高三数学附加卷空间向量与立体几何中角的计算复习.docx

1、高三数学高三数学空间向量与立体几何大题空间向量与立体几何大题 知知 识识 梳梳 理理 一、常用的空间向量一、常用的空间向量 直线的方向向量：与直线平行的向量 平面的法向量：与平面垂直的向量 二、空间向量的数量积二、空间向量的数量积 两向量的夹角：cos,1,1a b ；线面角0, 2 ，二面角0,； 两向量的数量积：向量, a b的数量积记作a b，且a bcos,a ba b 三、空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示 数量积的坐标运算： 12121 2 a bx xy yz z 模和夹角：|a| a a a21a22a23，cosa，b a b |a|b| a1b1a2b2a3b3 a21a

2、22a23 b21b22b23 . 设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 dAB|AB | a2a12b2b12c2c12. 学员姓名 年 级 高三 上课时间 辅导科目 数学 学科教师 课 题 空间线面关系与线面角空间线面关系与线面角 题题 型型 分分 类类 题型题型一一 异面直线所成角，线面角异面直线所成角，线面角 例例 1 如图， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， AA1ABAC2， ABAC， M 是棱 BC 的中点， 点 P 在线段 A1B 上 （1）若 P 是线段 A1B 的中点，求直线 MP 与直线 AC 所成角的大小； （2） 若N是 1 CC的中点， 直线

3、1 AB与平面PMN所成角的正弦值为 7 7 ， 求线段 BP 的长度 巩固训练：巩固训练：如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BAD60，四边形BDEF是梯 形，BDDE2EF，BDEF，DE平面ABCD. (1)求证：BDAF； (2)求直线CE与平面BCF所成角的正弦值 方法总结：方法总结：设线面角为，则： 12121 2 222222 111222 sincos, x xy yz zn AB n AB n ABxyzxyz A1 C1 B1 P A B C M N 题型题型二二 二面角余弦值的求法二面角余弦值的求法 例例2 2 如图， 已知四棱锥P-ABCD， 底面ABC

4、D是菱形， DAB=60 0， PD平面 ABCD，PD=AD，点 E 为 AB 中点，点 F 为 PD 中点。 （1）证明平面 PED平面 PAB； （2）求二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值 巩固训练：巩固训练： 如右下图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB= FB=1. (1) 求二面角 CDEC1的正切值; (2) 求直线 EC1与 FD1所成的余弦值. 题型题型三三 点到平面的距离点到平面的距离 例例 3 3在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是 B

5、1C1、C1D1的中点，求 A1到面 BDFE 的距离。 巩固练习：巩固练习： 如图， 在所有棱长均为 2 的直三棱柱ABCA1B1C1中，D,E分别为BB1,A1C1的中点。 （1）求异面直线AD,CE所成角的余弦值； （2）求点 1 A到平面 ACD 的距离。 课课 后后 作作 业业 （第 4 题） B A C A1 B1 C1 1已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值可以是( ) A2，1 2 B1 3， 1 2 C3,2 D2,2 2同时垂直于 a(2,2,1)和 b(4,5,3)的单位向量是_ 3若向量 a(1，2)，b(2，1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值

6、为8 9，则 _. 4如图，在三棱柱 111 ABCABC中，ABAC，顶点 1 A在底面ABC上的射影恰为点 B， 且 1 2ABACAB （1）求棱 1 AA与 BC 所成的角的大小； （2）在棱 11 BC上确定一点 P，使14AP ，并求出二面角 1 PABA的平面角的余弦值 5已知斜三棱柱 111 ABCABC，90BCA，2ACBC， 1 A在底面ABC上的射 影恰为AC的中点D，又知 11 BAAC （I）求证： 1 AC 平面 1 ABC； （II）求 1 CC到平面 1 A AB的距离； 6如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD平面 ABCD，

7、点 M 在线段 PB 上，PD平面 MAC，PA=PD=，AB=4 （1）求证：M 为 PB 的中点； （2）求二面角 BPDA 的大小； （3）求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值 7 如图， 在以 A， B， C， D， E， F 为顶点的五面体中， 面 ABEF 为正方形， AF=2FD， AFD=90， 且二面角 DAFE 与二面角 CBEF 都是 60 （）证明平面 ABEF平面 EFDC； （）求二面角 EBCA 的余弦值 参参 考考 答答 案案 例例 1 1. .以 1 AB ACAA，为正交基建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0 0 0)A，(2 0 0)B，(0 2

8、 0)C， 1(0 0 2) A，(1 1 0)M， （1）若 P 是线段 A1B 的中点， 则(1 0 1)P ，(01 1)MP ， ，(0 2 0)AC ， 所以 2 cos 2 MP AC MP AC MPAC ， 又0 MP AC，所以 3 4 MP AC， 所以直线 MP 与直线 AC 所成的角的大小为 4 （2）由(0 2 1)N，得( 1 1 1)MN ， 设()P x y z， ， 1 BPBA，01， 则(2)( 2 0 2)xy z， ， 所以 22 0 2 x y z ， ， 所以(220 2 )P，所以(121 2 )MP， ， 设平面PMN的法向量( , , )x

