5 r 故圆 C 的半径 r 的取值范围为 10 4 10 (,) 35 考点：圆的标准方程 【拓展延伸】 1、在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C1： 22 162)5()(xy，圆 C2： 222 1730()()xyr，若圆 C2 上存在一点 P，使得过点 P 可作一条射线与圆 C1 一次 交于点 A，B，满足|PA|2|AB|，则半径 r 的取值范围是 解答：圆 C

23、1： 22 162)5()(xy，圆心(1，6)；半径为：5 圆 C2： 222 1730()()xyr圆心(17，30)；半径为：r 两圆圆心距为： 2 2 17 1306(30)如图：PA2AB，可得 AB 的最大值为直径， 此时 C2A20，r0当半径扩大到 55 时，此时圆 C2 上只有一点到 C1 的距离为 25，而且 是最小值，半径再大，没有点满足 PA2ABr5，55 考点：直线与圆的位置关系 2、设点 P 是函数 2 (41)yx 图象上任意一点，点 Q(2a，a3)(aR)，则|PQ|的最小 值为 解答：由函数 2 (41)yx ，得 22 14,0()()xyy， 对应的曲

24、线为圆心在 C(1，0)，半径为 2 的圆的下部分， 点 Q(2a，a3)，x2a，ya3，消去 a 得 x2y60， 即 Q(2a，a3)在直线 x2y60 上， 过圆心 C 作直线的垂线，垂足为 A， 则|PQ|min|CA|2 1 06 252 1 | 4 考点：直线与圆的位置关系， 两点间的距离公式 3、设集合,)2( 2 | ),( 222 Ryxmyx m yxA， , 122| ),(RyxmyxmyxB，若AB ，则实数 m 的取值范围 是 解答：对任意mR，都有221mm，所以B， 集合 B 表示在直线2xym与直线21xym之间的平面区域（包含边界） 当 2 2 m m，即

25、 1 0 2 m时，A，不满足条件； 当 2 2 m m，即0m或 1 2 m 时，A （1）若0m，则 222 ( , )|(2), ,Ax yxymx yR表示以点（2，0）为圆心， 半径为|m的圆面（0m时是（2，0） ） ， AB 等价于点（2，0）到直线21xym的距离不大于半径|m， 即 |221| | 2 m m ，即 2 2410mm ，解得 22 11 22 m ，所以m； （2）若 1 2 m ，则,)2( 2 | ),( 222 Ryxmyx m yxA表示以点（2，0）为圆心， 大圆半径为|m，小圆半径为 | 2 m 的圆环 当（2，0）B，即2221mm，即11 2 m时，AB ，满足条件； 若1m，则AB 等价于点（2，0）到直线2xym的距离不大于半径|m， 即 |22| | 2 m m ，即 2 420mm，解得2222m， 所以1 22m 综上，实数 m 的取值范围是 1 ,22 2 考点：集合关系中的参数取值问题