9、y zn， 则MNn，MPn， 所以 0, (12 )20, xyz xyz 取 11 (1,1) 22 n 因为 1 ( 2 0 2)BA ，设直线 1 AB与平面PMN所成角为 由 1 1 22 1 1 ( 2)(1)2 72 sincos 7 11 (1)()1 2 2 22 BA BA BA ， n n n ，得 1 4 所以 1 1 4 BPBA，所以 1 21 42 BPBA 巩固训练：巩固训练：(1)证明：连接AC交BD于O，连接OF.由四边形ABCD是菱形可知BDAC，OD 1 2BD， 因为BDEF，ODEF， 所以四边形ODEF是平行四边形， 即OFDE， 又DE平面ABC

10、D， BD 平面ABCD，所以BDDE，故BDOF，又ACOFO，所以BD平面ACF，又AF 平面 ACF，所以BDAF. (2)以O为坐标原点，直线OB，OC，OF分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角 A1 C1 B1 P A C B M 第 22 题 x y z N 坐标系Oxyz， 设菱形ABCD的边长为 2， 则由题意可知B(1,0,0)，C(0， 3， 0)，F(0,0,2)， E(1,0,2)，设平面BCF的法向量为n n(x，y，z)，因为BF (1,0,2)，BC (1， 3， 0)， 所以由 n nBF 0， n nBC 0， 得 x2z0， x 3y0， 即z x

11、 2，y 3 3 x， 令x6，则n n(6,2 3，3)是平面BCF的一个法向量 设直线CE与平面BCF所成的角为，因为CE (1， 3，2)， 所以sin |n nCE | |n n|CE | |666| 572 2 114 38 .故直线CE与平面BCF所成角的正弦值为 114 38 . 例例 2 2. .证明： （1）面 ABCD 是菱形，DAB=60 0，ABD 是等边三角形，又 E 是 AB 中点， 连结 BD，EDB=30 0，BDC=600，EDC=900， 如图建立坐标系 D-ECP，设 AD=AB=1，则 PF=FD= 1 2 ，ED= 3 2 ， P（0，0，1） ，E（

12、 3 2 ，0，0） ，B（ 3 2 ， 1 2 ，0） PB=（ 3 2 ， 1 2 ，-1） ，PE= （ 3 2 ，0，-1） ， 平面 PED 的一个法向量为DC=（0，1，0） ，设平面 PAB 的法向量为n=（x, y, 1) 由 3 131 2 ( , ,1) (, 1)010 2222 3 33 0 ( , ,1) (,0, 1)010 22 x yxy xnPB nPE y x yx n=（ 2 3 , 0, 1) DCn=0 即DCn 平面 PED平面 PAB (2)由(1)知平面 PAB 的法向量为n=（ 2 3 , 0, 1),设平面 FAB 的法向量为n1=（x,y,

13、-1)， 由（1）知：F（0，0， 1 2 ） ，FB=（ 3 2 ， 1 2 ，- 1 2 ） ，FE = （ 3 2 ，0，- 1 2 ） ， 由 1 1 3 11311 1 ( , , 1) (,)00 222222 3 3131 0 ( , , 1) (,0,)00 2222 x yxy xnFB nFE y x yx n1=（- 1 3 , 0, -1) 二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值 cos= |cos| = 1 1 n5 7 14 n n n 巩固训练：巩固训练： （I I）以）以 A A 为原点，为原点， 1 ,AB AD AA分别为分别为 x x 轴，轴，y y 轴轴

14、,z,z 轴的正向建立空间直角坐标轴的正向建立空间直角坐标 系，则系，则 D(0,3,0)D(0,3,0)、D D1 1(0,3,2)(0,3,2)、E(3,0,0)E(3,0,0)、F(4,1,0)F(4,1,0)、C C1 1(4,3,2)(4,3,2) 于是，于是， 11 (3, 3,0),(1,3,2),( 4,2,2)DEECFD 设法向量设法向量( , ,2)nx y与平面与平面 C C1 1DEDE 垂直，则有垂直，则有 1 330 1 320 nDExy xy xyz nEC 1 11 1 1 ( 1, 1,2), (0,0,2), 1 01 0226 cos 3| |1 14

15、004 2 tan 2 n AACDE nAACDEC nAA nAA 向量与平面垂直 与所成的角 为二面角的平面角 （IIII）设）设 ECEC1 1与与 FDFD1 1所成角为，则所成角为，则 11 222222 11 1 ( 4)3 22221 cos 14| | 132( 4)22 ECFD ECFD 例例 3 3. .解：如图，建立坐标系解：如图，建立坐标系 D D- -ACDACD1 1，则，则 B B（1 1，1 1，0 0） ，） ，A A1 1（1 1，0 0，1 1） ，） ，E E（ 1 2 ，1 1，1 1） ( 1, 1,0)BD 1 (,0,1) 2 BE 1 (0

16、,1, 1)AB 设面设面 BDFEBDFE 的法向量为的法向量为( , ,1)nx y，则，则 ( , ,1) ( 1, 1,0)00 2 11 2( , ,1) (,0,1)010 22 x yxy nBDx yx yx nBE (2, 2,1)n A A1 1到面到面 BDFEBDFE 的距离为的距离为 d =d = 1 2 2 0,1, 12, 2,1 | 3| 1 3| 221 AB n n 巩固训练：巩固训练： （1 1） 1 5 ； （； （2 2）3 课后作业：课后作业：1.A 解析 由题意知： 1 6 2 2， 210， 解得 2， 1 2 或 3， 1 2. 2. 答案：

17、1 3， 2 3， 2 3 或 1 3， 2 3， 2 3 . 3. 3. 2 55 或-2 4.（1）如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系， 则 11 2 0 00 2 00 2 20 4 2CBAB， ， ， ， 1 0 2 2AA ， 11 22 0BCBC， ， 1 1 1 41 cos 288 AA BC AABC AABC ， 故 1 AA与棱 BC 所成的角是 3 （2）设 111 220B PBC，则2422P， 于是 2 2 1 442414 2 AP（ 3 2 舍去） ， 则 P 为棱 11 BC的中点，其坐标为1 3 2P ， 设平面 1 PABA的法向量为 n1, ,

18、x y z， 则 1 1 03202 20.0. 0 APxyzxz yy AB ，n n 故n12 0 1 ， ， 而 平 面 1 ABA的 法 向 量 是n2=(1,0,0) ， 则 12 12 12 22 5 cos, 55 n n n n nn ， 故二面角 1 PABA的平面角的余弦值是 2 5 5 5 （I）如图，取AB的中点E，则/DEBC，因为BCAC，所以DEAC，又 1 AD 平面ABC，以 1 ,DE DC DA为, ,x y z轴建立空间坐标系， 则0, 1,0A，0,1,0C，2,1,0B， 1 0,0,At， 1 0,2,Ct， 1 0,3,ACt， 1 2, 1,

19、BAt ，2,0,0CB ，由 1 0AC CB，知 1 ACCB，又 11 BAAC，从而 1 AC 平面 1 ABC； （II）由 1 AC 2 1 30BAt ，得3t 设平面 1 A AB的法向量为, ,nx y z， 1 0,1, 3AA ，2,2,0AB ，所以 1 30 220 n AAyz n ABxy ，设1z ，则 3,3,1n 所以点 1 C到平面 1 A AB的距离 1 | | AC n d n 2 21 7 B A C A1 B1 C1 z x y P 6.（1）证明：如图，设 ACBD=O， ABCD 为正方形，O 为 BD 的中点，连接 OM， PD平面 MAC，

20、PD平面 PBD，平面 PBD平面 AMC=OM， PDOM，则，即 M 为 PB 的中点； （2）解：取 AD 中点 G， PA=PD，PGAD， 平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCD=AD， PG平面 ABCD，则 PGAD，连接 OG，则 PGOG， 由 G 是 AD 的中点，O 是 AC 的中点，可得 OGDC，则 OGAD 以 G 为坐标原点，分别以 GD、GO、GP 所在直线为 x、y、z 轴距离空间直角坐标系， 由 PA=PD=，AB=4，得 D（2，0，0） ，A（2，0，0） ，P（0，0，） ，C（2，4，0） ，B （2，4，0） ，M（1，2，） ，

21、 ， 设平面 PBD 的一个法向量为， 则由，得，取 z=，得 取平面 PAD 的一个法向量为 cos=二面角 BPDA 的大小为 60； （3）解：，平面 BDP 的一个法向量为 直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos|=|=|= 7 【解答】 （）证明：ABEF 为正方形，AFEF AFD=90，AFDF， DFEF=F， AF平面 EFDC， AF平面 ABEF， 平面 ABEF平面 EFDC； （）解：由 AFDF，AFEF， 可得DFE 为二面角 DAFE 的平面角； 由 ABEF 为正方形，AF平面 EFDC， BEEF， BE平面 EFDC 即有 CEBE， 可得CEF 为

22、二面角 CBEF 的平面角 可得DFE=CEF=60 ABEF，AB平面 EFDC，EF平面 EFDC， AB平面 EFDC， 平面 EFDC平面 ABCD=CD，AB平面 ABCD， ABCD， CDEF， 四边形 EFDC 为等腰梯形 以 E 为原点，建立如图所示的坐标系，设 FD=a， 则 E（0，0，0） ，B（0，2a，0） ，C（，0，a） ，A（2a，2a，0） ， =（0，2a，0） ，=（，2a，a） ，=（2a，0，0） 设平面 BEC 的法向量为=（x1，y1，z1） ，则， 则，取=（，0，1） 设平面 ABC 的法向量为=（x2，y2，z2） ，则， 则，取=（0，4） 设二面角 EBCA 的大小为 ，则 cos= =， 则二面角 EBCA 的余弦值为